Zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji

Pełen tekst

(1)Mateusz. Pipień. Kul.dra Ikon.la.frU. wnioskowania bayesowskiego do ceny opcjf l. Wprowadzenie Zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji zostało po raz pierwszy przedstawione w pracy L. Bauwensa i M. Lubrano [1 997 ]. Prezentując możliwośc i stosowania rozkła dów a posteriori i predyktywnych do wyceny europej skiej opcji kupna, Bauwens i Lubrano podkreślają , i ż podejśc i e bayesowskie wydaje s i ę szczególnie przydatne w od ni esieniu do wyceny instrumentów pochodnych . Rezultatem przyjęcia tego typu podejścia do wnioskowania jest bowiem rozkład prawdopod obie ństwa przyszłej ceny rozw aża nego instrumentu pochodneg o, który dostarcza pełn ego, probabili stycznego i nieasy mptotycznego opisu ni epew nośc i co do wartośc i rozważanej opcj i. Celem niniejszego artykułu jest zastosowanie jednego z procesów GARCH z asymetriami, które wprowadzili i szczegółowo opisuj ą J. Osiewaiski i M . Pipi eń [2003], do modelowania zmienności stóp zmian dolara amerykańskiego i do wyceny e uropejskiej opcji kupna wystawianej na ten kurs. Prezentowane wynik i zastosow ania wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji będą obejmować budowę rozkł ad ów predyktywnych formuły Blacka i Scholesa na cenę rozw aża nej opcji (por. [Black, Sc holes 1973 ]) , rozkładów predyktywnych parametru zmiennośc i oraz rozkładów predyktywnych funkcji wy płat y skojarzonej z anali zowanym in strumentem pochodnym. R ozkład predyktywny funkcji wypłaty dos tarcza opisu niepew ności co do zysku z tran sakcji opcyjnej w sytuacji, gdy nie narzuca się za ł ożeń teorii Blacka i Scholesa. W czę ści em pirycznej dokonane zostanie porównanie ni epew nośc i ex anie, z jaką mamy do czynienia w obu sposobach bayeowskiej prognozy ceny opcj i. W szczególno• Praca wykonana w ramac h projektu badawczego nr I - H02B-022- 18 , finansow anego prlcz Komilet Badań Naukowych. Autor dziękuje proC dr. hab . Jackowi OsiewaIskiemu za uwagi. któ-. re. miały zn ac zący wpły w. na. o s tateczną wer sję. tej pracy ..

(2) Matelf,\"Z. śc i. celem tego porównania jest weryfikacja (ezy , czy narzucanie założeń reorii. Blac ka i Sc ho lesa powoduje. 2. Modelowanie I wycena opcll. zmianę ni epew ności ex l l/lle. zmienności. co do. waności. opcji .. szeregów czasowych. Oznaczmy przez x, cenę akcji. wano ść kursu walutowego lub indeksu gieł dowego w chwili t (w dniu t). J. Osiewaiski i M. Pipiel] [20031 proponują, aby szereg czasowy {x, .t = O. I, .... T . .... T + k) op i sywać poprzez proces AR(2) dla hu" ze sklad nikiem losowym będący m procesem GARCH(p. q) z asymetri ami . Model ten dla p = I i lJ = I. sformulowany dla logarytmicznych procentowych stóp zmian (y, = 100 In(x, /x, _ ,), przybiera po s t ać: t=I , ... , T+ k,. (I). = Z, ..fh;. ni eza leżne zmienne losowe maj ą ide nt yczne sko ś ne rozklady l-Studenta ( pOl'. [Fernitndez . O siewai ski . S tee l 19951 o ra z [Fc rnillldez . Steel 19981) o ni eznanej liczbie stopni swobod y v > 2 . moda lnej f, E (-~. +~). jed nostkowej precyzji i parametrze asymetrii y> O. Czynnik h, - będący od wrotnoś c i ą precyzji warunkowego rozkładu (wzg lęd em calcj przeszłości) s kładni gd zie. E,. ka losowego Et - jest dany wzorem:. h, = ao + Q,<i-. /«,_, < O) + aiEi_,[(E, _1> O) + h,h, _ ,. t=I, .... T+k.. (2). Zwyk łe. procesy GARCH (por. [Bollerslev 1986) oraz [Ne lson 1990]) uzależni a ł y wa runkową wariancję (lub ogólniej - odwrotn ość precyzji) jedynie od Ei_, i od uprzednich wartości wariancji (odwrotn ości precyzji) bez możliwości badani a asymetrii reakcji h, ma znak E, _ , . Proces Asymmetric-GARCH( 1. l ) zd e fini owan y przez (2) umożliwia testowanie tego typu asymetrii; por. [Gloste n , Jagannatha n , Runkle 1993], LBauwe ns . Lubrano 1997 ). Jest on naturalnym uogólnie niem zwy kłego procesu GARCH( I. I ), który jest możliw y do uzys kania z równa nia (2) poprzez przyjęcie restrykcj i li, = Q +, . W przypadku równania (2) wymagana jest . dla I = I , znajomość odwrotności precyzji ho. Wielkość ta jest traktowana jako n ieznany parametr modelu próbkowego. J. Osiewaiski iM. Pipień [2003] wykazują, iż przyjęcie skoś nego rozkładu t-Stude nta dla z, powoduje, że równanie ( I) definiuje model GARCH-in-Mean (pOL [Engle. Lilien. Robins 1987]):. Y,- 8 = p(y, _ , - 8) + o,lnx,_, + gdzie. <jJ. jest równe. wartości. <jJ ..fh,. + ",.. t= l. .... T+ k,. oczekiwanej zmiennej losowej :::,:. (3).

