Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki – wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela
W tym materiale pokażemy, jak wykorzystać wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki.
Zapisywanie wyrażeń algebraicznych
w postaci iloczynów wcale nie jest takie łatwe, jak może ci się wydawać. Po pierwsze nie zawsze jest to możliwe (w zbiorze liczb rzeczywistych), a po drugie w wielu
wypadkach trzeba się nieźle natrudzić, żeby tego dokonać.
Matematycy przez kilka stuleci usiłowali znaleźć odpowiedź na pytanie – czy każdy wielomian stopnia co najmniej można rozłożyć na czynniki. Rozstrzygającą
odpowiedź na to pytanie dał w XVIII wieku jeden z najsłynniejszych matematyków wszechczasów Carl Gauss, który mając zaledwie lata udowodnił, że każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (niestety, w wielu wypadkach przy użyciu o wiele bardziej zaawansowanych narzędzi niż te, którymi dysponujesz).
Twoje cele
Wykorzystasz wzory skróconego mnożenia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki.
Dobierzesz najefektywniejszy sposób zapisania w postaci iloczynu wyrażenia algebraicznego, analizując postać tego wyrażenia.
3
22
Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki – wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Carl Gauss
Źródło: domena publiczna, [online], dostępny w internecie:
commons.wikimedia.org.
Przeczytaj
Rozkład na czynniki (faktoryzacja) wielomianu polega na znalezieniu takich wielomianów jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Przy czym znalezione
wielomiany nie mogą być tego samego stopnia (lub wyższego) co dany wielomian.
W tej części materiału zajmiemy się rozkładem wyrażeń algebraicznych na czynniki, z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia drugiego stopnia. Przy czym wyrażenia będą miały postać wielomianu:
gdzie:
– dane liczby rzeczywiste.
Przypomnijmy najpierw potrzebne wzory.
Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:
Ważne!
Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
Ważne!
Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
Ważne!
Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy
Przykład 1
Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwijamy” wtedy sumę w kwadrat
a
nx
n+ a
n−1x
n−1+. . . +a
1x + a
0a
0, a
1, . . . , a
n(a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2(a − b)
2= a
2− 2ab + b
2(a − b)(a + b) = a
2− b
2dwumianu, a następnie zapisujemy kwadrat w postaci iloczynu.
Przykład 2
W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Przykład 3
Teraz przed nami trudne zadanie. Aby rozłożyć podane wyrażenie na czynniki, musimy pogrupować najpierw odpowiednio składniki, a następnie skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.
Grupujemy składniki.
Wyłączamy wspólne czynniki z obu nawiasów.
Ponownie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.
x
2+ 6x + 9 = x
2+ 2 ⋅ 3x + 3
2= (x + 3)
2= (x + 3)(x + 3) x
4+ 8x
2+ 16 = (x
2)
2+ 2 ⋅ 4x
2+ 4
2= (x
2+ 4)
2= (x
2+ 4)(x
2+ 4)
3x
2+ 2√3x + 1 = (√3x)
2+ 2 ⋅ √3x ⋅ 1 + 1
2=
= (√3x + 1)
2= (√3x + 1)(√3x + 1) 25y
2+ 20xy + 4x
2= (5y)
2+ 2 ⋅ 5y ⋅ 2x + (2x)
2=
= (5y + 2x)
2= (5y + 2x)(5y + 2x)
98x
2+ 84x + 18 = 2 ⋅ (49x
2+ 42x + 9) = 2 ⋅ (7x + 3)
2= 2 ⋅ (7x + 3)(7x + 3)
√7x
4y
4+ 14x
2y
2+ 7√7 = √7 ⋅ (x
4y
4+ 2√7x
2y
2+ 7) =
= √7 ⋅ (x
2y
2+ √7)(x
2y
2+ √7)
x
5y + 20x
4y + 100x
3y = x
3y ⋅ (x
2+ 20x + 100) = x
3y ⋅ (x + 10)(x + 10)
A = x
3+ 2x
2+ x + 2x
2+ 4x + 2
A = (x
3+ 2x
2+ x) + (2x
2+ 4x + 2)
A = x ⋅ (x
2+ 2x + 1) + 2 ⋅ (x
2+ 2x + 1)
A = (x
2+ 2x + 1)(x + 2)
Zauważmy, że wyrażenie w pierwszym nawiasie to kwadrat sumy .
Ostatecznie:
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy
Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można stosować wzór na kwadrat różnicy.
Przykład 4
Oto przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym
iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwinąć” sumę w kwadrat różnicy, a następnie zapisać wyrażenie w postaci iloczynu.
