„LICZBY GEOMETRYCZNE”

(1)

1

„LICZBY GEOMETRYCZNE”

Krzysztof Kowalik Kajetan Trześniewski

Klasa VI b

Ogólnokształcąca Szkoła Muzyczna I stopnia w Krakowie

Opiekun: Joanna Zagórska

(2)

2

Spis treści:

1. Historia odkrycia liczb wielokątnych str. 3

2. Liczby trójkątne str. 4

3. Liczby kwadratowe str. 6

4. Liczby pięciokątne str. 8

5. Liczby sześciokątne koncentryczne str. 10

6. Liczby piramidalne str. 13

7. Wielościany str. 16

8. Gra str. 18

9. Zakooczenie str. 20

10. Źródła str. 21

11. Opinia nauczyciela str. 21

(3)

3

1. Historia odkrycia liczb wielokątnych.

Liczby geometryczne zostały poznane w starożytnej Grecji. Ich odkrywcami byli Pitagorejczycy, którzy wnieśli bardzo duży wkład w rozwój matematyki. Uważali oni, że liczby są niepodzielne i wyobrażali je sobie jako punkty, które tworzyły foremne figury geometrycznych. W ten sposób otrzymywali liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne (itd.) a nawet liczby piramidalne.

Wiedzę na temat liczb geometrycznych poszerzył Diofantos, który odkrył wiele prawidłowości rządzących tymi liczbami.

W późniejszych latach liczbami wielokątnymi zajmowali się inni sławni matematycy m.in. L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy.

(4)

4

2. Liczby trójkątne

Liczba trójkątna, to liczba złożona z kulek (punktów), które muszą utworzyd trójkąt, przy czym każdy bok tego trójkąta musi mied tą samą liczbę kulek (punktów). Trójkąty te tworzy się w następujący sposób: rysujemy jedną kulkę jako wierzchołek i poniżej rysujemy dwie kulki, potem trzy i w każdym kolejnym rzędzie o jedną więcej. Wygląda to tak:

o T

₁

= 1 o o T

₂

= 3 o o o T

3

= 6 o o o o T

₄

= 10

………..

n kulek T

_n

=1+2+3+4+…+n

Liczbę trójkątną oznaczamy literą T. Indeks dolny przy literze oznacza z ilu kulek zbudowany jest bok trójkąta.

Jak się można domyślid, piąta liczba trójkątna to 15.

Ale jak obliczyd np. 15 liczbę trójkątną?

Dodawanie do siebie kolejnych liczb byłoby czasochłonne.

Dlatego spróbujemy wyprowadzid wzór na obliczanie liczb trójkątnych.

Jeżeli trochę poprzekładamy kulki, to możemy utworzyd z nich trójkąt prostokątny. A jeżeli dołożymy do siebie dwa takie trójkąty to powstanie prostokąt o bokach n i n+1.

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Połowa pola tego prostokąta to liczba Tn, czyli:

Tn = n x (n+1) 2

(5)

5

Podobno wzór ten wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki .

Teraz już możemy wyliczyd T₁₅= 15x16/2 = 120. Prawda, że proste?

Trójkąty można układad też na inne sposoby i badad zależności między nimi.

Spróbujmy zbudowad kwadrat o boku n.

o o o o o o o o o o o o o o o o

Pole takiego kwadratu zbudowane jest z 1 trójkąta o boku n i 1 trójkąta o boku n – 1. Można to zapisad następującym wzorem:

n

²

= T

_n

+ T

n-1

Teraz spróbujmy ułożyd trójkąt o boku 2n o

o o

o o o

o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Jak widzimy ten trójkąt jest zbudowany z 3 trójkątów o boku n i 1 trójkąta o boku n – 1. Można to zapisad następującym wzorem.

T

2n

= 3T

n

+ T

n-1

Takich figur i zależności można budowad o wiele więcej. I tak to robili średniowieczni matematycy.