(3) Zastosowanie wnioskowania. ,v + I ) (y' - 'I' ) 2 v r ( 2 E( z,) = <p = 1; +. = 1; + ,(y, v),. (y + y- ')(V - I ). r(; )-J1tV. a sk ładnik u, = E, - E(z,)..fh = E, - E(E,IW, _ l) ma ze rową wartość oczekiwan ą; sy mbol E(EII\jf, _ I) oznacza warunkow ą wartość ocze kiwaną składnika E, w chwili l, w zględem całej jego przeszłośc i (W, _ I)' R ozważa ny proces stochastyczny dla Y, zakłada, iż warunkowy rozkład w chwili I stopy zmian Y, jest rozkladem skośny m l-Studenta o v > 2 stopniach swobody, modalnej !l" !l, = 8 + P(Y,_I - 8) + 8 1Inx , _ I + ",~, odwrotnośc i jący sposób:. precyzji " , i parametrze asymetri i y> 0, co oznaczam y w. p(YII\jf, _ l' O) = f'h (y,lv, !l" "" y),. l. = I, "" T + k,. na stępu. (4). Symbol e oznacza wektor wszystkich nieznanyc h parametrów rozważanego modelu , af,'h jest gęstością rozkładu p rawd o podobie ń s tw a zmiennej losowej o skoś n y m rozkład z ie l-Studenta, Przyjęc ie restrykcji v > 2 gwarantuje istnienie warunkowej (w zględem W, _ I) wariancji stopy zmian Yr Wielkość ta jest zadana nas tępującą formułą:. (y' + r ' )v ' I , Var(Yllw , _ l' e) = ", l ( 1)( 2) - , - (y , v) = Iy+ y-V ,. (5). I=J, ,,,,T+k,. = h,d(y, v),. Niech y = (YI' ,:" h) oznacza zaobserwowany szereg czasowy logarytmicznych proce nt owych stóp zmian, Przez YJ = (YJ' + l ' ' ''' YJ' + k) oznaczmy natomiast czę ść prognozowaną, Z przyjęt yc h za ło żeń wynika , że model próbkowy , czy li gęstość rozkładu prawdopodobień s twa w ie lk ośc i obserwowa nych przy zadanych wartościach parametrów , ma postać: T+k. p(y, Yr le) = .. Pełny. n p(y, lw, _. 1 == 1. T +k. l'. e) =. n f'k," (y, lv, !l". ",,, 1. h" y),. (6). mode l bayesowski to łączny rozkł ad prawdopodobie ństwa wektorów y i Yr obserwacji i wektora nieznanych parametrów 0, o funkcji gęstoś c i p(y, Yr' e) = p(y, Yr le)p(e), w niniejszym opracowa niu do analizy zmienności dzien'nych n ot ow ań kursu walutowego i do wyceny e uropejskiej opcji wystawianej na ten kurs będziemy stosować model bayesowski opisywany obszernie w pracy [OsiewaIski, Pipień 2003], W szczegó ln ośc i za kładamy przyjęty w wyżej cytowanej pracy rozkład a priori o na s tępującej gęstości określonej na przestrzen i parametrów:.

(4) Mateusz Pipieli. gdzie p«(,) oraz p(5) są gęstościami standaryzowanych rozkladów normalnych, p(o , ) oznacza gęsto ś ć rozkladu normal nego o zerowej wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowy m O, I , p(p) jest g~ s tością rozkladu jednostajnego na przedziale (~ I , l ), p(y) odpowiada standaryzowanemu rozkladowi log-normal nemu, u c iętemu do przedzialu (0 ,5; 2) , p (v) jest gęstością rozk lad u wykladniczego o wartości oczekiwanej lO, u ciętego przez restrykcję v > 2. Gęstości p(ho) i pean) odpowiadają rozkladom wykladniczym o wartośc i oczekiwanej I; p(a ,), p(aj) oraz p(b,) oznaczają rozkłady jednostajne na przedzialach jednostkowych. E. Ghysels, A. Harvey i E. Renault (1995) stwierdzają , że cena europej skiej opcji kupna D VII' + ., ' o terminie wystawienia t i realizacji t + .\ oraz cen ie realizacji K , wystawionej na instrument bazowy ocenie x l , j est zadana rów naniem: D VII'. H. = e-" E [(x,. H. ~ K)+),. (8 ). ~ K) + = max {O, x, +, - K} jest funkcją wyplaty opcj i, x, +, jest zmie nną losow ą opisującą niepewność co do wartości in strumentu bazowego w okres ie realizacji opcj i, r jest znaną w chw ili t stopą procentową. Wyrażeni e E[(x, +., ~ K)+) oznacza wartość oczekiwaną funkcji wyplaty wedlug jej rozkła du generowanego poprzez rozkład prawdopodobieństwa zmiennej x, + .," W celu przybliżonego obliczenia wartości rozważanej opcji m ożn a za stosować formulę Błacka i Scholesa (por. [Black , Scholes 1973)), która zak łada , że:. gdzie (x, +.,. (9) gdzie: ln (x, / K) + (r + 0,502) r. ovs. . S. ' d2 = d,. .r ~ OVS .. Symbol o oznacza parametr zmienności (ang. volatility parameter) stóp zmian liczonych jako O,Oly, = ln(x/x, _ I)' Praktyczne zastosowanie (9) wymaga oszacowania parametru na pod stawie zaobserwowanego fragmen tu szeregu czasowego stóp zmian; {O,Olyl' t = I, ... , T}. Procesy GARCH są szczególni e często używane w modelowaniu parametru o. J. Noh, R.F. Engle i A. Kane (1994) stosują formulę Blacka i Scholesa do wyceny europejskiej opcji kupna, w której za ocenę parametru o przyj ęto,. , a =. Il. 1-S. '. 2 L 0 , +j ' j: I. (lO). gdzie warunkowa wariancja (J; jest zadana przez zwykly proces GARCH (por. [Bollerslev 1986]). J .-Ch. Duan [1995) zaprezentowal oryginalny model wyceny opcji, w którym zasad niczą rol ę odgrywa zalożenie, i ż warunkowa wariancja zmiennej 0,0 Iy, jest procesem GARCH. Wykorzystując podejście bayesowskic do estymacji i prognozowania, L. Bauwens i M. Lubrano [1 997] stos ują.

