feehniflchö Högsschööl Bölft A f d e l i n g ' Weg~ erf Watsrbowk'aade Vakgroep v l o e i s t o f j u e c h a x s i c a C o l l e g e b76 - K o r t e g o l v s a
1 |l#....v.gxgfebAiS-tAA ' ' '
Réfraetie t r e e d t op a i s de f A s e t m e i h ^ i d l a n g s sen polfkaas v a y i t e r t , -^At h e t g e v a l i s a i e b u i t e n h e t diep-watss* g e b i e d de V603ftpiattsing8ricbti»g n i e t i o o d r e e h t op de d i e p i è l i s t a a t .
O e v o l g i galfvoortplaat.iögarichiing verandert» Bijkooiend g e v o l g : öïsplitude beïnvioodittg door eorrvergeïitie o f éi^ergerstla va» g o l f -s t r a l e n . Pe aiapiittïde v d r a o h i l l e t i z i j a op hun b e u r t v a n i n v l o e d op de v o o r t p l a n t i n g van de golven5 d i t kaa mon eea d i f f r a e t i e - e f f e e t
* L i n e a i r e t h e o r i e vaa vrij© a v a a r t e k a c h t s g o l v e n a & i s t t e l h o i d s p o -t e n -t i p i -t l d i e v o l d o e -t aaa d« v e r g , v -t \ Laplace en de g e b r u i k e l i j k e j*vw<, (N,B. % r v w actt bodem i s ^^^i»* «iel v ^ j ^ i'V^«<=i)
Bxacte o p l o s g i n g e n s l e c h t s • bekoad' w o r g e i d e a l i a e e r d e bodemprofiele»? sïie b.v. r a p p o r t " G o l f o p l o o p ' 'en ^ o l t o v e r s l a g ' * v o o r o v e r -w i c h t .
Benaderende o p l o s s i n g e n v o o r i f l l l e k e a r i g e bodemvormen» l a i t g bo-demhé11ingen voldoende f l a u w a i j r u
<- 2 ~
( a ) De gangba-re hen&dering {d.e "geometrische o p t i c a " basiatieriag) s h i e r lie r g f r a a t t s b e n a d s g i n g i s RöerAen. i s gebaseerd op de v o l g e n -de vercjïs-dersteliisïg:
De l o k a l e d i e p t e en gö 1 fpaïsmeters variëren ao Xargaaaisi aet rté p l a a t s ( i n h s t h o r i z o n t a l s v l a k ) dat de b e t r e k k i n ¬
gen t u s s e n de l o k a l e g r o o t h e d e n o v e r a l d a a e i f d e K; ;jn a i s ' X'-oor e&n rechtkammige lopende g o ï f van constöfïte < m p l i t n
-de i n w a t e r vkm corsstante- d i e p t e .
Voor de g e l d i g h e i d h i e r v a n i s h e t n o d i g d a t && g o l f > nigten k l e i n aljö t.ö.v/. da r e l e v a n t s h o r i z o n t a l e l e n g t e n i a h e t öesehouwde p r o -hÏQ&m ( b . v , ai-meting bodeaonetfenheden of o b s t a k e l ) V e r g e l i j k ook
de Soaimerféld opïcssiag vöoy Lv#-0,
( b ) Sinds e n i g e Jar.eti i s een iaethode i n oWikkèlirij; ^marin ££££a£tJ:J,'-ea dit£yaej:.ie e i f e o t e n geeosabinaerd g i j n v e r t e g e i w o a'digd»
3 S M S M l i s J l Ê B Ï ü l S i i M
Geg,. 5 bfHieiiitopografi$ <;i(3£jy)? .Invaïlönde g o l f op d i e p v a t e r : p e r i o -de 1% a m p l i t u d e hoek van i n v a l ,
Öevï;,^ a s i p i i t u d e sn s - i e h t i n g i n h e t n i e t - d i e p e g e b i e d ,
Oj5l 5 ve b e k i j k e n a£ht®rsen%'olg$ns de p e r i o d e ^ h e t p a t r o o n van g o l f -ötralen &n gol'ik&musUf en ds amplitnd.. ^ A ^Ké .periode. Bescho'm^ h e t a a n t a l golfkasuseïii v-^ssen
twee «lllekeurife punten A eii B ( d i e s i s t K o l f
eVn golrkam l i g g e n ) . D i t a a n t a l i s gemiddeld genoihvn e o n s t a n t v o o r c-en r . j r i o d i e k e béi»-eging, Al$ t-nssea A en B gê<?n g o l f k-;n5' s i c h i n twee-eh ' p l i t s t , of'^twee golfkassmien t o t l ^ n sameneaeU-en^ da» h e t a a i i t a l golfkaaattea d a t i n een bepaalde t i j r t pnnt i l p a s s e e r t g e l i j k a-.n h e t a a n t a l d a t i n d e a e i f d e tijö p a n t B p a s s e e r t , aodat 'ï^-Tg,
jiVoï: de p e r i o d e i s onfèfhankelijk v a n de p l a a t s en dus o v e r a l f>.?li,-)k aan de gegöven p e r i o d e op d i e p v a t e r , ( l ) i t g e l d t ook voor niet-lint„ a i r e g o l v e u j c-u i n de r e f y a c t i o - - d i : f f r a c t i e b e n a d e r i n g / )
I>e g o l f s-tralen (pen d - c f i n l t i e s - l i Jnen d i e c-yerai l o o d r e c h t op de g.ölfkammen s t a a n ) , l i e t p a t r o o n v a n g o l i s t r a l e n i s v a n u i t een g e b i e d vnai- h e t bediend i s ( o p d i a p w a t e r i n d i t - g e v a l ) t e berekenen i n
aan-gsrensende g e b i e d e n , s i i t s o v e r a l ds f a s e s n e l h e i d G beke-na i s . D i t i s h i e r h e t g e v a l op b a s i s v a n ( i ) en h e t bekérul- s i j n van de p e r i o d e s
Vom- de b e r e k e n i n g van de g o l f s t r a l s n gann -ye u i t van hun kromMng,; Dese i s ne^ d e f i n i t i e g e i l j k aan J l
( s i s l i g n n r ) , Nn i s
en
aodjit
d2
(3)
Ben gölfatr&al i s h i e r s i e ^ v a n n i t aen pnnt v a a r s i j n r i e h t i n g bekend i g . t e eonëtïruêren o f t e berekeösn i n k l e i n e s t a p j e s , b i n n e n a i k waar-van I H n i s c o n a t n n t kan ^o^èéu hesehonwd. i n e i k van d i s a t a p j e s i s de g o l f s t r h x a i d&n sen d s e l van 8»n c i p k f e l b o o g , v n a r v a a de s t r a a l t e beï'ëkenên i s n i t de ïokaie- \faardé tr&n '^'&n i s i j n g^adië^, en de r i c j h t i n g imn de gölxstrsfèl t.ö. ^daanY&n. I n p r i n c i p e i a d s ^ r a a X !ëo t e bekekenen, I n pï-aktischë n i t w e r k i n g ^mn d i t p r i n c i p e :S5iJn relB v&ïiatie. s ^ g a l i j k (s^ie h.^. féch. Een. 4 m n de -J!!-^, o f örosn
6n vorrêstein); öaatop v e r d t h i e r eebtèr n i e t nader i n g e g a a n .
./öndt nog gévesen op een b i j g o n d e r g e v n l nraa ( 3 ) , d a t s i e h voos-dset ^öij ££ehte, g v e n y i j d i f e t dieïsteljjnöa.
S t e l d a t iU l o o d r e c h t s t n n t op de diëptéliJnen^ aodat Öan i e - . ^ ^ | c ^ ^ ^ ^ L t &
of
3 ^ 20dat ( 5 ) ( 6 ) de v*et "van S n e l X i n s .N.B. I a bö^eagsnössade siethoden v&n grafisöhö e o n s t r n c t i s van g o l f s t r a l e a ^osröt v e e l a l lökanl de v a t m n S n e l l i a s t o e g e p a s t . Dë asj|>iitndan s i j n t e hs^eksnen d,>a.^-. esn ine£li.shai^. B i j oen ijeriödieke b s ^ s g i n g v&a irïije göi'^-sa g e l d t Tosi? e i k vilïekenirig
gê« 4
-^«•biedt gêsaiédeids OTërdf&öht va» suès'gie aaar biksën docs' dö mm-"dèïi d i e s i p a t i e " i H höt beschouwd© g e b i e d .
