Równanie przenoszenia promieniowania

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a s ENERGETYKA z . 9 0

_________1985 N r k o l . 8 55

S t e f a n WIŚNIEWSKI

I n s t y t u t T e c h n i k i C i e p l n e j i C h ło d n i c tw a P o l i t e c h n i k i Ł ó d z k i e j

RŹWNANIE PRZENOSZENIA PROMIENIOWANIA

S t r e s z c z e n i e . Omówiono r ó w n a n ie p r z e n o s z e n i a p r o m ie n i o w a n i a t e r ­ m ic z n e g o w p e ł n e j p o s t a c i d l a o ś r o d k a e m i t u j ą c e g o , p o c h ł a n i a j ą c e g o o r a z r o z p r a s z a j ą c e g o p r o m ie n i o w a n i e . P o d an o r ó ż n e p o s t a c i e u p r o s z c z o ­ n e g o r ó w n a n ia p r z e n o s z e n i a p r o m i e n i o w a n i a .

P r o m ie n i o w a n i e t e r m i c z n e m ożna r o z p a t r y w a ć ja k o z b i ó r kw antów e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a z w a n y c h f o t o n a m i . K a ż d y f o t o n ma o k r e ś l o n ą c z ę s t o t l i w o ś ć d r g a ń i , a w ię c i d ł u g o ś c i f a l i X , k t ó r e s ą z w ią z a n e z e s o b ą p r ę d k o ś c i ą r o z c h o d z e n i a s i ę f a l e l e k t r o m a g n e t y c z n y c h w ro z p a try w a n y m o ś r o d k u

c - 9 A . ( 1 J

E n e r g i a p r z e n o s z o n a p r z e z f o t o n w y n o s i h i , , g d z i e h j e s t s t a ł ą P l a n c k a . R ó w n a n ie p r z e n o s z e n i a m o n o c h r o m a ty c z n e g o p r o m ie n i o w a n i a j e s t ró w n an iem b i l a n s u l i c z b y fo to n ó w o c z ę s t o t l i w o ś c i a c h z a w a r ty c h m ię d z y 'i a "i + di>

w o ś r o d k u p o c h ł a n i a j ą c y m , r o z p r a s z a j ą c y m i e m i tu j ą c y m p r o m ie n i o w a n i e . B i l a n s l i c z b y f o to n ó w s p r o w a d z a s i ę d o p o s t a c i o d p o w i a d a j ą c e j o k r e ś lo n e m u k i e r u n ­ k o w i w y z n a c z o n e m u p r z e z w e k t o r j e d n o s tk o w y l c ę ( r y s . 1 ) •

R y s . 1 . U k ła d w s p ó łr z ę d n y c h p r z y r o z p a t r y w a n i u r ó w n a n ia p r z e n o s z e n i a p r o m ie n i o w a n i a

13 6 S. Wiśniewski G ę s to ś ć f o to n ó w n w danym p u n k c i e o ś r o d k a j e s t w y ra ż o n a p r z e z l i c z b ę fo to n ó w w- j e d n o s t c e o b j ę t o ś c i . C z ę ś ć , f t y c h f o t o n ó w , c z y l i l i c z b a ń f , ma c z ę s t o t l i w o ś c i z a w a r te w p r z e d z i a l e od 0 do ^ + d\> . W o b r ę b i e e l e m e n t a r ­ n e g o k ą t a b ry ło w e g o p o r u s z a s i ę n f d to t a k i c h f o t o n ó w , . G ę s t o ś ć f o to n ó w o c z ę s t o t l i w o ś c i i m oże b y ć o b l i c z o n a p r z e z c a ł k o w a n i e t e g o w y r a ż e n ia d l a w s z y s t k i c h k ie r u n k ó w t t j . d l a k ą t a b ry ło w e g o 4 TT l u b z i n t e n s y w n o ś c i p r o ­ m ie n io w a n ia I j j z p u n k tu P w k i e r u n k u lo e , j a k o .