(5) do. Zastosowanie wnioskOlvallill. charakterystyki rozkladu predyktywnego wielkości zadanej wzorem (lO), przy zalożeniu, że O.Ol y, podlega asymetryc znemu procesowi GARCH(I. l) o warunkowym ro zk ł ad zie t-Studenta z niez n a ną liczbą stopni swobody i wariancją a;' Z zaproponowanego w pracy Bauwensa iLubrano algorylmu wyceny opcji wy nika , że jako paramelr zmienności w fo rmule (9) przyjmują oni warlo~ć oczekiw aną rozkładu prcd ykl yw nego dla parametru zmienności zdefiniowanego wzorem (10). W niniejszy m o praco waniu przyjąt o, że parametr a utożsa miony zostanie z warunkowym odchyleniem standardowym zmiennej O,Oly, w dniu realizacj i opcji. Zgodnie z równaniem (5) oznacza to, iż: a=O ,OI h, • .,d(y , v).. (I I). Model bayesowski , zdefiniowany przez równanie (6) o raz przez gęstość rozkladu a priori p(S), definiuje ro zklad predyktywny pro I y) = p(O,Ol h, . ,. dCY, v) I y). Cena europej skiej opcji kupna zadana wzorem Blacka i Scholesa (por. (9» może być zatem traktowana jako wielkość podlegająca bayesowskiej prognozie. Zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji polegać będz ie na wyznaczeniu rozkladu predyktywnego p(DV", . -' I y. K. r ). Rozklad ten - przy zadanych dodalkowo warlościach ceny realizacji opcji K o raz stopie r dostarcza probabili styc znego i nieasy mplOlycznego opi s u niepewno~c i o cenie rozważanej opcji w sytuacji . gdy przyj mujem y zalożenia leorii Blacka i Scholesa oraz gdy zastosujemy dla stóp zmian model zadany formu łami (l ) i (2). Rozważmy zdy skontowaną w czasie w arlO Ść funkcji wyplaty opcji europejskiej:. wrJI+S-- e-n (x. 1+,\' -. 1\)' ·. Cena europejskiej o pcji kupna może być traktowana jako warl ość oczekiwana zdys kontowanej funkcj i wyplaly, względem rozkladu prawdopodobienstwa x, +, ; por. (8). Prezentując mo ż li wosc i zastosowania wnioskowania baycsow skiego do wyceny opcji , L. Bauwen s i M . Lubrano [1997] proponują przyją ć za nieznany ro zklad prawdopodobienstwa rozkład predyktywny tej wielko śc i generowany przez mode l ekonometryczny dla (np. model typu GARCH). Przyjmijmy - zada ne fo rmulą (6) - zal oże nia dotyczące modelu próbko wego o raz strukturę a priori parametrów (7). Uzyskany z przyję tego mode lu bayesowskiego rozkład predyktyw ny dla ceny instrume ntu bazowego w chwili reali zacji opcji - Px, + ., (x, •., I y) - definiuje rozklad pred yk tyw ny dla W'I' + s:. =O z prawd. W'I' . s ( E (O, +=) Z prawd , Rozkład. ten opisuje dodatkowo. gę stość. P(x, •• < K I y). I - P(x, + ., < K I y). warunkowa:. p (W'It+s l y,x, •.,. > 1\) =e'·' px,+ ., ( K+ e"W,It • .,).. ( 12 ).

(6) Wyznaczone przez rozklad Px, + s (x, + s I y ) prawdopodobielistwo: P(x, +., ;:: K I y) = I - P(x, + s < K I y) = [. Px, + ./x, + s 1y)dx, + .,. jest prawdopodo bieństwem li posra;or; zrealizowania opcji. J ak dowodzą 1. OsiewaIski i M. Pi pień [2003], p x (x, + . 1y) jest gęstością ro zkladu prawdopodobieństwa, który nie pos iada moriient6'w. W szczególnośc i nie istnieje wartość oczekiwana E( W, j, + ,.1y , x, + ., > K). W efekcie predyktywna warto ś ć oczekiwana funkcji wypłaty: E(W'iI +., 1y] = E(W,;, +., 1y, x, +., > K)( I - P(x, +, < K 1y», którą L.. . . meJe ,. Bauwens i M. Lubrano proponują jako wycenę opcji, również nie ist-. Przyjęte za l oże nia modelowe dla stóp zmian (p0f. ( l) i (2» powodują , że nie da s ię zas tosować wartości oczekiwanej funkcji wy piaty wedlug rozkladu predykLywnego do wyceny opcji kupna , Można jednak wy znaczyć cal y rozklad predykt yw ny funkcji wy platy, a więc prawdopodobiel\stwo li p""ter;or; zrealizowania opcji oraz gęstość warunkową p ( W'iI +.,1 y , x, +., > K) . Rozklad ten jest szczególnie interesujący, ponieważ dostarcza probabilistycznego opisu niepewno śc i co do zdys kontowanej wyplaty skojarzonej z rozważaną transakcją opcyjną , bez od wolywania się do założeń teorii Blacka i Scholesa. W opi sywanych powyżej metodach wyceny poprzez funkcję wypłaty lub przy u życ iu formuły Blacka i Scholesa nadrzędną rolę w modelowaniu niepewno śc i co do ceny opcji odgrywają rozklady predyktywne odpowiednich funkcji parametrów i wielkości prognozowanych. Jak argumentują L. Bauwens. i M . Lubran o [1997], wnioskowanie bayesowskie szczególnie dobrze nadaje się do wyceny opcji, ponieważ rozkład predyktywny jest naturalnym produktem tego podej śc ia do wnioskowania statystycznego .. 3. Wyniki empiryczne Ro zważono. zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do wyceny europeJ skiej opcji kupna wystawionej na kurs dolara amerykańskiego . Punktem wyj ści a w analizie byly ceny tran sakcji opcyjnych , kwotowane przez firmę ING Barrings. Wartość tej transakcji jest ce n ą, jak ą nabywca musi zaplaci ć, aby w chwili realizacji opcji posiadać prawo do kupna 100 tys. USD po kursie ustal onym przez K. Wszystkie rozważane kwotowa nia byly wystawione na dzi eń 3.0 1.2000 f. Tabela l przedstawia ceny o pcji wraz z cenami realizacji K w ka żdym z przypadków terminu realizacji (s = 30, 60, 90). W celu budowy rozkładów predyktywnych int eres ując ych nas wielkości (ceny wedlug F . Blacka iM. Scholesa, parametru zmienno śc i, zdyskontowanej wyplaty ) dla szeregu czasowego (y, y/l dziennych notowań logarytmicznych.