K i t s mx eea kléin gebied;)êd • vaa bodes t o t opp@2fvlakj g i ^ d s i i a g s .begraasd doos •^«-x'ti" k & l e ^lakkèn doöï^ tw^© golfkammx sn tweê • golfstraXên» Op b&-;is vaa uitgaagsp'uat ( 1 )
göïdt I . ênsx'gië oveï>dï?&oht i g g e f i c - h t l a n g s de gol-fstrèlêrsj 'eïi. i a ' g r o o t t d g e l i j k aan ? 5= S»o per ©srd).ëid -^an (p»a^-rO kaïalaagtes
S t e l . nu kêt gêaxddtlds gedissipsördê r^rsiogm p.s*-v-, oppêrvl&k l i ^ k ' aaa d&n i e
o f w e l
4= r
( 7 )
Hiö.fin feU békend a l s f t x a o t i e u i t b e t g:ol£st3?al©n patïoon. A l s w r d s r - bêkead i s hoe T s f h & n g t m a de disptê en d© lok&l« göXf« p&ï*smêters d a i kaa ¥(s) u i t ( ? ) o p g e l o s t woraien, de r w op d i e p wat<*.x^s Sb ^Ib öa ¥ « ? »
F woï'dt voos- h e t gëbiöd buitêa de :-*»nrtiTf».'.óaoïJi« l e e s t a l bepaald door- s l s e h t s d« diöeij^atié i n de t u ^ b u t s a t -v^ïoade:?*» stélde .gï-ëEelaag b i ^ de bod^w béeoKéu^ött,
S t 0 l d a t d© moaejitanê b o d ^ m s e h u i f s p s i i a l f t f g e l i j k l a
(a)
y a a r i a u,^ d@ sntlhsidsTéötor lö 'flak b u i t e n de gr&ml&&g d^ bo-dea« Hêt g-eïsiiddêlds gsdissipésrö r&TmoB@n p^e.T. oppeierXsk i s daa
de iinöaiïö bsri&dering y o o r u ^ g e e f t d i t
( 1 0 )
Be ooëfficiirtt 0^. i s i'n QX'öe -^m g r o o t t e g e l i j k a a n' 0 ^ 0 1 (Brétgoha«i« déï-)* ?öox- e§n gödëtalllessde bssohouwirig o a t r s a t O j . ^ i g f u a o t i e Tan de bodemrttwfeeid en d© kaïuaerktn -ran de golfbêwaging b i j dê b o d t a
5 -wordt. Yér^ëgea naaï JOÏISSOB.»
B i j l^^MSSMSMêÈ. ÊMSiMMê. i'^»'^* b i j r@la.tief k l e i a e afstan» den) g a a t ( 7 ) o v ^ r i a 4«§ È O d a t dan öfwöl i n , s (11) Ds s e s j s t f „f^etos? i n h e t r ^ e h t e s - l i d i s dö sMftl^ïM, ffM.ffloliat. Kw* Dia gêeft h e t sffëöt op dê a a p l l t u d e wee» van de v a r i i r ^ n d s
gïO'öpSHtlheid ( b i j TajJiis'snde d i e p t o ) . i s s l e e h t s êên f u n o t i e van kd (ofwêl •van d/L^ of Taa d A ^ ) i s a l s ' a o d a n i g getabélleerd. Da tweede f&ötoï? g e o f t hét s f f e o t op öo s a | ) l i t \ i d e wees? v&n d@ Y s r i a -tiê i a de oMoï'liagê afêtaad r&n tm& a a b u r i g s g o l f s t m l s t t ^ a l s g e v o l g Y&n de fêfraotisj ^ o r d t dé MÊSèSMè. QBMSSMÈSM. genoead. waadde e r v a n haagt a f m a h o t stralittpat^ooïXj d a t op a i j a b«tirt i s bêpaald door dê bodêaïliggingj p e r i o d e , ea hó§k m t t i w a l ve.ti da diep« watör golYea, Kj^ moet i n h e t algeaiên v o o r -elk gOTal Bp&ït worden be* r e k e n d v i a dé golfsti^alen» Bet uitzondeïittg van h e t volgende g e v a l t
MGMki SSèMkMiM.
ÈMS^SMMM. i'éöhtö g o l f kaainsa op d i e p w#ter* D a a r b i j lë ^^/| « ööastfe&t Ib/oösÖ Ib^/oos©^^ isodat&
w a a r b i j bovendien dö wet S a e l X i u s göldt?
- ^ w ê ^
sodat ölèobtè Tan e»..kd ( o f A/hJ & f h a a g t . I a d i t g e v a l i s höt v o o r dö bö^ekêaing v&a Kj. dus s i i e t saodig oa §olfsti*.len të t e -keae&»
4 feoteO-m9a,.Aé,l.dê..mfe^^^^
TR de bovenoaeohrevsii benadeïiBg i s da b a r s k e f t i a g v a n dë ^©fr&c t i o g e s p l i t s t i n t-»esSas
- de s1;ral®a worden e e r s t , l e n , v o o r léa be^skend?
- u i t hét @t^al0rip&t2?ooa .wó£d«tt do s a p l i t u d s n bèpa&ld.
Mark op d a t h i o r b i j ds bêïfekeaiac x^&a ölk van de s t r a l e n v o l l e d i g U lOBgffkoppsld -ran wat e r gobêüS't a s t nabufigé s t r a l e n o f a©t d@ saplltndoïi lïi de Omgéving»rdt i s sen oonsok^entié v d n h e t t i i t g a n g s
« 6
-p u a t (.1,)* I r . gêmliên waaï' d i t aifet moes? opgaat komen w» i a aoéi-l i j k h e d e a . fooïWeïdèmi,
•• éSm&m&m gsMM^m^ Soas g s s f t de fgsseheaatls^eïde) b o d e m l i f -g i n -g a&al^idin-g.. tot.-een v o l -g e n s de refraoti®
•bsn&deri&g abt^upt al'gesnsden golfk^ïs^ m d - ^ b i j de assplittid® d i s o o n t n u son s i j m d i t iu geheel i n s t E ' i j d s s t de g e l e i d e l i j k e v a r i a t i e s veroa« d e ^ s t e l d i a
. B r a n d l l a n e n («Canstios*'). Bom s n i j d e n n a b u r i g e •'golfsty-aaen e l k & a r s a l t h & n s volgens'de r e f s & o t i e ' ben&daï'iagj ©n hebbèn s l j eea emhallende. 3o*n
' l i j a h e e t b r a a d l i ^ s i i de a m p i i t a d e n t e r p l a & t s e s o l d e n o n e i n d i g s i j n , a l w e e r geheel i n s t i - l j d
ln boyengenoeade g e v a l l ^ a kannen de ( v o o y & l s i j d e l i n g e e ) asi-p l i t u d s ^ v a i ' i a t i e s n i e t meer woeden v e r w a r l o o s d . Andes's gsgegdi de g o l f s t r a l e n kunnen n i e t mse? o n a f I m a k e l i j k van eikaaï en v a n h e t
.mpl±t.n&étitBTlöQp worden berefeend. Sen bete3?ê b s s o h r i j v i n g van de • g o l f v o o r t p l a n t i n g i e a o o d s a k e l i j k . De b a s i s hisrvooï i s i n r e o e n t e
t i j d g e l e g d door de. a f l e i d i n g v a n een ve:?geli j f e i a g v o o r de g o l f b e -weging i a ^atêo? v&a v a r i a b e l e diept© (met f l a u w b o d e m h e l l l a g e n ) M 3 ^ i a sowel s f e f r a o t i e - a l s d i f f r a c t i e êffeotea z i j n b e s l o t e n . Op het rmë-jltmt a a l i n h e t volgende seex» beknopt worden iag©ge.aa.
S t e l de Gppe:fvlaktê a i t ^ r i j k i n g i s
waaï'ia
( 1 3 )
(14)
t e n öosplexs g o l f f u a o t i e i s .
