D
T lU
nJ D
RZĘŻONYC
Z ODPOIIEDNIEMI POWIERZCHNIAMI RZĘDU DROGIEGO.
NAPISAŁ
Dr. W .
Ż m u r k oC. K. P R O F E S O R U N I W E R S Y T E T U L W O W S K I E G O .
Osobne odbicie z XIV. Tom u Pamiętnika, W ydziału m atem aty czn o -p rzy ro d n iczeg o A kadem ii U m iejętności.
j f * '
K RA K Ó W .
D R U K A R N I A U N I W E R S Y T E T U J A G I E L L O Ń S K I E G O pod zarządem A. M. K osterkiew icza.
1888.
r g ,
O P O W IE R Z C H N IA C H SPR Z Ę Ż O N Y C H
Z ODPOWIEDNIEMI POWIERZCHNIAMI RZĘDU DRUGIEGO.
Dr. W . Ź M U R K O ,
C. K . PR O FE SO R U N IW ER SY TETU LW OW SKIEGO.
I .
Mam tu na myśli takie powierzchnie, które, ze względu na wykreślne, jakoteż plastyczne przedstawienie, tak samo się zachowują, ja k odpowiednie powierzchnie drugiego rzędu, ze względu na przedstawienie zapomocą ciągle po sobie postępujących warstw7 południkowych.
W ewnątrz danej elipsy J E B o osiach o A — a. o B — b.
odniesionej do ortogonalnego układu osi ox, oy, os, poru
sza się obrotowo elipsa p E ' G, posiadająca stałą oś pio
nową OG — c i każdorazowy promień op elipsy danej, jako oś poziomą, zam ykającą z osią o% odpowiedni k ą t T ak określona elipsa E ' zrodzi powierzchnię, której analityczne równanie znajdziemy w sposób następujący:
Celem oznaczenia długości osi op z pomocą k ąta <p,
\ otrzymamy dla punktu p, x = op1 — op cos ©, y = p 'p — op sin któreto rzędne muszą spełnić równanie elipsy E , i powodują związek:
c
n
\-=tj
X‘g
y...
S' oc (1)
/
E y
(2) r b z op cos ę +
a2 s i n 2 (f -}- b'Ł c o s 2 <p
2 DE. W. ŻMURKO.
Jeżeli oś sprzężona do op przechodzi przez natenczas musi być
°K 2+ op2 = a2-j-&3; będzie zatem :
— r s . , , a 2b 2 a4 sin2 © &4 cos2 ©
op, — a -4- b ■--- --- !—I--- 1. • a2 sin 2© 6“ cos“ ę a 2 s ia2 cp + b2 cos2 ę
Ze względu na k ąt ©, otrzymamy tedy równanie rodzącej elipsy E ' co do punktu n. p.
x = os, y — sg, y: x — tg <p
z 2 og2__z 2 x a- j - y 2 ___ z 2 ( x 2 - h y a) ( a 2 sin2 <p 6 2cos2ę) __ / t
r ^ ' 2 " ^ 2 — n ^ 1 rt ^ 7) ^ ^
c op* c 0p* c a o
mając przytem każdorazowo
y : x — tgo, sin 2 o = y 2: ( x 2- \ - y 2), cos2 © = x 2: ( x 2 + y 2)
otrzymamy z równania (4), w razie stałego c
^ , ( x 2- h y * ) ( a 2y * + b 2x*) _ „ c 2 + a 2 6 2 (a;2 + t / 2) ~ 1 a l b o
£ 2 y 2 x 2
2 “I™ Tl “1“ 2 ^ •
c2 & a2
równanie wytyczające widocznie elipsoidę trójosiową.
Zatrzym ując cały tok wyprowadzenia równania analitycznego (5) elipsoidy trójosio- wej, a zmieniając tylko każdorazową oś O C = c dotychczas uważaną za stałą na długość op, należącą do op jak o promień sprzężony, otrzymamy w tym razie według (3)
a4 sin2 © -j- 6 4 cos2 <p a i ij2- \ - b i x 2
C = a2 s in2 © + b 2 cos2 © = ’ a Z a te m P ° d łu ^ ( 5 )
z 2 ( a 2 y ‘l b2 x 2) y 2 x2
■ a4i/2+ 64*2~ + V2 + ^ = 1 albo
a 2 b 2 (b2 x 2 + a 2 y 2) + (6 4«2- f - a V ) (6 2* 2 + a 2 y 2) = a 2 b 2 (&4 a:2 + a4 y 2)
jako równanie analityczne powierzchni takiej, która, oprócz zmienności osi c odpowiednio do kąta ©, zgadza się zresztą i ze względu na wykreślne, jako też ze względu na plastyczne powstawanie z warstw południkowych z odpowiedniem powstawaniem elipsoidy trójosio- weJ (5 ).— i słusznie też możemy powierzchnię (7) nazywać odtąd e l i p s o i d ą s p r z ę ż o n ą z odpowiednią elipsoidą (5).
Podstaw iając w miejsce rodzącej elipsy E ‘ hyperbolę p m' H o osiach oG \J— i i op, dojdziemy takiem samem postępowaniem do równań analogicznych równaniom (5) i (7).
Tym sposobem otrzymamy równania:
O POW IERZCHNIA CH SPRZĘŻONYCH Z PO W IERZCHN IA M I RZĘD U DRU GIEG O. 3
należące oczywiście do dwóch powierzchni, które prócz różnej natury osi c żadnej innej różnicy nie objawiają ze względu powstawania z warstw południkowych.
Równanie (8) wytycza hyperboloidę B i o jednej powłoce, — nazwiemy przeto po
wierzchnię odpowiadającą równaniu (9) eliptycznie sprzężoną hyperboloidą H i — przypo
minając dodatkiem e l i p t y c z n i e tę okoliczność, że przy tworzeniu tej powierzchni, dana linija wiodąca je s t elipsą.
