działanie, przyczynę ruchu, moc.

1

Wykład 4

Wrocław University of Technology 5-XI-2011

Praca

Kto wykonał większą pracę?

Hossein Rezazadeh

Olimpiada w Atenach 2004 WR

Paul Anderson Rekord Guinnessa 1957

3

Energia – wielkość skalarna opisująca stan w jakim się w danym momencie znajduje jedno lub wiele ciał.

Termin energia pochodzi od greckiego słowa „energeia” uŜywanego juŜ przez Arystotelesa i w róŜnych tłumaczeniach oznacza

działanie, przyczynę ruchu, moc.

A jak naleŜy rozumieć słowo energia w języku fizyki?

Słownik wyrazów obcych PWN: „… wielkość fizyczna określająca zdolność ciała lub układu ciał do wykonywania pracy przy

przejściu z jednego stanu do drugiego”

Energia kinetyczna

Energię kinetyczną E

ciała o masie m, poruszającego się z prędkością o wartości v, znacznie mniejszej od prędkości światła, definiujemy jako:

2

2

1 mv E

=

Jednostką energii kinetycznej (i kaŜdego innego rodzaju energii) w układzie SI jest dŜul (J).

Nazwa ta pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego uczonego angielskiego, Jamesa Prescotta Joule'a.

James Prescott Joule 2

2

1 s

kg m

J = ⋅

5

ustawił dwie lokomotywy naprzeciwko siebie, na końcach toru o długości 6.4km. Zablokował dźwignie w połoŜeniu pełnego gazu i pozwolił

rozpędzonym lokomotywom zderzyć się ze sobą czołowo. Wyznacz łączną energię kinetyczną lokomotyw tuŜ przed zderzeniem zakładając, Ŝe kaŜda z nich miała cięŜar równy 1.2

10

N, a przyspieszenia obydwu lokomotyw wzdłuŜ toru były stałe i wynosiły 0.26 m/s

.

przed po

Energia kinetyczna

Przyspieszenie kaŜdej z lokomotyw było stałe, więc do obliczenia jej prędkości v tuŜ przed zderzeniem moŜemy zastosować wzór:

( )

s m v

x x

a v

v

/ 8 . 40

2

2 0 2

=

− +

=

( ^kg ) ^{( m s ) J}

mv

E

1 . 22 10

40 . 8 / 2 10

2

2 1  = ⋅ ⋅ = ⋅



 



= 

Energia wybuchu trotylu:

E

≈ 51kg trotylu

kg J

E

= 3 . 9 ⋅ 10

/

7

Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna.

F r

α

∆ r

α

cos r

F r

F

W = ∆ r = ⋅ ∆ o

r

Praca

Jeśli siła jest funkcją połoŜenia, tzn. F = F(r) to całkowite przemieszczenie ciała rozkładamy na n odcinków, tak aby w kaŜdym z nich siłę moŜna

uwaŜać za stałą. Wówczas praca całkowita wykonana przez siłę F(r) przy przesunięciu ciała z punktu 1 do punktu 2, których połoŜenia są dane przez promienie wodzące r

i r

, wynosi:

( )

( ) ( )

∫ ( )

∑ ∫

∑

⋅

=

⋅

=

∆

⋅

=

∆

⋅

=

→

→ =

∆

=

2

2

1 1

0

1

lim

) 2 1

(

r n

i

r

r i

r i

i n

i

i

r d r

F W

r d r

F r

r F

r r

F W

i

r r r

r r r

r r

r

r r

9

∑ ^{⋅ ∆}

=

F r

W r r

F r

r r

r r F

r

∆ r dr

∫

= F d r

W r r

Praca

Jeśli , tzn. kąt między kierunkiem F i dr jest mniejszy od 90

, to wówczas W>0, czyli praca wykonana przez siłę F jest dodatnia.

Przykładem takiej sytuacji jest praca wykonana przez siły grawitacji podczas swobodnego spadku ciała. Jeśli natomiast , tzn.

kąt między F i dr jest większy od 90

, to praca siły F jest ujemna.

Przykładem takich sił są siły oporu ruchu.

Jednostka pracy: dŜul.

