(k) P∞n=1sin π√ n2+ 1 ;(n) P∞n=1logn(n+1)n2+1 ;(p) P∞n=1(1− √1 n)n;(q) P∞n=1n1log(1+n1) ;(r) P∞n=1( √n−1+√ n+1 2

II seria zada« domowych z Analizy I 18.11.2015

Zad. 1 (a) P^∞n=1

1 nE(√

n) ; (b) P^∞n=1(_E(^√1_n)−^√1_n); (c) P^∞n=1 (−1)ⁿ√

n E(n√

2); (d) P^∞n=1sin_n+1^n2π ; (e) P^∞n=1(√ n + 1−

√4

n²+ n + 1)^p; (h) P^∞n=1(³⁻²ⁿ_3+2n)ⁿ; (k) P^∞n=1sin π√

n²+ 1 ;(n) P^∞n=1logⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾_n2+1 ;(p) P^∞n=1(1−

√1

n)ⁿ;(q) P^∞_n=1n¹log(1+_n¹) ;(r) P^∞_n=1(

√n−1+√ n+1

2 −√

n) ;(s) P^∞_n=1n(n+1)ⁿⁿ⁺¹n ;(t) P^∞_n=1^log(2n+1)_np ; (u) P^∞_n=1³³

√

n2 +1

2ⁿ ;(x) P^∞_{n=1 n}√ ¹

(n+1)(n+2)...(n+n) ;(y) P^∞_n=1(_1+n²⁺ⁿ₂)^p;(z) P^∞_n=1 ⁿⁿ⁺¹

(2n²+n+1)ⁿ⁻¹2

; (aa) P^∞n=1

(n−_2n¹)ⁿ n^{n− 1}2n

;(ac) P^∞n=1( q

1 +_n¹−q

1 −_n¹) ; (ad) P^∞n=1 n³ 5

√

2n ; (ae) P^∞n=1n³3⁻

√n; (af) P∞

n=1log(cos_n¹) ; (ag) P^∞n=1(−1)ⁿlog(1 +_n¹); (ai) P^∞n=1n! sin₂^πn ; (ak) P^∞n=1

 3n n

 11⁻ⁿ ; (al) P^∞n=1

3n

n
7⁻ⁿ; (an) P^∞n=1(ⁿ⁻¹_n+1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ; (ao) P^∞n=2 1

n log n ; (ap) P^∞n=2 (−1)ⁿ

n log n ; (aq) P∞

n=1 (n!)²

(2n)! ; (ar) P^∞n=2 1

(log n)^{log n} ; (as) P^∞n=2(log n)− log(log n); (at) P^∞n=2(log log n)^{− log n}; (au) P∞

n=1 1 n√ⁿ

n ;(aw) P^∞n=1 n^p

n√

n!; (ax) P^∞n=1(¹_n−logⁿ⁺¹_n ) ; (ay) P^∞n=1(^(−1)√_nⁿ+_n¹) ; (az) P^∞n=3 (−1)ⁿ E(^√n

5); (ba) P^∞n=1(2 − √ⁿ

n)ⁿ ; (bb) P^∞n=1(1 − ⁿ q

1 − _n¹); (bc) P^∞n=1sin(π√ⁿ

n³+ n) ; Zad. 2

Dobra¢ parametry a, b, c tak, »eby funkcje f, g : R → R okre±lone nast¦puj¡co:

a) f (x) =











sin ax

x dla x < 0

x³−1

x²+x−2 dla 0 ≤ x < 1

c dla x = 1

x²+(b−1)x−b

x−1 dla x > 1

; b) g(x) =

( ₁

1+e^a/x dla x 6= 0 b dla x = 0.

byªy ci¡gªe na R.

Zad. 3

Wyznaczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(b) = ^ax+b_a+b, ¡) f(x) = (x − a)(x − b), b) y(x) = (x + 1)(x + 2)²(x + 3)³, c) f(x) = (x sin t + cos t)(x cos t − sin t), ¢) f(t) = (x sin t + cos t)(x cos t − sin t), d) y(x) = (1 + nx^m)(1 + mxⁿ), e) f(x) =¹_x+_x²2 +_x³3, ¦) f(x) =^αx+β_γx+δ, f) f(x) = ^(1−x)_(1+x)^pq, g) f(x) =^√1_x+ ^√₃¹_x, h) f(x) =q³

1 +p³ 1 +√³

x, i) f(x) =q³

1+x³ 1−x³, j) f(x) = ^n+mp(1 − x)^m(1 + x)ⁿ, k) f(x) =^√_1+x2(x+¹√

1+x²), l) f(x) = cos(2x) − 2 sin(x), ª) f(x) = sin(cos²x) cos(sin²x), m) f(x) = _cos¹nx, n) f(x) =sin x−x cos x

cos x+x sin x,

«) y(x) = tg(^√₇^x) ctg(

√x

7 ), o) f(x) =_sin2(x/a)¹ +_cos2(x/a)¹ , ó) f(t) = e^−t2, p) y(x) = e^tg(1/x), q) z(t) =

1−t²

2 sin t −^(1+t)₂ ²cos t

e^−t, r) f(x) =a sin(bx)−b cos(bx)

√a²+b² e^ax, s) ξ(t) = t^aa+ a^ta+ a^at, (a > 0), ±) f(x) =¹₄ln^x_x²2⁻¹+1, t) y(x) = ₂^√1₆ln^x

√3−√ 2 x√

3+√ 2, u) f(x) = _1−k¹ ln^1+x_1−x−

√k 1−kln^1+x

√k 1−x√

k, (k > 0), v) r(t) =√

t + 1 − ln(1 +√ t + 1), w) f(x) = ln(x+√

x²+ 1)−arcsinh x, x) φ(t) = ln tg ₂^t+^π₄

, y) f(x) = ln^{b+a cos x+}_{a+b cos x}^{√b2−a2sin x}, (0 < a < b), z) f(t) = t(sin(ln t) − cos(ln t)), ¹) y(x) = x +√

1 − x²arc cos x,

») f(x) = x arc sinq _x

1+x+arc tg√ x−√

x, α) f(x) = arc sin(sin x), β) f(x) = arccot sin x+cos x sin x−cos x

, γ) y(x) = arc sin ^1−x_1+x²2

, δ) y(t) = arc cos sin²t−cos²t

, ) f(x) = em arc sin x(cos(m arc sin x)+

sin(m arc sin x)), ζ) f (x) = (log x)^logxx, η) y(x) = arc tg(tgh x), θ) f (x) = √^x x, ι) f (x) = ^{ln x}√

ln x.