U w ażając dalej, zamiast elipsy o osiach a i b, hyperbolę o osiach a, b \J ^ i za liniję wiodącą — a w wyż już określonym sensie, raz hyperbolę drugi raz elipsę za liniję ro dzącą — otrzymamy odpowiednie rezultaty — wstawiając w równaniach (5), (7), (8), (9), wszędzie na miejsce b wyraz b y —7, a w dalszym skutku tej substytucyi i związku (3) wszędzie na miejsce czy to stałego c czy z kątem cp funkcyjnie zmiennego c wyraz
T ą drogą otrzymamy:
. z* y* x2
( 10) — -* — ^ + - * — 1-
(1 1) a 2 6 2 z 2 (b2 x 2 — a 2 y 2) — (b4 x 2 + a 4 y") (6 2 x 2 — a® y 2) — — a26 2(&4 x 2 + a 4 y 2) ;
y1 - ) c2 b2 a 2 ’
(1 3 ) a 2b 2z 2 ( b 2x 2— a2 y 2) 4- (&4 x 2 + a 4 y 2) (b2 x 2 — a2 y 2) = a2 b" {b4 x 2 + a 4 y 2).
Z przyczyny, że równanie (10) wyznacza zw ykłą hyperboloidę Th o dwóch powło
kach, zowiemy powierzchnię przedstawioną równaniem (1 1) sprzężoną hyperboloidą I h ] i również z przyczyny, że równanie (12) wyznacza zwykłą hyperboloidę II\ o jednej po
włoce, nazwiemy powierzchnię przedstawioną równaniem (13) hyperbolicznie sprzężoną hy
perboloidą Hi — przypominając dodatkiem h y p e r b o l i c z n i e tę okoliczność, że w tym razie dana hyperbola je s t liniją wiodącą.
Sprzężoną hyperboloidę Th wyznaczyliśmy w duchu poprzednio wypowiedzianym, zapomocą rodzącej
. . Z2 V2 .
(14) ^ ^ = = = ^ 2 + ^72 = 1 w płaszczyzme za ,
gdzie a oznacza jakikolw iek promień, prowadzący od środka danej hyperboli do rzeczy
wistego punktu na jej obwodzie; b'\J—j zaś do ci‘ należący promień urojony, tak że zachodzi związek
<1 5) < p y = iy + « ' 2 = ( 6 v= ^ ) 2 + « 2
z którego jedna z ilości a' V łatwo się daje obliczyć — skoro nam druga je st daną.
Jeżeli z kierunku osi ox wychylimy się więcej niż najbliższa ledwoniestyczna danej hyperboli, odpowiedni promień a' nie napotyka ju ż żadnego punktu danej hyperboli, staje się zatem promieniem urojonym — jego odpowiedni zaś sprzężony, zamieni się na promień rzetelny. Rodząca hyperbola (14) zamieni się dla takich kierunków, na inną, odpowiada
ją c ą równaniu
£2 2 ___
(16) ys + ^ - p = = p = i w płaszczyźnie z d \ - j .
D E. W . ZMUEKO.
Z tych dwóch kształtów rodzącej, zachodzi kształt (14), jeżeli promień a'— a zatem i płaszczyzna zaw ierająca liniję rodzącą, znajduje się pomiędzy ledwoniestycznemi w prze
strzeni przebiegu danej hyperboli.
K ształt rodzącej (16) zachodzi zaś wtedy, kiedy płaszczyzna zaw ierająca rodzącą znajduje się w kierunkach pomiędzy ledwoniestycznemi w tej przestrzeni, gdzie linija danej
hyperboli wcale się nie znajduje. Toż samo da się za
uważyć przy tworzeniu powierzchni (13) i (12), z tym nadmienieniem, źe przy stałem c dalsza rodząca w (13) staje się hyperbola — w (1 2) zaś elipsą urojoną.
Parabola P na poziomie xoy odniesiona do osi pro
su stokątnych, odpowiadająca równaniu
y ‘ z=ipx (17)
niechaj będzie liniją wiodącą. Równolegle do płaszczyzny m x — xoy porusza się parabola ()' L P' o param etrze p ' tak, że jej wierzchołek O' pozostaje ciągle na linii wiodącej (17). Celem otrzymania równania analitycznego powierzchni zrodzonej parabolą P , mamy dla
(go' = a, oą — $,qp — X ph — Z (32 = pa, Z2 — P' (x—a) = p' (x—-l2) (18) a ponieważ dla całego przebiegu rodzącej p ' pozostaje P = y, otrzymamy dla dowolnego y następujące równanie
:± p '(x ---y 2\I albo p z s±p' y 2+p p' x = o
p / (19)
które właśnie dla dowolnego y przedstawia układ ciągle po sobie następujących rodzących parabol — a zatem i cały układ punktów znajdujących się na powierzchni szukanej.
D la stałego param etru p ' wytycza równanie (19) eliptyczną lub hyperboliczną para- boloidę według tego, czy stały parameter p' posiada znak dodatny czy odjemny.
Parabola pozioma OOrp odniesiona do osi x' 0' y ', gdzie oś 0'y' je st do danej para
boli P styczną w punkcie (* = y — P), wyraża się analitycznie równaniem
y' 2 = : (p + 4 a) = p " x' (20)
gdzie położenie punktu m wytycza się rzędnemi y' — w m, %' — o'w, a param eter p " oznacza tak zwany redukowany parameter paraboli p, ze względu na punkt O' i osi sprzężone O' x \ 0 ’y ’.