Możemy zastosowad je w praktyczny sposób, na przykład do wyliczenia ilości klocków lego potrzebnych do zbudowania piramidy o podstawie z n-klocków. Wystarczy znad prawidłowości i już nie trzeba się głowid, czy uda się dojśd do szczytu.

(6)

6

3. Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe to liczby, które można graficznie przedstawid w postaci kwadratu. Na przykład liczba 4 to 4 kulki. Gdy umieścimy je odpowiednio to tworzą kwadrat (o boku 2):

o o o o

Aby uzyskad następną liczbę kwadratową musimy dołożyd taką liczbę kulek, aby zbudowad kwadrat o boku jedną kulkę większym (w tym przypadku o boku 3):

Powstała liczba kwadratowa to 9. Jest to kwadrat liczby 3.

Kolejna liczba kwadratowa to 16 czyli kwadrat liczby 4.

o o o o o o o o o o o o o o o o

Wynika z tego, że liczby kwadratowe to druga potęga kolejnych liczb naturalnych:

k₁ = 1 x 1 = 1 k2 = 2 x 2 = 4 k₃= 3 x 3 = 9 k₄= 4 x 4 = 16 k5 = 5 x 5 = 25

Tak wygląda wzór, za pomocą którego możemy znaleźd kolejne liczby kwadratowe:

k

_n

= n

²

^gdzie:

k

- liczba kwadratowa,

n

- numer liczby

na przykładk21 = 21² = 441 o o o

o o o o o o

(7)

7

Istnieje tez druga metoda na znalezienie liczb kwadratowych - to dodawanie do siebie kolejnych partii kulek. W każdej kolejnej partii dodajemy o dwie kulki więcej niż w poprzedniej.

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

k

n

= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)

Liczby kwadratowe możemy wykorzystywad w praktyczny sposób, na przykład do zaplanowania jak optymalnie ułożyd owoce w zgrzewkach papierowych, czy jajka na kwadratowych paletach.

Można również pomagad sobie przy planowaniu układania płytek na posadzce.

(8)

8

4. Liczby pięciokątne

Liczby pięciokątne tworzone są na podobnej zasadzie co liczby trójkątne, czy liczby kwadratowe, poprzez dodawanie do siebie kolejnych partii kulek, przy czym w każdej partii dodajemy o 3 kulki więcej niż w poprzedniej partii.

Poniżej przedstawiam sposób tworzenia liczb pięciokątnych

P₁=1 P2=5 P₃=12 P₄=22 P₅=35

P5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13

Jak widzimy każda kolejna partia kulek składa się z 3 boków, każdy o tej samej liczbie kulek. Ponieważ dwie kulki stanowią wierzchołki i są wspólne dla dwóch boków należy je odjąd, żeby wyliczyd liczbę kulek w n-tej partii.

Stąd mamy wzór:

P

n

= 1 + 4 + 7 + 10 + ….. + (3n -2)

Liczbę pięciokątną można wyliczyd również ze skomplikowanego wzoru:

P_n = [n x (n - 1) x (5 - 2)/2] + n O

O

O O

O O O

O O

O O O

O O

O O O

O O

O O O

O O

O O O

O O

(9)

9

Przykładowo przedstawiamy wyliczenie dla piątej liczby pięciokątnej:

P5 = 5 x (5-1) x (5-2) / 2 + 5 = 5 x 4 x 3 / 2 + 5 = 60/2 + 5 = 30 + 5 = 35

Wzór ten można zastosowad do obliczenia każdej liczby wielokątnej, należy jedynie 5 zastąpid odpowiednią liczbą kątów.

k

n

= n x (n - 1) x (k - 2)/2 + n

gdzie:

k – to liczba kątów wielokąta n – to kolejna liczba wielokątna

Dla przykładu: czwarta liczba sześciokątna wynosi:

S₄ = 4 x (4-1) x (6-2)/2 + 4 = 4 x 3 x 4/2 + 4 = 12 x 4/2 + 4 = 48/2 + 4 = 24 + 4 =

= 28

Wzór na liczbę wielokątną można również zapisad w następujący sposób:

kn = n x (k – 2) x (n - 1) + 2 2

(10)

10

5. Liczby sześciokątne koncentryczne

Liczby sześciokątne, to liczby tworzone według następującego wzorca: na początek malujemy jeden punkt w środku, a w każdym kolejnym ruchu domalowujemy dookoła kolejne kropki tak, by tworzyły one sześciokąty.

