Ruchienergia Rozdział2

Ruch i energia

2.1 Kinematyka punktu materialnego

2.1.1 Pojęcie ruchu. Punkt materialny. Równania ruchu Kinematyka jest działem mechaniki opisującym ruch ciał bez podawania jego przyczyn. Przez ruch ciała rozumiemy zmianę jego położenia w stosun- ku do innych ciał. Nie ma sensu bezwzględny ruch ciała. Dla opisania ruchu ciała należy więc wprowadzić układ odniesienia, względem którego rozpatru- jemy ruch. W zależności od wybranego układu odniesienia ruch ciała może być mniej lub bardziej skomplikowany. Zasadniczym odkryciem Kopernika był fakt, że opis ruchu planet układu słonecznego jest znacznie prostszy w układzie odniesienia związanym ze Słońcem niż w układzie odniesienia związanym z poruszającą się wokół Słońca Ziemią.

Przemieszczające się w przestrzeni ciało może jednocześnie wykonywać ruch obrotowy, może następować także zmiana kształtu i rozmiarów ciała.

Najprostszy przykład ruchu stanowi ruch punktu materialnego. Przez punkt materialny rozumiemy ciało, którego rozmiary i kształt można w danym za- gadnieniu pominąć. Na przykład, opisując ruch Ziemi dookoła Słońca można ją uważać za punkt materialny, ponieważ promień Ziemi jest znacznie mniej- szy od promienia jej orbity. Opisując natomiast budowę atomu, nie można traktować go jako punkt materialny, mimo jego bardzo małych rozmiarów rzędu 10⁻¹⁰ m.

Będziemy dalej rozpatrywać ruch punktu materialnego, wybierając za układ odniesienia kartezjański układ współrzędnych (rys. 2.1). Położenie punktu określają wówczas współrzędne x, y, z, będące składowymi wekto- ra wodzącego r punktu materialnego. Jeżeli punkt materialny porusza się względem wybranego układu odniesienia, jego współrzędne zmieniają się z

13

O z

y

x

A' A

t = 0 t

s

r

Rysunek 2.1:

upływem czasu t, t.j. są funkcjami czasu:

x = x(t), y = y(t), z = z(t), (2.1) Powyższe zależności nazywamy równaniami ruchu punktu materialnego. W postaci wektorowej można je zapisać jako

r= r(t). (2.2)

Krzywą, jaką zakreśla w przestrzni punkt materialny podczas ruchu nazy- wamy torem punktu materialnego. Długość s części toru, jaką punkt przebył w określonym czasie, jest zwana drogą punktu materialnego (por. rys. 2.1).

Droga jest skalarną funkcją czasu, s = s(t).

Przypomnimy, że w układzie SI podstawową jednostką długości jest metr (m) a podstawową jednostką czasu sekunda (s). Zatem [x] = [y] = [z] = m, [t] = s.

2.1.2 Prędkość i przyspieszenie

W celu bardziej szczegółowego scharakteryzowania ruchu punktu material- nego wprowadza się wielkości wektorowe — prędkość i przyspieszenie. Pręd- kość punktu materialnego określa zarówno szybkość jak i kierunek ruchu w danej chwili czasu. Wektor średniej prędkości v_śr w przedziale czasu od t do t + ∆t określa się jako stosunek przyrostu ∆r promienia wodzącego punktu do przyrostu czasu ∆t (rys. 2.2),

Rysunek 2.2:

v_śr= ∆r

∆t. (2.3)

Przechodząc w wyrażeniu (2.3) do granicy ∆t → 0, otrzymujemy wzór okre- ślający chwilową prędkość v punktu materialnego w momencie t

v = lim

∆t→0

∆r

∆t = dr

dt . (2.4)

Z powyższych wzorów wynika, że prędkość ma wymiar [v] = m/s. Ponieważ, zgodnie ze wzorem (2.3), v_śr k ∆r, z rysunku 2.2 wynika, że wektor prędko- ści jest skierowany wzdłuż stycznej do toru w kierunku ruchu. Ostatniemu równaniu wektorowemu odpowiadają trzy równania, określające poszczegól- ne składowe wektora prędkości:

vx = dx

dt, vy= dy

dt, vz = dz

dt. (2.5)

Dla małych wartości wektora przesunięcia ∆r, zgodnie z rysunkiem 2.2, zachodzi zależność ∆r ≈ ∆s. Zatem szybkość punktu materialnego można wyrazić wzorem

v = lim

∆t→0

∆s

∆t = ds

dt . (2.6)

Całkując to wyrażenie w granicach od t₀ do t otrzymujemy wzór s =

Z _t

t0

v dt. (2.7)

s

t₀ t 0

v

Rysunek 2.3:

Zgodnie z geometryczną interpretacją całki oznaczonej, zakreskowane pole pod krzywą v(t) na rysunku 2.3 przedstawia drogę przebytą przez punkt materialny od momentu t₀ do momentu t.

Rozpatrzmy kilka szczególnych przypadków ruchu punktu materialne- go. Jeżeli kierunek wektora prędkości punktu nie zmienia się podczas jego ruchu, ruch punktu jest prostoliniowy. Jeżeli natomiast nie zmienia się chwi- lowa wartość szybkości, v = const, ruch punktu materialnego nazywany jest ruchem jednostajnym. W tym przypadku, kładąc we wzorze (2.7) t₀ = 0, otrzymujemy znany elementarny wzór

s = Z t

0

v dt = v Z t

0 dt, (2.8)

s = vt, (2.9)

określający zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnym.

Jeżeli punkt materialny wykonuje jednocześnie kilka ruchów, to jego prędkość wypadkowa równa się wektorowej sumie prędkości wszystkich tych ruchów.

Zwykle podczas ruchu punktu materialnego jego wektor prędkości zmie- nia swą wartość i kierunek. W celu scharakteryzowania zmiany prędkości w takim ruchu wprowadza się pojęcie przyspieszenia. Załóżmy, że prędkość punktu w przedziale czasu od t do t+∆t zmieniła się o ∆v (rys. 2.4). Wektor średniego przyspieszenia aśrw tym przedziale czasu określa się jako stosunek zmiany prędkości ∆v do przyrostu czasu ∆t,

a_śr= ∆v

∆t. (2.10)

O

v + Dv Da_sr

A v

Dv_n A'

B

C

Ds

t Dv t +Dt

Dv_t

AB = AC Ds = AA' r

Dj

Dj

Rysunek 2.4:

Przyspieszenie chwilowe a punktu materialnego w momencie t jest granicą średniego przyspieszenia przy ∆t → 0,

a= lim

∆t→0

∆v

∆t = dv

dt . (2.11)

Wymiarem przyspieszenia jest [a] = m/s². Korzystając z definicji prędkości (2.4) przyspieszenie można wyrazić jako drugą pochodną wektora wodzącego punktu materialnego względem czasu,

a= d²r

dt² , . (2.12)

Składowe wektora przyspieszenia wyrażają się zatem wzorami ax = dvx

dt , ay = dvy

dt , az = dvz

dt , (2.13)

lub

ax= d²x

dt², ay = d²y

dt², az = d²z

dt², (2.14)

Na ogół kierunek wektora przyspieszenia nie jest styczny do toru punktu materialnego, w przeciwieństwie do kierunku wektora prędkości. Z rysunku 2.4 wynika, że zmianę wektora prędkości w czasie ∆t można zapisać jako

∆v = ∆vt+ ∆vn, (2.15)

Rysunek 2.5:

gdzie ∆vti ∆vnoznaczają zmianę wektora prędkości, związaną odpowiednio ze zmianą jego wartości bezwzględnej i kierunku. Dzieląc to wyrażenie przez

∆t i przechodząc do granicy ∆t → 0 otrzymujemy wzór

a= at+ an, (2.16)

w którym:

at = lim

∆t→0

∆vt

∆t , (2.17)

an= lim

∆t→0

∆vn

∆t . (2.18)

Dla dostatecznie małych wartości przyrostu czasu ∆t wektory ∆vt i at są styczne do toru punktu materialnego, natomiast wektory ∆vni ansą prosto- padłe (normalne) do toru (por. rys. 2.4 i 2.5). Wzór (2.16) przedstawia wobec tego rozkład wektora przyspieszenia a na jego składową styczną i normal- ną — przyspieszenie styczne at i przyspieszenie normalne (dośrodkowe) an. Przyspieszenie styczne charakteryzuje zatem szybkość zmiany bezwzględnej wartości prędkości a przyspieszenie normalne — szybkość zmiany kierunku prędkości.