(3 Qp p
Znajdziemy nadto z przyczyny, że tgv— — = — —
'P2 P W2 “f- 4: S2 4:S2 P
sin29 = „ p - + 4[i ’ sin ę = --- = V H--- = ? . + 4« = p", zatem V" — P + 4 a — —■p p sm^tp . v J(21)
Załóżmy teraz, że parabola rodząca nie zatrzymuje podczas ruchu stałego param etru p ’, lecz że natomiast przybiera każdorazowy wierzchołkowi O' odpowiadający redukowany parame-
fp Ą . y 2
ter p” = ^ - 7 = P + 4 <x = p + — , to i powierzchnia owym ruchem zrodzona, będzie różna od powierzchni (19). Równanie analityczne tej nowej powierzchni otrzymamy z (19), zastępując w niem stały param eter p zmiennym parametrem p " — ± ( p + ■ Tym spo
sobem będzie równanie
«' = ±(!, + Ąp ( « _ » ! ) albo \ p / p 2 «2 ■= ± (p2 + 4y2) (p x — y 2)
wytyczało powierzchnię sprzężoną paraboloidę e l i p t y c z n ą lub hyperboliczną według tego, czy w równaniu (2 2) ustanowimy znak górny czy dolny.
K ładąc celem skróconego pisania
(2) ~ & 2 te2 + a2 y*, (2)' — b i x i — a2 y 2, (4) ~ b i x 2 + a 4 y 2
możemy wszystkie nowo poznane powierzchnie ze względu na ich analityczne równania ułożyć w następującej tabliczce.
(2) a2&22 2 + (2) (4) — + a2 b 2 (4) . . , [sprzężona elipsoida]
(2) a2 b‘s z"- — (2) (4) — — a2&2 (4). ? . [eliptycznie sprzężona hyperboloidą Bi], (2)' a26 2 a2 + {2)' (4) = + a2 &2 ( 4 ) . . . [hyperbolicznie sprzężona hyperboloidą lh ], (2)' a252 a2 — (2)' (4) — — a H 2 (4) , . . [sprzężona hyperboloidą B i],
P~ z2 = O2 + 4 y T) (p x — y 2) . . . [sprzężona paraboloida eliptyczna].
p2 g2 = — (p2 + 4 y'1) (jpx — y2) . . . [sprzężona paraboloida hyperboliczna].
Powierzchnie te należą do rzędu czwartego, nienastręczając wszakże ani pod wzglę
dem w ykreślenia ani też pod względem plastycznego przedstawiania większych trudności, niż odpowiednie zwykłe powierzchnie rzędu drugiego.
W §. następnym zajmiemy się rozpoznaniem znaczenia tych powierzchni ze względu na miejsca geometryczne środków rzutu centralnego linii drugiego rzędu na płaszczyzny równoległe do osi o z, uwzględniając przytem żądanie, aby te rzuty jaw iły się w pewnych postaciach najprostszych.
Z tego tu wypowiedzianego stanowiska podał j u ż Prof. St e i n e r ]) na str. 99 i 100 równania drugie i trzecie w (24) jako łatwo wyprowadzić się dający wynik z szeregu syntetycznie ugruntowanych i na stron. 12 i 13 dosyć luźnie wycytowanych enuncyjacyj.
W szakże dla bliższego i mogę powiedzieć systematyczniejszego objaśnienia znaczenia wyż przytoczonych sprzężonych powierzchni starać się będę w następnym oddziale wy
prowadzić wszystkie w (24) przytoczone równania na drodze czysto analitycznej, a miano
wicie ze względu na środki rzutów centralnych linii drugiego rzędu na płaszczyzny równo
ległe do osi o z.
O PO W IERZCHNIA CH SPRZĘŻONYCH Z PO W IERZCHNIAM I RZĘD U DRUGIEGO. 5
’) Jakob Steiners gesamelte Werke; herausgegeben von W eierstrass I. Band Berlin 1881.
6 D E. W . ŻMUEKO.
II.
Ze względu na osie ortogonalne ox, oy, oz, niechaj %, y, z, wyznaczają środek rzutu centralnego punktu x — % y — rb z = o na płaszczyznę
y = A x — tang tp . x, (1)
w punkcie %' y ' z'.
Ponieważ te trzy punkty mają się znajdować w jednej prostej, będzie:
% — x _ - q — y _ 0 — 0 x ' — x ~ y '— y ~ z' — z' a
s _ x z' — z x' __ y z — 0y '
^ ---- T/ Z ---Z „ ’ ^ ---- z Zr — Zz '
a ponieważ dalej punkt x' y' z' w płaszczyźnie (1) zawartym być musi, mamy y ' — A , zatem ostatecznie
\
„ X z ' ---0 x w ' — z A x '
ę = — ;--- ? s — z *1 = ---i---• 0 — 0 v ’(2) Niechaj będzie punkt S, r„ o przedstawicielem układu punktów leżących na obwodzie elipsy
= albo i; 2 &2 + v)2a2 — a2 b 2 = o (3)
to otrzymamy za uwzględnieniem tego warunku, wstawiając w (3) wartości otrzymane na q i w (2):
( x z' — z x ' Y b2 + (y z’ — 0 A x ' ) 2 a 2 — a2 52 (z' —■z ) 2 = o albo
z 2 (b 2 x 2 + a 2 y 2 — a 2 b 2) + x ' 2 (6 2 z 2 + a 2 A 2 z 2) + 2 z' x ' (— 0x b ' 2 — 0 y A ar) + 2 a2 b2 0 z' — a2 b2 0* — o. (4)
Za pośrednictwem środka rzutów centralnych % y z odbija się układ punktów (3) na płaszczyźnie (1) w kształcie linii drugiego rzędu, której rzut prostokątny na płaszczyznę z o x przedstawia się w (4). W tem równaniu objawiają się rzędne z , tak samo długie ja k odpowiednie rzędne z obrazu leżącego na płaszczyźnie (1 ), Rzędne x są krótsze od
odpowiednich rzędnych x punktów zawartych w (1) ■— a mianowicie musi być
Z = Z”, X' = x" cos tp = (5 )
Równanie analityczne obrazu elipsy (3) na płaszczyźnie (1) otrzymamy z (4) i (5) w następującej postaci:
z"2 (b2 x 2 + a2 y2 — a2 b2) (1 f A 2) + x ”2 {V + u2 A 2) 02 — 2 x" z ' (1 — A 2) T ( x b 2 + A y a2) z + + 2 a2 V (1 + A 2) z z" — a2 V (1 + A 2) z2 = o.