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

H

₁

= 1 H

₂

= 7 H

₃

= 19

Oto wzór na kolejne liczby sześciokątne:

W centrum zawsze jest 1 kropka, a naokoło 6 identycznych segmentów, więc piszemy:

H

n

= 1+6 x [1+2+3+...+(n-1)]

(11)

11

Dla dużych liczb korzystanie z tego wzoru byłoby czasochłonne. Dla uproszczenia możemy użyd wcześniej prezentowanego wzoru na obliczanie liczb trójkątnych:

T

n

=

Jak widzimy na rysunku liczba sześciokątna składa się z jednej kulki w centrum i 6 identycznych liczb trójkątnych o boku n-1.

H_n = 1 + 6 x T_n-1= 1 + 6 x

= 1 + 6 x Po przekształceniach otrzymujemy prosty wzór:

H

_n

= 1 + 6 x

Tak więc:

H₁ = 1 H₂ = 7 H3 = 19 H₄ = 37

H

5

= 61 H

6

= 91 H

7

= 127 H

₈

= 169 H

9

= 217 H

10

=271

Ciekawostką jest, iż cyfry jedności w liczbach sześciokątnych powtarzają się według następującego schematu:

1-7-9-7-1-1-7-9-7-1...

Z kolei suma kolejnych liczb sześciokątnych od H₁ do H_n , to n³.

(12)

12

Na przykład:

dla n = 3:

1+7+19 = 3³ = 27 dla n = 5:

1+7+19+37+61 = 5³ = 125

Skoro suma kolejnych liczb sześciokątnych to n³, to znaczy, że różnica pomiędzy sześcianami dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą sześciokątną, na przykład:

dla liczb 1 i 2:

1³= 1 2³ = 8

8 – 1 = 7 = H₂ dla liczb 4 i 5:

4³= 64 5³= 125

125 – 64 = 61 = H₂

Znajomośd liczb sześciokątnych można wykorzystad podczas pakowania walcowatych lub okrągłych w przekroju przedmiotów do pojemnika o podstawie koła. Na przykład kiełbasek wejdzie do puszki 7 lub 19. Jeśli włożymy np. 12 to nie wykorzystamy całego miejsca.

Podobnie budując wiązki kabli najlepiej jest, aby ich ilośd również była liczbą sześciokątną.

(13)

13

6. Liczby piramidalne

Liczby piramidalne, to liczby opisujące ilośd kulek, z których można ułożyd piramidkę. Przedstawmy najmniejsze (>1) liczby piramidalne:

Trójkątna liczba piramidalna – składa się z trójkątnej podstawy zbudowanej z trzech kulek i z czwartej umieszczonej na środku podstawy. Aby zbudowad kolejną piramidę, należy dołożyd podstawę zbudowaną z pięciu kulek. Zauważmy, że kolejne zwiększające się podstawy to liczby trójkątne.

Wartośd liczby piramidalnej można wyliczyd dodając do siebie kolejne liczby trójkątne:

S

n

= T

1

+ T

2

+ T

3

+ …. + T

n gdzie: n - numer liczby, Tn – liczba trójkątna

Sn – liczba piramidalna o podstawie trójkątnej

Jeżeli przyjrzymy się kolejnym podstawom to można zauważyd, że każda kolejna podstawa jest o n kulek większa:

T₁ T₂ T₃ T₄ T₅

❶ ❶ ❷ ❶ ❷ ❸ ❶ ❷ ❸ ❹ ❶ ❷ ❸ ❹ ❺

❷ ❷ ❸ ❷ ❸ ❹ ❷ ❸ ❹ ❺

❸ ❸ ❹ ❸ ❹ ❺

❹ ❹ ❺

❺

Liczbę piramidalną o podstawie trójkąta można zapisad w również w takiej postaci:

1 T₁

1 2 T2

1 2 3 T₃ 1 2 3 4 T4

1 2 3 4 5 T₅

(14)

14

Na tej podstawie można wyprowadzid jeszcze jeden wzór na liczbę piramidalną:

S

n

**= 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ….. + (n-1)2 + n*1**

W Wikipedii znaleźliśmy jeszcze wzór:

Czworokątna liczba piramidalna – ma czworokątną podstawę zbudowaną z 4 kulek i z piątej kulki leżącej na środku podstawy. Aby zbudowad kolejną piramidę, należy dołożyd podstawę kwadratową zbudowaną z 9 kulek.

Każda kolejna piramida będzie miała jako podstawę kwadrat o boku o 1 kulkę dłuższym niż poprzednia piramida. Wynika z tego, że będą to kolejne liczby kwadratowe.

Liczby piramidalne o podstawie kwadratu można przedstawid w podobny sposób jak liczby piramidalne o podstawie trójkąta , przy czym

w przypadku tych liczb, każdy kolejny rząd podstawy będzie się zwiększał o dwie kulki:

k₁ k₂ k₃ k₄ k₅

❶ ❶ ❷ ❶ ❷ ❸ ❶ ❷ ❸ ❹ ❶ ❷ ❸ ❹ ❺

❷ ❷ ❷ ❷ ❸ ❷ ❷ ❸ ❹ ❷ ❷ ❸ ❹ ❺

❸ ❸ ❸ ❸ ❸ ❸ ❹ ❸ ❸ ❸ ❹ ❺

❹ ❹ ❹ ❹ ❹ ❹ ❹ ❹ ❺

❺ ❺ ❺ ❺ ❺

1 k₁

1 3 k2

1 3 5 k₃ 1 3 5 7 k4

1 3 5 7 9 k₅

S_n = n x (n+1) x (n+2) 6

(15)

15

Na tej podstawie możemy wyprowadzid wzór na liczbę piramidalną o podstawie kwadratu:

K

n

= k

1

+ k

2

+ k

3

+ …. + k

n

lub

K_n =

**1n + 3(n-1) + 5(n-2) + ….. + (n-2)2 + n*1**

lub wzór z Wikipedii:

Możliwe do zbudowania są jeszcze piramidy o podstawie pięciokąta – to pięciokątne liczby piramidalne.

Najmniejsza z nich, jak łatwo zgadnąd, składa się z sześciu kulek. Aby uzyskad kolejne, dokładamy podstawy zbudowane z kolejnych liczb pięciokątnych.

Dla liczb piramidalnych o podstawie pięciokąta możemy w podobny sposób wyprowadzad wzory.

W Wikipedii można znaleźd ogólny wzór na wyliczanie p-kątnej liczby piramidalnej:

gdzie: P – kolejna liczba piramidalna o podstawie p-kątnej;

p – liczba kątów w podstawie piramidy n – kolejna liczba

Wiedzę o liczbach piramidalnych i ich obliczaniu możemy wykorzystad tworząc budowle z klocków lego lub kulek magnesowych. Może wiedzę o tych liczbach posiadali już Egipcjanie budując piramidy??

Kn = (n²+n) x (2n+1) 6

P_n = n x (n + 1) x [(p – 2) x (n – 1) + 3]

6

(16)

16

7. Wielościany

Istnieje wiele wielokątów foremnych na płaszczyźnie, ale w przestrzeni jest ich jedynie pięd.

czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan

Jest ich tyko pięd, ale trudno jest dla nich określid ciąg kolejnych liczb.

Z czworościanem, sześcianem i ośmiościanem można sobie poradzid ale z dwudziestościanem, czy nawet dwunastościanem jest już sporo problemów.