Golfkammsn g i j n l i j n e n van oonst&nte .3e gsadiënt van ^ ? , s t a a t l o o d ^ e e h i op l i j n e n v a n öoastaate f ^ en i s dus o v e r & l l a a g e ' de g o l f s t m l s a gêrioht. Be g r o o t t e
-SKV&n s t e l t ds vèraadsïiag vg,a:xde f a s e p,.®,v. l e n g t e vooïfj ®a i e das g e l i j k tón hetlokalê g o l f g e t a l . l o k a l s golflangt© en f e a e s a s l h s i d s i j n due gegsvaa dooï^
L „ . ^ ^ c ^ J ± . . ( 1 5 )
I s Op ö&si.È m a dê oadeï'aaa öt> pag. 1 geaoemda u i t g a a g s p u a t s a doo^ 3öfe8nfaid l a t e r öok, op andere ..anieren, door B e r k h o f f ea Böoia) de ^ e l g e a d e ^ - e ^ g e l i j k i a g * f e ^ l e i d Toor eomaleae gelffaac«
t i e s ,,.,..,-1....;;.^ ^ ' ^ ^ « ^ i ^ # - 1 - 0 1 ( 1 6 )
5
Si@2?ia i s fc de positi«w s?e§le vöt%^1 W de v s s f g e l i j k i a f
^^^^
ea B i s een faaotiê m a k ea d ge-defiaiiex-d door
Verg. ( 1 6 ) i s f a a d a a e a t a e l réoT d t v o o r t p l a n t i n g v a n kcrtö g o l -Yea i a watér ™ mriabelê d i ^ ^ t e . M^rk op d&t ( l 6 ) b i 3 . ooaBteate
d i e p t e x'sduoeert t o t de - ^ e s f g e l i j k i a g T&a H e l a h o l t s .
Yerg. (16) i s w n hét %,g. e l l i p t i s o h ^ s • ty|)S, wfet O.É:* i n h o u d t d a t de o a l o s s i a g i a h o p s a l d p a a t i a p r i n c i p e ftfh&agt m a dö wa^ï^ den van h i a h e t h e l e ot^eïige g.?hiêd| wö heVoéa m«t een m n d « waaï>dön pj^oDleeia t e doen. M t b e f f l o e i l i . f ^ t ds tosD»Bsiagsa, d i e i s vrijwêl allê • g e m l l e a mméT±m zël aoêten g l j a , i a hoge aatë. Voor een siogêll^ke aameri^k© aanpak w o r d t verwesea naaf B e r k h o f f ,
l n h e t volgende èal ( 1 6 ) i a een aadê-r® voxn worden g e a o h r s w a , d i e Biser g e s c h i k t I s os t e l & t e a a i e a d&t oadea hep&aldê vooï?waard@a ( 1 6 ) l a öösentie 'redaoeéï*t töt de r^ede heh^adsldê s ^ e f r & o t i e beaade»-l a g (hoewebeaade»-l h e t ^obeaade»-lbeaade»-lèdigs b e w i j s daèï-Yaa n i e t s a beaade»-l worden gegeven).
We s u b s t i t a e : ? e a h - a i a b e t l i a k e s M i d iraa ( i b ) , s p l i t s e n h e t r e s a l t & a t i a - e e n « i e l d e e l ea #ea iiaagiaaia? d s e l ^ en s t e l l e n b e i d e a f s o a d e r i i j k g e l i j k &aa m i , «et h e t r t s a l t a a t a
ea, •• •
8
-ïïit (19) - b l i j k t d a t h e t l o k a l e g o l f g e t a l i a desa beaa.deyiag a i e t ffiêer g s l i ^ j k i s saa k^ s o a l s i a de r s f r a e t i e - b e a a d e r i n g s m a f d a t h e t
t e k e n s a f haagt" vaa.de a s s ^ l i t a d i ' •'•rariati® a«' T o o r t s kaa 'srorde» aaage» t o o a d d a t ( 2 0 ) e q u i v a l e n t i s aaa è r eaér^ebalaas i a de vor» d t v f « O, • ^ a a r i a dê öne-sgié-overdracht^'-êötor^ia g r o o t t a g e l i j k i s aan
( B a t t d e a ) .
•Stel au d a t do aaplit-ads aser g©l^i<i®lii'k v e r l o o p t ^ s o d a a i g d a t
\ r V | ^ - k \ . . ea ( 2 1 ) dan'rêdaosort ( 1 9 ) t-ot
wat öok v o l g d e u i t dê ïr^fractife bon&dêriag.
M/B.T. •"(•22)...ea ö.e aodige r w ±B t e bersk@si@n| d i t b l i j k t t© kaaaon göbsxirëa l a a g s l i ^ a s a ^-aaraan r s a k t ^ d.i» g o l f s t r a l o a , I s ^ f ( x j y ) eeaBia&i bêkêaö daa kaa d.a.ir. ( 2 0 ) ( s e t v e r m a r l o s i n g vaa ••"^'' téra ) do a m p l i t u d e a l s f a a o t i e v a n «orden berekend.
•Wg'hebbea d&a te we$r de Goav«ationel§ réfraotie bonaderiag» B l i j k -b a a r i s ( 2 1 ) een voorwaarde v o o r de g e l d i g h e i d d&arvaa, *.w*2* v a n
- B a t t . l e s , J c A . , Reiractië van ^mtêrgolven» De ïngeniettrs I 9 6 8 , - B e r k h o f f s J . G / f . j C c a p u t s t i o a o f oombined r @ f r a o t i O B - d i f f r a o t i o a j
?3?oc.. 1 5 t h öonf. on Öoastal Eng. ^ ï&avouverf B« 0 . . 1972^ p, 471¬ 490, •
- Booi3f Pï-opagation o f g r & v i t y ^«a'^os over an uneven b o t t o f f i j M a a u s o r i p t j 1973^
Bret8ohn©idêr. ö.a/^ Hoc-fdstixk 3 i a S s t u & r y and c o a s t l i a s h j d r o d y a a -miöëj. Ed* A > . I p p s a ^ M o a r a w - E i l l . I 9 6 6 ,
«•G*B>R.C„j f s c h ^ Hsp 4^^ Shore P r - o t e o t i o a j P l a n a i a g and Besign^ 1966, - örosn^ sa Sorrestèiaj 5 Seegolvsa^ Staatsdrukkêrij* 1958*
- Joaesonj I . i J . . j Wavè boaadsry i a y a r s aaa f r i d t i o a . f a o t o r s j Proc* iötl Ooaf* oa C o a s t a l Eng.,-,. Tokyo^ 1966.. 1 2 7 - t 4 8 «
« P i s r s o a j W.J,.^ ïhs i n t e r p r - s t a t i o n o f crossed o r t h o g o n a l s i a y/ave • ï-efractioa phéaomsaaj B.l.Bc^ f e c h . Rsp. 21 j 1951»
- Schöafeld^ J«öcs T o o r t p l a a t i a g vaa k o r t e göïVea i a twee d i s e a s i s s . m a n a a o r i p t ^
- ^&ch, A d v i s s Ooamiisslf? vc-óx-^ de Waterkêringên^ Öolfoploop mi Oi-lf-»' övorslag, Ben Haag. 1972.