O PO W IERZCH N IA CH SPRZĘŻONYCH Z PO W IERZCH N IA M I RZĘD U DRU GIEG O. 7
Mając do dyspozycja wybór środka centralnych rzutów x y g, możemy żądać, aby ten punkt tak był wyznaczony, aby obraz na płaszczyźnie (1), a podany analitycznie w (6), okazał się n. p. kołem lub równoboczną hyperbola.
Aby ten obraz był kołem, musi punkt % y z ta k być dobrany, aby się spełniły warunki
Aby ten obraz był jakąkolw iek równoboczną hyperbola, wystarczy, aby się spełnił warunek
a po transformacyi tego równania na osie sprzężone prostokątne dojdzie się z pewnością do równania w następującym kształcie:
odpowiadającego oczywiście równobocznej hyperboli. Nadmienić tu wypada, że kardynalne osie należące do równania (1 0) nie muszą być takie, z których by jedna była równoległą do pierwotnej osi os, a druga równoległa do pierwotnego poziomu.
W razie wystarczającego warunku (8), powinien środek rzutu centralnego znajdować się na zwykłej elipsoidzie określonej równaniem
hyperboli o osiach kardynalnych takich, aby jedna z nich była poziomą, druga zaś równo
ległą do osi oz, musiałby środek rzutów centralnych tak być dobrany, aby się rzędnemi x y z równocześnie spełniły warunki
J a k wiadomo, płaszczyzna (1) i płaszczyzna podana drugim warunkiem w (7) i (11) należą do siebie ze względu na daną elipsę jak o para płaszczyzn s p r z ę ż o n y c h .
Mając dane stałe A = tg<p, to je st mając dany pewny kierunek płaszczyzny obrazo- zowej, znajdziemy
Równanie (1 2) je s t analitycznem przedstawieniem prostokątnego rzutu na xoz— hy
perboli zawartej w płaszczyźnie sprzężonej z daną obrazową (1); również równanie (13) je s t analitycznem przedstawieniem prostokątnego rzutu na %oz — elipsy zawartej w pła
szczyźnie sprzężonej z daną obrazową (1).
(b2 x 2 + a2 y 2 — a‘ V ) (1 + A 2) = z2 (b2 + a2 A2),
(?) x b2 + y a2 A — o.
(8) (b2 x2+ a2 y 2 — a2 b2) (2 + A 2) — — z2 (b2 + a2 A 2),
gdyż w tym razie równanie (6) przybiera postać (9)
(10) — zs + x 2 ~ ± D
Żądając wszakże, aby obraz (6) okazał kształcie szczególnej równobocznej
(U)
(b" x 2 + a* y 2 — a2 b2) (1 + A 2) + (b* + a2 A 2) = ob2 x + a2 A 2 y — o
(12) Z układu równań ( 7 ) . . (b2 + a2 A 2) x2 — a2 A s {b2 + a2 A 2) z2 = a* b2 A 2 (1 + A s) (13) „ „ „ ( 1 1 ) .. b2 (1? + a2 A 2) X2 + a2 A? (b2 + a2 A 2) z2 = a* b2 A 2 (1 + A 2).
Płaszczyzna sprzężona z (1) odpowiada równaniu
y = tg<f'.x = ---- -J jr- x. a ztąd idzie (14)
. &2 cos ©' . &4 cos <p' 2 + a 4, sin m' 2 a2 b2 (a2 cos2 ©' + ar sin39') .
A = ---%,1 + A2 = --- — * V + a2A2 = --- i---4 ! . ,---±4-* (15)
a sin ę a sin ' <p a sin <p v 1
K ładąc w równaniach (12) i (13) na miejscu x wyraz x cos o', otrzymamy w pier
wszym razie hyperbolę, w drugim zaś elipsę umieszczoną w płaszczyźnie sprzężonej z płaszczyzną (1), tj. w płaszczyźnie (14). U skuteczniw szy t o , i uwzględniwszy zarazem rezultaty w (15), otrzymamy z (12) i (13)
8 D E. W. ŻMUEKO.
a! 2 e'2 ~ 1
a
(16)
+ (17)
z określnikami
a2 b2 , bi cos2 tp' + a* sin' o
b2 cos2 ę' + a2 sin2 <p' ° b2 cos2 ę' 4 a2 sin29' ^ ^)
gdzie a' je s t promieniem danej elipsy zawartym w (1), c' zaś również promieniem danej elipsy zawartym w (14), a zatem promieniem sprzężonym z promieniem a .
K ażdy z punktów zawartych w hyperboli (16) może być obranym za środek rzutu centralnego w tym celu, aby obraz danej elipsy na płaszczyźnie (1) i na wszystkich do (1) równoległych płaszczyznach okazał się w postaci linii kołowej; (19)
K ażdy z punktów zawartych w elipsie (17) może przedstawiać środek rzutu central
nego w tym celu, aby obraz danej elipsy na (1) i na wszystkich do (1) równoległych płaszczyznach okazał się w postaci wyż określonej szczególnej równobocznej hyperboli.