(7) Za .\·!os()wanie. wn io~'kOlvania. bayesowskiego do . ,. stó p z mian kurs u dolara amerykań s kiego, przyj ę t o model bayesows ki . oparty na mode lu próbkowym (6) i rozkładzie a priori (7). Część zaobserwowana szereg u (y) dotyczy ok resu od 3.02. 1996 r. do 3.0 1.2000 r. ; T = 985 o bserwacj i. Wy kresy zaobserwowanego szereg u czasowego n o towa ń kursu o raz szereg jego loga rytmicznych procentowyc h stóp z mian zostaly przedstawione na ry s. I . Dlugo sć szeregu stóp zmian p odlegająca progn oz ie jest wyznaczona poprzez naj odleglej szy termin realizacj i opcji; k = 90.. Tabela I , Prawdliwe kwotowania europej skiej opcji kupna wystawione w dniu. 3.0 1.2000 r. przez ING Barrings. , (dni) ...• _._... _~,-,--~,- --- --~-~. _. K (PL N) ...• _-_.'.. '_.. ..... _,-'... _.. .. Cena OPCJI (PLN ) '. Zród ł o :. ... _- - - ~ ' .-~. 30. 60. -----------_.. 4 , I 980 4 , I 630 ----------------------------- --_._-_.... _ -~- - ---_ ._-~----. ,-,~,---. _--,~ ,------ -. -_ ...---_.... 90. 4 ,2360. .. _----- - --_. _-- ----- - --- .. __ ..... _----------~. 8 3'X). 6 690. 4 920. _. - -- - _._-. _ -------- ---- -_._. -. .,Rzeczpos polita" 2000. 4 stycznia .. 4,5 - -- -- - - -- -- - - - - ,. :.; -::: -.:.·. ·. ·. ·:. ·.-:··.----•.-..-·..·. j,.,jl. 4 ." ...."...". J 2. ,. .' ) "'''' """"" '"'''' "'"' ' """" . . . . ·. . . ·. ·. -.. -.. --·~-- . - . f :u ' ,'" , , ' " it--~ r".':)('""-' JJ'"'J--~ ----. ' ., . . ... ;i-- ..-~-/c. ". ........ .................. • .... · M . . . .. • .... w. .......... - . -. ·M .. .-· .. .... .. ... ..'.•. . .• kursu dolara. "". f: ' ;. J -4 .. u " - - - - - - - - - - - - ---'. no t owań. I O .I. -2 f. r. Rys. I . Wykresy stopy zmian. ' r---------r---------------, .... ····· ··········· ················ I . . . . . . .. . ,---- .. _.~. · 5 ' -_. ". p. ' .. " ' . , '.",. _ _ _ _ _ __. amery kań s kie go. II. _ _----'. i logarytmiczne procentowe. Źródło : Reute rs™ .. T abela 2 przedstawia wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posleriori parametrów przyjętego modelu próbkowego. Wyniki wskazują, że rozkład warunkowy stóp zmian y, w chwili I (wzg l ędem 1jI, _ l) jest rozkładem o grubyc h ogonach. Pojawiające się obserwacje nietypowe w szeregu stóp zmian, liczne wybuchy zmienności i skupianie się wahań w pasma powodują, i ż dane wskazują na niską wartość oczekiwan ą dla parametru stopni swobody; najbardziej prawdopodobne a posteriari są warto śc i v z prze działu (4,6). Na za mi eszczonym na rys. 2 histogramie gęstości rozk ł adu a posleriori parametru v wyraźnie jednak widać , iż wstępne za ł ożenie v > 2 (g warantujące istnienie.

(8) MaTeusz. wariancji wa runkowej Var(y, I 1V , _ I» nie bylo res trykcją w ią żącą. Rozklad a poster;or; parametru 0 l jest zlokalizowany na lewo od zera ; wartość oczeki wana a poster;or; tego parametru wynosi -D.l556 . J eś li 0l = O, to równanie (I) jest procesem AR( I l d la Y co zakłada zintegrowanie rzędu pierwszego dla " wyklucza możliwość zi ntegrowani a stopnia l dla In xI" Przypadek, gdy SI < O, Inx,; por. [Bauwens, Lubrano, Richard ł 9991 , fOsiewalsk i, Pi pień 200 1J . Zawa rte w labeli 2 odc hylenie standardowe a poster;or; 0 l wskazuje , że brzegowy rozk ł ad a poster;or; tego param etru jest na tyle skoncentrowany wokół wartoś c i oczekiwanej, aby potwi e rd zać z dużym prawdopodobieństwem a poster;or; tezę, że szereg nie jest procesem zintegrowanym (rzędu I l. Charakterystyki a poster;or; parametrów a l i a j wskazują na asy metri ę w reakcji h, (warunkowej odwrotno';ci precyzji) na znak E, _ I' Za mieszczony na rys. 2 hi stogramu gęstości a poster;or; il orazu tyc h wielko,(ó -p(a l I a j I y) - wskazuje na silniejszy wpływ dodatni ej wartości E, _ I na wzrost " " W rozważanym okresie poziom zmienn ośc i w chwili t bardziej przybierał na sile w sytuacjach, gdy YI _ I -J.l, _ 1 >O, n iżw przypadku , gdy YI_ I - J.l, _ 1 <o. Tabela 2. modelu. Wartości. oczekiwane i odchylenia standardowe u po,\'teriori parametrów. ,. aT. (I ,. "0. 0 ,01 36 0,0043. 0 ,11 92 0,0390. h,. 0 ,2288 0,043 2. o. p. 0 ,6591 -0,01 15 0,0646 0 ,034 3. o,. 0 ,0589 -0, 1556 0 ,0331 0,0733. v. hu. y. 5 ,00 0,81. 0 ,23 14 0 ,2860. 1,0355 0,0454. Źródło: obl iczen ia wlasne.. p(u , /a Tly) (oJ l~l. UJU$. p(v1I y). r-- - - -- - -- -- - - -. f----. (lfl.'>(. - - - - - - - - - - - - - -. "Jlol ~. - - -- - - - - - - -- -- -- - - - - - - - - -. .... ()J~l. (IJ>.I~. OJ'-'" OJt~~. ". ,. ..... , " .,. .". .... 11,0" 0. ... - ._.. ---. ........ " .... 0.111 ~. .. '. ,. . .'.. O.ol~. (12. (U. O.!,. U)!. lU. 12. Rys . 2 . Wybrane hi stogramy Źródło : obli czenia własne .. 1.4. l to. gc;s t ośc i. 1)1. . . . ... .. " L..o u. UM II ' ' ' -. ~1 .. ". u po.u eriori paramelrów (i ich fu nkcji).