Toohnisohe Hogeschool D e l f t A f d e l i n g ' Weg- en. Waterbouwkunde V'akgx'oe p V l o e i 'S t o f me oha,rri eo. C o l l e g e Vfh - K o r t e g o l v e n
BIPPEAC'I'IB
Höt b e g r i p " d i f f r a o t i e " ( i n de o p t i c a vaak " b u i g i n g " genoead) omvat'een v e e l h e i d van g o l f v e r s c h i j n s e l e n , zodat een preoieae de-f i n i t i e m o e i l i j k l e t e geven, Y&ak gaat l i e t osa de g - o l de-f v o o r t p l a n t i n g b i j . u i t s t r a l i n g van g o l f e n e r g i e over een b e p e r k t e b r e e d t e ( b . v . v a n u i t een antenne, o f v a n u i t een k o r t g o l f a o h o t i n een breed bas-s i n ) > o f om h e t gedrag v a n reedbas-s aanweaige g o l v e n b i j een o b bas-s t a k e l . Voor de waterbouwkunde b e t r e f t d i t l a a t s t e met name aeegolven b i j een g o l f b r e k e r , w a a r b i j h e t b a l a n g r i j k ; I s om de d o o r d r i n g i n g van de u i t gee aankomende g o l v e n i n h e t gebied aan de l i ; j K i ; ) d e van de éjolf-b r e k e r t e kennenj, o f éjolf-b i j eon éjolf-boorplatforms, o p s l a g t a n k e.d,, w a a r éjolf-b i j het lueer gaat om de door do g o l v e n u i t g e o e f e n d e k r a c h t e n en moïrioaten»
Het v e r e o h i j n s e l kaa Kosel n&t bêhalp van s c h a a l i a a d e l l e n a l s l a n g s wiskundige weg worden ondersioobt. B e t r e f f e n d e de eorstgenoemdo m o g e l l j k h G i d wordt h i e r v o l s t a a n lïiet de opmerking d a t de g o l f l e n g -t e en de h o r i z o n -t a l e a f m e -t i n g e n van h e -t o b s -t a k e l op d o s e l f d e schaal moeten worden g e s i m u l e e r d aangeaien bun v e r h o u d i n g een b e l a n g r i j k e parameter i e voor h(3t diffxU^,otiöps.troon (goalB w e l l i c h t bekend u i t de o p t i c a en a o o u s t i e f c ) . B i j een vjiskundige aanpak kan men numeriek en/of a n a l y t i s o h t e werk gaan. Daarvoor s l j n bepaalde s c h e m a t i s a t i e s nodig» welke g r o t e n d e e l s p a r a l l e l l o p e n . De u i t g a n g s p u n t e n e r v o o r worden in do volgende paragn^aaf genoemd,.,
2 l l i t g a r i f f s p u n t e n
(a) E o t a t i e v r i j e en d i v e r g e n t i e v r i j t ; bevsiaging (b) L i n e a i r e j v r i j e sswaartekraohtsgolven (ö) Constante d i e p t o
(d) Het o b s t a k e l b e s l a a t de gehele diepte» en h e e f t s t a r r e , endoor»» l a t e n d e , v e r t i k a l e ssijwanden
U i t ( b ) vole:t d a t h e t l i n e a i r e o u p e r p o B i t i o b e g i u s e l van tospas¬ s i n g i a . Daarom kunnen we v o l s t a a n mot h e t aoekon ïia&r een harmonisch i n de t i j d ( t ) v o r l o p e n d o oplossing*.
De punten ( o ) en ( d ) l e i d e n w e l i s w a a r t o t een aeer belangrijk© vereenvoudigiög van h e t probleem» maar h e t t o e p a s s i n g e g e b i o d van de
r e s u l t a t e n wordt e r u i t e r a a r d aeer door b e p e r k t (meer dan door de beido e e r s t e p u n t e n ) .
l o r i D u l e r j n i ^ ^
We nemen een r e c h t h o e k i g a a s e n o t e l a e l (x»y,a) met h e t x,y v l a k i n h e t gemiddelde w a t a r n i v e a u j en de p o B i t i o v e is-as v e r t i k a a l om-hoog. De gemiddelde d i o p t e i s d,, de v e r h e f f i n g van h o t o p p e r v l a k boven g i j n gemiddelde s t a n d i s ( x ^ j f t ) ,
Ue s n e l h o i d s p o t e i i t i a a l p moet v o l d o e n aan de v e r g e l i j k i n g - v a n Laplaos %
'èfS »'(< »*•« „
De g e l i n e a r i a e e r d o randvoorwaarden (rvt?) aan h e t v r i j e opper» v l a k a i j n
I I ^ ^ t f " v o o r ^ - 0 ( 2 )
en
| 1 I I v o o r B« 0 , (5)
ïrelke door e l i m i n a t i e van r; de- volgendo' voorwaarde voor jö-gevens
• I S's v o o r a- 0 „ ( 4 )
De overigre x'vw a i j n
O voor - d j (5)
t e r plaatö© van de wan-den van h e t obstakel«
en een r w d i o a a n g e e f t d a t op o n e i n d i g e a f s t a n d v a n oen e i n d i g ob-s t a k e l de g o l f g e l i j k i ob-s aan de gogeven^ ongeob-stoorde g o l f ob-s
ƒ / OP g r o t e a f s t a n d van ( ? ) P %é h e t o b s t a k e l
We s u l l e n aannemen dat de' ongestoorde g o l f een reohtkammige^ sixiusvormige lopende g o l f i s van c o n s t a n t e a m p l i t u d e ^ waarvan de v o o r t -p l a n t i n g s r i o h t i n g een hoek §
met de y-as maakt* CrSwakBhalvs v o e r e n ne een y'-as in<i waarvan de p o s i t i e v e r i c h t i n g seaienvalt met d i e van de ongestoorde g o l f . Dan z i j n
« a,^ Cc^t t y 9
( Q )
de v e r g e l i j k i n g e n van de o p p e r v l a k t e u i t w i j k i n g en van de snelh e i d s p o t e n t i a a l van de ongestoorde g o l f , De b i j b e snelh o r e n d e d i s p e r s i e -r e l a t i e l u i d j s
CaI^ s %k iwmA kd ( 1 0 )
Zeala bekend v o l d o e t deae ongestoorde g o l f aan de voorwaarden ( l ) t/m (5)«. Höt gaat i n h e t volgende om de h o p a l i n g van oen oplossing-v o o r tf en d i o aan de oplossing-voorwaardea ( 1 ) t/m ( ? ) oplossing-v o l d o e t
De ongestoorde golf i s a i n u s v o r m i g i n t , roet f r e k w e n t i e c«a , A l s g e v o l g van de l i n e a r i t e i t van bovengenoemde v e r g e l i j k i n g e n i s de bewoging o v e r a l s i r n i a v o r m i f i n t f met d e g e l f d e f r e k w e n t i e . Voor de o p p e r v l a k t e u i t w i j k i n g i u aanwezigheid van een o b s t a k e l kunnen we dus s t e l l e n
'^fk,)i^t) ^ tiCx,^) -'M^l&^^t-éfOtsy)^ ( 1 ' )
w a a r b i j do a m p l i t u d e a, en de f a s e f* v o o r l o p i g nog onbekende f u n c-t i e s van Xs,y a i j n . Me-t b e -t r a k k l n g -t o -t de s n e l h e i d s p o -t e n -t i a a l i s e r bovendien nog een n i e t ê. p r i o r i bekende a f h a n k e l i j k h e i d v a n z* Eeh-t e r , d o o r d a Eeh-t de wanden van h e Eeh-t obs-Eeh-takol v e r Eeh-t i k a a l a i j n en de h e l e d i e p t e b e s l a a n a a l h e t v e r l o o p van de beweging i n een v e r t i k a a l o v e r a l h e t z e l f d e kunnen a i j n a l s i n de ongestoorde g o l f . We kunnen daarom de volgende oplossinf? p r o b e r e n v o o r y ^ i n aanweaigheld van een o b s t a k e l t
tt "^iin^ Led wat ook gesohrevon kan worden a l s
Samen met de diaporssio r e l a t i e ( 1 0 ) v o l d o e t h e t s t e l s e l
en ( 1 2 ) reeds -aan de voorwaarden (s) t/m ( 5 ) , A l v o r e n s na t e gaan hoo aan de o v e r i g e voorwaarden kan v?ordon volda.an w o r d t de ooïuploxe
s c h r i j f w i j a e ingevoorcU Het l a dêiar-mee r u l , , mog-ölijk om de t i j d a l e o n a f h a n k e l i j k v a r i a b e l e t o e l i m i n e r e n j waartoe de f a c t o r (iOQSa>t +'pt^,'^}
wordt geachreven a l s h e t irrodnot van twee f a o t o r e n d i o r e s p e c t i e v e -l i j k s-leohtö ( x j y ) en t bevatten,, t e r w i j -l d&n bovendien do a m p -l i t u d e 8,(xsj) ön dQ f a s e ilf{Xpy) kunnen wordon geoom-bineerd t o t iéïi complexe
g o l f f u n c t i e ,
Oiïi h a t bovenstaande t e b e r e i k e n h e r B o h r i j v o n we t o t
^tw.-^)- ty> { l ' y ' - i ft (14)
^ - i J f " . .1 Ui) e
w a a r i n h e t voorvoeg-rol "lie'' ho t e k e n t ê "Reële d e e l van" f h o t w o r d t vaak woggölateri,.