0 )

,

cos( F r d r r >

0 ) ,

cos( F r d r r <

m s N

kg m

J 1 1 1 1

1

2

= ⋅

⋅

=

11

Gdy na ciało działa wektor siły

k F j

F i

F

F r =

ˆ +

ˆ +

ˆ

w wyniku której cząstka doznaje niewielkiego przesunięcia

k dz j

dy i

dx r

d r = ˆ + ˆ + ˆ

praca wynosi

dz F dy

F dx

F r

d F

W = r ⋅ r =

+

+

Całkowita praca z punktu pocz do punktu kon

∫

∫

∫

∫ ^{⋅ = + +}

=

pocz kon

pocz kon

pocz kon

pocz

r

r

z r

r

y r

r

x r

r

dz F dy

F dx

F r

d F

W r r

Praca a energia kinetyczna

d ma

mv

mv

−

=

⋅ 2

1 2

1

F r

α

v r

v r

d r

d a

v

v

r r

⋅ +

=

2

2 x

y

d F

E

E − = ⋅

13

PoniewaŜ d r = v dt więc

( ) ∫ ( )

∫ ^{⋅ = ⋅}

=

1 2

1

t

t r

r

dt v r

F r

d r

F

W r r r r r r

Jeśli załoŜymy, Ŝe masa ciała jest stała, to wtedy

dt v m d

a m F

r r r = ⋅ =

2 2

2

2 1 2

2

2 ²

1 2

1

m v m v

m v v

d v m W

v

v v

v

−

 =





 

= 

⋅

= ∫

v

v

r r

Gdzie v

i v

są prędkościami ciała odpowiednio w punkcie 1 i 2.

Praca a energia kinetyczna

Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej nad tym ciałem:

W E

E

E

=

−

=

∆

ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ CZĄSTKI

CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ

=

Związek ten moŜna zapisać inaczej

W E

E

=

+

ENERGIA

KINETYCZNEJ PO

WYKONANIU PRACY

=

ENERGIA

KINETYCZNEJ PRZED WYKONANIEM PRACY

CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD

CZĄSTKĄ

+

15

JeŜeli w przedziale czasu ∆t została wykonana praca ∆W, to średnia moc P jest określana

t P W

∆

= ∆

Mocą chwilową nazywamy granicę do jakiej zmierza moc średnia gdy ∆t = 0

dt dW t

P W

t

=

∆

= ∆

→

∆

lim

Moc chwilowa jest więc pochodną pracy względem czasu.

Moc

v dt F

dr F

dt

P = dW = ⋅ = ⋅

W zapisie wektorowym

v F P r r

⋅

=

Moc danej siły F jest proporcjonalna do prędkości v.

Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]. Moc jest równa

jednemu watowi, jeŜeli stała siła wykonuje pracę jednego dŜula w czasie jednej sekundy.

J 1 J

1 =

17

W E _p = −

∆

Definicja energii potencjalnej E

: jest to energia związana z konfiguracją (czyli ustawieniem) układu ciał, działających na siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguracja tych ciał, moŜe się równieŜ zmieniać energia potencjalna układu.

Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej ∆E

definiujemy — zarówno dla wznoszenia, jak i dla spadku ciała — jako pracę

wykonaną nad ciałem przez siłę cięŜkości, wziętą z przeciwnym znakiem. Oznaczając pracę — jak zwykle — symbolem W,

zapisujemy to stwierdzenie w postaci:

Siły zachowawcze i niezachowawcze

W sytuacji, gdy zawsze spełniony jest związek W

= — W

,

energia kinetyczna zamieniana jest na energię potencjalną, a siłę nazywamy siłą zachowawczą. Siła cięŜkości i siła spręŜystości są siłami zachowawczymi (gdyby tak nie było. nie moglibyśmy mówić o grawitacyjnej energii potencjalnej i energii potencjalnej

spręŜystości).

Siłę, która nie jest zachowawcza, nazywamy siłą niezachowawczą.

Siła tarcia kinetycznego i siła oporu są niezachowawcze.

19

2 po drodze A oraz B?

B

A

2

1

Jeśli praca przemieszczenia masy m między punktami A i B nie zaleŜy od drogi po której nastąpiło przemieszczenie to mówimy, Ŝe siła jest

zachowawcza, albo potencjalna.

Praca przemieszczenia masy m z punktu A po drodze 1 do punktu B i potem z punktu B po drodze 2 do punktu A wynosi zero.

