Psi Pn

GR 1 L . 2 ^.

Wektorystycsne ^, kowektovy ^{M - rozmaitosi gtadke , CYM ) algebra fuukyi growl kick me}

M, FCO ) algebra funky grandkids ^{no, stone} otwowtym ^O sawavtym ^{w M.}

← ^ada

.me/oolwowtysawiercgpcy0UstalmypunktXeM.rjI-M8(o)=x1RTkmywegradkieWabiomeC0(M)wpnowaokouuynelag.qniwuowaZuosa.2wip2aug2puuktaux:moioimy

, ze date

fuukye fif ^' sp ^{ndwnowazne w ×} wteayitylko ^{wteoly, gay ale kazolg.} Kmywg

. 8

jak wyzg^.

o¥f°M±=o=¥ftMt⇒.

Klasq Ndwwowazhosa ^. funky ^f ozuacsamy dfk ^{) i} masywamy vioznicskgfuukji ^f wpunkuie ^×.

Lbion CTM ) lest wszcsegoluosa^. pmestmeuip wektorowq ^{. Strukturo} pnsestmeui wektorowg ^{. ,}pmezywa

"

dzieleuie pmez ^nelocjq niwuowaznosa ^. one wsglgau ^{na to, Ze} ndzhicskowanie pot jest ^{liuiore .}

Innymi ^{showy mozemy} sdefiniowac ^strukturg pmestneui wektorowg^{. no . Klasacu} rdwuowazrwsa ^.

2a pomocp representation ^:

df ^{G) +} age^{) := d (} ftgkxj ^fnf

'

, gng

' ton o¥( ^for )(oko¥(^{to 8) G) ,off} (g°8)(o)=¥h(g'^or)(o)

xafcx ⁾ :=d(Xf ^{) Cx)} _wtedy

ftg ^~ ftg^' off #^{g)+ or)G) = off # 6)} tohftfgorko)=¥f( ^{for) 6) +}

toottojooko^{) =} off 8)#^{g)° 6)}

Pmestmen wektonowpnozhicsek funky ^f wpunkcie ^x osnacsamy ^T*xM.

STWIERDZENIENoonmaitosci ^. TIM _jest ^skohcsenie wymiarowq pmestmeuig wektorowqwymienaoi wymiaru mniwnego

DOWJD ^: _Wesimy ^ukiad wspolmednych y ^{:(ysi. .. ,y ") wotocseniu} punktu ^x. Najwygodniei wybrai

take _,zeby fH= ^{... =p "(×) to} Pokazemy ^{, ze ndznicski} dy4^{x) , ... , dy" (x) Sg liniowo miesalezhe}

ora2 Ze throne bazg TIM ^. _Wezimy

Xzolyttx^{) + . .. +} Andy ^{" (×) =0 02ham to , Ze} funky ^.e Xy y1t^{. .. +} Any^" jest ^nowuowazme fuukyi ^{0 w punkud x .}

Neck Vi 02ham knywg wspitmgdwosciowp ,t2n No )=x yk ( silt ⁾) ⁼ t.si ^.

( xipt ^... _any ^{") or} , ⁼ xiforit ^{... +} any"or_; ⁼ _xit

# ( 114 't ^{.. . +}Any^") ^{ori (o) =} # ( ^hit _)|⇐o ^{= X;} Riwuowazuosi fmkyi ^{state = 0 osuocse dio .}

Rolznicski fuukyi wspotmgduosciowychtwomq ^{uktad liwiowo -} miesalezmy^{. Teraz} pokazewy ^{ze dfcx )}

moze by^'c sapisane jako ^{Kowbinogd limiowe moznicsek} dy^{? ...} dym^. Dozwazmy ^atozeuie funky ^{f a} powouuehyaaqiq damp _pmez ^uktad wspotmgdnych yd ^: ,Yzn→ ^Onm

f of^{' jest funky .p n swieunym} meosywinych ^{. tatwo stwierobic '}

* ¥ ^{( fog ')|o - oottffori) G) = : Ey¥1×}

Pokazemy^{Istotnie , vozwazmy}

.it#s/xy2+fytIY2t...tftyzhyh=:f

+ ^{mywe w R "}

off ^for _)(o)=oE÷(fofloyorko_- ^{) =} Ytg9I(ojftllyiorko^{) - oft}( for ^{)( o)}

funky ^{'d me Rn -}

¥_ilx

wiemyize dfcx^{) =} jtytnlxdyhkysytfxdy^{'H+ ... + ) wigc dfktdfcx ) =}

ftp./xdy1klt...+fydn/xdynH.PokazalismyizeT*Mjestno2pigtepme2dq1Cx

) ^... dy^{" (×).} Stwierokeuie sostouo dowieobiome ^.