Wyznaczymy teraz wartości obu składowych przyspieszenia. Ponieważ przyspieszenie styczne jest związane ze zmianą bezwzględnej wartości pręd- kości, więc ∆vt = ∆v i ze wzoru (2.17) otrzymujemy

a_t = lim

∆t→0

∆vt

∆t = lim

∆t→0

∆v

∆t, (2.19)

at = dv

dt , (2.20)

albo, uwzględniając wzór (2.6),

at = d²s

dt² . (2.21)

W celu określenia przyspieszenia normalnego należy zauważyć, że dostatecz- nie mały fragment krzywej można zastąpić przez łuk okręgu. Promień % tego okręgu nazywamy promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie (patrz rys. 2.4). Z rysunku wynika, że dla dostatecznie małych wartości ∆vn i ∆s zachodzi przybliżona proporcja

∆vn

v ≈ ∆s

% . (2.22)

Wobec tego ze wzoru (2.18) otrzymuje się a_n= lim

∆t→0

∆vn

∆t = lim

∆t→0

v

% · ∆s

∆t (2.23)

i ostatecznie

a_n= v²

% . (2.24)

Przedyskutujemy znowu kilka szczególnych przypadków ruchu punktu materialnego. Jeżeli ruch punktu jest prostoliniowy, promień krzywizny to- ru można uważać za nieskończenie wielki i przyspieszenie normalne an= 0, zgodnie z ostatnim wzorem. Jeżeli punkt porusza się ruchem jednostajnym, to jego prędkość v = const i, jak wynika ze wzoru (2.20), przyspieszenie styczne at = 0. Jeżeli natomiast przyspieszenie styczne jest stałe, at = const, to ruch punktu nazywamy jednostajnie zmiennym. Wówczas, całkując wyra- żenia (2.20) i (2.6), otrzymujemy znane wzory, określające prędkość i drogę w ruchu jednostajnie zmiennym:

v = Z t

0

a_tdt + v0 = v0+ at

Z t

0 dt, (2.25)

v = v₀+ att, (2.26)

s = Z t

0

v dt⁰ =^{Z t}

0

v₀+ att⁰
dt⁰= v₀^{Z t}

0

dt⁰+ at

Z t 0

t⁰dt⁰, (2.27) s = v0t + a_tt²

2 , (2.28)

w których v0 jest prędkością punktu w momencie t = 0.

2.2 Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywne- go

2.2.1 Ciało doskonale sztywne. Ruch postępowy i obrotowy Przez ciało doskonale sztywne rozumiemy ciało, w którym odległość mię- dzy dwoma dowolnie wybranymi punktami nie ulega zmianie niezależnie od sił działających na to ciało. Rozmiary i kształt ciała doskonale sztywnego są więc niezmienne. Jest to pewna idealizacja własności rzeczywistych ciał stałych.

Rozpatrując poruszające się ciało sztywne, możemy wyróżnić jego ruch postępowy i ruch obrotowy. Ruchem postępowym ciała doskonale sztywnego nazywamy ruch, przy którym dowolna prosta związana z ciałem przemiesz- cza się równolegle do siebie (rys. 2.6a). Przykładami ruchu postępowego ciała sztywnego są ruch tłoka w cylindrze silnika spalinowego i ruch wagoni- ków na obwodzie „diabelskiego koła”, obracającego się wokół poziomej osi.

W ruchu postępowym kształt toru oraz prędkość i przyspieszenie każdego punktu ciała doskonale sztywnego w danej chwili są identyczne. Do okre- ślenia ruchu postępowego ciała wystarczające jest więc podanie opisu ruchu jednego wybranego punktu.

Ruchem obrotowym ciała doskonale sztywnego nazywamy taki ruch, w którym punkty ciała zakreślają łuki okręgów o środkach leżących na jednej prostej, zwanej osią obrotu (rys. 2.6b). Oś obrotu jest prostopadła do płasz- czyzn tych okręgów. Przykładami ruchu obrotowego ciała sztywnego może być ruch koła zamocowanego na osi, ruch wahadła w zegarze itd. Można

Rysunek 2.6:

ściśle udowodnić, że dowolny ruch ciała doskonale sztywnego jest złożeniem ruchu postępowego i ruchu obrotowego.

2.2.2 Prędkość i przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym Zajmiemy się obecnie opisem ruchu obrotowego ciała doskonale sztywnego.

Dla ustalenia uwagi będziemy zakładać, że dla wybranego układu odniesienia kierunek osi obrotu ciała nie zmienia się. Z definicji ciała doskonale sztyw- nego wynika, że kąt ϕ, zakreślony w danym czasie przez promień wodzący dowolnego punktu ciała, poprowadzony z punktu leżącego na osi obrotu i prostopadły do niej, jest jednakowy (por. rys. 2.6b). Do scharakteryzowania ruchu obrotowego ciała wystarcza więc określenie zależności kąta ϕ między promieniem wodzącym dowolnego punktu a ustaloną prostą prostopadłą do osi obrotu, np. osią Ox układu wspólrzędnych (rys. 2.7), od czasu t:

ϕ = ϕ(t) (2.29)

Jest to równanie ruchu obrotowego ciała. Przypomnimy, że w układzie SI miarą kąta płaskiego jest radian (rad).

Prędkość kątową ω ruchu obrotowego ciała sztywnego określamy jako pochodną kąta ϕ względem czasu,

ω = dϕ

dt . (2.30)

Wymiarem prędkości kątowej jest [ω] = 1/s. Jeżeli prędkość kątowa jest stała, ω = const, ruch obrotowy ciała sztywnego nazywamy ruchem jedno- stajnym. Wówczas, całkując ostatnie równanie przy założeniu, że ϕ = 0 w

Rysunek 2.7:

chwili t = 0, otrzymujemy wzór

ϕ = ωt. (2.31)

W przypadku jednostajnego ruchu obrotowego można zdefiniować inne wiel- kości, charakteryzujące ten ruch. Czas, w jakim ciało sztywne wykonuje w ruchu jednostajnym obrotowym jeden pełny obrót (o kąt 2π), nazywamy okresem obrotu T ciała. Wymiarem okresu obrotu jest [T ] = s. Natomiast liczbę obrotów ciała w jednostkowym czasie w ruchu jednostajnym obroto- wym nazywamy częstością obrotu ν, przy czym wymiarem częstości obrotu jest [ν] = 1/s = 1 Hz (herc). Zachodzi oczywiście zależność

ν = 1

T. (2.32)

Korzystając ze wzoru (2.31) prędkość kątową ruchu obrotowego jednostaj- nego można wyrazić jako

ω = ϕ

t. (2.33)

Wynika stąd, że prędkość kątową jednostajnego ruchu obrotowego można zapisać w postaci

ω = 2π

T = 2πν . (2.34)

Prędkość kątową ciała sztywnego można uważać za wektor ω o kierunku zgodnym z kierunkiem osi obrotu ciała i zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej (rys. 2.8a). Ustalimy teraz związek między prędkością liniową

Rysunek 2.8:

punktu materialnego, którego położenie określa promień wodzący % prosto- padły do osi obrotu i prędkością kątową ciała sztywnego w ruchu obrotowym (rys. 2.8b). Prędkość liniowa punktu jest określona wzorem

v = lim

∆t→0

∆s

∆t. (2.35)

Z definicji kąta płaskiego, wyrażonego w radianach, wynika zależność

∆s = %∆ϕ. (2.36)

Zatem

v = lim

∆t→0

%∆ϕ

∆t = ω%. (2.37)

Ponieważ wektory ω, % i v są wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawo- skrętny, ostatnie równanie można zapisać w postaci wektorowej,

v= ω × %. (2.38)

W ostatnim równaniu wektor % można zastąpić przez wektor wodzący r punktu, tworzący dowolny kąt z osią obrotu (rys. 2.8b). Ponieważ zachodzi związek % = r − r0, gdzie wektor r₀ jest skierowany wzdłuż osi obrotu, r₀k ω, więc

ω× % = ω × (r − r0) = ω × r − ω × r0= ω × r. (2.39) Wobec tego

v= ω × r . (2.40)

Jeżeli ruch obrotowy ciała sztywnego jest niejednostajny, szybkość zmia- ny prędkości kątowej ciała sztywnego określa wektor przyspieszenia kątowego ε, będący pochodną wektora prędkości kątowej względem czasu,

ε= dω

dt (2.41)

([ε] = 1/s²). Z ostatniego wzoru wynika, że gdy prędkość kątowa wzrasta (dω/dt > 0), wektory prędkości i przyspieszenia kątowego mają ten sam zwrot a gdy prędkość kątowa maleje (dω/dt < 0) — przeciwne zwroty (rys.