r 1 f Ię n (P » loe)

n -j = / n f ó w = —

J

431 4JT

I n t e n s y w n o ś ć p r o m ie n i o w a n ia m o n o c h ro m a ty c z n e g o o c z ę s t o t l i w o ś c i l) z p u n k tu P w k i e r u n k u . !<* w y n o si

ćE o

dA cosy® d to dV

I f l l ( P , 1 « ) = c h i n f = --- - ( 3 )

g d z i e : d E j - s t r u m i e ń e m i s j i p r o m ie n i o w a n ia m o n o c h ro m a ty c z n e g o w y c h o d z ą c y z p u n k t u P e l e m e n t u p o w i e r z c h n i dA w e w n ą trz k ą t a b ry ło w e g o dn> , - - k ą t m ię d z y n o r m a ln ą d o p o w i e r z c h n i dA a k i e r u n k i e m r o z p a t r y w a n i a p r o ­ m i e n io w a n i a .

P o n ie w a ż i s t n i e j e ś c i s ł y z w ią z e k m ię d z y l i c z b ą f o t o n ó w , i n t e n s y w n o ś c i ą p r o m ie n io w a n i a o r a z e n e r g i ą p r o m ie n i o w a n i a m ożna r ó w n a n ie p r z e n o s z e n i a p r o ­ m ie n io w a n ia r o z p a t r y w a ć ja k o r ó w n a n ie b i l a n s u m o n o c h r o m a ty c z n e j i n t e n s y w ­ n o ś c i l u b r ó w n a n ie b i l a n s u e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a .

Z m iana i n t e n s y w n o ś c i p r o m ie n i o w a n i a m o n o c h ro m a ty c z n e g o I ^ w k i e r u n ­ k u 1 o? o k r e ś l o n a j e s t p r z e z p o c h o d n ą s u b s t a n c j a l n ą

1 91 3 1 . . 3 1 91 . 31 n

- --- + Ipf W 1 « • (4)

c e t a x exoj

W w i ę k s z o ś c i z a g a d n i e ń p r a k t y c z n y c h m ożna p o m in ą ć p i e r w s z y c z ł o n p o c h o d n e j s u b s t a n c j a l n e j w s t o s u n k u do p o z o s t a ł y c h .

R o z p a try w a n a z m ia n a i n t e n s y w n o ś c i p r o m ie n io w a n i a spow odow ana j e s t e m i­

s j ą o ś r o d k a o g ę s t o ś c i

Oj

* * * dV d u d i a b s o r p c j ą o ś r o d k a o g ę s t o ś c i

J f c ^ l . - f g p * , ( 6 )

s t r a t a m i i n t e n s y w n o ś c i w w y n ik u r o z p r a s z a n i a p r o m ie n i o w a n i a

A 1 * ! = - ' ( 7 )

Równanie przenoszenia pronlenlowanl»

p r z y r o s te m i n t e n s y w n o ś c i p ro m ie n io w a n ia n a s k u t e k r o z p r a s z a n i a

f 8 )

W p o w y ż sz y c h z a l e ż n o ś c i a c h w y s tę p u j ą : $ - g ę s t o ś ć s u b s t a n c j i o ś ro d k a ^ j tf - masowy w s p ó łc z y n n ik e m i s j i m o n o c h ro m a ty c z n e j, V - o b j ę t o ś ć , k j - masowy w s p ó łc z y n n ik a b s o r p c j i m o n o c h ro m a ty c z n e j, iy - masowy w s p ó łc z y n n ik r o z p r a ­ s z a n i a , py - f u n k c j a r o z k ł a d u p ro m ie n io w a n ia r o z p r o s z o n e g o ( d l a r o z p r a s z a ­ n i a iz o tr o p o w e g o Py = 1) • O b ję to ś c io w y w s p ó łc z y n n ik a b s o r p c j i m onochro­