Przykład 5
W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
x + 1 A = (x + 1)
2(x + 2)
A = (x + 1)(x + 1)(x + 2)
x
2− 10x + 25 = x
2− 2 ⋅ 5x + 5
2= (x − 5)
2= (x − 5)(x − 5) x
4− 14x
2+ 49 = (x
2)
2− 2 ⋅ 7x
2+ 7
2= (x
2− 7)
2= (x
2− 7)(x
2− 7)
5x
2− 2√5x + 1 = (√5x)
2− 2 ⋅ √5x ⋅ 1 + 1
2=
= (√5x − 1)
2= (√5x − 1)(√5x − 1) 36y
2− 36xy + 9x
2= (6y)
2− 2 ⋅ 6y ⋅ 3x + (3x)
2=
= (6y − 3x)
2= (6y − 3x)(6y − 3x)
128x
2− 32x + 2 = 2 ⋅ (64x
2− 16x + 1) = 2 ⋅ (8x − 1)
2= 2 ⋅ (8x − 1)(8x − 1)
√3x
4y
4− 6x
2y
2+ 3√3 = √3 ⋅ (x
4y
4− 2√3x
2y
2+ 3) =
= √3 ⋅ (x
2y
2− √3)(x
2y
2− √3)
Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać
w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw odpowiednio rozpisać składniki, a nawet dodać lub odjąć odpowiednie wyrażenie.
Przykład 6
Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie .
Do wyrażenia dodajemy i jednocześnie odejmujemy , wyrażenie zapisujemy
w postaci .
Grupujemy składniki.
Wyłączamy z pierwszego nawiasu wspólny czynnik.
Ponownie wyłączamy wspólny czynnik.
Zapisujemy pierwszy z nawiasów w postaci iloczynu – korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów
Najczęściej wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na różnicę kwadratów.
Przykład 7
Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę kwadratów.
a)
x
5y − 18x
4y + 81x
3y = x
3y ⋅ (x
2− 18x + 81) = x
3y ⋅ (x − 9)(x − 9)
B = x
3− 3x
2+ 4
4x 4x −3x
2(−4x
2+ x
2)
B = x
3−3x
2↓
+ 4B = x
3−4x
2+ x
2
+ 4 +
4x − 4x
B = (x
3− 4x
2+ 4x) + (x
2− 4x + 4)
B = x ⋅ (x
2− 4x + 4) + (x
2− 4x + 4)
B = (x
2− 4x + 4)(x + 1)
B = (x − 2)(x − 2)(x + 1)
x
2− 121 = x
2− 11
2= (x − 11)(x + 11)
b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, zastosowujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.
c) Ponownie zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.
d) Wyłączamy najpierw wspólny czynnik poza nawias i korzystamy z tego, że .
Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia
Jeśli chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie algebraiczne, z którego postaci nie możemy bezpośrednio wywnioskować, jaki sposób rozkładu zastosować, sprowadzamy to wyrażenie do najprostszej postaci. I dopiero wtedy ustalamy sposób rozkładu (jeśli ten rozkład jest możliwy).
Przykład 8
Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie .
Krok 1 – wykonujemy wskazane działania
Krok 2 – redukujemy wyrazy podobne
Krok 3 – rozkładamy na czynniki
Przykład 9
Rozłożymy na czynniki wielomian .
Krok 1 – wyłączamy wspólny czynnik
x
4− 1 = (x
2)
2− 1
2= (x
2− 1)(x
2+ 1) = (x − 1)(x + 1)(x
2+ 1)
(x
2− 2)
2− 9 = (x
2− 2 − 3)(x
2− 2 + 3) = (x
2− 5)(x
2+ 1) =
= (x − √5)(x + √5)(x
2+ 1)
√8 = 2√2 4x
5y
2− 32x
3= 4x
3(x
2y
2− 8) = 4x
3(xy − 2√2)(xy + 2√2)
C = (y + 1)
2− (x + 1)
2+ 2 ⋅ (x − y)
C = y
2+ 2y + 1 − x
2− 2x − 1 + 2x − 2y
C = y
2− x
2C = (y − x)(y + x)
D = x
5+ 2x
4− 3x
3− 4x
2+ 4x
D = x ⋅ (x
4+ 2x
3− 3x
2− 4x + 4)
Krok 2 – wyraz wolny wielomianu to , zatem szukamy najpierw możliwości zapisania wyrażenia znajdującego się w nawiasie w postaci iloczynu takich wyrażeń, aby wystąpiło
mnożenie lub albo lub .
Współczynnik przy to . Zatem próbujemy poszukać takich dwóch wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie lub .