Jak można zauważyd czworościan jest jednocześnie liczbą piramidalną o podstawie trójkątnej i został omówiony w rozdziale wcześniejszym

Najprostszym do obliczania ciągiem jest sześcian, który jest zbudowany z liczb kwadratowych i jego ciąg możemy wyliczyd łatwo z wzoru:

S

n

= n

³

Ciekawą liczbą wielościenną jest też ośmiościan - powstaje on z dwóch połączonych piramid – piramidy te są jednocześnie liczbami piramidalnymi o podstawie kwadratu K_n i K_n-1

(17)

17

Mając tą wiedzę, możemy wyprowadzid wzór na n-tą liczbę ośmiościenną:

On = Kn + Kn-1

czyli:

O_n = n(2n²+1)/3

Między liczbami przestrzennymi a liczbami wielokątnymi istnieje zależnośd. Liczby przestrzenne są zbudowane z figur, których ściany są wielokątami foremnymi, a jak już wiemy wielokąty foremne tworzą liczby wielokątne.

Ciekawostką jest, że wielościany nie tylko występują w matematyce ale także w przyrodzie kiedy rożne substancje krystalizując się przybierają kształty np.:

Piryt

(18)

18

8. Gra

Postanowiliśmy wymyślid grę związaną z liczbami geometrycznymi.

Polega ona na tym, że na narysowanej poniżej planszy należy narysowad podany na czystej kartce rysunek w taki sposób, aby jego powierzchnię stanowiły tylko liczby geometryczne (pomijając liczbę jeden).

Są dwa rodzaje plansz:

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Na planszy należy łączyd ze sobą kolejne kropki. Jeśli w dobrej kolejności połączymy odpowiednie punkty powstanie obrazek.

Na pierwszym poziomie trudności trzeba rysowad różne figury geometryczne np. równoległobok albo trapez prostokątny, np.:

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Na drugim poziomie należy przerysowywad różne proste kształty np.

gwiazda.

(19)

19

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Na ostatnim, trzecim poziomie trudności trzeba rysowad bardziej

skomplikowane przedmioty np. auto.

O O O O O O O O O O O O O O O

(20)

20

9. Zakooczenie

W naszej pracy pokazaliśmy, jak ciekawy jest świat liczb, chociaż to dopiero początek odkrywania jego tajemnic. Poznawanie liczb wielokątnych i badanie zależności między tymi liczbami to doskonała zabawa i trening dla głowy.

Liczby geometryczne są mało znane, jednak ich wiedza o nich nieraz może się przydad w życiu codziennym, nawet kiedy bawisz się klockami lego.

Ciekawe, czy po przeczytaniu naszego referatu będziesz potrafił rozwiązad zadanie matematyczne:

Jaś zbudował z 55 piłek piramidę. Posiadała ona 5 pięter. Oblicz z ilu piłek zbudowana była podstawa i w jakim była kształcie!!!

(21)

21

10. Źródła:

1. http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2011/08/30/Geo metryczne_liczby/;

2. http://towarzystwo.edu.pl/assets/prace_matematyczne/2016_GimnSWRodziny _RZak.pdf;

3. http://www.liczba.cba.pl/wielokatne.html;

4. http://www.tischner-wodzislaw.pl/images/medialnamat/liczbywielokatne.pdf;

5. http://encyklopedia.pwn.pl/haslo/liczby-piramidalne;3932373.html;

6. http://matfiz24.pl/dzialania-liczbach/liczby-trojkatne-i-wielokatne.

11. Opinia nauczyciela:

Kajetan i Krzysztof to uczniowie mający wiele zainteresowao, uzdolnieni muzycznie. Na lekcjach matematyki cechują się dużą pomysłowością i dociekliwością w rozwiązywaniu problemów.

Temat referatu zainteresował ich, bo jak stwierdzili, zaintrygowało ich połączenie arytmetyki z geometrią.

Joanna Zagórska

„LICZBY GEOMETRYCZNE”