A KSJOMATY E KSTREMALNE A M ODELE Z AMIERZONE T EORII
JERZYPOGONOWSKI
Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl
Model zamierzonyteorii miałby by´c modelem wyró˙znionym spo´sród wszyst- kich jej modeli przez fakt, i˙z to wła´snie z my´sl ˛a o jego charakterystyce teoria była budowana. Okre´slenie to zawiera oczywi´scie element pragmatyczny – jak si˛e oka- zuje – nieusuwalny. W przypadku wa˙znych teorii matematycznych formułowanych w j˛ezyku pierwszego rz˛edu (systemy liczbowe badane w arytmetyce i algebrze, teoria mnogo´sci) ich modele zamierzone nie mog ˛a zosta´c jednoznacznie wyzna- czone ani ´srodkami syntaktycznymi, ani semantycznymi. Pokazuj ˛a to twierdze- nia limitacyjne. Niekiedy po˙z ˛adane charakterystyki otrzymujemy wychodz ˛ac poza klasyczn ˛a logik˛e pierwszego rz˛edu, ale płacimy cen˛e wysok ˛a – tracimy np. wła- sno´s´c pełno´sci wykorzystywanej logiki.
Aksjomaty ekstremalneformułowane bywały m.in. wła´snie w celu jednoznacz- nej charakterystyki modeli zamierzonych. Najbardziej znane przykłady takich ak- sjomatów to: aksjomat zupełno´sci Hilberta w geometrii (zast ˛apiony pó´zniej ak- sjomatem ci ˛agło´sci, wykorzystywanym w teorii liczb rzeczywistych), aksjomaty ograniczenia(minimalno´sci) w teorii mnogo´sci (Fraenkel, Gödel, Suszko), sche- mat aksjomatu indukcji w arytmetyce Peana, aksjomaty maksymalno´sci w teorii mnogo´sci (aksjomaty istnienia du˙zych liczb kardynalnych). Aksjomaty ogranicze- nia w teorii mnogo´sci zostały odrzucone, natomiast aksjomaty istnienia du˙zych liczb kardynalnych okazuj ˛a si˛e ´sci´sle zwi ˛azane z dowodliwo´sci ˛a, tak˙ze w logikach mocniejszych od logiki pierwszego rz˛edu.
Czasami mo˙zemy modele zamierzone powi ˛aza´c z własno´sciami czysto mate- matycznymi: np. twierdzenie Tennenbauma głosi, ˙ze model standardowy arytme- tyki jest jej jedynym modelem rekurencyjnym, twierdzenia Frobeniusa, Ostrow- skiego, Pontriagina orzekaj ˛a o jednoznacznej (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) charakterystyce pewnych ciał liczbowych. W ogólnej metodologii nauk od kil- kudziesi˛eciu lat trwa debata wokół ró˙znych argumentów dotycz ˛acych mo˙zliwo´sci wyznaczania modeli zamierzonych.
W odczycie postaramy si˛e, bez epatowania formalizmem matematycznym, po- kaza´c rol˛e aksjomatów ekstremalnych w tworzeniu wybranych wa˙znych teorii.