2.9a). W przypadku, gdy przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym jest sta- łe, ε = const, ruch obrotowy nazywamy jednostajnie zmiennym. Wówczas, całkując równania (2.41) i (2.30), otrzymujemy wzory, określające prędkość i drogę kątową w ruchu obrotowym jednostajnie zmiennym:

ω = ω₀+ εt, (2.42)

O

O'

a)

O

O' dt >0

dt <0

O

O'

r₀ r a_t

b)

a_n A

Rysunek 2.9:

ϕ = ω₀t + εt²

2 , (2.43)

w których ω0 jest prędkością kątową ciała w chwili t = 0.

Ustalimy jeszcze związek między przyspieszeniem liniowym wybranego punktu ciała sztywnego, odległego o % od osi obrotu, oraz jego prędkością i przyspieszeniem kątowym (rys. 2.9b). Korzystając ze wzorów (2.20), (2.37) i (2.41), na przyspieszenie styczne punktu otrzymuje się wzór

at = dv

dt = d(ω%) dt =dω

dt% = ε%, (2.44)

który, analogicznie jak w przypadku prędkości kątowej, można zapisać ogól- niej jako

at = ε × r . (2.45)

Natomiast na przyspieszenie normalne punktu ciała sztywnego, ze wzorów (2.24) i (2.37) otrzymuje się wzór

an= v²

% = (ω%)²

% = ω²%, (2.46)

który można zapisać w postaci wektorowej jako

a_n= −ω²% (2.47)

(znak minus występuje, gdyż wektory an i % mają przeciwne zwroty).

2.3 Dynamika punktu materialnego

2.3.1 I zasada dynamiki Newtona. Inercjalny układ odnie- sienia

Dynamika jest działem mechaniki rozpatrującym związek między wzajem- nym oddziaływaniem ciał a zmianami ich ruchu. W tym podrozdziale bę- dziemy traktować określenia ciało i punkt materialny jako równoważne. Do czasów Galileusza i Newtona uczeni uważali, że do utrzymania ciała w ruchu ze stałą prędkością potrzebne jest ustawiczne działanie zewnętrznej siły. Na przykład popchnięty po stole klocek po przebyciu pewnej drogi zatrzymuje się. Można jednak zauważyć, że w przypadku ruchu tego klocka np. po lo- dzie z tą samą prędkością początkową jego droga będzie znacznie dłuższa.

Galileusz wywnioskował stąd, że gdyby udało się całkowicie wyeliminować opory ruchu (tarcie, opór powietrza), ciało wprawione w ruch poruszało by się ruchem jednostajnym prostoliniowym. To stwierdzenie stanowi treść I zasady dynamiki Newtona:

Jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działające siły wza- jemnie się równoważą, ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Należy zwrócić uwagę, że I zasada dynamiki nie jest spełniona w do- wolnym układzie odniesienia. Rozpatrzmy np. ruch małego wózeczka, spo- czywającego (bez tarcia) na większym wózku, który porusza się z pewnym przyspieszeniem względem stołu (rys. 2.10). Jeżeli wózeczek znajduje się w spoczynku względem stołu, to względem wózka będzie się on poruszać ruchem jednostajnie przyspieszonym w przeciwnym kierunku. Wobec tego I zasada dynamiki w układzie odniesienia związanym z wózkiem nie jest słuszna.

a a - a

P P

Rysunek 2.10:

a) b)

Rysunek 2.11:

Ogólnie układ odniesienia, w którym jest spełniona I zasada dynami- ki, nazywamy układem inercjalnym. O tym, który układ odniesienia można uważać za inercjalny, decyduje doświadczenie. Wiemy, że na powierzchni Ziemi I zasada dynamiki jest w przybliżeniu spełniona. Ziemię można więc w przybliżeniu traktować jako układ inercjalny. Ziemia nie jest jednak ideal- nym układem inercjalnym ze względu na jej ruch obrotowy, który powoduje szereg efektów (rys. 2.11). Ponieważ prędkość liniowa punktów na powierzch- ni Ziemi zależy od ich szerokości geograficznej, tor poruszającego się ciała zakrzywia się. Płaszczyzna wahań długiego wahadła stopniowo obraca się w przestrzeni (tzw. wahadło Foucaulta). Lepszym od Ziemi układem inercjal- nym jest np. układ odniesienia związany ze Słońcem, przy czym osie układu są zorientowane w kierunku określonych gwiazd. Dalej będziemy rozpatry- wać wyłącznie zjawiska zachodzące w inercjalnych układach odniesienia.

2.3.2 II zasada dynamiki Newtona. Pojęcia siły i masy Z I zasady dynamiki Newtona wynika pośrednio, że rezultatem działania siły jest zmiana prędkości ciała, tj. przyspieszenie ciała. Na podstawie prostych doświadczeń można ustalić związek między tymi wielkościami (rys. 2.12).

Pojęcie siły jest intuicyjnie zrozumiałe. Przykładem oddziaływania siły mo- że być działanie rozciągniętej sprężyny, zamocowanej do ciała. Jeżeli ruch odbywa się tak, że długość sprężyny pozostaje stała, można przyjąć, że siła działająca na ciało ma stałą wartość. Zgodnie z doświadczeniem, ruch ciała jest wtedy ruchem jednostajnie przyspieszonym, przy czym kierunek siły,

m m

m m F

F 2 F

a 2 a

a /2

Rysunek 2.12:

odpowiadający kierunkowi sprężyny i kierunek przyspieszenia są jednakowe.

Łatwo jest przyłożyć siłę większą np. dwa razy od danej siły, zamocowując do ciała dwie jednakowe sprężyny. Doświadczenie pokazuje, że przyspiesze- nie a ciała jest wprost proporcjonalne do działającej na nie siły F , a ∼ F . Przyspieszenia, jakie uzyskują różne ciała pod wpływem jednakowej siły, na ogół się różnią. Można m.in. stwierdzić doświadczalnie, że przyspieszenie dwóch identycznych, połączonych ze sobą ciał, jest dwukrotnie mniejsze od przyspieszenia pojedynczego ciała pod wpływem działania tej samej siły.

Wielkością charakteryzującą przyspieszenie ciała uzyskiwane pod wpływem danej siły — bezwładność ciała — jest jego masa m. Zgodnie z doświadcze- niem masa jest wielkością addytywną, tzn. masa połączonych ze sobą ciał jest równa sumie ich mas. Zatem przyspieszenie, jakie uzyskuje ciało pod wpływem danej siły, jest odwrotnie proporcjonalne do jego masy, a ∼ 1/m.

Powyższe stwierdzenia odpowiadają II zasadzie dynamiki Newtona:

Przyspieszenie, jakie uzyskuje ciało jest wprost proporcjonalne do działającej na nie siły i odwrotnie proporcjonalne do jego ma- sy, przy czym kierunek przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem działania siły.