a

TIM _{mazywamy pmestmeniq Kostyosnq} ^{do M w} punkue ^x. Jest ^to mwymiarowapmestmen^'

wektorowa . Lbior ×YmTx*M oznocsamy ^{T * M i} nasywamy ^{wig2kg Kostycsnq do M. Shukturp}

T*M zajmiemy ^{siq wkrotce .}

Majgc TIM ^- skonicsenie wyuiiowowq ^{pmestmeh wektorowq} mozemy ^ocsywiscie sdefimiowac^'

duaeng

do mig^. pmestmen ^, ktorq osnacsymy ^Txmmaaoiemypmestmeuiqⁱ stycsnq ^{do M w} punkcie ^{x. 2} defimigi jest ^to skonicseuie wyuiieuowa ^{pmestmen' wektorowe .} sajmieeuy ^he

terror poszukiwauiem wygodnyck realizing ^{TM w mniq.} abshakyjmym jgzyku^.

Zauwazmy ^{, ze Kazda} knywa ^{V : I→M take , ze r ( o) - X defimiye fuukgionae liming}

me pmestmeni TYM ^wsorem

T×*M ^a df(x) ^- off # ^{(o ) EIR}

STWIERDZENIE ^: Kazdy ^{funky .onoI} liuiowy ^{me TIM} zadany jest ^{pmez pewnq}

kmywq

DOWJD Dow 'od pvowowbimypny uzyciu wspilmgdnych^{. Nick}

PETYM

p ^.-

pzdfk

) ^{+ ... +}

pndqyx

) ^. Dowolny ^funkyinot liuiowy ^{he # M mozme} wyraaii

we wspiimgdnycn ^✓

Psi Pn

Bawazmy _knywq ^{8✓ :I→M Ict ) -} f^' ( ^{v 't , 02T , ... , out} ) ^{, tzn qi ( Mti ) = vit}

Biorgc neprezeutante p Poston

fp ^{(x ) =} pzyyx^{) + .. . + pnyhlx)} dostojemy

¥ ⁽fpoti)(o)=offk=o ( ^{pro 'tt ... + pnoht) - Pitt .. .} tpno ^" Fuukyouai ^o zwigzauy ^jest

wise ² knywq ^{of .} osywiscie ^wide kmywycn prowowbiobtegosaeuego fuutyomouu ^:

Wsbioke kbywych pmechodzgcych ^{pmea × abet -0} wprowowkamy ^relay rowuowaznosii :

v~r ^{' ⇐ >} VFECTM ) ¥ ^{( fo 8)(o) =} 0¥^{( for ') (o )}

tatwo zauwazyi ^{ze done} _Kmywe ^{sq riwmwazne} wtedyitylko ^{wtedyydy defining.ee}

ten saw fuutyowae liuiowy ^{we Tx*M . Istmieje wigc wzajemnie} jedhoauacsme

odpowiedniosc migoby ^wektorami stycsnymi ^{a keasawi} vdwwowazhosci kmywych^.

Fuukyiuou ^,ktoryodpowiowhekmywq^. Vhazywamy ^{wektonem stycsnym do rw to i}

oznacsamyad representation^{JCO) lub ,tkoale ).}jest Zauwazmysdefimiowemepochodzi^{, ze} _popmes^{struktura olualnosdwektonowd. w T×M hie}