(9) Zastosmvanie lvnioskowania bayesowskiego do wycen}' opcji. p( IO-~IJVI/1 . + .,II I y. K, r) ~~----------~. O.le ll.ll'. .. ----- - -. 1I.l~. I. 0.10 -. I. IJ,l~,. I. I. IIH~. I>.I~,. 1>.14. ~~. ~~. -. ~~~~~~~~~~~IO,14. <1_"". Il.o~. "". ........... .. "-. 61U.. I~{K~.. 2~{K~'. l>. H,IO. ______ .... II,OS. ______ "'. le lU.. I~IU.. ~JI'~_'. _l"IU'. . ___ __. I. 10.01. "L_ II. Rys. 3.. Rozkłady. predyktywne. ~(O). 12(~XI. formuły Błacka. _llll'~'. i Scholesa. Żródło: obliczenia własne.. Rysunek 3 przedstawia rozkłady predyktywne cen rozważanych kontraktów opcyjnych otrzymane ze wzoru Blacka i Scholesa, czyli p(l05DV7!T+, I y, K, r); por. (9). Czarnymi punktami na wykresach zaznaczono prawdziwe, zaobserwo~ wane kwotowania. Białe punkty oznaczają wartość kontraktu opcyjnego otrzy~ maną z formuły (9) przez przyjęcie za parametr zmienności próbkowego odchy~ lenia standardowego szeregu {O,Oly" t = I, ... , T} (wycena "naiwna"). Pionową linią oznaczono na wykresach mediany prezentowanych rozkładów predyktyw~ nych; linie te dzielą w każdym z przypadków dodatnią półoś rzeczywistą na dwa zbiory równoprawdopodobne a poster;or;. Dla opcji o jednomiesięcznym terminie realizacji kwotowana cena opcji niemal pokrywa się z wartością otrzy~ maną poprzez naiwne oszacowanie parametru zmienności. Dodatkowo, obie te wartości znajdują się blisko mediany predyktywnej. Wycena oparta na zmien~ ności oszacowanej przez próbkowe odchylenie standardowe nie daje jednak za~ dowalających rezultatów w przypadku opcji o dalszym horyzoncie realizacji (s = 60, 90). Natomiast mediana rozkładu 1'(1 05DVT/T +, I y, K, r) niemal pokry~ wa się w tych przypadkach s z prawdziwą ceną. Rysunki histogramów rozkła~ dów predyktywnych formuły Blacka i Scholesa wskazują, iż pomimo dużej zgodności pomiędzy medianą predyktywną a prawdziwymi wartościami przy-.

(10) Mateus'Z. Pipieti jęty. model bayesowski oraz dane empiryczne wskazują na dużą niepewno ść ex anIe co do wartośc i ceny opcji. Tabela 3 zawiera zestawienie prawdziwyc h kwotowań opcj i, median oraz odstępów miedzykwartylowych rozkładów p( 10' DVT/T +., I y, K, t) . Różnica pom ię dzy prawdziwą cem) opcji a M(I05DVTrr + ., I y, K , t ), odniesiona do prawdziwej wartośc i , wy nosi dła jednomiesięcznej opcji 17%, dła dw umiesięcznej 3%. a dla 5 = 90 jest równa l % . Otrzymany wynik wskazuje, że na podstawie mediany rozkJadu predyktywnego JO'D VTfT +, m ożn a by ło dobrze przewidywać cen ę rynkową rozważanych opcji dla dłuższy c h terminów realizacj i. Zawarte w tabeli 3 wartości odstępów mi ędzykwartylowych (lQR) potwierd zaj ą dużą niepewno ść ex ante co do prognozowanych wielko śc i . Szczególnie interesujące wydaje się rosnące rozproszenie rozkładów predyktywnych - uwidocznione na rys. 3 lub ros n ący mi (wraz ze wzrostem s) wa l10śc i am i IQ R( IO' DVrrr +., I y , K . t) - przy jed noczesnym zmniejszaniu s ię względ n ych różnic (ex p"-'I) pomiędzy prawd zi wą wartośc ią opcji a M ( 10' DVTIT +, I y, K, r). W rozw a żan ym przyk ład zie mediana predyktywna p( l O' DV"r +., I y, K , r) s tan owi ła adekwatną prog nozę punktową cen rozważanych transakcji opcyjnych. Tabela 3. Charakterystyki rozkJadów pred yktyw nych opcji oraz prawd ziwe kwotowan ia .. s (d nI I .. . . . __ . . . . . . . __ • __ •. ___ _ _ _ _ _. _. _____ • _. __ • • • _ . A. • •••••• _ •. •• , •. •••• __. .. __. 30. ... --. --._ _---------------. -- - - -, - -.-. 60 •• • • •. • ••• A". __ ~ ______ _. __. __________ •. _____. ..._.'....... 90 ' .'. .--.--.--- -- ----------------- ------. Prawdzi we k wolowan I a 6690 8 3 90 .... _._._....--. ---------_. _.. ... _.............. _-,--•..... .'. --- - ----- ---- .--4920 ----_._-_._-_ . . _ _ ......•.. .... ---- --- --- ...._.' .. • .. .. . ... ... --.--_ .... ,.".".,_ .•.•.--_.- ---_ .. ._---_ ._-_. _....•..• M ( l O' D V rrF , I v, K • r) 408 3 6504 847 5 + .. __ .,_... _._., '.,_... .._..•._,,---- ---_. -- -----_....._......... .._- ._- -.. .... -_ .•. __.--_ ..__... --'-.- ... _-- --- ' - " " .•..."-,-_ .... _.. ,, .. _-IQR ( l 0 5 D V TlT + , I Y, K , r ) 4 l 83 22 3 7 3 3 62 ... ..'.". ,.... . .------ -_._-_. . .. _. . .... ........... ,-" ....... .............. --_. -_. _. -- .. .. _...."._-..... .......... _.......•........ ..•.... ..... .. ._" ....... ............. _._._ ..... .. ....•..•"." ...... -..... _.---, .. ....... _--_... B l ąd wzgl ,d ny ( % ) 3 l l7 Żród ło :. __ __. __ __. -.. ,. _. __. ~". _. -. -. .. .. ,. ~. __. _, ,. .. --_ ,. '. ''' .. ~. ~. --.-.. _._ -~ --. ,. -, ". ,. __. ,' ". --". _. ,,,. , ,. ". ,. obl iczeni a w ł asne .. Rysunek 4 przedstawia histogramy rozkładów predyktywnych warunkowych odchyleń standardowych w dniach realizacji opcji . Czarnymi punktami oznaczono wart ośc i z mienności impliko wanych, które wynikają z prawdziwych kwotowań opcji oraz formuły Blacka i Scholesa. Jasne punkty oznaczają z mienności implikowane z hipotetycznych cen opcji prz yjęty c h na poziom ie med ian predyk tywnyc h - M(lO' D V.rrr +, I y, K, r). W k ażdym przypadku s = = 30,60 i 90 obie wartości z mi enności implikowanej znajdują s i ę bardzo blisko siebie . Dodatkowo zlokalizowane są o ne \V obszarach O wysok ich wartości ach gęstości prawdopodobień s t wa a posletiori. W konsekwe ncji należy stwierdzić, iż proces GARCH( l, l ) z asymetriami wy gene row ał dla rozważa nego szeregu stóp zmian kursu dolara am erykańskiego prognozy zmienności (J (por. (lI» zgodne z rzecz ywistością . Efe kt ten wskazuje na du że możliwości procesów GARCH w ade kwatnym modelowaniu parametru zmie nno śc i ; por. IAndersen , Bolterslev 1998], IPagan , Schwert ł 9901 ..