II zasadę dynamiki Newtona można wyrazić wzorem a= F

m (2.48)

albo

F = ma . (2.49)

Stanowi ona podstawę do wyznaczania wartości masy ciała oraz działającej na nie siły. Jednostką masy w układzie SI jest kilogram, [m] =kg. Mierząc przyspieszenia danego ciała i ciała o masie wzorcowej 1 kg pod wpływem ustalonej siły można określić masę pierwszego ciała. W praktyce zamiast mas ciał porównuje się ich ciężary za pomocą wagi. Ponieważ ciała wzniesione na niewielką wysokość spadają ze stałym przyspieszeniem ziemskim, g ≈ 9, 81 m/s², zgodnie z II zasadą dynamiki na każde ciało działa siła ciężkości P zwana ciężarem ciała, proporcjonalna do jego masy

P = mg. (2.50)

Mierząc natomiast przyspieszenie ciała o znanej masie można wyznaczyć działającą na nie siłę. Jednostką siły jest niuton (N). Jest to, zgodnie ze wzorem (2.49), siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s². Wymiarem siły jest więc [F ] = N = kg·m/s².

Można zauważyć, że I zasada dynamiki Newtona jest szczególnym przy- padkiem II zasady. Jeżeli bowiem F = 0, to zgodnie ze wzorem (2.49) a = 0 i v = const (ruch jednostajny prostoliniowy). Mimo to celowe jest wyodręb- nienie I zasady dynamiki ze względu na jej duże znaczenie.

II zasada dynamiki stanowi podstawowe sformułowanie praw mechaniki.

W ogólnym przypadku siła działająca na ciało zależy od jego położenia r, prędkości v = dr/dt i czasu t. Uwzględniając wzór (2.12) II zasadę dynamiki można zapisać w postaci układu równań różniczkowych

md²r

dt² = F , (2.51)

czyli

md²x

dt² = Fx, md²y

dt² = Fy, md²z

dt² = Fz. (2.52) Jeżeli znane są położenie ciała r₀ i jego prędkość v₀ w chwili początkowej, całkując podany układ równań można wyznaczyć położenie ciała r(t) w dowolnej chwili czasu. W prostszych przypadkach możliwe jest otrzymanie analitycznych rozwiązań układu równań w postaci wzorów. Innym sposobem jest numeryczne rozwiązanie układu równań przy użyciu komputera, co po- zwala określić wartości liczbowe współrzędnych ciała w wybranych momen- tach czasu. Metoda ta znajduje m.in. zastosowanie do symulacji własności układów złożonych z dużej liczby, rzędu 10⁸, oddziałujących ze sobą czą- stek, reprezentujących atomy lub cząsteczki gazu, cieczy lub ciała stałego

Rysunek 2.13:

(tzw. metoda dynamiki molekularnej). Proste przykłady całkowania równań dynamiki punktu materialnego będą podane w dalszej części wykładu.

2.3.3 III zasada dynamiki Newtona

Doświadczenie uczy, że oddziaływanie ciał jest zawsze wzajemne. Ujmuje to III zasada dynamiki Newtona (rys. 2.13):

Jeżeli pierwsze ciało działa na drugie pewną siłą, drugie ciało działa na pierwsze siłą równą co do wartości i przeciwnie skiero- waną.

Oznaczając siły przyłożone do tych ciał przez F₁i F₂ można zatem napisać

F₁ = −F2 . (2.53)

Siły te, jako działające na różne ciała, nie równoważą się. Wzajemne od- działywanie ciał może występować przy ich bezpośrednim kontakcie bądź zachodzić na odległość, np. za pośrednictwem sił grawitacyjnych lub elek- trostatycznych.

Przytoczymy dwa przykłady ilustrujące III zasadę dynamiki. Przyjmij- my, że na poziomej płaszczyźnie znajdują się dwa klocki o masach m₁ i m₂ połączone nitką, przy czym na pierwszy klocek działa równoległa do płasz- czyzny siła F a tarcie zaniedbujemy (rys. 2.14a). Siły, działające na pierwszy i drugi klocek w punktach zaczepienia nitki, oznaczymy odpowiednio jako F₁ i F2. Zgodnie z II zasadą dynamiki zachodzą zależności

F = (m₁+ m2)a, (2.54)

F − F1 = m₁a, (2.55)

F₂= m2a, (2.56)

m

m

F

F

F

a

O F

A F

v

a) b)

Rysunek 2.14:

gdzie a jest przyspieszeniem klocków. Obliczając z pierwszego wzoru przy- spieszenie i podstawiając do pozostałych wzorów znajdujemy wartości obu sił:

F₁ = F − m₁F

m1+ m2 = m₂F m1+ m2

. (2.57)

F2= m2F

m₁+ m₂, (2.58)

Widzimy zatem, że siły wzajemnego oddziaływania klocków istotnie speł- niają zależność F1 = −F2. Przykład ten pokazuje, że III zasada dynamiki jest, przynajmniej w niektórych przypadkach, konsekwencją II zasady.

Załóżmy teraz, że ciało umocowane na lince porusza się po okręgu (rys.

2.14b). Siła Fd nadaje ciału przyspieszenie dośrodkowe; nazywamy ją siłą dośrodkową. Natomiast ciało działa na punkt A zamocowania linki siłą Fo, skierowaną na zewnątrz okręgu, zwaną siłą odśrodkową, przy czym Fo =

−Fd.

2.3.4 Pęd ciała. Zasada zachowania pędu

Podaną poprzednio II zasadę dynamiki Newtona można sformułować w innej postaci. Ponieważ przyspieszenie ciała wyraża się wzorem

a= dv

dt, (2.59)

więc

F = ma = mdv dt = d

dt(mv) . (2.60)

Rysunek 2.15:

Wielkość mv nazywa się pędem p ciała (rys. 2.15a),

p= mv . (2.61)

Wymiarem pędu jest [p] = kg·m/s. II zasadę dynamiki możemy więc wyrazić wzorem:

F = dp

dt . (2.62)

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, F = 0, to dp/dt = 0 i p = const. Pęd ciała pozostaje wówczas stały. Jest to inne sformułowanie I zasady dynamiki, zwane zasadą zachowania pędu.

Wykażemy teraz, że z II i III zasady dynamiki wynika ogólniejsze prawo zachowania pędu układu ciał (punktów materialnych). Rozpatrzmy układ dwóch wzajemnie oddziałujących ciał, na które nie działają siły zewnętrzne (rys. 2.15b). Równania II zasady dynamiki dla obu ciał mają postać:

F₁= dp₁

dt , (2.63)

F₂= dp₂

dt . (2.64)

Dodając te równania otrzymujemy F₁+ F₂= d

dt(p₁+ p₂) . (2.65) Ale, zgodnie z III zasadą dynamiki, F₁+ F₂ = 0. Zatem

d

dt(p₁+ p₂) = 0. (2.66)

Z ostatniego równania wynika, że całkowity pęd p układu dwóch ciał, będący sumą wektorową ich pędów, pozostaje stały,

p= p₁+ p₂ = const . (2.67) Wynik ten łatwo jest uogólnić na przypadek dowolnej liczby ciał. Układ ciał, na które nie działają żadne siły zewnętrzne albo siły zewnętrzne dzia- łające na każde z ciał równoważą się, nazywamy układem odosobnionym lub izolowanym. Zasadę zachowania pędu można więc ostatecznie sformułować jak następuje.

Całkowity pęd odosobnionego układu ciał pozostaje stały, t.j.

nie zmienia się z upływem czasu.

Zasadę zachowania pędu stosuje się przy badaniu wielu zjawisk, np. zderzeń ciał oraz zderzeń, produkcji i rozpadu cząstek elementarnych.

2.3.5 Praca i moc. Energia kinetyczna

Pod wpływem działania siły zwykle zachodzi przemieszczenie ciała. Mówimy wówczas, że siła wykonuje pracę. Jeżeli siła działająca na ciało ma stałą wartość a ciało przemieszcza się wzdłuż prostego odcinka drogi, pracę W określa się jako iloczyn składowej Ft siły w kierunku przesunięcia ciała i przebytej przez nie drogi s (rys. 2.16),

W = F_ts. (2.68)

Rysunek 2.16:

p h

h h

p

p

Rysunek 2.17:

Ponieważ składowa siły

Ft = F cos α, (2.69)

pracę można wyrazić wzorem

W = F s cos α (2.70)

lub, korzystając z definicji iloczynu skalarnego, wzorem

W = F · s . (2.71)

Jednostką siły jest dżul (J). Jak wynika z powyższych wzorów, wymiarem pracy jest [W ] = J = N·m = kg·m²/s².