Ukiad wspotmgdnych ^defining.e bazg dy^{' ...} dy^{" .} Oznacsmy ¥ ^{wektor stycsny}

do knywej ^{t -} f^{' ( 0} , ;yt^{, ... 0 ) .}

STWIERDZENIE ^: (3ps ^{, ... ,} In ^{) jest base wTx*M dualug do dy? . .dy" .}

DOWOD ^: Wystanosypokasai

( dqi^, # ^{> =} dj ^{: ( dqi ,} _# ^{) = off yifflaiitr .} 91+5

= ftp.odijt ^{- dig a}

Wektory stycsnewyreprezentowai mozmejeszcse imacsej ^{. Nick Ai B} oznaosojg

dwie algeory mecsywiste ^, pmemienne ² jedynkq ^{. Nieu takze} g^{: A → B bgdzie} homomorfizmem algebr ^. Rtznicskowaniem alyebry ^{A wsglgdem} homomorfizmu

g hazywamy ^liuiowe odwzorovanie D: A ^→ B spetuiajgce ^wowuuek

V. _Qaase ^A D ( asaz ) ^{= 1 ( as} )g( ^{az) +} gc^{an )D( as )}

Powyzhywowuuek nazywesig Reguiq ^. PmypomineistotuieLeibnize ^{RL . shame}

2 nachuuku Ndzhicskowego jeduej siuiennej^. Iauwazmy ^{, Ze} jail ^. 1^-02 ^none jeolynkg ^w

algebke ^{A to DHA )=O dhe} olowolnegu ^D:

DGA )=D(1a1^ ) ⁼ SHA ^{)D(1a ) + DAA} )gAA ^{) =} 1pDAa^{) + DAAHB = 2. Daa )}

Dan )=2DHa ) ^{⇒ D} (1^1=0

Nick terror A= CTM ) _, ¹³⁼¹¹² g ^: f- fcx^{) olla} ustalonego ^{xem . Obserwaqie :}

Kazoly ^wektov stycsny ^JCO) defimiuje vizhicskowanie wtglgdem homomorfizmu bgdpcego ewalwagig fuukyi ^{w punkcie . Istotnie ,} odwzarowanie

f ^1- _{oott ( for} ^{) ( o)} jest ^{liuiowe ,} zalezyjeolynie ^{od JCO) oraz}

f. gi→ftt¢^{f. g) or} )(o)=oYz¢^{for )(} gor⁾)(o^{) - ( for} )6)otk(got^{)(o) +} off^(for)6)(g°DG)=

=fC ^x) # ^{gcrko) +} gHgt( ^{for )(o )}

STWIERDZENIE ^: Kazde rizhicskowanie ^Co ( ^M ) had ftffx ⁾ pochoobi ^od

wektora stycsnego^.

LEMAT ^: Ofuukyiach Znikafgcych ^{W punkcie : Niech fbgdzie growlkg funky.q okre -}

sling ^{me otocseniu Ow R" .} wtedy ^{f (×) = xigilx ) dle pewnych gradkich fuukcji}

:

, I ^c R [ _on ]cI

Fct ) =f( ^tx ) ⁼ fltxt ^{, tx ? .. tx "})

Fjest funky^.q gradkq ^{. Moto .} Hazystojgcz podstawowegotwierokenie ^rachunku Ndznicskowego iwukouego

F. G) ⁼ § Ficsds ⁼ § 3¥ ^{(a) xids - xi § }f÷Csx)ds =} xig^;

÷ ^.

gi ^sq fuukyiemi gradkimi ^co wynike ² odpowiednich ^{twierdzen 0 wiekaih 2} paramewem ^.

a

DOWO 'D STWIERDZENIA ^: Nick D bgdzie riznicskowaniem ^Co ( ^M) wsglgdem f- fk ⁾

Komystajgc ^{z leiuatn} zapisujemy ^{f w} szcsegiluq^. posada

.

f- ^fK)t yigi f- fk ^{) Mike w x} wigc ^{. . .}

J salezyooe ^{f a nie}

funky ^{.e state niwna} fk ⁾ od D

DCfkDCfHtyigij-DfhxDtDCgigiI-otTTxiDCgiltDCqijgiH-DCyijgYxITelicsty2alezpadDJWukiadziewsp.otmgdnycuyDzaowmejestlicsoamiv2.i.Vngobievi-DCyijWeomytera2knywq8vCtklflCv1t.v2ti.i.vhtjipolicsmyDqCf1DqCfj-oYTCfokK9-oftlfHtgiC8vltDgi@HlDkjo0ttCTZvitgiCrvHDh.o-TVigiK-D-fjRszhicskowam.e

Dpodwobi ^{wigcod I . •}