(11) Zastosowanie wnioskowania. lU~. (). I~. _ __. _ __ _ _ _ _ _ __. ,---------------,. ''.I I'. 1--. OIj",. I··. II. I ~. (I. lU. . .... ... .~~. •• ".,., __________________ .. ___........ . ...... _. _. I·..· "., "". ,.". .... ........ -. ... .. .... ,.". ,, '. .". ,. .... ,..... ...... liN. 0,1101. I I .()~. ,. I ··. .. .•... II. ". II. IIW~ \lj~1II OJJl ~. II,U I6. II J.'~ 1I J12~ O.(l~~. (1 ) 1.1::> (l )I j(, II)"". [I. IU~IoIII.I .' ~. 0 ,111 " OJII(1 [1 .(»2. 1,1I2~ OJ(~~. 11,0.,: lI.n.\!'> (li"". I I.l~. lU !. I··· . . .. ..... .. ... ... ..... U .l 1I. UJII!. uJ.... "J~. . ...... ... .. 1 ' .lI~. " " Rys. 4 . Ro z kłady predyktywne warunkowych odchyleIi standardowych; s ~ 30, 60, 90 Ź ród ł o:. Dblkzeniu. własne.. Wni oskowanie bayesowskie umożliwia analizę niepewn ośc i ex ante co do wycen ianych opcji przy wykorzystaniu jedynie in for macji zawartych w rozklad zie zdys ko ntowanej wyplaty. Poniżej zawarto wyniki bayesows kicj prognozy tej wyplaty . Tabe la 4 zawiera mediany i odstępy między kwarty lowe gęstości warunkowego rozkladu predy klywnego zd yskontowanej wyplaty, przy zaj śc iu warunku , że o pcja zostanie zrealizowana ; por. ( 12). C ią g la część rozkladu funk cji wyplaty rozważanej transakcji opcyjnej (p( 10' WTIT + s I y , x T + ., > K) jesl bardzo ro zproszona . W każdy m z przypad ków s = 30, 60, 90 wielkości obszarów wyznaczonych przez odstęp międ zykwa rt y l owy wskazują na bardzo dużą niepew n ość o przewidywanej warto ści funkcji wy piaty (a tym samym o przewidywanej cenie opcji). Praktyką powszechnie już przyjętą w instytucjach finansowych jest wycena opcji (europejskiej) przy wykorzystaniu formuly Blacka i Scholesa, wraz z zastosowaniem zaimplementowanych wlasnych modeli prognozy zmienności. Fakt ten w du żym stopniu mógł powodować otrzymane zbieżn ośc i pomiędzy kwotowanymi cenami rozważanych kontraktów opcyj nych a parametrami położenia.