R ugując w (7) i (1 1) współczynnik A dostaniemy:
a2 b2 z2 (b2 x24 a2 y 2) — (b4, x 2 + « 4y 2) (b2 x 2 4 a2 y 2) — — a2 b2 (54 x2 4 a 4?/2), (2 0)
a2 b2 z2 (b2 x 2 4 a2 y 2) 4 (&4 x24 a4 y 2) (b2 x 2 4 a2 y 2) — a2 b2 {bl x 2 + a4 y 2). (2 1)
i dowiadujemy się na podstawie tabliczki umieszczonej w oddziale 1. pod liczbą, (24):
że punkty mogące przedstawiać środki rzutu centralnego w tym celu, aby obrazy danej elipsy na jakiejkolw iek do os równoległej płaszczyźnie okazały się w postaci kołowej, znaj
dować się muszą na odpowiedniej e l i p t y c z n i e s p r z ę ż o n e j h y p e r b o l o i d z i e H i; (22) że punkta mogące przedstawiać środki rzutu centralnego w tym celu, aby obrazy danej elipsy na jakiejkolw iek do os równoległej płaszczyźnie okazały się w postaci owej szczególnej równobocznej hyperboli, znajdować się muszą na odpowiedniej s p r z ę ż o n e j e l i p s o i d z i e .
W przypadku, gdzie na miejsce rzutu elipsy, ma być żądany rzut centralny danej hyperboli
a __ j r
« 2 b2 = 1 (23)
O POWIERZCHNIACH SPRZĘŻONYCH Z POWIERZCHNIAMI RZĘDU DRUGIEGO. 9 d o stan iem y w s z y s tk ie w a ru n k i d la sto so w n eg o dobo ru m ie jsc a g e o m e try c z n e g o śro d k ó w rz u tu c e n tra ln e g o z re z u lta tó w o sią g n ię ty c h d la danej elip sy , k ła d ą c w nich n a m ie jsc u b w y raz
U s k u te c z n iw s z y to w (8), o trzy m am y
(24) (&* ar* — a* f ) + ■(& a* b2
i d ow iad u jem y się, że m iejscem geo m etry czn em śro d k ó w rz u tu c e n traln e g o j e s t h y p e rb o lo id ą I h je ż e li w (1) . . . . A 2 > - ^ r -
(25) j e s t w alcem h y p e rb o licz n y m je ż e li w (1) . . A* = -^ r
j e s t h y p e rb o lo id ą I h , j e ż e l i ... A s < je ż e li ogółem ż ą d a n y ob raz h y p e rb o li (23) n a (1) m a b y ć ja k ą k o lw ie k ró w n o b o c z n ą h y p e rb o la .
K ła d ą c b\J — i n a m iejsce b w (12) i (13) o trz y m am y :
(2 6 ) b2 (b2 — «2 A*) x2 + <f A2 (b2 — a2 A 2) z2 = — a 4 b2 Ą s {1 + A 2),
(2 7) b2 (b2 — a2 A 2) x 2 — a2 A 2 (b2 — a2 A 2) z2 = — a4 V A ’ {1 + A 2) ) ;
i d ow iad u jem y się z (26), że m iejscem g eo m etry cznem p u n k tó w m o g ąc y c h p rz e d s ta w ia ć ś ro d k i rz u tu c e n treln e g o w ty m celu, a b y o b raz h y p e rb o li (23) n a (1) o k a z a ł się w p o sta c i k o ło w e j, j e s t e lip są rz e te ln ą lub u ro jo n ą, lu b n ie sk o ń c z en ie w ie lk ą z a w a rtą w p ła sz c z y ź n ie sp rzężo n ej z (1) w e d łu g teg o , czy A - o k a z u je się w ięk szem , m n iejszem lu b ró w n em w y-
b2
(28) ra z o w i - (i„ -:
z ró w n a n ia za ś (27), że m iejscem geo m etry czn em p u n k tó w m o g ący ch p rz e d s ta w ia ć śro d k i rz u tu c e n traln e g o w ty m celu, a b y o b raz h y p e rb o li (21) n a (1) o k a z a ł się w p o sta c i w yż o k reślo n e j szczeg ó ln ej rów no bo cznej h y p e rb o li z a w a rte j w (14), j e s t h y p e rb o la o osiach sk o ń czo n y ch lub n iesk o ń czen ie d łu g ic h w e d łu g tego, czy A 2 o k aże się ro żn em od r r czy rów nem .
K ła d ą c n a re sz c ie b \J — l n a m iejsce b w ró w n a n ia (20) i (21) o trz y m am y : (29 ) b2 z2 (b2 x2 — a2 y2) + (64 x3 + «4 y2) (lf x2 — a2 y2 = a2 V {b4 x 2 + a4 y2),
(3 0 ) a2 b2 z2 (b2 x2 — a2 y 2) — (b4 x2 + a 4 y2) (V x 2 — a2 y2) = — a2 b2 (b4 x 3 + a 4 y 2).
i d o w iad u jem y się z (2 9) i (30), że p u n k ta m o g ące być o b ran e z a śro d k i rz u tu c e n traln e g o (31) w ty m celu, a b y o b ra z y danej h y p e rb o li (23) n a p ła sz c z y z n y do 00 ró w n o leg łe o k a z y w a ły się w p o sta c i koło w ej a w z g lę d n ie w p o sta c i szczeg óln ej ró w nobocznej h y p e rb o li, z a w a rte b y ć m u sz ą n a h y p e rb o licz n ie sp rzężonej h y p e rb o lo id zie I h a w zg lę d n ie n a s p rz ę żonej h y p erb o lo id zie I h .
S p o só b ro d z e n ia sp rzężo n ej h y p e rb o lo id y H i n a p o d staw ie w o d dziale 1 w sp o m n ia n y ch ro d zą c y c h
1 0 DE. W. ŻMURKO.