Energia potencjalna

JeŜeli praca przemieszczenia masy m po drodze (krzywej) zamkniętej wynosi zero to mówimy, Ŝe siła jest zachowawcza, albo potencjalna.

MoŜemy zapisać pracę siły F(x,y) na drodze elementarnego przemieszczenia dr jako:

dW = F

dr

PoniewaŜ praca siły F(x,y) nie zaleŜy od drogi, a tylko od punktu startu i końca przemieszczenia to moŜna określić funkcję skalarną, zaleŜną tylko od

współrzędnych (x,y). Nazywamy ją energią potencjalną i określamy jej nieskończenie mały przyrost:

dU = - F

dr

Minus został wybrany ze względu na to, Ŝe ubytek energii potencjalnej jest równy wykonanej elementarnej pracy.

21

Przyrost funkcji U(x,y) moŜna wyrazić jako sumę przyrostów funkcji względem obydwu zmiennych niezaleŜnych x i y jako:

y dy dx U

x dU U

∂ + ∂

∂

= ∂

Pochodne U względem x i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy je tak, jakby druga zmienna była stałą przy liczeniu pochodnej cząstkowej po pierwszej zmiennej.

Z drugiej strony:

Grupując wyrazy z odpowiednimi przyrostami dx i dy otrzymamy:

( ) ^dy

y dx U

x dy U

F dx

F r

d F

dU

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅ +

⋅

−

=

−

= r

o r

0 y dy

F U x dx

F

U

 =





 



∂ + ∂ +

 

 





∂

+ ∂

22

Gradient energii potencjalnej

W przestrzeni trójwymiarowej równanie to obowiązuje dla dowolnych przyrostów dx, dy i dz stąd muszą znikać toŜsamościowo wyraŜenia w nawiasach:

Siła równa jest ujemnemu gradientowi energii potencjalnej:

∂ z

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

= U

y F F U

x

F

U

 



 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

 =



 





∂

∂

∂

∂

∂

− ∂

=

∇

= k

z j E

y i E

x E z

; E y

; E x E E

-

F

) )

)

∫

−

=

pocz

r

r

r d F r r E

Stąd:

Grawitacyjna energia potencjalna Energia potencjalna spręŜystości mgy

(y)

E_p = 1 kx²

(x)

E =

23

Energia mechaniczna E_mech układu jest sumą jego energii potencjalnej E_p oraz energii kinetycznej E_k wszystkich jego składników:

Gdy siła zachowawcza wykonuje pracę W w układzie izolowanym nad jednym z ciał układu, zachodzi zamiana energii kinetycznej E_k ciała w energię

potencjalną E_p układu. Zmiana energii kinetycznej ∆E_k jest równa:

Z drugiej strony wiadomo, Ŝe zmiana energii potencjalnej wynosi:

Stąd otrzymujemy, Ŝe

k p

mech

E E

E = +

W

∆ E

=

W

∆ E

= −

p

k

∆ E

∆ E = −

Zasada zachowania energii mechanicznej

przy czym wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch róŜnych chwil, a zatem dwóch róŜnych konfiguracji składników układu.

Przekształcając otrzymujemy zasadę zachowania energii mechanicznej:

p2 p1

k1 k2

p k

E E

E E

∆ E

∆ E

−

=

−

−

=

p2 k2

p1

k1

E E E

E + = +

SUMA E_ki E_p DLA

DOWOLNEGO STANU UKŁADU

SUMA E_k i E_p DLA

KAśDEGO INNEGO STANU UKŁADU

=

W układzie izolowanym, w którym zamiana energii pochodzi jedynie od sił

zachowawczych energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna E nie moŜe ulegać zmianie.

25

Zasada zachowania energii

• Zmiana całkowitej energii E układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.

przy czyni ∆E_mech jest dowolną zmianą energii mechanicznej układu. ∆E_term — dowolną zmianą jego energii termicznej, a ∆E_wewn — dowolną zmianą innych postaci jego energii wewnętrznej. Zmiana energii mechanicznej ∆E_mech zawiera w sobie zmianę energii kinetycznej ∆E_k oraz zmianę energii potencjalnej ∆E_p układu (spręŜystości, grawitacyjnej lub jakiejkolwiek innej).

• Całkowita energia E układu izolowanego nie moŜe się zmieniać.

wewn term

mech

∆E ∆E

∆E

∆E

W = = + +

0

∆E

∆E

∆E

+

+

=