m a ty c z n e j ^ k y j e s t rów ny w z g lę d n e j z m ia n ie i n t e n s y w n o ś c i p ro m ie n io w a n ia n a s k u t e k a b s o r p c j i n a je d n o s t k ę d ł u g o ś c i d r o g i p r o m i e n i . O b ję to ś c io w y w s p ó łc z y n n ik r o z p r a s z a n i a f/T t j e s t rów ny w z g lę d n e j z m ia n ie in t e n s y w n o ś c i p ro m ie n io w a n ia n a s k u t e k r o z p r a s z a n i a h a je d n o s t k ę d r o g i p r o m ie n i .

Z g o d n ie z pow yższym i z a l e ż n o ś c i a m i ró w n a n ie p r z e n o s z e n i a p ro m ie n io w a n ia ma p o s t a ć

W p r z y p a d k u g dy w y s tę p u j e l o k a l n a rów nowaga te rm o d y n a m ic z n a i s ł u s z n e j e s t p raw o K lr c h h o f f a

g d z i e k j e s t s t a ł ą B o ltz m a n n a .

W p o w y ż sz y c h w a ru n k a c h o tr z y m u je s i ę ró w n a n ie p r z e n o s z e n i a p ro m ie n io w a ­ ło? Q [ j j - ( k y + Ty) I y -,) + Ty [ p ? ( / ) x y ^ d a j . ( 9)

jy » ky I y » k y By ( T) , (1 0)

g d z i e w prow adzono in te n s y w n o ś ć p r o m ie n io w a n ia równowagowego (iz o tr o p o w e g o ) o k r e ś l o n ą p r z e z f u n k c j ę P la n c k a B

I y » By (T ) » 2 hy i *

c ex p ( - 1

1 (11)

n i a w p o s t a c i

3 x t* 43r bT\

g d z ie w prow adzono w s p ó łc z y n n ik o s ł a b i e n i a p ro m ie n io w a n ia

1 «

—dI— ■

-/y

Vl] + Ty /p y (/) Xvldw t

f i ) => k y + Ty . (13)

S z c z e g ó ln e p r z y p a d k i :

a ) O śro d e k s z a r y ( k y = k , ._/>„= f i , T , pv = p ) . C a łk o w a n ie ró w n a n ia (1 2 ) w z a k r e s i e w s z y s t k i c h c z ę s t o t l i w o ś c i d a j e

138 S . W i ś n i e w s k i g d z i e w prow adzono p a n c h r o m a ty c z n ą in t e n s y w n o ś ć p r o m ie n i o w a n i a

* CO

*1 = / 1 i l d ' (1 5 )

o

o r a z i n t e n s y w n o ś ć p r o m ie n i o w a n ia c i a ł a d o s k o n a l e c z a r n e g o

1 ° = 3 = / By d i = ~ . (16)

o

W ie lk o ś ć 3 j e s t s t a ł ą p r o m ie n i o w a n ia c i a ł a d o s k o n a l e c z a r n e g o , b ) O ś r o d e k n i e r o z p r a s z a j ą c y p r o m ie n i o w a n ia ( 0 )

1 « ‘ ^ k i? ( " 1 i i ^ * a x oC

c ) O ś ro d e k p r z e z r o c z y s t y ( k $ = 0 , 1 y = 0 )

(1 7 )

(1 8 )