„Rozpisujemy” w postaci , aby wyłączyć w konsekwencji wspólny czynnik przed nawias.
Krok 3 – ponownie stosujemy „chwyt” taki jak wyżej – zapisujemy w postaci .
Krok 4 – wyrażenie w ostatnim nawiasie to różnica kwadratów, zatem możemy zapisać to
wyrażenie w postaci: i wyłączyć wspólny czynnik.
Krok 5 – wyrażenie w ostatnim nawiasie zapisujemy jako kwadrat dwumianu .
Ostatecznie:
Słownik
rozkład na czynniki (faktoryzacja)
to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu wielomianów jak najniższego stopnia
4
1 ⋅ 4 2 ⋅ 2 (−1) ⋅ (−4) (−2) ⋅ (−2) x
41
x
2⋅ x
2x ⋅ x
32x
3−x
3+ 3x
3D = x ⋅ (x
4− x
3+ 3x
3− 3x
2− 4x + 4) D = x ⋅ [x
3⋅ (x − 1) + 3x
2⋅ (x − 1) − 4 ⋅ (x − 1)]
D = x ⋅ (x − 1)(x
3+ 3x
2− 4)
3x
2−x
2+ 4x
2D = x ⋅ (x − 1)(x
3− x
2+ 4x
2− 4) D = x ⋅ (x − 1)[x
2⋅ (x − 1) + 4 ⋅ (x
2− 1)]
x
2− 1 = (x − 1)(x + 1)
D = x ⋅ (x − 1)[x
2⋅ (x − 1) + 4 ⋅ (x − 1)(x + 1)]
D = x ⋅ (x − 1)(x − 1)(x
2+ 4x + 4)
(x + 2) D = x ⋅ (x − 1)
2(x + 2)
2D = x ⋅ (x − 1)(x − 1)(x + 2)(x + 2)
Animacja
Polecenie 1
Obejrzyj animację pokazującą wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia w rozwiązywaniu równań, nierówności i dowodzeniu twierdzeń. Spróbuj rozwiązać podane przykłady też w inny sposób, bez stosowania wzorów skróconego mnożenia. Oceń, które sposoby są
najefektywniejsze.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Przykład pierwszy: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej minus jeden równa się zero. Wzór to A do potęgi drugiej minus B do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Drugi wzór: otwarcie nawisu X do potęgi drugiej plus dwa X plus jeden zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X minus jeden zamknięcie nawiasu równa się zero. Trzecia linijka: otwarcie nawiasu X plus jeden
zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X minus jeden zamknięcie nawiasu równa się zero. Czwarta linijka: otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się zero lub X do potęgi drugi plus dwa X minus jeden równa się zero. Piąta linijka: X plus jeden równa się zero lub otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X plus jeden zamknięcie nawiasu minus dwa równa się zero.
Szósta linijka: X równa się minus jeden lub otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej minus otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się zero. Siódma linijka: otwarcie nawiasu X plus jeden
minus pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus jeden plus
pierwiastek z dwóch równa się zero. Ósma linijka: X równa się minus jeden plus pierwiastek z dwóch lub X równa się minus jeden minus pierwiastek z dwóch. Rozwiązaniami równania są liczby minus jeden minus pierwiastek z dwóch przecinek minus jeden przecinek minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Przykład drugi: Pierwsza linia: otwarcie nawiasu cztery X do potęgi drugiej plus czterdzieści X plus sto zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu zero przecinek dwadzieścia pięć minus X plus X do potęgi drugiej zamknięcie nawiasu jest większe niż zero. Druga linia: cztery otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dziesięć X plus dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu zero przecinek dwadzieścia pięć minus X plus X do potęgi drugiej zamknięcie nawiasu jest większe niż zero dzielone na cztery. Następnie wykreślamy cztery z początku. Trzecia linijka: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dziesięć X plus dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu zero przecinek dwadzieścia pięć minus X plus X do potęgi drugiej zamknięcie nawiasu jest większe niż zero. Czwarta linijka: otwarcie nawiasu X plus pięć zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej razy otwarcie nawiasu zero przecinek pięć minus X zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej jest większe niż zero. Stąd: otwarcie nawiasu X plus pięć zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej razy otwarcie nawiasu zero przecinek pięć minus X zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej jest większe niż zero. Wtedy i tylko wtedy gdy X nie jest równe minus pięć i C nie jest równe zero przecinek pięć. Zbiorem rozwiązań nierówności jest R minus
otwarcie nawiasu klamrowego minus pięć średnik zero przecinek pięć zamknięcie nawiasu klamrowego. Przykład trzeci: Pierwsza linijka: W równa się trzy pierwiastek z X do potęgi drugiej minus cztery X plus cztery plus pierwiastek z dziewięć X do potęgi drugiej plus sześćdziesiąt sześć X plus sto dwadzieścia jeden równa się Druga linijka: równa się trzy pierwiastek z otwarcie nawiasu X minus dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X minus dwa zamknięcie nawiasu plus pierwiastek z otwarcie nawiasu trzy X plus jedenaście
zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu trzy X plus jedenaście zamknięcie nawiasu równa się Trzecia linijka: równa się trzy pierwiastek z otwarcie nawiasu X minus dwa zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej plus pierwiastek z otwarcie nawiasu trzy X plus jedenaście zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej Czwarta linijka: W równa się trzy wartość
bezwzględna z X minus dwa plus wartość bezwzględna z trzy X plus jedenaście Piąta linijka:
wartość bezwzględna X minus dwa równa się minus X plus dwa dla X należącego do otwarcie nawiasu minus trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Szósta linijka: wartość
bezwzględna trzy X plus jedenaście równana się trzy X plus jedenaście dla X należącego do otwarcie nawiasu minus trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Siódma linijka:
W równana się minus trzy X plus sześć plus trzy X plus jedenaście równa się siedemnaście.