Merk op d a t /) i n ( 1 4 ) geschreven i s a l s h e t p r o d u c t van een f u n o t l e v a n (x;<,y)|, oen f u n c t i e vem i?;^ en een f u n o t i o van t t de v a r i -a b e l e n s i j n gesoheidon*
W© d e f i n i S r e n de volgende eomplexoj d i m e n e i o l o g e g o l f f u n c t i e St
Cs^fj^^V) s-i ' " ( 1 5 )
Daarmee wordt ( I 4 )
fó(,%^A) s,JiA i-e^o e (16)
B© g o l f f u n o t l e G h o o f t een modulufs g e l i j k aan
d*w.s» g e l i j k aan ds verhouding; van da l o k a l e g o l f a m p l i t u d e t o t d i e van de ongestoorde g o l f ijwelke v e r h o u d i n g vaak de i^J^SMêÈÈsÈZlS^SMr
o i g a i wordt genoemd, gesohrevon a l a K ^ ) .
Bet argument van ^ ( X g y ) . d . i , l^'(xs,y)s g e e f t de f a s e v a n de g o l f b e w e g i n g weer, a f g e a i e n van het d e e l mt.
6 S^jrergBlijkiA^
?oor de •bepaling \»»i> i»< «eerwaarden waaraan de nu nog onbeken-de g o l f f u n e t i e moet v l d o t r. k.« > t-n we t e r u g naar onbeken-de u i t g a n g s v o r g e l i jk,-* i n g e n . S u b s t l t u t i o van (16) i n do v e r g e l i j k i n g van Laplaoo ( l ) l e v e r t
( i a )
D i t i s de v e r g e l i j k i n g van HeXrofeolts? i n 2 d i m e n s i e s j dese g e l d t alge meen v o o r 2«-dimensionale golveiij, har.monisoh i n t ^ i n oen hoaioguen medium ( v l a k k e g e l u i d s g o l v e n ^ v l a k k e e l e o t r o - m a g n e t i s o h e golveiie, en g o l v e n i n een Membraan knnnen h i e r t o e behoren)^
Door s u b s t i t u t i e van ( l 6 ) i n ( 6 ) v i n d e n we de rv?? S3 D •^o^ p l a a t s e van de p r o j e c t i e van de ''è'Vi g i j w a n d on van h e t o b s t a k e l op h e t
x ^ j - ^ v l a k
( 1 3 )
Om de ï*vf/ ('/') t e vorteJ^on I B een voox-weur-de v o o r G(x^y) her» Sührijven we ( 9 ) t o t
£3 ^tïO € e ( 2 0 )
ata&ien (7).: ©a ( 1 6 ) v o l g t dan d a t
ö p ff-rote a f s t a n d v a n h e t o b s t f i f c e l (21)
Na h e t bovenstaande i s h e t pr-obleem gereduoeei^d t o t h e t b e p a l e n van een o p l o s s i n g van de v e r - g e l i j k i n g v a n HeXoholtss (een l i n e a i r e , homogene 2® orde partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g van h e t e l l i p -t i s o h -t y p e ) i , me-t de rvw ( I 9 ) on ( 2 1 ) .
A n a l y t i s c h e o p l o s s i n g e n van bovenstaande v e r g e l i j k i n g e n s i j n bekend v o o r een a a n t a l speoifiek© obstakels,, o»a* een e l l i p s v o r m i g e c y l i n d e r (met a l s twee extreme g e v a l l e n een o i r k e l o y l i n d e r r e e p , een v l a k k e p l a a t ) f . en een h a l f - o n e i n d i g l a n g e , dunne golfbreker» Laatstgenoemd g e v a l is. o p g e l o s t door Sommerfeld ( v o o r e l e c t r o m a g -n e t i s c h e g o l v e -n ) .
• Het i s g e b l e k e n d a t de Sommerfeld o p l o s s i n g onder a a n z i e n l i j k r u i m e r e voorwaarden t„ö,,.Vf de vorm vau de g'olfbreker i s t o e t e pas-sen dan waarvoor h i j i s a f g e l e i d . Sommerfeld•s o p l o s s i n g vormt i n
6
f e i t e h e t •basis-element van een gangbare hand-methode van d i f f r a c t i e b e r e k e n i n g e n b i j havenmondens en «al om d i e reden i n h e t h i e r n a v o l -gende worden g e p r e a e n t e e r d .
V o l l e d i g h e i d s h a l v e n o r d t opgemerkt d a t do H e l m h o l t z v e r g e l i j k i n g met b i j b e h o r e n d e rvw ook numeriek kan worden o p g e l o s t . B a a r b i j i s men u i t e r a a r d v e e l minder t o t een eenvoudige g e o m e t r i e b e p e r k t . Op numerieke methoden w o r d t h i e r e c h t e r n i e t v e r d e r ingegaan.
8 W;ffra£t3jj2ij^_jMi^ 0 ^ 1 De.,.Jormelj__j)p^
Beschouw een h a l f «oneindig l a n g y o x i o i n d i g dun. s t a r en o n d o o r l a t e n d seherm ( g o l f b r e k e r ) t e r p l a a t s e van de p o s i t i e v e x-as, I n d a t g e v a l wordt ( 1 9 ) '
1 5 O v o o r x>0 en y O U'^J
Voor h e t s t e l s e l ( 1 8 ) , ( 2 1 ) en (?2) h e e f t Sommerfeld v o o r h e t e e r s t de o p l o s s i n g gegeven. De n i s k u a d i g e t o o h n i e k e n d i e b i j de a f -l e i d i n g a i j n g e b r u i k t v a -l -l e n b u i t e n h e t kader van d i t c o -l -l e g e . Som-m e r f e l d <s o p l o s s i n g s a l daaroSom-m saonder h e r h a l i a g van b e w i j s worden ge-r e p ge-r o d u o e e ge-r d . (Opgemege-rkt i s i j d a t Laaib i n a ge-r t . 3ÜB een v e e l eenvoudig-e r a f l eenvoudig-e i d i n g g eenvoudig-e eenvoudig-e f t v o o r h o t g eenvoudig-e v a l van l o o d r eenvoudig-e c h t i n v a l l eenvoudig-e n d eenvoudig-e g o l v eenvoudig-e n , )
A l v o r e n s de Sommerfeld o p l o s s i n g v o o r (i{x,j) t e geven w o r d t opg:emerkt d a t h i j b e s t a a t u i t de som van twee d e l e n j d i e mei de i n
-'i 1 F-, f!-t-a-ivr,rereciVa«-i-cf-s-o cynT r Pimiifitt wordRii a'oaasooiÖ'erdè
Yoor eenvoud i n n o t a t i e j en om de sysametriaohe opbouw van de twee termen t e l a t e n u i t k o m e n , v o e r e n vfe n i e t a l l e e n een h u l p - a s i n ^ i n de r i c h t i n g van de ongestoorde i n v a l l e n d e g o l f , maar ook een h u l p -as y'», i a de r i c h t i n g van de t e r u g g e k a a t s t e g o l f s
Be p o s i t i e v e y^- en j'''*-assen vormen de gT&nmn van de r e s p , geo-i geo-i geo-i e t r geo-i s o h e sohadgeo-imgebgeo-iedeaf dcS, de gebgeo-ieden w a a r geo-i n bgeo-i,1 r e c h t l geo-i j n geo-i g e s t r a l e n g a n g de g o l f b e w e g i n g a i e t aou d o o r d r i n g e n . Boor diffraeti© i s i n dese gebieden i n f e i t e n a t u u r l i j k wel enige g o l f b e w e g i n g aan-weaig.