I n t e n s y w n o ś ć p r o m ie n i o w a n i a w o ś r o d k u p r z e z r o c z y s t y m p o z o s t a j e s t a ł a . P o w y ż sz e r o z u n o w a n ia n i e u w z g l ę d n i a ł y f a k t u , ż e e m i s j a o r a z a b s o r p c j a f o to n ó w z w ią z a n e s ą z p r z e j ś c i e m e l e k t r o n u w c z ą s t e c z c e l u b a t o m i e n a s ą ­ s i e d n i p o z io m e n e r g e t y c z n y . T e o r i ę p r o m ie n i o w a n ia g a z u w l o k a l n e j rów now a­

d z e te r m o d y n a m ic z n e j p o d a ł E i n s t e i n . Z g o d n ie z t ą t e o r i ą n a l e ż y p o s ł u g i w a ć s i ę efek ty w n y m o b ję to ś c io w y m w s p ó łc z y n n i k ie m p o c h ł a n i a n i a

r o n le w a ź . w p r a k t y c e w y z n a c z a s i ę e k s p e r y m e n t a l n i e w s p ó ł c z y n n i k , w ię c p r z y z a ł o ż e n i u l o k a l n e j . r ó w n o w a g i te r m o d y n a m ic z n e j i b r a k u r o z p r a s z a n i a

\ l p o w y ż s z y c h ro z u m o w a n ia c h p r z y j ę t o , ż e w s p ó łc z y n n i k z a ł a m a n i a g r o m i e n i ' w o ś r o d k u w y n o s i 1 . J e ż e l i j e s t on ró w n y n , t o n a l e ż y pom n o ży ć p r z e z n .2

R ów nanie, p r z e n o s z e n i a i n t e n s y w n o ś c i p r o m ie n i o w a n i a m u s i b y ć z g o d n e z ró w n a n ie m b i l a n s u e n e r g i i p r o m i e n i o w a n i a .

K ażd y f o t o n p r z e n o s i e n e r g i ę , z a te m g ę s t o ś ć . e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a m o n o c h ro m a ty c z n e g o w y n o s i

a-o = ^ k v [ 1 - e x p ( jpy)] . (19)

p r o m ie n io w a n i a s t o s u j e s i ę r ó w n a n ie p r z e n o s z e n i a p r o m ie n i o w a n i a w p o s t a c i

B x w

(20⁾

urJ

j

43l 4 1

a g ę s t o ś ć e n e r g i i p r o m ie n i o w a r 4 a p a n c h r o m a ty c z n e g o j e s t ró w n a

G ę s t o ś ć e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a rów now agow ego w y n o s i

f i f , 1 » ) V , ( 2 3 )

0

g d z i e T ° j e s t t e m p e r a t u r ą p r o m ie n i o w a n i a ró w n o w ag o w eg o .

S t r u n i e ń f o to n ó w o c z ę s t o t l i w o ś c i -i , w y c h o d z ą c y c h z j e d n o s t k i o b j ę ­ t o ś c i i z a w a r t y c h w e le m e n ta r n y m k ą c i e b ryłow ym d to j e s t o k r e ś l o n y z a l e ż ­ n o ś c i ą

I * n

c l e , n f d t o d i - — Z* d tO dV , (2 4 )

hV

czem u o d p o w ia d a s t r u m i e ń e n e r g i i f o to n ó w 1^ -^1^ d to d i) o r a z g ę s t o ś ć s t r u ­ m i e n i a e n e r g i i p r o m i e n i o w a n i a

□ - j J I y i l i j d u ) / I j J * d t o . (2 5 )

^ o k i

D la p r o m ie n i o w a n i a rów now agow ego v . "q£ 3 1« = 0 , g d y ż p r o m ie n io w a n ie j e s t p r z e n o s z o n e we w s z y s t k i c h k i e r u n k a c h je d n a k o w o .

Z r ó w n a n ia b i l a n s u e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a w y n ik a , ż e g ę s t o ś ć e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a z m i e n i a s i ę w c z a s i e n a s k u t e k w y s tę p o w a n ia s t r u m i e n i a e n e r g i i p r o m ie n i o w a n i a p r z e z p o w i e r z c h n i ę o t a c z a j ą c ą r o z p a t r y w a n ą o b j ę t o ś ć o r a z w w y n ik u i s t n i e n i a r ó ż n i c y m ię d z y s t r u m i e n i e m e n e r g i i e m ito w a n e j o r a z a b s o r b o w a n e j w j e d n o s t c e o b j ę t o ś c i