—TTt= - + —rt '~ 1 w płaszczyźnie za ! i
(32) Zz 0C’2
~W + (a1\ p Z l j * = 1 W Płaszczyżnie * h'
odpowiada w zupełności rodzącej (27), która w samej rzeczy przedstawia się w postaci jednej lub drugiej hyperboli w (31) według tego, czy A~ okazuje większem lub mniejszem
niż iloraz Ci
Podobne poszukiwania, ja k je przeprowadziliśmy dla ewentualnych obrazów elipsy i hyperboli, przeprowadzimy następnie i dla żądanych obrazów danej paraboli
T = P ę (33)
na płaszczyźnie y — tg tp. x = A x.
W tym razie otrzymamy za pomocą podstawienia w artości otrzymanych w (2) w równaniu (33)
(y z' — A s x')2 — p (x z' — z x") (z' — z) = o ,
x’s (y2 — p x) + z2 A 2 x '2 — 2 z ( A y — |-) x z ’ + p z x z' — p zs x — o, (34) jak o rzut prostokątny obrazu danej paraboli znajdującego się na płaszczyźnie (1). Zamie
niając tedy w (34) z , % na odpowiednie wyrazy x" cos ® = x : \Ji + A% otrzymamy z (34) równanie prawdziwego obrazu danej paraboli na płaszczyźnie (1)
(g" _ p ai) (1 + A2) + z2 A 2 x " 2 — 2 z (A y — f ) \j 1 + A 2 x" y" + p z X (1 + A2) z" — p z2\J(l + A 2) x ” — o (35) Aby obraz na (1) okazał się liniją kołową, musi środek rzutu centralnego x y z tak być obrany, aby się spełniły warunki
(y2— p x ) (1 + A 2) . z2 A 2 — o , y ~ ^ j . >. (3 6 )
a natenczas wynika z (35) jako równanie obrazu na (1)
( , \ 2 ( » » COS CD \ 2 p 2 ( X2 , \
^ _ * + U _ — + cos2 o ), ( 3 7 )
V 2 z s u r ę / \ 2 sin 9/ 4 sm2 cp V z J v '
które dla a — tg 9 różnego od zera wskazuje na postać koła, którego środek znajduje się w oddaleniu skończonem, a którego promień również ma długość skończoną.
Z warunków (36) wypływa
dla pewnego A = tg<p z2 = — (x — % cot2 , w płaszczyźnie y — I cot 9 (38) dla dowolnego A p2 z2— (p2 + d y 2) ( y 2—p x ) = o . (39) Porównywając równanie w (39) z równaniem szóstem w tabliczce (24) oddziału 1.
dowiadujemy się, że środki rzutów centralnych muszą się znajdować na sprzężonej hyper- bolicznej paraboloidzie, aby obrazy danej paraboli na płaszczyźnie do o 0 równoległej okazały się w postaci koła.
O PO W IERZCH N IA CH SPRZĘŻONYCH Z POWIERZCHiNIAMI RZĘDU DRUGIEGO. 1 1
Z równania (38) czytam y:
Ze, aby obraz danej paraboli okazał się kołem na pewnej płaszczyznie (1), środek rzutu centralnego musi być obrany na obwodzie paraboli zawartej w płaszczyźnie z (1) (40) sprzężonej posiadającej swój wierzchołek w tym punkcie danej paraboli, gdzie się ona
styka z prostą równoległą do (1), posiadającej równocześnie param eter o długości para
metru zredukowanego na ów punkt zetknięcia.
Żądając, aby obraz danej paraboli na (1) okazał się jakąkolw iek równoboczną hy- perbolą, wystarcza, aby środek rzutu centralnego spełnił warunek
(41) O2— p x ) { l + A‘) + z‘ A‘ = o,
to znaczy, że środek musi w tym razie być zawartym w powierzchni (41), t. j. w elipty
cznej paraboloidzie.
Aby ta równoboczna hyperbola posiadała główne osie równoległe do o z a względnie do poziomu, musi środek spełnić równocześnie w aru n k i:
(42) (y° — P (1 + A 2) + 0* A2 = o , y — :y A
Z tych warunków otrzymamy ja k pierwej
(43) dla pewnego 'A — tg.y . - . . zs— ^ (x — f cot2 ę) = p' (x —- a) (44) dla dowolnego A P2 + (P2 -I 4 tf) (y — p x).
Ta (43) widać, że aby obraz danej paraboli okazał się na (1) w postaci wyż okre
ślonej szczególnej równobocznej hyperboli — środek rzutu centralnego musi być obrany na obwodzie paraboli zawartej w płaszczyźnie sprzężonej do (1). W ierzchołek tej paraboli je st punktem zetknięcia się paraboli z prostą równoległą do (1), a param eter tej paraboli (45) je st owym do tego punktu zetknięcia odniesionym zredukowanym param etrem p .
2i (44) widać, że aby obraz danej paraboli okazywał się na do O z równoległych płaszczyznach w postaciach owej szczególnej równobocznej hyperboli, środek rzutu central
nego musi być zawartym w powierzchni tak zwanej sprzężonej eliptycznej paraboloidzie.
Z całej osnowy tej rozpraw ki przekonaliśmy się dobitnie o zachodzącej ścisłej łą czności nowo wprowadzonych sześciu tak zwanych sprzężonych powierzchni 4. rzędu ze zwykłemi powierzchniami 2. rzędu nietylko ze względu na ich w oddziale 1. podane zupełnie podobne powstawanie, ale także ze względu na ich podobne zachowanie się w dziedzinie całego szeregu badań o rzutach centralnych krzywych linii 2. rzędu na płaszczyzny prosto
padłe do płaszczyzn zawierających krzywe 2. rzędu, podlegające owym rzutom centralnym.