De door Sommerfeld gegeven o p l o s s i n g van h» i, r t r l s e l v e r g e l i j k -i n g e n ( 1 8 ) j ( 2 1 ) en ( 2 2 ) kan worden geaohrevea a i o
MJ é l ( 2 3 )
H i e r i n i e r - ( x " p /')^ ^ mi. L - 2 w/k i s de g o l f l e n g t e van de on-gestoorde golf» Be bovengrengen i n (25) k r i j g e n esn p o s i t i e f t e k e n b u i t e n h e t geometrische sohaduwgebied van de b e t r e f f e n d e g o l f ( i n -v a l l e n d e resps ternggökaatste)j oa een n e g a t i e f t e k e n daarbinnen^
Be o p l o s s i n g koai i a v e r k o r t e vorm worden weergegeven door in*" v o e r i n g van de roële parameters en v?^*!
, g g-.y'^ , ^
en v a n de ooniplexe g r o o t h e i d x/ g e d s f l n i i e r d door ' r
( 2 6 )
I n h e t volgende g a l getracsht worden ©en antwoord t e geven op ds v r a g e n wat deze o p l o s s i n g v o o r s t e l t , @n hoe we ermee op een p r a k -t i s c h b r u i k b a r e a a n i e r -t o -t aumeriofce waarden kimnen komen,
•2 i£ifij.oh©_bO£a^^
üit ( 2 5 ) b l i j k t d a t de o p l o s s i n g u i t twee termen b e s t a a t d i e i d e n t i e k van opboiu!?- s i j n * , Z i j b e v a t t e n een f a c t o r d i e reapc, overeen» komt met do ongestoorde i n v a l l e n d e g o l f {&"^"^^'^'^'} en met de terugg©-k a a t s t e g o l f (&"''^'^^^^ ' ) , Koala a a l b l i j terugg©-k e n geven de f a o t o r e n waarmee
" i k y * «Jkv^ *
e r e s p . e worden v e r m e n i g v u l d i g d > de u i t b r a i d i n g weer v a n d@ i n v a l l e n d e r e s p . t e r u g g e k a a t s t e g o l v e n i n hun r e s p . geometrische
8
schaduwgebieden J- en de e f f a o t a a van d i e u i t b r e i d i n g op-de g o l f b e w e g i n g b u i t e n deae gebieden. Gezien de i d e n t i e k e opbouw van de twee termen i a h e t v o o r de b e a n t w o o r d i n g van de b o v e n g e s t e l d e v r a g e n i n e e r s t e i n s t a n t i e voldoende om s l e c h t s één van b e i d e termen t e beschouweni we k i e a e n d a a r v o o r de e e r s t e > overeenkomend met de I n v a l l e n d e golf»
ff
De f a c t o r w bevat een i n t e g r a a l met een. complexe i n t e g r a n d j door s p l i t s i n g van deae i n t e g r a n d i n eon roëol d e e l on een i m a g i n a i r dselg @n door h o t opsplit#s©r< van, h e t iatogratie-intörval i n twee d e l e n ^ kan d i e i r i t a g : r a a l gesohrevon worden a l s
cm 0 S^d'i
t /
"Sém. S:^ gJ4
( 2 7 ) Dé laatstgenoemde v i e r i n t e g r a l e n s t a a n bekend a l e i n t e g r a l e n v a n Freaiie^l I SS I Cd. ( 2 8 )T a b e l l e n van deg© f u n c t i e s «ijn o.a, i e v i n d e n t n Abraroowitz. Een s c h e t s van h e t f u n o t i e v o r l o o p g e e f t h e t volgende b e e l d t
1 j.
jm-Door I n v o e r i n g van ( 2 8 ) wordt ( 2 7 )
W .X
C^'^'^e/^ C ( X ) » C S ( A ) ( 2 9 )
Boor v o o r opeenvolgend© waarden van A, C(A) u i t t e s e t t e n l a n g s d@ roè'le aa.^ ^ •i»s(A) l a n g s de i m a g i n a i r e bm^, en do daaraia©
„ 9 „
volgend© sehelis l i n k o gegeven b e e l d , do e,g« s p i r a a l van Oornui;
j
ols.\
A * 0
Ka o p t e l l i n g v a n i - i i k r i j g e n we k o t r e c h t s g Ipkt mlo b e e l d . D i t ifloet b l i j k e n s ( 2 5 ) nog met é s " ^ i l f worden v e r m e n i g T u l d i g d om ,J(A)%<è k r i j g e n ^ d,w*B. h e t moet wordon g e d r a a i d over een hoek v a n
r a d i a l e n (45*^) en \sorden v e r k l e i n d met een f a c t o r J 2 „ D i t g e e f t
^ is^ { M m
0
•Wtsr ©ö < A < O*
A < o A-V- Oö
\J\.\G\
Door de waarden van A a l s parameter b i j de s p i r a a l van Gornu t e s o h r i j v e n kunnen w© dus d i r a o t langa grafisch© weg de waard© van het eomplexo g o t a l !J('A) v i n d e n b i j o l k e gegovan waarde van A^ b.v. A^ ( d i e b e p a a l d w o r d t door de l i g g i n g van h e t punt ( x ^ ) w a a r i n Q ( x i y ) moet T-rorden b e r e k e n d ) . I n de b i j g e v o e g d e s p i r a a l van Gornu i s gemakshalvej om rekemïork t© besparens; n i e t de waardo van de bo=» vengrens A saelf (= * 2 v j f / ) a l s p a r a m e t e r bi^geeclu-even, maar de
waarde van w (« ik ).
Y o o r b e e l d i L o o d r e c h t e i n v a l j L •= 50mj bepaal v o o r htst p u n t ( x - - S O f f l j y « - 4 0 m ) . Opl.s r = (( - 3 0) " t( - 4 0 ) ' - ) ^ - 50m|/punt b u i t e n Sühaduwgebied i n v a l l e n d e g o l f dus + t e k e n j s n i r a a l van Cornuf
pi-i', t'gi
» 10
-Ora de waarde v a n G(x,y) i n een bepaald punt t e berekenen zouden we dus a l s v o l g t t e werk kunnen gaans
( 1 ) Bereken r , y' en y'' u i t x, y en O . ( 2 ) Bereken w' = ( r - y ' )/b en w" = ( r - y ' ' ) / l .
( 5 ) Bepaal h e t t e k e n d a t aan Jw' en moet worden gegeven (- i n h e t schaduwgebied, + d a a r b u i t o n ) .
( 4 ) Bepaal 5 ( i i \ / ^ ) en Ü^l ïK/) m.\).v. de s p i r a a l van Gornu ( a l l e e n g r a f i s c h ; g e t a l l e n a f l e z e n i s nog n i e t n o d i g ) .
( 5 ) D r a a i de v e c t o r van de o o r s p r o n g van h e t complexe v l a k naar h e t p u n t / ( f i i f y ' J o v e r een hoek v a n -ky' r a d i a l e n ; a n a l o o g v o o r
( 6 ) Bepaal de v e c t o r i s o h e som van de na ( 5 ) v e r k r e g e n v e c t o r e n (deze i a g e l i j k aan G ( x , y ) ) . De l e n g t e van deze r e s u l t a n t e i s g e l i j k aan K^{x,y); de hoek d i e h i j i n s l n i t met de reële as i s de f a s e
W,B. I n punt 8,4 z a l een b e n a d e r i n g worden i n g e v o e r d waarmee een s t e r -ke v e r e e n v o u d i g i n g m o g e l i j k w o r d t .
