Zadanie 1
Urna zawiera 2 kule białe i 3 czarne. Wyciągamy kolejno dwie kule, bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą tego samego koloru?
- zauważenie, że zdarzenia wykluczają się (kule nie mogą być jednocześnie białe i czarne);.
- skorzystanie ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy;
- obliczanie wartości obu składników;
- analiza przypadków;
- przedstawienie wyników obliczeń w formie drzewa.
Każda gałąź opisuje pewien możliwy przebieg doświadczenia. Prawdopodobieństwo obliczamy, mnożąc prawdopodobieństwa odpowiadające tej gałęzi.
5 2 10
3 10 ) 1 lub (
10 3 4 2 5 ) 3 (
10 1 4 1 5 ) 2 (
CC BB
P CC P
BB P
Zadanie 2
Masz w kieszeni trzy klucze, z których tylko jeden jest właściwy. Sięgasz po klucze kolejno, niewłaściwe przekładając do drugiej kieszeni, aby wyciągnąć właściwy klucz.
Rozwiązanie:
Metoda pierwsza:
Niech pi oznacza prawdopodobieństwo, że właściwy klucz zostanie wyciągnięty za i-tym razem. Ponieważ klucz może być wyciągnięty za pierwszym razem, za drugim razem albo za trzecim razem, a każda z tych możliwości jest równie prawdopodobna, więc
p
1= p
2= p
3=
1/
3stąd
m = 1∙ p
1+ 2
∙p
2+ 3
∙p
3= (1 + 2 + 3) ∙
1/
3= 2
co oznacza, że średnio rzecz biorąc, właściwy klucz wyciągniemy za drugim razem Metoda druga:
Możliwe wyniki przedstawia poniższe drzewo, gdzie W
oznacza wyciągnięcie klucza właściwego, a N –
jednego z kluczy niewłaściwych.
za pierwszym razem
za drugim razem za trzecim razem Zatem:
m = 1
∙
1/
3 + 2∙
2/
3∙
1/
2 + 3∙
2/
3∙
1/
2∙
1=
1/
3+
2/
3+
1 = 2 Zadanie 3Na loterii jest 100 losów, w tym 4 wygrywające.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 kupionych losów będą dokładnie 2 wygrywające?
Odpowiedź:
98 99 100
96 3 4 3
Wnioski: zauważenie, kiedy ta metoda staję się kłopotliwa.
Zadanie 4
W partii 20 kubków są 3 sztuki wadliwe.
Jakość partii sprawdzamy, wybierając losowo 3 egzemplarze.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych egzemplarzy będą:
a) same dobre – odp. ok. 0,6 b) same złe – odp. 0,0009
c) co najmniej jeden zły – odp. 0,4 d) co najmniej jeden dobry – odp. 0,9991 Zadanie domowe
Z talii złożonej z 52 kart losujemy bez zwracania 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie wśród nich co najmniej jeden as?