Na zakończenie niech nam wolno będzie wykazać, że krzywe: elipsa, parabola i hy
perbola, które na pierwsze wejrzenie tak wybitnie różnemi się okazują, dają się spro
wadzić do jednej typowej, a mianowicie do formy eliptycznej.
W ciągu tej rozpraw ki łatwo się dopatrzyć można, że dla rysunkowej konstrukcyi bardzo je st ważnem, w linijach 2. rzędu wynaleść do danego promienia a \ drugi do niego sprzężony promień b\ tak co do kierunku, jako też co do jego długości.
W elipsie odbywa się ten proces bardzo łatwo, albowiem średnica połowiąca równo
cześnie dwie do a równoległe cięciwy przechodzi przez środek elipsy i kończy się w odpo
wiednim punkcie obwodu tej elipsy. W łaśnie ten odcinek zawarty między środkiem a pun-
ktem obwodu elipsy je st owym żądanym promieniem V sprzężonym do a' tak eo do kie
runku jako też co do długości.
W hyperboli znajdziemy, tak samo postępując, do rzetelnych promieni a odpowiednie promienie 6' wyznaczone tylko ze względu na ich kierunek. Każdorazową długość b' po
daje się dopiero za uprzedniem konstrukcyjnem rozwiązaniem równania
{br Y,= l )2 + a'2 = ( V - l )2 + a 2 (46) a to oczywiście z tej przyczyny, że końce promieni b' nie znajdują się tak ja k końce pro
mieni a' na obwodzie danej hyperboli.
Zachodzi bezpośrednio pytanie, na jakiej krzywej znajdują się końce promieni b' w obec tego, że końcowe punkta promieni a' znajdują się na obwodzie danej hyperboli II.
Celem załatwienia tej kwestyi, mamy ze względu na daną hyperbolę I I równaniem
1 2 DR. W . ŻMTJRKO.
na oznaczenie promienia b' \J—i, tworzącego z osią ox k ąt <p odpowiadający warunkowi
&2
tfr f > - j , wzor następujący
(ly \ l ^ i y = — —-ji----— • (48)
v v J a s u r tp — b cos2 ? m
Rzędne końcowego punktu promienia b' oznaczone przez %, y dają związki
b'2 sin2 o — y ", b' cos2 a ~ x2 af + y 2 = b'2
z których pomocą eliminując ? z równania (48) dochodzi się do związku __a2 h'2 V
(b' \ - / y = ( ..f albo
— 1 ... .. hyperbola H ’. (49)
znamionującego przebieg hyperboli H ' o osiach b, a \j~ i, zawierającej w swoim obwodzie końcowe punkta wszystkich promieni urojonych V tak samo, ja k pierwotna hyperbola I I mieści na swoim obwodzie końce wszystkich promieni rzetelnych a’. Można też i na od
wrót powiedzieć, że promienie urojone, należące do H ’, znajdują się na obwodzie hyper
boli H. Z tego powodu mówimy, że hyperbole E i H ' tworzą parę ze sobą s p r z ę ż o n y c h h y p e r b o l .
Sprzężone hyperbole I I i II', równocześnie przedstawione rysunkiem, tworzą niemal kompletnie zamkniętą liniję — gdyż, będąc każda dla siebie liniją ciągłą, posiadają wspólne asymptoty, w których przebiegu łączą się ze sobą ściśle. W idać ztąd jasno, że każda skompletowana hyperbola przy doszukiwaniu par promieni do siebie sprzężonych zupełnie te same robi usługi, co elipsa.
O PO W IERZCH N IA CH SPRZĘŻONYCH Z PO W IERZC H N IA M I RZĘDU DRUGIEGO. 1 3
Jak o zasadniczą własność elipsy, z której w szystkie inne własności wypływają, uważamy co cło punktów jej obwodu M ze względu na ogniska F i F ' następującą relacyję
(50) F M + M F ' = . A A ’
Uw ażając w elipsie (1) oś B B ' ognisko F ' i A ' jako znajdujące się w nieskończonej odle
głości od P, możemy położyć P F ' # M F ', a w sku
tek tego i oczywistych równości F ,A — A f — F ' A ' mamy
M F -}- M F ' — A A ' = A P + F F ' + F ' A ' = A F -f M F ' + + A f — MF' + Mm
(51) zatem: M F — Mm.
W (51) czytamy, że przy bardzo długiej elipsie, z której obwodu tylko do wierz
chołka A sąsiednie łuki w naszym widnokręgu się znajdują, każdy punkt M znajdujący się na tych sąsiednich łukach, musi mieć od widomego nam ogniska F taką samą odle
głość, ja k od linii kierowniczej f K. T a k ą tu bliżej określoną elipsę nazywamy parabolą, a w (51) uznajemy wyraz zasadniczej własności linii parabolicznej.
Moźnaby sobie nieskończenie długą elipsę wystawić umieszczoną na powierzchni nieskończenie wielkiej kuli, na której jedna część powierzchni, znajdująca się w naszym widnokręgu, jak o płaszczyzna figuruje, na której nasze dla nas widome rysunki układamy.
Elipsa może być tego rodzaju nieskończona, że począwszy od wierzchołka A znajdującego się w naszym widnokręgu nawinięta, idąc w prawo A A ' na obwodzie największego pozio
mego koła nieskończonej kuli, niknie swym drugim wierzchołkiem A ' w nieskończonej d a li;
natenczas, ja k to ju ż widzieliśmy, łuk w sąsiedztwie widomego nam wierzchołka A nazywa się l i n i j ą p a r a b o l i c z n ą i posiada w (51) wyraz swojej zasadniczej własności.