(12) Mat eusl Pipie,.i rozkład ów. predyktywnyc h p ( IO' DVnr + ., I)', K, r) . Analiza roz kładu predyktywnego zdyskontowanej wypłaty dostarcza informacji O niepewnośc i O cenie rozważanej opcji w sytuacji, gdy nie narzuca się zal oże ń teorii Bl ac ka i Scholesa . Rysunek 5 zawiera hi stogramy gę stośc i predyktywnych zdyskontowanej wyplaty rozwa żanych kontra któw opcyjnych oraz hi stogramy rozkładó w predyktywnych poziomu kursu przy padające na dni realizacji opcji (T + 30 , T + 60 , T + 90). Na hi stogramach gęstości predyktywn ych p x. . . (x T + ., I y ) (s = 30 . 60,90) ciemnymi punktami oznaczono ceny reali zacji rÓz'~ażanych opcji . Jasne punkty na tych wykresach oznaczają prawdziwe zrealizowane wartości kursu dolara amerykańskie go w dniach przypadającyc h na realizacje opcji. Prezentowane gę s t o ści wa runko wych ro zkladów predykt ywnych p ( I O' Wn r + s I y , x T + s > K) (przy warunku . że opcja zostanie zrealizowana) są scharakteryzowane zwiększaj'lcy m się (wraz ze wzroste m s) rozproszeniem. W przypadku trzymi es ięc znej opcji (s = 90) prezentowany rozkład jest ju ż ni emal pl as ki . Tabela 4. Charakter ystyki rozkladu predykt ywnego funk cji wyplaty . , .. ..,._ ._-_. _._._ ,_ ..-.-... ... s (dn ). .. ... M( I O5 W T1T , I y • xr + , > K) ._-_. ._-_... ... ... ......-- -_. ... .. ,. ". ",. "''' . -_. __ . __ . __ . __ ._-_ ...... , " .".".,. -. .. .. " . IQR( l O' W T1T. . __ . __. __. ,.. ,. ". ,. __ .. __ . __. , ,' " ,." . ".". 30. ".". ... . . .. __ ._- ,._., .. ,.",.", ... ,_.... , ..... ,_ .. ----- --- -- -.. .. _. ". ". 6806. .. , ... , .. , ....... --" --".".,, .. ............ , ... , .. , ......... .. -". ". 60. " . ".",. .. ,... _" .......... -_. __ .-..... "-". I O 840. ".".". " .". •... _-,. ............. , ..........,.., ... , ... ".".". 90. .. ,, .. .. , ..... "-,, ..... , ..... --- -- -- -"-- " .. ,, .. ..... .. ,, .. ". ". ".". l 4 I 26. . ..". ..... ,_., .. , .. ,... , ...... , - ",.".",., ... , ......, ........ ,-. I J' • x l' + , > K) 9788 2 474 I 6 96 8 , + - - - -- -- .- .............. _._------------..... _.... _.... _-----_.---- ..........._.. _._.- -- -- --, _.- ------ ._..... _.. _._.----- ------ -_._._ ..... -..... - .. --- -- _._- .. --- -_.-.. -.. _ .-....._.-----I - P(x)' ., < K I y) O.0 5 O,OR 0 .06 -,. +. Źródło : obliczenia własne.. Zawarte w tabeli 4 prawdopodo bień stwa a posleriori zrealizowania rozważan ych kontraktów opcyjnych wskazują jednak na niewielkie szanse a p05lerio ri na rea li zację rozwa żanych opcji. W każd y m z przypadków s = 30.60 ,90 prawd o podobieństwo a posleriori realizacji opcji jest mniejsze ni ż 0,1 i maleje wraz ze wzrostem s. Wartości tych prawdopodobień stw są zdeterminowane lokalizacj ą cen wykonania opcji w zg l ęde m obszarów największyc h warto ści gę stości a posleriori rozkładów predyktywnych PXr . (x r + .. I y); s = 30 , 60 ,90 . Przyjęty model ( 1) oraz tendencja spadkowa kursu\lSD/PLN pod koniec 1999 r. (por. rys. I) spow od owały. iż ro zklady predyktywne dla prognozowanych notowań x l' + ., (s = 30, 60, 90) są zlokalizowane (ex post) znacznie poniżej prawdziwych w a rtości kursu dolara amery kańskiego , kumulując oko la 90 % masy prawdopodobień stwa na lewo od zrealizowanych n otowań . Ze wzg lędu na bliskie położenie cen wykonania i prawdziwych wartości kursu w o kresach realizacji opcj i rozkłady predyktywne px . . (xT +, I y) (s = 30, 60 , 90) w efekcie kumulują ponad 90% masy prawdopodobieństwa na lewo od cen wykonania (K). Rozklady predyktywne W T/T + ., gen e rują bardzo dużą niepewn ość ex ante co do wyplat skojarzon ych z rozważan y mi opcjami. Z Jednej strony bardzo wysokie prawdopodobie ń s twa niezrealizowania opcji , a z drugiej rozproszenie gę-.

(13)

(14) Mateusz.. Pip ień. 4. Podsumowanie Celem artykulu bylo przedstawienie moż liwośc i zastosowania wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji. Cechq ch arakte ryst yczną bayesowskiego podej śc i a do estymacji i prognozy jest ujmowanie niepewno śc i statystycznej co do interesujących nas wielkościach w postaci rozkladów prawdopodobień stwa. W niniejszym opracowaniu przedstawiono zastosowanie rozkładów predyktywnych do wyceny opcji europejskiej zgod nie ze wzorem Blacka i Scholesa oraz do analizy funkcji wypłaty tej opcji. Rozkłady predyktywne formuły Blacka i Scholesa oraz funkcji wypłaty wskazywały, poprzez swoje rozproszenie, na dużą ni epew ność ex ante (rosnącą wraz z oddalan iem się terminu realizacji) co do prognozowanych wielko śc i . Cechą cha rakterystyczną rozkładów predyktywnych funkcji wypłaty było znacznie większe rozproszenie (rosnące bardzo szybko wraz z wydłużaniem się terminu realizacji opcji). Rozkłady predyktywne formuł y Blacka i Scholesa cec h owa ło rozproszenie nieznac znie tylko rosmice wraz ze wzrostem terminu reali zacji . W przypadku opcji o dziew i ęćdzies i ęc i odniow y m terminie reali zacji (s = 90; liczone są tylko dni transakcyjne) ot rzymana gęstość rozkladu predyktywnego funkcji wyplaty jest zupełnie plaska . Uzyskane wyniki empiryczne p ozwa lają jednak zwrócić u wagę na przydatność wnioskowania bayesowskiego w modelowaniu niepewno śc i co do interesujących nas warto śc i kontraktów opcyjnych. Dodatkowo , szczegó lnie intere s ującym wynikiem jest duża zgod n ość (ex post) median predyktywnych formuły Blacka i Scholesa z prawdziwymi kwotowaniami rozważanych opcji ; błędy względne ex post nie przekraczają 3% w przypadku opcji o terminie rea li zacji sześćdziesięcio- i dziewi ęćdzies ięciodniowym. Zaproponowane przez L. Bauwensa i M . Lubrano [1997] zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do wyceny opcji wydaje się być zagadnieniem szczegól nie intere s ującym ze względu na otrzymywane wyniki. Dalsze badania autora w tej dziedzinie będą polegać na zastosowaniu innych modeli bayesowskich do analizy zmienności stóp zm ian (modele Stochastic Volatility, modele z ukrytym czynnikiem ) i porów naniu otrzymanych wyników bayesowsk iej wyceny opcji z wynikami zaprezentowanymi w niniej szej pracy. Ponadto interes ujące wydaje się łączne mode lowanie stóp zmian kursu walutowego i stopy procentowej CI' - egzogenicznej w tej pracy) przy wykorzystaniu dwuwymiarowego procesu GARCH . Budowa rozk ladów predyktywnyc h ceny opcji i funkcji wy płat y w innych - bardziej z l ożo nyc h i ogólniejszych specyfikacjach modelowych będzie przedmiotem dal szych badań. LIteratura Andersen T .G., Bollerslev T. [1998], Answering tile Sceptics: Ye.\'. Standard Voiatility Models do Pro vide Accurate Forecasts, ,.International Econom ic Rev iew", vol. 39. Bauwens L. , Lubra no M. [1997], Bayesian Opriol1 Pric ill f: Using Asymmetric GARCH, eORE , Di scLlssion Paper No. 9759 , Universite Catholi que de Louvain, Louvain-la-Neuve ..