Ostatnia linijka; Dla X należącego do otwarcie nawiasu minus trzy przecinek jeden
zamknięcie nawiasu wartość wyrażenia jest równa siedemnaście zatem wyrażenie przyjmuje stałą wartość co należało wykazać.
Polecenie 2
Rozwiąż nierówność . Skorzystaj ze wzorów skróconego
mnożenia.
(x
2+ 2x)
2− (2x + 4)
2< 0
Sprawdź się
Ćwiczenie 1
Przyporządkuj iloczyny do odpowiadających im sum.
9 + 25x
2+ 30x 12 ⋅ (x + 5)(x + 5)
x
2+ 2√2x + 2 (x + √2)(x + √2)
12x
2+ 120x + 300 (x + 12)(x + 12)
x
2+ 24x + 144 (3 + 5x)(3 + 5x)
√2 + 2√2x + √2x
2√2 ⋅ (x + 1)(x + 1)
輸
Ćwiczenie 2
Umieść równości na odpowiednich polach.
<math><mn>28</mn><mo>+</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo>
<mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt>
</mrow></mfenced><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><msqrt>
<mn>3</mn></msqrt></mrow></mfenced></math>, <math><mfenced><mrow><mn>7</mn>
<mo>+</mo><msqrt><mn>7</mn></msqrt></mrow></mfenced><mfenced><mrow><msqrt>
<mn>7</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>7</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo>
<mn>14</mn><msqrt><mn>7</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>56</mn></math>, <math>
<mfenced><mrow><mn>6</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow>
</mfenced><mfenced><mrow><mn>6</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn></msqrt>
</mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>42</mn></math>, <math><mfenced><mrow>
<mn>2</mn><msqrt><mn>11</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt>
</mrow></mfenced><mfenced><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>11</mn></msqrt><mo>+
</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>46</mn><mo>+
</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>22</mn></msqrt></math>, <math><mfenced><mrow>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow>
</mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt>
<mn>2</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>+</mo>
<mn>2</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt></math>, <math><mo>-</mo><mfenced><mrow>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow>
</mfenced><mfenced><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><msqrt>
<mn>6</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>9</mn><mo>+
</mo><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>, <math><mo>-</mo>
<mn>133</mn><mo>-</mo><mn>20</mn><msqrt><mn>10</mn></msqrt><mo>=</mo>
<mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>-</mo>
<mn>5</mn><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mrow></mfenced><mfenced><mrow>
<mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>5</mn><msqrt><mn>5</mn>
</msqrt></mrow></mfenced></math>
Równości prawdziwe
輸
Równości fałszywe
Ćwiczenie 3
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.
Jedną z metod rozkładu wielomianu na czynniki jest grupowanie wyrazów.
Faktoryzacja wielomianu to zapisanie wielomianu w postaci sumy.
Aby rozłożyć na czynniki wyrażenie postaci , gdzie można zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Każde wyrażenie , gdzie , liczby naturalne dodatnie, można zapisać w postaci , gdzie , pewne liczby rzeczywiste.
x
2− a
2a ≠ 0
x
2+ ax + b a b (x + c)(x + d) c d
醙
Ćwiczenie 4
Rozwiąż każde z równań, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i w okienko wpisz liczbę, która jest rozwiązaniem danego równania.