8 u •

— f “ " 1 «C A u r * (2 6 )

O t

W d a l s z y c h ro z u m o w a n ia c h p r z y j m ie m y , ż e w s p ó ł r z ę d n a r j e s t s k i e r o w a ­ n a p r z e c i w n i e d o k i e r u n k u r o z c h o d z e n i a s i ę p r o m ie n i o w a n i a , a w te d y ró w n a n ie p r z e n o s z e n i a p r o m i e n i o w a n i a ma p o s t a ć

•• 1 = a ^ ( I ^ — B9 ) • (2 7 )

ar

R ó ż n ic a m ię d z y e n e r g i ą p r o m ie n i o w a n i a a b s o r b o w a n ą i e m ito w a n ą w j e d n o s t ­ c e c z a s u w y n o s i

ó u r “ ^ ”

J

0 4 1 0 Wi’

Równanie przenoszenia promieniowania_________________________________________ 1 3 9

J Z J

o

I <;L d tu d-i - k 6 a p T4 , (2 8 )

g d z i e w p ro w ad zo n o o b j ę t o ś c i o w y ś r e d n i w s p ó ł c z y n n i k p o c h ł a n i a n i a P la n c k a

140 S . Wiśniewski

J a y By d J r ®

a =1 y av

= ~Ą- ^J

P / “ b, d „ B o «

Do rozum ow ań d o t y c z ą c y c h w ym iany c i e p ł a p r z e z p r o m ie n i o w a n ie d o g o d n e j e s t w p ro w a d z ić p o j ę c i e g r u b o ś c i o p t y c z n e j o ś r o d k a

r

Ty = / a y d r , T ■= f t * ch». (30)

o o

D la o ś r o d k a o p t y c z n i e c i e n k i e g o , g d y B y » I o r a z T « 1 j e s t

= 1 « 9roS - 4 a p 6 t 4 • (3 1 )

D la o ś r o d k a o p t y c z n i e g r u b e g o , g d y r y » 1 , g ę s t o ś ć s t r u m i e n i a e n e r g i i p r o ­ m ie n io w a n ia j e s t ró w n a

16<5'T3 dT (3 2 )

<1«. = " --- ~ 7 — *

‘r* 3 a p aR 3xo5

g d z i e w p row adzono o b j ę t o ś c i o w y ś r e d n i 'w s p ó łc z y n n ik p o c h ł a n i a n i a R o s s e l a n d a

00

4 ^ 133)

I

f U L J i S Ł d, <*

J a y dT j a V dT

o o

d l a g a z u s z a r e g o w s p ó ł c z y n n i k p o c h ł a n i a n i a n i e z a l e ż y o d c z ę s t o t l i w o ś c i a p = a R = a o r a z r ó w n a n ie p r z e n o s z e n i a p r o m ie n i o w a n ia ma p o s t a ć

- a ( I r - F X4 ) • (3A)

d r

D y w e rg e n c ja g ę s t o ś c i s t r u m i e n i a p r o m ie n i o w a n ia j e s t rów na

= 1 0t ^ 0 5 = " j~T^~ dU> = " 3 i JJ1 d > 1 > ~ ⁼

¿*7! 43T

- - 4 a< T (T 4 - T4 ) , {35)

g d z i e o p r ó c z t e m p e r a t u r y s u b s t a n c j i T w p ro w ad zo n o t e m p e r a t u r ę p r o m i e n i o ­ w a n ia

Równanie przenoszenia promieniowania

1

C a łk o w a n ie r ó w n a n ia { 2 7 ) , p r z y z a ł o ż e n i u , ż e e f e k ty w n y m o n o c h ro m a ty c z ­ n y w s p ó ł c z y n n i k p o c h ł a n i a n i a n i e z a l e ż y o d w s p ó ł r z ę d n e j r o r a z , ż e w m i e j s c u r = r g z n a j d u j e s i ę p o w i e r z c h n i a c i a ł a d o s k o n a l e c z a r n e g o , d a j e i n t e n s y w n o ś ć p r o m ie n i o w a n i a m o n o c h ro m a ty c z n e g o w p u n k c i e r = 0 w p o s t a c i