Zależnie od wartości kąta między kierunkiem działania siły a kierunkiem przesunięcia ciała praca może mieć znak dodatni, ujemny lub być równa zeru. Przykładowo, dla przypadków przedstawionych na rys. 2.17a, b, c, praca siły ciężkości P wynosi odpowiednio

W = P h cos (0) = P h,

W = P h cos (π) = −P h, (2.72)

W = P h cos (π/2) = 0.

Podamy teraz ogólną definicję pracy dla przypadku ruchu ciała po torze krzywoliniowym i dowolnej zależności siły od położenia ciała (rys. 2.18). Aby obliczyć pracę, dzielimy drogę na dużą liczbę małych odcinków ∆si(i = 1, 2, . . . , n). Na każdym z odcinków działającą siłę Fi można uważać za stałą. Praca ∆Wi, wykonana na pojedynczym odcinku, wynosi

∆Wi ≈ Fi· ∆si. (2.73)

Rysunek 2.18:

Praca W , wykonana przez daną siłę przy przesunięciu ciała z punktu r1 do punktu r2, jest więc w przybliżeniu równa

W ≈ Xn

i=1

∆Wi= Xn

i=1

F_i· ∆si. (2.74) Aby wyznaczyć dokładną wartość pracy, należy znaleźć granicę tej sumy przy liczbie odcinków n → ∞ i długości każdego z odcinków ∆si → 0 (i = 1, 2, . . . , n). Granicę powyższej sumy nazywamy całką krzywoliniową z siły F po danej drodze:

n→∞lim Xn

i=1

Fi· ∆sⁱ=^{Z r2}

r¹

F·ds. (2.75)

W ogólnym przypadku praca jest zatem określona całką krzywoliniową W =

Z _r2

r¹

F·ds . (2.76)

Ostatnie wyrażenie można też zapisać w postaci zwykłej całki ze skła- dowej Ft siły, stycznej do toru ciała:

W = Z _s2

s1

Ftds. (2.77)

Zgodnie z geometryczną interpretacją całki oznaczonej, praca W na drodze s₂− s1 odpowiada polu powierzchni pod krzywą Ft(s), ograniczoną piono- wymi prostymi o odciętych s1 i s2 (rys. 2.19).

W

s₁ s₂

0 F_t

s

Rysunek 2.19:

1

2 m

W

F

F

v

d s

v

Rysunek 2.20:

W wielu przypadkach istotny jest czas, w jakim została wykonana dana praca. Ma to m.in. znaczenie w przypadku urządzeń mechanicznych, zwłasz- cza silników. Średnia moc P_śr jest równa stosunkowi pracy do czasu, w któ- rym została ona wykonana,

P_śr= W

t . (2.78)

Jednostką mocy jest wat (W), przy czym wymiar mocy [P ] = W = J/s.

Wat jest to moc urządzenia, które w czasie jednej sekundy wykonuje pracę jednego dżula. Jeżeli praca zmienia się w czasie, chwilową moc P definiujemy

wzorem

P = dW

dt . (2.79)

Gdy na ciało działa siła, zgodnie z II zasadą dynamiki jego prędkość zmienia się. Obliczymy teraz pracę, potrzebną do nadania ciału o masie m i szybkości początkowej v₁ końcowej szybkości v₂ (rys. 2.20). Zgodnie ze wzorem (2.77) praca ta wyraża się całką:

W₁₋₂=^{Z s2}

s1

Ftds. (2.80)

Ale, jak wynika z II zasady dynamiki, siła styczna jest równa Ft = mat = mdv

dt, (2.81)

gdzie at jest przyspieszeniem stycznym ciała. Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego wzoru otrzymujemy:

W₁₋₂ =^{Z s2}

s1

mdv

dtds = m^{Z v2}

v1

ds

dtdv = m^{Z v2}

v1

vdv. (2.82) Ostatnia całka jest łatwa do obliczenia:

Z v2

v1

vdv = v²₂ 2 −

v₁²

2 . (2.83)

Wobec tego, ze wzoru (2.82) dostajemy zależność W₁₋₂ = mv²₂

2 − mv₁²

2 . (2.84)

Wielkość

Ek= mv²

2 (2.85)

nazywamy energią kinetyczną ciała. Jednostka i wymiar energii kinetycznej są takie same, jak jednostka i wymiar pracy, [Ek] = J. Ze wzoru (2.84) wyni- ka więc, że wykonana praca jest jest równa przyrostowi energii kinetycznej ciała,

W₁₋₂ = E_k2− Ek1 , (2.86)

gdzie Ek1 i Ek2 oznaczają odpowiednio energię kinetyczną w punktach r1 i r₂.

Tak samo można pokazać, że jeżeli poruszające się ciało wykonuje pra- cę, jego energia kinetyczna maleje o wartość równą wykonanej pracy. Praca włożona na rozpędzenie ciała do danej szybkości jest w nim „zmagazyno- wana” i można ją odzyskać. W szczególności, ciało o szybkości v i masie m może wykonać pracę W = ^mv₂².

2.3.6 Energia potencjalna. Zasada zachowania energii me- chanicznej

Energia kinetyczna nie jest jedyną postacią energii, jaką może posiadać cia- ło. Jeżeli na ciało działają siły zewnętrzne (np. siła grawitacyjna), podczas ruchu siły te wykonują pracę. Ciało, na które oddziałują zewnętrzne siły, posiada więc pewną energię zwaną energią potencjalną.

Będziemy dalej zakładać, że siły działające na ciało zależą wyłącznie od jego położenia a nie od prędkości i czasu, F = F (r). Wprowadzimy teraz pojęcie sił zachowawczych (potencjalnych). Siły zewnętrzne nazywa- my zachowawczymi, jeżeli wykonana przez nie praca przy przesuwaniu ciała między dwoma punktami nie zależy od drogi, po której przemieszcza się cia- ło. W przeciwnym przypadku siły nazywamy niezachowawczymi. Warunek zachowawczości sił można wyrazić wzorem (por. rys. 2.21)

W_1−a−2= W_1−b−2= . . . , (2.87)

w którym W1−a−2 i W1−b−2 oznaczają pracę wykonaną na dwóch różnych drogach.

Definicję sił zachowawczych można sformułować inaczej. Łatwo stwier- dzić, że przy zmianie kierunku ruchu ciała znak pracy zmienia się na prze- ciwny. W szczególności dla drogi „b” z rys. 2.21

W_1−b−2= −W2−b−1. (2.88)

Z poprzedniego wzoru otrzymujemy więc wyrażenie

W_1−a−2+ W_2−b−1= 0, (2.89)

a b

1

2 W_1-b-2

W_1-a-2

W_1-a-2 a

W_2-b-1 b

d s

d s'

F F

1

2

Rysunek 2.21:

1

2 3

4 x1 m

x2

P g h

O x

Rysunek 2.22:

przedstawiające pracę na zamkniętej drodze. Zatem dla sił zachowawczych praca wykonana na drodze zamkniętej jest równa zeru. Warunek ten ozna- cza, że całą włożoną pracę na przemieszczanie ciała można w przypadku sił zachowawczych odzyskać. Można zapisać go też w postaci

W = I

C

F · ds = 0 , (2.90)

gdzie kółko przy sybolu całki oznacza całkowanie po zamkniętej drodze a C oznacza dowolną krzywą zamkniętą. Siły, które zależą od prędkości ciała są najczęściej niezachowacze. Należą do nich siły oporu ośrodka (zależne od prędkości) i siły tarcia, mające kierunek przeciwny do kierunku ruchu.

Sprawdzimy teraz w szczególnym przypadku drogi pokazanej na rys.