, , ,
, , , , , ,
Równanie Rozwiązanie równania
(x + 2)
2= (x − 2)
2x ⋅ (x − 2) + 3 = 2 1, 25x
2= x ⋅ (x + 1) − 1
(1 − x)
2+ (1 + x)
2= (x − 6)
2− 70 x = 5 x = −4 x = 6 x = 3 x = −1 x = 4
(x + 2)
2= (x − 2)
2x ⋅ (x − 2) + 3 = 2
1, 25x
2= x ⋅ (x + 1) − 1
(1 − x)
2+ (1 + x)
2= (x − 6)
2− 70
Ćwiczenie 5
Uzupełnij rozkład na czynniki, przeciągając odpowiednie wyrażenia.
x
4− 4 = (x
2− 2)(x
2+ 2) =
= (√2x − 1)(√2x + 1)(2x
2+ 1)
32 − 2x
2= = 2 ⋅ (4 − x)(4 + x)
8 − x
2= (√8 − x)(√8 + x) =
16x − x
5= x ⋅ (16 − x
4) = = x ⋅ (4 + x
2)(2 + x)(2 − x)
x ⋅ (4 + x
2)(4 − x
2) (x − √2)(x + √2)(x
2+ 2) 2 ⋅ (16 − x
2) 4x
4− 1 (2√2 − x)(2√2 + x)
醙
醙
Ćwiczenie 6
Wskaż zbiór, który jest zbiorem rozwiązań nierówności
(x
2− x)
2− (x
2+ x)
2< x ⋅ (1 − 4x
2)
.(4, ∞) (−∞, − 4) (−∞, 0)
(0, ∞)
Ćwiczenie 7 Ćwiczenie 8
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
a 2a
2+ 12a + 1 > −25
.Uzupełnij
醙
難 難
Dla nauczyciela
Autor: Justyna Cybulska Przedmiot: Matematyka
Temat: Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki – wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia drugiego stopnia
Grupa docelowa:
III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa II lub III Podstawa programowa:
II. Wyrażenia algebraiczne.
Uczeń:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: , , , , ,
, ;
2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu
. Kształtowane kompetencje kluczowe:
kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji
kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii
kompetencje cyfrowe
kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:
Uczeń:
wykorzystuje wzory skróconego mnożenia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki
dobiera niealgorytmiczne sposoby zapisania w postaci iloczynu wyrażenia algebraicznego, analizując postać tego wyrażenia
tworzy pomocnicze obiekty matematyczne w celu rozwiązania nietypowego problemu
(a + b)
2(a − b)
2a
2− b
2(a + b)
3(a − b)
3a
3− b
3a
n− b
nW(x) = 2x
3− √3x
2+ 4x − 2√3
uzasadnia przebieg rozumowania prowadzącego do wykorzystania efektywnych strategii
Strategie nauczania:
konstruktywizm
Metody i techniki nauczania:
drzewo pomysłów krokodyl
Formy pracy:
praca indywidualna praca w grupach
praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:
komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer
kartony, mazaki Przebieg lekcji Przed lekcją:
Nauczyciel prosi uczniów, aby w domu przypomnieli sobie sposoby wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznych.
Faza wstępna:
Uczniowie przypominają wspólnie znane im wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia i ich zastosowania.
Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.
Faza realizacyjna:
Uczniowie w grupach zapoznają się z przykładami rozkładu wielomianu na czynniki zawartymi w sekcji „Przeczytaj”. Ich zadaniem jest najpierw rozwiązanie danego zadania, a dopiero następnie porównanie jego rozwiązania.
Grupy tworzą drzewa pomysłów, na których umieszczają przykłady rozkładu na czynniki z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia (np. przy skracaniu wyrażeń wymiernych, określaniu dziedziny funkcji, itp.).
Po prezentacji prac grup powstaje jedno, wspólne dla całej klasy, drzewo pomysłów.
Teraz uczniowie w grupach zapoznają się z animacją i ewentualnie dopisują na plakacie pozyskane informacje.
Uczniowie indywidualnie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, metodą krokodyla. Krokodylem jest nauczyciel, który „drzemie na brzegu rzeki” i tylko „ożywia się”
w przypadku, gdy uczeń nie może sobie poradzić z zadaniem.
Faza podsumowująca:
Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji – uczniowie mogą korzystać z wytworzonych plakatów.
Liderzy grup omawiają wyniki prac uczestników, uczniowie wzajemnie oceniają swoją pracę.
Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów.
Praca domowa:
Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji.
Materiały pomocnicze:
Działania na wyrażeniach algebraicznych – zadania, zadania generatorowe
Wskazówki metodyczne:
Animację można wykorzystać w tematach poświęconych rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.