8.5 Onderzoek^TO^_de_0£l^^
We z u l l e n nu k w a l i t a t i e f nagaan hoe de r e l a t i e v e a m p l i t u d e v a n de g o l f b e w e g i n g variè'ert i n de omgeving v a n de g o l f b r e k e r . Daartoe b e k i j k e n we gemakshalve beide termen i n h e t r e c h t e r l i d van (25) a f -z o n d e r l i j k . Hun r e a p , m o d u l i , d . i . l ^ l f l ï ^ O l
enWtlS^)
, hangen s l e c h t s van w' r e s p . w'' a f . L i j n e n van c o n s t a n t e w' r e s p . w'' z i j n p a r a b o l e n ! o f w e l zodat - i " t en analoog v o o r w''- 11
De geometrische s c h a d u w l i j n e n (de p o s i t i e v e y*-as r e s p , y«'-as) z i j n gereduceerde p e j a h o l e n waarvoor w' = O r e s p , w'* = 0 . Hoe v e r d e r de p a r a b o l e n van de s c h a d u w l i j n a f s t a a n , hoo g r o t e r w' r e s p . w" „
We z u l l e n nu het v e r l o o p met de p l a a t s ns-gaan van de modulus van de term d i e de i n v a l l e n d e g o l f v o o r a t e l t . I n punt d a t op de geometrisohe s c h a d t i w l i j n van de i n v a l l e n d e g o l f l l g t ^ i s w' = O, Het punt i n de s p i r a a l van Gornu d a t daarmee overeenkomt (Q') i s h e t symmetrie p u n t i b l i j k b a a r i s 1^ 1 = öaande van Q naar R d o o r s n i j d e n we p a r a b o l e n van steeds g r o t e r e
w'. Aangezien we i n h e t schaduw-g e b i e d z i j n moet aan \/w"' h e t - t e k e n worden toegevoegd. I n de s p i r a a l van Gornu gaan we dan van Q' i n de aangegeven r i c h t i n g naar
R', d.w.z. dat de modulus -wêü i ^ l d a a r b i j monotoon afneemt. Gaan we e c h t e r van Q naar f , en v e r d e r ^ dan d o o r s n i j d e n we eveneens p a r a -b o l e n met steeds g r o t e r e w', maar nu met een +teken v o o r /w'. De l e n g t e van de b i j b e h o r e n d e v e c t o r i n de s p i r a a l van Gornu neemt daarb i j e e r s t toe t o t een maximum van ca 1,17 v o o r w' ca 0^36, om v e r -v o l g e n s weer a f t e nemen, dan weer t o e , e t c . De a m p l i t u d e s l i n g e r t
( s t e e d s minder en steeds s n e l l e r ) om z i j n ongestoorde waarde heen b i j toenemende a f s t a n f l van de s c h a d u w l i j n .
O p . s o o r t g e l i j k e w i j z e a l s \S\ kunnen we a r g onderzoeken. Golfkammen z i j n l i j n e n van ' . - c o n s t a n t e f a s e ^ d . i . van c o n s t a n t e a r g ƒ . Z i j b l i j k e n i n h e t
schaduw-g e b i e d onschaduw-geveer c i r k e l v o r m i schaduw-g t e z i j n , t e r w i j l z i j b u i t e n h e t schaduwgebied om de ongestoorde r e c h t l i j n i g e golfkammen heen s l i n g e r e n .
8. 4 0^^^8sins^mB±jrBTWB^
I n bovenstaande o p l o s s i n g i s de t e r u g k a a t s i n g van de, g o l f b r e k e r 100^ (immers, | J = ö^ g e s t e l d t e r p l a a t s e van de g o l f b r e k e r ) . Z e l f s i n g e v a l l e n waar d i t een goede b e n a d e r i n g i s van w e r k e l i j k h e i d b e t e -k e n t d i t nog n i e t d a t h e t e f f e c t e r v a n o v e r a l b e l a n g r i j -k i s . Met na-me i n h e t schaduwgebied van de teru.ggekaatste g o l f , op enige a f s t a n d van de g o l f b r e k e rj i s de b i j d r a g e van de t e r u g k a a t s i n g aan de r e s u l -t e r e n d e g o l f b e w e g i n g van o n d e r g e g o h i k -t e b e -t e k e n i s . L a -t e n w© ons b.v. eens van de g o l f b r e k e r vandaan bewegen l a n g s p a r a b o l e n waarvoor w'
„ 12 ^
c o n s t a n t i s . De b i j d r a g e van de i n v a l l e n d e g o l f z a l dan c o n s t a n t z i j n . Maar we z u l l e n p a r a b o l e n d o o r s n i j d e n van steeds g r o t e r e w'', i n b e t schaduwgebied van de t e r u g g e k a a t s t e g o l f ; do b i j d r a g e van de t e r u g g e k a a t s t e g o l f w o r d t dan dus zowel a b s o l u u t a l s r e l a t i e f steeds k l e i n e r . Op een a f s t a n d van (1 è 2 ) L i s h i j a l v e r w a a r l o o s b a a r . A l s we deze v e r w a a r l o z i n g d o o r v o e r e n dan gaat ( 2 6 ) o v e r i n
G ^ « , v ) | = k . M ^ \ j(tijly) ( 5 2 ) z o d a t dan
en
( 3 3 )
De o p l o s s i n g w o r d t d a a r d o o r zeer v e e l e e n v o u d i g e r : we hoeven nog s l e c h t s w' t e berekenen en h e t b i j b e h o r e n d e punt i n de s p i r a a l van Cornu op t e zoeken. Draaiïng van do overeenkomstige v e c t o r i s n i e t n o d i g v o o r de m e t i n g van z i j n l e n g t e ( d . i . b l i j k e n s ( 3 2 ) de d i f f r a c -t i e coëfficiën-t). De hoek d i e de ongedraaide v e c -t o r i n s l u i -t me-t de reële as s t e l t h e t v e r s c h i l i n f a s e v o o r t u s s e n de g e d r i f f a c t e e r d e g o l f en de ongestoorde g o l f i n h e t beschouwde p u n t , z o a l s - b l i j k t u i t ( 5 3 ) .
U i t metingen i s g e b l e k e n d a t deze b e n a d e r i n g zeer goed v o l d o e t ( z i e b.v. Putnam en A r t h u r ) .
Merk op d a t i n bovenstaande b e n a d e r i n g s l e c h t s een f u n c t i e i s van w'. Langs p a r a b o l e n van c o n s t a n t e w' i s dus tevens K^^ con-s t a n t .
V o o r b e e l d van de vereenvoudigde o p l o s n i n g t S t e l d a t i n h e t onderaan op pag. 9 gegeven v o o r b e e l d de ongestoorde g o l f h o o g t e 2m zou z i j n . Wat zou de hoogte i n h e t punt z i j n d a t i n h e t v o o r b e e l d i s genoemd? O p l . j we hadden a l g e z i e n d a t i n d a t punt \ ^ ^ t t J P ) l =» 1,0?; de g o l f h o o g t e zou dus 2,14m z i j n .
Een k w a l i t a t i e v e u i t l e g van de vereêVoudigde o p l o s s i n g van Somm e r f e l d i s t e geven Sommet h e t p r i n c i p e van Huygens, Een inkoSommend g o l f -f r o n t w o r d t d a a r b i j opgevat a l s een r i j van e l e m e n t a i r e g o l -f b r o n n e n . Door de b i j d r a g e n van d e r g e l i j k e bronnen aan de g o l f b e w e g i n g i n een bepaald punt vectoriëel (dus met i n a c h t n e m i n g van f a s e n ) op t e t e l l e n voor een o n e i n d i g l a n g , ononderbroken g o l f f r o n t , o n t s t a a t de s p i -r a a l van Co-rnu. I n aanwezigheid van een ( o f mee-r) g o l f b -r e k e -r ( s ) wo-r- worden voor de b e p a l i n g van de g o l f b e w e g i n g aan de l i j z i j d e n i e t de b i j -dragen van a l l e bronnen van - © o t o t + ao gesommeerd, maar s l e c h t s de b i j d r a g e n van d i e bronnen d i e n i e t door de g o l f b r e k e r ( s ) worden geb l o k k e e r d . Voor de t o t nu toe gebeschouwde h a l f o n e i n d i g l^nge g o l f geb r e -ker b e t e k e n t d i t een sommatie ( i n t e g r a t i e ) van ~ oo t o t een e i n d i g e bovengrens; z i e (25) en ( j l ) .