(15) Zastosowanie 'l-vnioskowania. do. '. Bauwens L. , Lubrano M. , Richard J .-F. [ 1999]. Bayesiall /llfere llCe in Dynamie Ecollom e [rh" MoJe/s, Oxford Un ivc rsity Press , O~ fo rd. Black F. , Seholes M. lI973], The Pricillg oj OptiOlIS alld Corporatl' Liabiliries, "Journal of Politiea l Eco nomy " , val. 8 1. Bollerslev T. l19g6]. G ell erali.H:d Autoregressive COll dit ;ol!al HeterosceJasticity, "Journal of E conomełr ics", vol. 3 1 . Duan J .-Ch . 11995 J, Tlle GARCH OpliolI Pricillg MoJel , " Mathe malica l Finance" , vo l. 5 . Engle R.F, Lilien D .M ., Robin s R .P. [1 9871. ES limatill ~ Time Varyillg Ri~'k Prem ia in tIu: Term Scructu re: thl~ ARCH-M M odel, " Econometri ca" , vo l. 55. Fermi.ndez C ., OsiewaIski J., Steel M.F.J . l1995 ], MoJellill{; and h!ferellce wilII v-Spherical Distribf.il;OflS, "Jouma! of the Ameriean Statistical Association", vol . 90. Fernandez C ., Steel M .F.J . II 998] , 011 Bayesian Mod elfing oj Fat Tails and Skewn e.'is. "Jo urnal ot Ihe American Stati slical Assoc iation", vol. 93 . Ghys.e ls E ., Harvey A .. Re nault E. lJ 9951. S fOt.:lwstic Volalility lW:) Hl/lldlJOok of SfaTi.w ic.\·, vol 14: Stati",tical Merhods in Fi fUlIl ce, eds G.S. Ma<.ldali and C.R. Rao . North-H o ll a n<.l Publ . Co., Amsterdam. Glosten L.R., Jagannathan R., Runkle D .E . l1993]. O" fh e Re/arion Between the Expecled Valll e and fhe Volarility o! the Nominał Excess Relurn on Stach, "Journal ot Fi na nec" , vol. 48 . Ne lso n D . l1 990] , Sta li(marily and Persistellce in GARCH(I , I) MoJel, .,Econome tric Theory" . vol. 6. Noh J., Eng le R.F., Kane A. ( 1994], Forecast;/lg Vo{atilityand Optio/1 Prices oIthe S & P 500 Index, "Joumal ofDerivalives" , vol. 2. OsiewaIski J .. Pi pień M . /2003]. Bayesian Analysis and Optiofl Pricillg in Un; var;ate Models willi Asymmelrie.'i alld GA RCH-IN-MJ:.AN EffeclS , "Przeg l ąd Slalyslyczny". L 50 . Pagan A. , Sc hwe rt G.119901, Alternalive MoJe/sfor Condir;ollal Stock Volalilily, .,Journ al ot Econo metries", vo l. 45.. Bayesian Inference: Application lo Oplion Pricing In lhi s paper we present the result s of application of Bayesian infert:nce in opli on pricing. Baye~ian approa<.: h to estimati on and forecasting yields natural , probabilistic , ,I nd non-asympto tic rule for modelling statistical uncertainl Y, The GARC H(I. 1) model with asymmetrie s was applied for the dail y Jogarithmic grow lh rates ot PLN/DEM exchange rates in orde r to model and fo recast daily vo latility and to price the European ca ll opt ion fo r lhi s c urre ncy . We preseO! predicti ve de nsities ar lhe volalility parameler as we ll a~ predi ctive de nsi ties Dr the Słack and Sc ho les formula for the price o r the oplion. We a ł s o present predicti ve distributions ot pay off funeti ons related to the pri<.:ed opl ions. The emp irical results confirm - presen ted previously in Ihe literatu re - usefulness of Bayesian int'erenee in modelIing unce rta int y about pri ce ot' an option and payoff fun ction related to il. Bayesian GARCH(I , 1) model with asymmetries yield predict ive den sity of Ihe Black and Scholes formula very dispersed , bUl Ihe predicti ve medians ił' lhi s distributiol1 s roreeasted very well the true (quote) prices ar co nsidered Europe an cull options. The predictive di stribution of the related payoH funclion re tl ects significant uncertaint y about future payot'f. Very law value of poste rior probabilities ot' realisations a r considered options together with very fIat density of the eo nditional (wit h respect :o the case when the option is realised) predi ctive de nsit y ar payoff runelion show difficulties w ith ahernative oplion pricing method lhrou gh .he fUlUre payoff fore casl..

(16)