2.22, że siły ciężkości na niewielkiej wysokości nad powierzchnią Ziemi są zachowawcze. Praca wykonana na całej drodze wynosi mianowicie

W = W₁₋₂+ W₂₋₃+ W₃₋₄+ W₄₋₁ (2.91)

= P h + 0 − P h + 0 = 0. (2.92)

W przypadku sił zachowawczych wykonana praca zależy wyłącznie od położenia początkowego i końcowego punktu, między którymi przemieszcza się ciało. Pracę można wówczas wyrazić jako

W₁₋₂ = Ep(r₁) − Ep(r₂) , (2.93)

Rysunek 2.23:

gdzie funkcję Ep(r) nazywamy energią potencjalną ciała w punkcie r. Jej konkretna postać zależy od rodzaju działających sił. Należy zauważyć, że do energii potencjalnej można zawsze dodać dowolną stałą, ponieważ w ostat- nim wzorze występuje różnica energii potencjalnych w dwóch punktach. Jed- nostką energii potencjalnej jest, tak samo jak jednostką pracy i energii ki- netycznej, dżul, [Ep] = J.

Dla siły grawitacyjnej (rys. 2.22) wykonana przez nią praca przy spada- niu ciała jest równa

W₁₋₂ = P h = mg(x₁− x2). (2.94) Ponieważ, zgodnie z przedostatnim wzorem

W₁₋₂= E_p1− Ep2, (2.95)

widać, że energia potencjalna ciała jest określona wyrażeniem

Ep = mgx . (2.96)

Ustalimy obecnie związek między siłą i energią potencjalną w danym punkcie. Jeżeli ciało przesuwa się w kierunku zgodnym z kierunkiem działa- nia siły o b. mały odcinek ∆s (rys. 2.23), wykonaną pracę możemy zapisać jako:

∆W₁₋₂ = F ∆s, (2.97)

∆W₁₋₂ = E_p1− Ep2 = −∆Ep (2.98) Znak minus przed ostatnim wyrazem we wzorze (2.98) wynika stąd, że wiel- kość ∆Ep określamy jako różnicę energii potencjalnej ciała w punktach 2 i 1. Porównując oba wzory otrzymujemy

F = −∆Ep

∆s , (2.99)

albo, po przejściu do granicy ∆s → 0, F = −dEp

ds . (2.100)

F V₂ V₁

1

m

2 W_1-2 E_k1, E_p1

E_k2, E_p2

Rysunek 2.24:

Otrzymany wzór można sprawdzić w przypadku energii potencjalnej sił gra- witacyjnych (2.96). Mamy wówczas

P = −dEp

dx = −d(mgx)

dx = −mg. (2.101)

Znak minus oznacza, że kierunek siły jest przeciwny do kierunku osi x (por.

rys. 2.22).

Pokażemy teraz, że suma energii kinetycznej i potencjalnej ciała poru- szającego się pod wpływem sił zachowawczych nie zmienia się w czasie (rys.

2.24). Zgodnie z definicją energii potencjalnej siły zewnętrzne wykonują pra- cę

W₁₋₂= Ep1− Ep2. (2.102) Praca ta powoduje przyrost energii kinetycznej ciała

W₁₋₂ = E_k2− Ek1. (2.103) Porównując oba wzory otrzymujemy związek

E_k1+ E_p1 = E_k2+ E_p2. (2.104) Sumę E energii kinetycznej i potencjalnej ciała nazywamy jego całkowitą energią mechaniczną. W przypadku sił zachowawczych całkowita energia ciała pozostaje więc stała,

E = Ek+ Ep = const . (2.105) Prawo to nazywamy zasadą zachowania energii mechanicznej.

Dotychczs rozpatrywaliśmy ruch pojedynczego ciała pod wpływem sił zachowawczych. Przy pewnych założeniach można wykazać, że zasada zacho- wania energii stosuje się w ogólniejszym przypadku odosobnionego układu ciał, oddziałujących siłami zachowawczymi. Przykładowo, dla układu dwóch ciał ich energia kinetyczna i potencjalna może zmieniać się w czasie. Zacho- dzi jednak zależność

E = E_k1+ E_k2+ Ep12= const, (2.106) gdzie E_k1 i E_k2 oznaczają energie kinetyczne obu ciał a E_p12 — energię potencjalną ich wzajemnego oddziaływania. Zasadę zachowania energii me- chanicznej można więc ostatecznie sformułować jak następuje.

Całkowita energia mechaniczna odosobnionego układu ciał, od- działujących ze sobą siłami zachowawczymi, pozostaje stała.

W przypadku sił niezachowawczych, takich jak tarcie lub opór ośrodka, całkowita energia mechaniczna ciała bądź układu ciał maleje w czasie. Za- chodzi wówczas przemiana energii mechanicznej w inną postać energii — w energię cieplną.

2.4 Dynamika ruchu obrotowego ciała sztywnego

2.4.1 Moment siły i moment bezwładności. I i II zasada dy- namiki dla ruchu obrotowego

W tym podrozdziale będziemy rozpatrywać wyłącznie sytuację, w której oś obrotu ciała sztywnego zachowuje ustalony kierunek w przestrzeni, np. dzięki jej odpowiedniemu zamocowaniu (rys. 2.25a). Będziemy też zwykle zakładać, że oś obrotu ciała jest jego osią symetrii. W przeciwnym przypadku niektóre z podanych dalej wzorów przyjmują bardziej złożoną postać.

Pod wpływem przyłożonej do ciała siły jego prędkość kątowa zmienia się.

Jak pokazuje doświadczenie, zmiana prędkości kątowej zależy nie tylko od wartości siły, ale również od jej kierunku względem osi obrotu i od punktu zaczepienia. Rozpatrzymy bliżej tę zależność. Dowolną siłę Fc, przyłożoną do danego punktu ciała, można rozłożyć na składową Fp równoległą do osi obrotu i składową F prostopadłą do osi obrotu (rys. 2.25a). Siła Fpnie może wywołać ruchu obrotowego ciała. Wystarczy więc rozpatrzyć przypadek, gdy ciało obraca się pod wpływem siły F . Siłę F można z kolei rozłożyć na składową styczną Ft i normalną Fndo toru wybranego punktu (rys. 2.25b).

Ponieważ siła Fn również nie może powodować ruch obrotowego, wystarczy dalej rozpatrzyć działanie siły Ft.

Rysunek 2.25:

Zgodnie z doświadczeniem, pod wpływem stałej siły stycznej ciało sztyw- ne obraca się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Przyspieszenie kątowe ciała jest przy tym proporcjonalne do wartości siły stycznej Ft i odległości r jej punktu przyłożenia, zwanej ramieniem siły, od osi obrotu (rys. 2.25b):

ε ∼ rF^t. (2.107)

Wielkość rFt nazywamy momentem siły Ft względem danego punktu,

M = rF_t. (2.108)

Moment siły jest odpowiednikiem siły w ruchu postępowym ciała. Wymia- rem momentu siły jest [M] = N·m.

Ponieważ wartość siły stycznej Ft można zapisać jako

Ft = F sin α, (2.109)

gdzie α jest kątem między wektorami r i F (rys. 2.25b), moment siły wyraża się wzorem

M = rF sin α. (2.110)

Moment siły można więc uważać za wektor, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem osi obrotu a zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej (rys.

2.26a),

Rysunek 2.26:

M = r × F . (2.111)

Gdy na ciało sztywne działa większa liczba sił F_k o ramionach równych odpowiednio rk (k = 1, 2, . . . , l), wypadkowy moment sił jest równy sumie momentów poszczególnych sił,

M =

Xl

k=1

M_k= Xl

k=1

(rk× Fk) . (2.112)

Jeżeli wypadkowy moment siły jest równy zeru, prędkość kątowa ciała nie zmienia się. I zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego można więc sformułować jak następuje.

Jeżeli na ciało sztywne nie działają żadne siły lub wypadkowy moment wszystkich sił jest równy zeru, ciało pozostaje w spo- czynku lub obraca się ruchem jednostajnym.