>1 l£n_iSlLeJ^.A.„ii^^
Een zeer b e l a n g r i j k e c o n s e q u e n t i e van h e t v e r w a a r l o z e n van de i n v l o e d van de t e r u g k a a t s i n g i s d a t daarmee, voor d i e gebieden waar de v e r e e n v o u d i g i n g g e l d t , h e t d i f f r a c t i e - v e r s c h i j n s e l geheel een r a n d e f f e c t i s geworden. Daarmee w o r d t bedoeld d a t voor de r e s u l t e -rende g o l f b e w e g i n g i n een punt u i t s l u i t e n d nog de l i g g i n g van d a t punt t . o . v . de s c h a d u w l i j n van b e l a n g i s , z o a l s d i e t o t u i t i n g komt i n de parameter + \/w^. Het e f f e c t van de g o l f b r e k e r i s dan e q u i v a l e n t aan h e t b l o k k e r s n van een d s s l van de i n v a l l e n d e g o l v e n , en b e t u i t -s t r a l e n van een b i j b e n a d e r i n g c i r k e l v o r m i g e -s t o r i n g v a n u i t de kop van de g o l f b r e k e r . Het l i g t dan voor de hand om t e v e r o n d e r s t e l l e n dat de g o l f b r e k e r d a a r b i j n i e t meer
r e c h t b e h o e f t t e z i j n : a l s h i j maar o n d o o r l a t e n d i s . De g o l f b e w e g i n g i n het h i e r n a a s t getekende punt P zou dan voor a l l e d r i e g e s c h e t s t e g o l f -b r e k e r s d e z e l f d e z i j n . De l i g g i n g van de p a r a b o l e n van c o n s t a n t e w' en K^^ i s immers geheel b e p a a l d door de kop van de g o l f b r e k e r en de i n v a l l e n d e g o l v e n . 2 0£eningen
De Sommerfeld o p l o s s i n g i s ook t e g e b r u i k e n voor g e v a l l e n waar-i n twee g o l f b r e k e r s aanwezwaar-ig z waar-i j n met een" openwaar-ing er t u s s e n . I n d waar-i t
.14
g e v a l moet de s t o r i n g vèn b e i d e k o p p e n i n r e k e n i n g wordén g e b r a c h t , E l k v a n . d e z e s t o r i n g e n w o r d t i n f e i t e op g i j n b e u T t v e r s t o o r d d o o r de a n d e r e g o l f b r e k e r . A l s de k o p p e n e e h t e r op v o l d o e n d g r o t e a f > ^ t a n d v a n e l k a a r l i g g e n ( > . ca 2 L ) d a n k a a d i a s e c u n d a i r e i n v l o e d w o r d e n v e r w a a r l p o . s d e n k u n n e n we de s t o r i n g e n b e p a l e n ' met' b e h u l p van de Som-m e r f e l d o p l o s s l n g e G e b r u i k e n we d a a r v o o r de v e r e e n v o t t d i g d e v e r s i e d a n i s h e t r e a u i t 0 , a t w a a r i n X en (35) De o n d e r g r e n s k r i j g t e e n t e k e n t e g e n g e s t e l d a a n de t o t d u s v e r g e m a a k t e a f s p r a a k . H e t 4 en - t e k e n t u s s e n de h a a k j e s k a n op de g e b r u i k e l i j k e m a a i e r wordjïn v a s t g e s t e l d . Een v , b . ; Z o a l s g e z e g d g a a t bovengenoemde a a n p a k n i e t op b i j nauwe p p e n i n -g ^ ^ i i V o o r d i s -g e v a l l s a h a b b e n Mors© sn H u b i n s t s i n t^an -göbfêol a n d s r G o p l o s s i n g g e g e v e n . I n p r i n c i p e i a d e z e g e l d i g vhht willekeurig© B/L .(B S b r e e d t e o p e n i n g ) ^ maar de o p l o s s i n g w o r d t g e g e v e n , i n de v o r m v a n e e n r e e k s w a a r v a n de som s l e c h t s g o e d i s t e s c h a t t e n a l a B/L a i e t a i t e g r o o t i s ( < c a 2 ) , V o o r d e t a i l s w o r d t verweiaen n a a r e^n , a r t i k e l v a n Carr.;en S t e l g r i e d e . . • . ï L i t e r a t u u r A b r a m o w i t s j , M, en S t e g u n ^ I . A . f Handbook o f M a t h e m a t i c a l F u n e t i o n s j D o v e r P u b l i c a t i o n s ^ I n c , , , New Y o r k , I 9 Ó 5 .
C a r r , J.H. en S t e l z r i e d o , M.E.j D i f f r a c t i o n üf V/ater Waves by•Break™ w a t e r S f , i n G r a v i t y V/avesj C i r c 521, N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s , V / a s h i n g t o n , B.C., 1952, p. 109-125.
Lamb., H. , l i y d r o d y a a m i c s , 6de 12d, , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1932.
P u t n a m j J.A. en A r t h u r , 11. H.^ D i f f r a c t i o n o f W a t e r V/aves b y B r e a k -w a t e r a , T r a n s . . Am. Geoph. U n i o n , a^» 4, a u g , 1948. ,, . • ,
S o m m e r f e l d , A.^ M a t h e m a t i s c h e T h e o r i e d e r D i f f r a c t i o n , Math. Ann., hl, 1896, p. 317-374,
ktl ' imm M COSK ltd Q 0 0 0 0 1 1 ,010 ,015 .020 .02836 .05763 , I7S2 .2333 .3119 . .176^^ . 3022 .1791 .2560 .3170 .3701 n o i 5 9 1. 0 3 2 2 1,.0490 1*0663 1.69a 1A35 1.307 1.226 .9896 .979s .9690 49588 .030 .035 Mo .06^78 ,07135 ,077'+Ö .08329 »08883 . JiOTO M m .5581 , 3860 .4517 Ji802 ,5066 A m «5876 i . i o s t 1.1009 1, 1S401 • • 1^1599 1.168 1.125' 1.09s i . o f e .9368 .9289 .919s .050 .055 .060 «065 .09930 .I0I+3 .1139 3916 .6039 .6553 M60 ,7157 .5538 .5753 J267 .6652 .7033 C.T763 n i 8 o e 1,2011 1,2672 1,023 1,007 .9932 .9815 ,9713 .899? . .8905 .8811 .8719 «8627 .015 ,080 .085 «090 .095 ,1166 .1877 .1322 .1366 .8503 M33 ,68ü8 .6953 .8162 .8530 .8915 .9677 1.2900 1.3397 1.3653 1.3917 S5hB • ,9371 ,6537 .8273 .8187 .100 .110 ,120 .130 .ihQ . l U l ü .1581 .1665 49^00 .9936 H O : ) p 4093 .7352 .7589 .780ti-.0002 1.006 l»085 1,165 t.gue • 1,M87 1.ii752 1.5336 1.5990 . 1»667 .93S7 .9257 .9169 .91H6 .8103 .7937 ' .7776 .7621 .7^71 ,150 .160 : i i e ,190 . 1833 ,191? .2000 .2083 .2167 1,t5fe i,20k 1.2^7 MB3 .8501 *8b'4Ü .8767 •1.823 1 .fhO ' 1*817 1.895 1,986 2.079 .9133 ,9130 .913^ .9161 ,7385 ,7ieH .7O:D .6196 .200 C.210 .2kQ .2336 .2506' .2592 1 1 . 5 8 1 1.5T!3 M m .9068 ,9178 .9259 g.179 2 3 1 1 8.397 2.51B .?ii0i *9231 .9361 .9291 ,6677 .6563 ,6256 «250 .260 ,2T0 .880 .290 ,2679 .2766 .3031 1,603 1.T3Ö 1.T93 .9332 .9^4-00 .•.9516 .9567 2.599 a.921 3.097 2,931 3.088 3.25^ 3Jm »9323 «9356 .9390 .616I4 - ..6o?6 3917 .300 .320 .3^0 .360 ,,380 .3181 »367S .3860 ,.,975?. 3-919 H.S>7^ 5.07a 3.697 .9553 ,9613 .9667 .9717 .5777 ..5^57 ,5380 Jm Mo Mo Mo .500 Jmo M M Ak3k . t ó a e JI822 .5018 2,786 a,908 3.030 3.153 ,9877 0 99^11 .9953 .996% 7.1^46 S,0T5 10,sa-l i «éa 6.km 7.215 9.1BÖ 10.37 .9761 .9798 •,9832 , .9885 3173 .5115 Vcor i i y 1 1-0
