Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 6. SZEREGI LICZBOWE

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 6.

SZEREGI LICZBOWE

Definicja (szereg liczbowy, suma częściowa szeregu)

Szeregiem liczbowym nazywamy równanie postaci a₁a₂ a₃ , zapisywane także w formie

1 2 3

1 n ,

n

a a a a





   



gdzie a_n dla n1, 2,3, . Liczbę a_n nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sumę

1 2 3

1

,

n

n n k

k

S a a a a a



    



nazywamy n-tą sumą częściową tego szeregu

Przykład

Obliczyć n-tą sumę szeregu

1

ln .

n 1

n n



 



Definicja (szereg zbieżny i rozbieżny, suma szeregu)

Mówimy, że szereg

1 n n

a





 jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu jego sum częściowych (S_n). Jeśli

lim

ⁿ

n

S



  albo

lim

ⁿ

n

S



 , to mówimy, że szereg

1 n n

a





 ^jest

2

rozbieżny do  albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumę szeregu zbieżnego nazywamy granicę

lim

ⁿ

n

S



i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg

1

lim

.

n n

n n

a S



 





Przykład

Korzystając z definicji wyznaczyć sumę podanego szeregu

1

1 1

( ).

2 1

n n n





  



Twierdzenie (o zbieżności kombinacji liniowych szeregów)

Jeżeli szeregi

1 n n

a





 ^, 1

n n

b





 są zbieżne, to:

1)

1 1 1

( _{n n}) _{n n};

n n n

a b a b

  

  

  

  

2)

1 1 1

( _{n n}) _{n n};

n n n

a b a b

  

  

  

  

3)

1 1

n n,

n n

c a c a

 

 

  

 

gdzie c jest dowolną liczbą.

Fakt (o zbieżności szeregu geometrycznego)

Szereg geometryczny ^{1 2 3}

1 n n

a q a a q a q a q

 



        



jest zbieżny dla q 1 i rozbieżny

do  dla q1, a dla q 1 szereg jest rozbieżny. Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy

1 1

1 .

n n

a q a

q

 



 



 Przykład

Korzystając z powyższego faktu zbadać zbieżność szeregu ¹

1

( 3) . 4

n n

 





 Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu)

Jeżeli szereg

1 n n

a





 jest zbieżny to

lim

ⁿ 0.

n

a





Uwaga

3

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład

1

1

n n





 (szereg harmoniczny).

Mamy bowiem

lim

ⁿ 0,

n

a



 ale szereg harmoniczny jest rozbieżny do . Powyższe twierdzenie zapisane w równoważnej postaci :

Jeżeli

lim

ⁿ 0,

n

a



 albo

lim

ⁿ

n

a



nie istnieje, to szereg

1 n n

a





 jest rozbieżny.

stosujemy do uzasadnienia rozbieżności niektórych szeregów.

Przykład

Zbadać zbieżność podanych szeregów a)

2

1000;

n n

 n



 ^{b) 22}

1

2 .

n 100 n n









 KRYTERIA ZBIERŻNOŚCI SZEREGÓW

Fakt (o zbieżności szeregów postaci

1

1

p

n n





 ⁾

Szereg

1

1 1 1

1 2 3

p p p

n n





   



jest zbieżny dla p1 i rozbieżny do  dla p1.

Przykład

Korzystając z powyższego faktu wskazać szeregi zbieżne a)

2

1;

n n





 ^{b) 23} 1

;

n

n

 



 ^c) 4 2

1;

n n







d) 3 1

1 ;

n n





 ^e) ₃

1

1 .

n n







Twierdzenie (Kryterium porównawcze zbieżności (rozbieżności) szeregów) Niech 0a_n b_n dla każdego nn₀. Wówczas:

1) Jeżeli szereg

1 n n

b





 jest zbieżny, to także szereg

1 n n

a





 jest zbieżny . 2) Jeżeli szereg

1 n n

a





 jest rozbieżny, to także szereg

1 n n

b





 jest rozbieżny .

4 Przykład

Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów a) ₂

2

2 ;

n 100 n n









 ^b)

3 1

1 1

sin ;

n n n





 ^c) 5 2 2

1 1

cos ;

n n n





 ^d) 2

1

tg 3.

n

n n









SZEREGI LICZBOWE

Twierdzenie (Kryterium d’Alemberta zbieżności (rozbieżności) szeregów)

Niech

lim

^{n 1} .

n n

q a

a





 Wtedy szereg

1 n n

a





 jest zbieżny dla q1 i rozbieżny dla 1  q . Uwaga

Dla q1 kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład

Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów a)

2

!;

n

n

n n





 ^b) 1

2 .

!

n

n n







Twierdzenie (Kryterium Cauchy’ego zbieżności (rozbieżności) szeregów)

Niech

lim

^{n n} .

n

a q



 Wtedy szereg

1 n n

a





 jest zbieżny dla q1 i rozbieżny dla 1  q . Uwaga

Dla q1 także kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

5 Przykład

Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów a)

2

(arccos ) ;1 ⁿ

n n







b)

1

3 4

2 5 .

n n

n n

n











ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA SZEREGÓW Twierdzenie (Leibnitza zbieżności szeregu naprzemiennego)

Jeżeli

1) ciąg b_n jest nierosnący od numeru n₀ ; 2)

lim

ⁿ 0

n

b





to szereg naprzemienny ¹ _{1 2 3 4}

1

( 1)ⁿ _n

n

b b b b b

 



     



jest zbieżny.

Przykład

6

Korzystając z kryterium Leibnitza uzasadnić zbieżność podanych szeregów a)

2

( 1) ;

3 1

n

n n











b) ₂

2

( 1) 2. 3

n n

n n





 





Definicja (zbieżność bezwzględna szereg)

Szereg

1 n n

a





 jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg

1 n n

a





 jest zbieżny.

Uwaga

Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zapewniają zbieżność szeregu , gwarantują jednocześnie zbieżność bezwzględną.

Przykład

Zbadać zbieżność bezwzględną podanych szeregów a) ₂

2

( 2) ;

n

n n







 ^b) 3 ¹

2 2

( 1) .

n

n n

 







Twierdzenie (o zbieżność szeregów zbieżnych bezwzględnie) Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Uwaga

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład

1

1

( 1)ⁿ

n n

 





 , który jest zbieżny,

ale nie jest zbieżny bezwzględnie.

Definicja (szereg zbieżny warunkowo)

Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

Przykład

Zbadać rodzaj zbieżność podanych szeregów a)

2

( 1) ; (2 )!

n

n n







 ^b) 3 ²

2

( 1) ; 1

n

n

n n









 ^c)

2

1 .

ln

n

n n





 

 

 