Ustalimy teraz związek między momentem siły M działającym na cia- ło sztywne a przyspieszeniem kątowym ε ciała. Ciało o masie m można w przybliżeniu uważać za zbiór dużej liczby n punktów materialnych o masach mi (i = 1, 2, . . . , n), przy czym m = ^Pn_i=1mi. Przyłożenie zewnętrznego momentu siły do ciała powoduje, w wyniku wzajemnego oddziaływania je- go cząsteczek, wytworzenie sił wewnętrznych działających na poszczególne cząsteczki. Oznaczymy składową styczną siły działającej na punkt o masie m_i, odległy od osi obrotu o ri, jako Fti(rys. 2.26b). Korzystając z II zasady

dynamiki Newtona dla punktu materialnego, można napisać:

F_ti = mia_ti. (2.113)

Moment siły działający na punkt materialny o numerze i jest więc równy Mi = riFti= rimiati. (2.114) Korzystając ze związku ati= εri można poprzedni wzór zapisać w postaci

Mi = mir_i²ε. (2.115)

Suma momentów sił, działających na poszczególne punkty ciała, powinna być równa zewnętrznemu momentowi siły, wywołującemu ruch obrotowy,

M = Xn

i=1

Mi. (2.116)

Z dwóch ostatnich wzorów otrzymujemy zależność M =

Xn

i=1

mir_i²ε = Xn

i=1

mir_i²

!

ε. (2.117)

Wyrażenie w nawiasie jest zwane momentem bezwładności I ciała,

I = Xn

i=1

mir²_i , (2.118)

przy czym wymiarem momentu bezwładności jest [I] = kg·m². W rezultacie otrzymujemy wzór, stanowiący II zasadę dynamiki w ruchu obrotowym,

M = Iε. (2.119)

Ponieważ wektory M i ε są równoległe i mają ten sam zwrot, ostatni wzór można zapisać ogólniej jako

M = Iε . (2.120)

Słownie II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego można sformułować na- stepująco.

Przyspieszenie kątowe, jakie uzyskuje ciało sztywne w ruch obro- towym jest wprost proporcjonalne do momentu siły działającego na ciało i odwrotnie proporcjonalne do jego momentu bezwład- ności.

l m

l/2 l/2

m m

R

R m

a) b) c) d)

Rysunek 2.27:

Jest oczywiste, że I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem II zasady. Jeżeli bowiem moment siły M = 0, to przyspieszenie kątowe ε = 0 i prędkość kątowa ω = const.

Dla ruchu obrotowego moment bezwładności można uważać za odpo- wiednik masy. Zależy on jednak nie tylko od masy ciała ale i od odległości jego poszczególnych fragmentów od osi obrotu. Wzór (2.118), definiujący moment bezwładności jest ścisły jedynie dla skończonego układu punktów materialnych. W przypadku ciągłego rozkładu masy moment bezwładności ciała określa całka objętościowa

I = Z

V

r²dm, (2.121)

gdzie V oznacza objętość ciała. Nie będzięmy tutaj objaśniać sensu tego wzoru. Wzory przedstawiające momenty bezwładności kilku ciał o prostych kształtach (patrz rys. 2.27), obliczone na podstawie wzoru (2.121), zamiesz- czono w tabelce:

Ciało Moment bezwł.

a) pręt I = ¹₃ml² b) pręt I = ₁₂¹ml² c) walec I = ¹₂mR² d) kula I = ²₅mR²

W praktyce duże znaczenie ma twierdzenie Steinera, zwane też twier- dzeniem o osiach równoległych. Podamy je tutaj bez dowodu. Jeżeli Ic jest momentem bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek ciężkości ciała o masie m a I — momentem bezwładności względem osi równoległej do poprzedniej (rys. 2.28) i odległej od niej o a, to

m c a

I

I

Rysunek 2.28:

I = I_c+ ma². (2.122)

Wynika stąd, że moment bezwładności liczony względem osi przechodzącej przez środek ciężkości ma najmniejszą wartość w porównaniu z momentami bezwładności obliczanymi względem innych równoległych osi.

2.4.2 Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu. En- ergia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym

Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego,

M = Iε, (2.123)

można wyrazić w innej postaci. Ponieważ przyspieszenie kątowe określa wzór ε= dω

dt, (2.124)

więc

M = Idω

dt = d (Iω)

dt (2.125)

Wielkość Iω nazywamy momentem pędu L ciała sztywnego (rys. 2.29a),

L= Iω . (2.126)

Rysunek 2.29:

Wymiarem momentu pędu jest [L] = kg·m²/s. II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego można więc zapisać jako

M = dL

dt . (2.127)

Istnieje inna, równoważna definicja momentu pędu ciała. Moment pędu pojedynczego punktu ciała o masie mi, odległego od osi obrotu o ri, jest dany wzorem (rys. 2.29b)

L_i = ri× pi. (2.128)

Moment pędu ciała sztywnego jest więc równy L=

Xn

i=1

(ri× pi) . (2.129)

Wartość momentu pędu wynosi L =

Xn

i=1

ripi= Xn

i=1

rimivi. (2.130) Ponieważ zachodzi związek vi = ωir_i, otrzymujemy stąd wzór

L = Xn i=1

mir²_iω = Xn i=1

mir²_i

!

ω = Iω, (2.131)

L₁

L₂

L

Rysunek 2.30:

zgodny ze wzorem (2.126).

Z II zasady dynamiki wynika, że gdy działający na ciało moment si- ły M = 0, to dL/dt = 0 i moment pędu ciała L = const. Jest to inna postać I zasady dynamiki dla ruchu obrotowego, zwana zasadą zachowania momentu pędu. Analogicznie jak w przypadku ruchu postępowego, zasadę zachowania momentu pędu można uogólnić na przypadek układu wielu ciał.

Jako przykład rozpatrzmy dwa współosiowe, obracające się krążki, które w pewnej chwili łączą się ze sobą (rys. 2.30). Dla każdego z krążków zachodzi zależność

M₁= dL₁

dt , (2.132)

M₂= dL2

dt , (2.133)

skąd otrzymujemy

M₁+ M₂= d

dt(L₁+ L₂) . (2.134) Z III zasady dynamiki wynika, że wypadkowe momenty sił działające na krążki przy ich zetknięciu mają równe wartości i przeciwne zwroty. Zatem

M₁+ M2 = 0 (2.135)

i całkowity moment pędu L krążków nie zmienia się,

L= L₁+ L₂ = const . (2.136) W rozważanym przez nas przypadku obrotu ciał względem ustalonej osi zasadę zachowania momentu pędu można sformułować jak następuje:

Rysunek 2.31:

Jeżeli na układ ciał nie działają żadne momenty sił zewnętrznych lub wypadkowe momenty sił zewnętrznych, działające na każde z ciał, są równe zeru, to całkowity moment pędu układu ciał pozostaje stały.

Znajdziemy teraz wzór, określający energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego. Jak poprzednio przyjmiemy, że ciało składa się z dużej licz- by punktów materialnych o masach mi (i = 1, 2, . . . , n) (rys. 2.31). Energia kinetyczna i-tego punktu wynosi

E_ki= miv²_i

2 . (2.137)

Ponieważ szybkość vi = ωri, więc

E_ki = m_ir²_iω²

2 (2.138)

Całkowita energia kinetyczna ciała jest równa Ek=

Xn

i=1

Eki= Xn

i=1

m_ir_i²ω²

2 = 1

2 Xn

i=1

mir²_i

!

ω² (2.139) czyli

E_k= Iω²

2 . (2.140)

Rozpatrywane w podrozdziałach 2.3.5 i 2.3.6 zależności między pracą i ener- gią kinetyczną i zasada zachowania energii mechanicznej stosują się również do energii kinetycznej ruch obrotowego.

Zestawiając wzory opisujące ruch postępowy i obrotowy ciała można zauważyć analogie między poszczególnymi wielkościami fizycznymi:

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Wielkość Ozn. Wielkość Ozn.

droga x droga kątowa ϕ

prędkość v prędkość kątowa ω

przyspieszenie a przyspieszenie kątowe ε

siła F moment siły M

masa m moment bezwładności I

pęd p moment pędu L

Umożliwiają one m.in. otrzymanie wzorów dla ruchu obrotowego ze wzorów dla ruchu postępowego. Rozpatrzmy przykładowo II zasadę dynamiki. Dla punktu materialnego mamy wzór F = ma. Zamieniając poszczególne wiel- kości, F → M, m → I, a → ε, otrzymujemy wzór M = Iε, odnoszący się do ruchu obrotowego ciała sztywnego.