/

0

W s z c z e g ó ln y m p r z y p a d k u , g d y m ożna p o m in ą ć e m i s j ę s p o n t a n i c z n ą g a z u , d r u g i c z ł o n r ó w n a n ia ( 3 7 ) , o tr z y m u j e s i ę

1 ( 0 ) = I ( r g ) e x p ( - a v r , J , ( 38)

c z y l i r ó w n a n ie w y r a ż a j ą c e p raw o B o u g u e ra - L a m b e r ta .

LITERATURA

f i l S i e g e l R . , H o w e ll J . R . : T h e rm a l R a d i a t i o n H e a t T r a n s f e r , M c G ra w -H ill, J New Y o rk 1 9 7 2 .

[ 2"] O z i s i k M .N .: R a d i a t i v e T r a n s f e r a n d I n t e r a c t i o n s w i t h C o n d u c ti o n an d C o n v e c t i o n , J . W i l e y , New Y o rk 1 9 7 3 .

¡"3"] W is n ie w s k i S . : W ym iana c i e p ł a , PWN, W arszaw a 1 9 7 9 .

yPABHEHHE IIEPKĘAHH TAMAUM

P

e

m e

B

padoTe BHBeflesa nojmafl ęopna ypasHeHEH nepeaaw

H3jiyqe-

hhh jwlh cpeflH aMMETKpyioineH, paoceEBaraueS a norjiamaraieft H3JiyHeHEe. J(aH

aEajiES pasHHX ynpomeHKHX $opM eioro jpaBHeEES. IIpeacTaBJieEH ynpomeHHHe

ypaBHSHEH mm ’ opens- noraamaromei! E3jpneEEe, jpm cpejpj He paoceEBajociea

a fljia np03paHH0ii opens. PaccMOTpeHO Tanse ypaBHeme ÓajiaHca sHeprza

E3JiyHeHHH

npEseneHO ero

BEny ynodHOMy

TexHEHecKEX n.ejie2. yica3aH0,

hto nacTHHM cnynaeM odmero ypaBHeHEH nepenayz pansanna e c u ^opwyjia,

H3BeciHa KaK 3aK0H Eyrepa - laiadepTa.

142 S. Wiśniewski

RADIATION HEAT TRANSFER EQUATION , S u m m a r y

A c o m p l e te fo rm o f a r a d i a t i o n h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n h a s b e e n d e r i v e d . f o r a n e m i t t i n g , a b s o r b i n g a n d s c a t t e r i n g m ed iu m . V a r i o u s s i m p l i f i e d form s, o f t h i s e q a u t i o n h a v e b e e n a n a l y s e d . S i m p l i f i e d e q u a t i o n s f o r d i f f e r e n t e n ­ c l o s u r e s i . e . d i f f u s i v e g r e y a b s o r b i n g , n o s c a t t e r i n g a n d d i a t h e r m i c . h a s b e e n p r e s e n t e d . The b a l a n c e e q u a t i o n o f r a d i a n t e n e r g y h a s b e e n d i s c u s s e d

a n d i t h a s b e e n r e d u c e d t o a fo rm w h ic h i s s u i t a b l e f o r e n g i n e e r i n g a p p l i ­ c a t i o n s . The r a d i a t i o n h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n s o m e tim e s i s r e d u c e d t o B o u g u e r - L a m b e rt f o r m u l a e , w h a t h a s b e e n sh o w n .

P r a c a w p ł y n ę ła do R e d a k c j i w m a ju 1 9 8 5 r .

R e c e n z e n t : d o c . d r h a b . i n ż . E dw ard K o s to w s k i