Jeżeli zaś przy wyż określonem nawijaniu się a a', elipsa je st w tym rodzaju nieskoń
czenie długą, że począwszy wierzchołkiem A na polu naszego widnokręgu, po opasaniu ca
łej nieskończonej kuli zdąży drugim wierzchołkiem A ' aż po lewej stronie znowu na pole naszego w idnokręgu, natenczas widzimy na tern polu z założonej elipsy i łuk sąsiedni około A, jako też pewną część łuku sąsiadującego około wierzchołka A '. T e dwa łuki przedstawia nam oboczna figura (2) w linijach Wa h i H A H . Elipsę tego rodzaju nieskoń
czenie długą, iż nam widomemi stają się obydwa od siebie oddzielone łuki około wierz
chołków A i A', nazwiemy liniją hyperboliczną. Zobaczmyż teraz, ja k i tu szczegółowy wy
raz znajdzie charakterystyczny związek postawiony w (50). W tym celu wprowadzimy oznaczenia o A — oA’ = « albo AA' = 2a, przez P oznaczamy długość obwodu największego koła na kuli nieskończonej, i możemy napisać ze względu na nieskończone długości AA',
M F następujące związki:
(52) AA' = P — 2a, MF' = P — MF'.
a w skutek (50) i (52)
MF t MF' = AA', czyli
1 4 D E . W . ŻMTJRKO.
MF +P — MF' = F — 2a i nareszcie
MF' — M F = 2a = . ( 5 3 )
ja k o wyraz charakterystycznej i zasadniczej własności linii hyperbolicznej.
T a k więc przedstawiliśmy jasn o , że liniję: parabola i hyperbola, na pozór tak różne od elipsy, należą przecież do familii elips — o tyle szczególnych, że parabola je st elipsą bardzo długą o jednym tylko dla nas widomym wierzchołku, hyperbola zaś nieskoń
czenie długą elipsą w wyższym rzędzie, tak, że opasawszy nieskończenie w ielką kulę, staje się nam widomą ze względu na obydwa wierzchołki i ich łukowe otoczenia. Z tego, co się tu powiedziało, wynika, że parabola może być nazwaną hyperbola o tak długiej osi a, że jednym tylko wierzchołkiem je s t nam widomą.
Przytem może się zdarzyć, ż e e l i p s a j e s t tak długą, że jej średnica, opasawszy nieskończoną kulę, dojdzie wierzchołkiem A ' aż do wierzchołka A, albo nawet, że A ' w kro
czy do wewnętrznej strony łuku przy wierzchołku A, tak że łuki przy A i A ’ przecinają się na wzajem i tworzą liniję zamkniętą, uformowaną do kształtu elipsy, podczas gdy reszta nieskończonych gałęzi ukształtuje się w hyperbolę, mającą swą oś rzetelną w osi oy. W przy
padku pierwszym wychodzą ze wspólnego miejsca wierzchołków otaczające je łuki w kształ
cie dwóch przecinających się prostych linij — w drugim zaś przypadku tworzą one hy
perbolę o osi urojonej w kierunku ox, której oddzielne łuki połączone są elipsą styczną do owych oddzielnych łuków liyperbolicznych.
U w ażając tedy każdą z trzech linii rzędu drugiego jako elipsę o osi dłuższej a i o«i krótszej b, otrzymamy ze względu na każdą z tych linii wyznaczenie param etru p w następującym wzorze:
Długość param etru p je st zawsze skończoną — a ponieważ w paraboli oś a je st ilością nieskończenie długą rzędu 1, to według (54) musimy oś b uważać za ilość nie
skończenie długą rzędu f .
U w ażając tedy we wzorach (7) i (9), w oddziale I, oś a za nieskończenie długą rzędu 1, a oś & nieskończenie długą rzędu powinny wzory (7) i (9) przeistoczyć się na wzory (22) — a to mianowicie na podstawie (54), gdyż w tym razie dana wiodąca elipsa przeistacza się w parabolę, a rodząca elipsa w (7) jak o też rodząca hyperbola w (9) stają się również parabolami o parametrach obdarzonych znakami przeciwnymi. Nadto musi nowy początek rzędnych osi zająć miejsce wierzchołka danej elipsy wiodącej — za po
mocą wzoru
p = 2V : a, a ztąd b2 = . (54)
(55) Z a pośrednictwem podstawień x = x'-a, i V = ~- otrzymamy rzeczywiście:
a2 V ar {lf x2 + a2 y 2) = « 6 er ~ + a 5 ~ (yr—px ) e2 ,
/ V \ { v \ a p x
(V a2 + a2 y2) (!>4x2 + a4y2) = a7 ^ {y2 + — j + a6 [y2 + — J ( f —p x )--- ( 5 6 )
O PO W IER ZC H N IA CH SPRZĘŻONYCH Z PO W IERZC H N IA M I RZĘD U DRUGIEGO. 1 5
z nadmienieniem, że przy obliczeniu składników w (56) pozostawialiśmy tylko po dwa członki z najwyższemi potęgami ilości nieskończenie wielkiej a.
Na mocy rezultatów (56) otrzymamy równania (7) i (9) w następujących po staciach :
które co do znaczenia w zupełności są w zgodzie z równaniami (2 2).
N a mocy wyż ugruntowanego stanowiska, że hyperbola i parabola są szczególnemi przypadkami ogólnej formy nazwanej e l i p s ą , wykazaliśmy dostatecznie, że r ó w n a n i a c z w a r t e g o s t o p n i a powierzchni sprzężonych, jaw iących się dla danej w i o d ą c e j h y p e r b o l i l u b p a r a b o l i , są tylko szczególnemi przypadkam i równań (7) i (9) należących do danej w i o d ą c e j e l i p s y o osiach a i b.
(57)
i