2.5 Ruch drgający

2.5.1 Ruch harmoniczny prosty

Ruchem drgającym (drganiami) nazywamy ruch, który cechuje okresowość (powtarzalność) w czasie. Szczególną formą ruchu drgającego jest ruch har- moniczny prosty. Zachodzi on wówczas, gdy siła działająca na ciało jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi i prze- ciwnie skierowana,

F = −kx. (2.141)

Współczynnik k o wymiarze [k] = N/m jest nazywany współczynnikiem sprężystości (quasi-sprężystości). Przykładami ruchu harmonicznego są drg- ania ciężarka zamocowanego na sprężynie i drgania wahadła matematyczne- go dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi (rys. 2.32). Można udo- wodnić, że dla dostatecznie małego wychylenia x ciała z położenia równowa- gi trwałej siła F działająca na ciało jest zawsze liniową funkcją wychylenia (por. rys. 2.33). Tłumaczy to częste występowanie ruchu harmonicznego w przyrodzie i technice.

Znajdziemy teraz zależność wychylenia ciała od czasu w ruchu harmo- nicznym prostym. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruch ten opisuje równanie różniczkowe (por. wzór (2.52))

md²x

dt² = F, (2.142)

m x m F x F

g

Rysunek 2.32:

O F

x

-kx

Rysunek 2.33:

w którym siła F jest określona wzorem (2.141). Równanie różniczkowe ruchu harmonicznego prostego ma więc postać

md²x

dt² = −kx. (2.143)

Wprowadzając oznaczenie

ω²₀ = k

m (2.144)

można po prostych przekształceniach zapisać poprzednie równanie jako d²x

dt² + ω₀²x = 0. (2.145)

Pokażemy teraz, że rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego ma postać

x = A cos (ω₀t + ϕ₀) , (2.146) gdzie A i ϕ₀są stałymi. Obliczając kolejno pierwszą i drugą pochodną funkcji x(t) otrzymujemy

dx

dt = v = −ω0A sin (ω0t + ϕ0) , (2.147) d²x

dt² = a = −ω²0A cos (ω₀t + ϕ₀) = −ω²0x. (2.148) Podstawiając ostatnie wyrażenie do równania (2.145) stwierdzamy, że jest ono zawsze spełnione:

−ω0²x + ω²₀x = 0. (2.149) Jest oczywiste, że wzór (2.146) opisuje ruch drgający ciała. Wyjaśnimy teraz znaczenie poszczególnych wielkości w tym wzorze (patrz rys. 2.34).

Wielkość A jest, jak łatwo stwierdzić, bezwzględną wartością maksymalne- go wychylenia ciała z położenia równowagi; nazywamy ją amplitudą drgań.

Stała ϕ0, zwana początkową fazą drgań, określa wychylenie ciała w chwili początkowej, t = 0:

x(0) = A cos ϕ₀. (2.150)

Ogólnie, argument funkcji trygonometrycznych w podanych wzorach,

ϕ = ω₀t + ϕ₀, (2.151)

nazywamy fazą drgań.

Znajdziemy teraz okres T drgań harmonicznych, t.j. najmniejszy czas, dla którego wychylenie x(t+T ) = x(t). Okres T odpowiada przyrostowi fazy drgań o wartość równą okresowi funkcji cosinus, wynoszącemu 2π. Zatem

ω₀(t + T ) + ϕ₀ = ω₀t + ϕ₀+ 2π, (2.152) skąd otrzymujemy

T = 2π

ω₀. (2.153)

Rysunek 2.34:

Ponieważ, zgodnie ze wzorem (2.144), wielkość

ω₀= s

k

m , (2.154)

okres drgań harmonicznych jest dany wzorem

T = 2π rm

k . (2.155)

Częstość drgań harmonicznych ν definiujemy jako liczbę pełnych drgań w jednostce czasu, równą odwrotności okresu drgań,

ν = 1

T. (2.156)

Wielkość ω0 nazywamy natomiast częstością kątową (kołową) drgań harmo- nicznych. Zgodnie z wzorami (2.153) i (2.156)

ω₀= 2π

T = 2πν. (2.157)

Wzór (2.157) sugeruje istnienie związku między ruchem harmonicznym a ruchem obrotowym (por. z odpowiednimi wzorami w podrozdziale 2.2.2).

Związek ten wyjaśnia rysunek 2.35. Jak wynika z rysunku rzut punktu ciała, obracającego się z prędkością kątową ω₀, na oś Ox układu współrzędnych porusza się ruchem harmonicznym, zgodnie z równaniem (2.146).

Rysunek 2.35:

Jako przykład zastosowania wzoru (2.155) wyprowadzimy wzór, określa- jący okres drgań wahadła matematycznego (rys. 2.36). Siłę F , działającą na punkt materialny i jego wychylenie z położenia równowagi określają wzory

F = −P tg α = −mg tg α, (2.158)

x = l sin α. (2.159)

Ponieważ dla małych kątów sin α ≈ tg α, siła F jest wówczas proporcjonalna do wychylenia x,

F ≈ −mg

l x (2.160)

i wahadło porusza się ruchem harmonicznym. Porównując ten wzór ze wzo- rem (2.141) znajdujemy współczynnik quasi-sprężystości k dla wahadła ma- tematycznego,

k = mg

l . (2.161)

Podstawiając to wyrażenie do wzoru (2.155) otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła:

T = 2π sl

g . (2.162)

Rysunek 2.36:

Rozpatrzymy jeszcze zależności energetyczne w ruchu harmonicznym.

Znajdziemy najpierw wzór, określający energię potencjalną ciała. Korzysta- jąc ze wzorów (2.77) i (2.141) otrzymujemy na pracę W1−2 siły F wyrażenie

W₁₋₂ =^{Z x2}

x1

F dx = − Z x2

x1

kxdx = kx²₁ 2 −

kx²₂

2 . (2.163) Ponieważ zachodzi związek

W₁₋₂= Ep1− Ep2, (2.164) więc energia potencjalna jest dana wzorem

Ep= kx²

2 . (2.165)

Korzystając teraz ze wzorów (2.144) i (2.147) – (2.148) dostajemy wzory Ek= mv²

2 = mω²₀A²

2 sin²(ω0t + ϕ0) , (2.166) Ep = kx²

2 = mω₀²A²

2 cos²(ω0t + ϕ0) . (2.167) Jak widać, w ruchu harmonicznym zachodzą ciągłe przemiany energii ki- netycznej ciała w energię potencjalną i na odwrót. Pokazuje to rys. 2.37,

A

-A 0 x

E

Ek

Ep

Rysunek 2.37:

na którym przedstawiono zależności obu energii od wychylenia ciała x. W punktach, w których wychylenie ciała jest maksymalne energia potencjalna ma maksymalną wartość a energia kinetyczna jest równa zeru. W położe- niu równowagi ciała zachodzi odwrotna sytuacja. Całkowita energia ciała w ruchu harmonicznym jest, zgodnie z zasadą zachowania energii, stała:

E = Ek+ Ep = mω₀²A² 2

hsin²(ω₀t + ϕ₀) + cos²(ω₀t + ϕ₀)ⁱ, (2.168)

E = mω²₀A²

2 . (2.169)

Jest ona proporcjonalna do kwadratu częstości drgań i do kwadratu ampli- tudy.

2.5.2 Ruch harmoniczny tłumiony

Przy opisie ruchu harmonicznego prostego zostały pominięte siły oporu ośrodka. W konsekwencji całkowita energia ciała, wykonującego ruch drga- jący nie zmieniała się w czasie. Zwykle jednak sił oporu ośrodka nie można zaniedbać. Energia drgającego ciała ulega wówczas rozproszeniu i amplitu- da drgań maleje z czasem. Takie drgania nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym.

Podczas ruchu harmonicznego tłumionego na ciało działa, oprócz siły sprężystości (quasi-sprężystości),

F_s = −kx, (2.170)