Wykład IV i V
• Definicja wielomianów ortogonalnych,
• Waga i jej własności,
• Własności wielomianów ortogonalnych,
• Równania różniczkowe dla wielomianów
ortogonalnych,
• Wzór Rodriguesa,
• Normy wielomianów ortogonalnych,
• Związki rekurencyjne dla wielomianów
ortogonalnych,
Definicja
( )
x
=
a
x
+
b
x
−1+
,
a
0
,
x
(
,
)
Q
n n n n n
n( )
(
,
)
,
n n nb
a
x
Q
- wielomian stopnia n
-
współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej x
- dziedzina wielomianu
Ortogonalność
(
Q
n,
Q
m)
(
x
)
Q
n( ) ( )
x
Q
mx
dx
n,m
)
(x
- waga
• Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą,
• Waga oraz dziedzina całkowicie definiują rodziny wielomianów
ortogonalnych,
• Wielomiany nie są unormowane w sensie iloczynu skalarnego z wagą.
Wielomiany ortogonalne są użyteczne w wielu dziedzinach fizyki, np. elektrodynamice, teorii pola, mechanice kwantowej (oscylator harmoniczny, atom wodoru…), optyce i in. Jest to kilka rodzin
wielomianów (wielomiany Legendre’a, Hermite’a, Laguerre’a i in.), takich że wielomiany różnych stopni, należące do jednej rodziny, są ortogonalne w sensie przedstawionym poniżej
Ogólna definicja iloczynu skalarnego z wagą
Własności wagi
• Znikanie wyrażenia
B
na krańcach dziedziny,
• Pochodna logarytmiczna wagi,
(
)
( )
( )
1 0 2 2 0 1,
,
)
(
)
(
ln
A
x
A
x
A
B
x
B
x
B
x
B
x
B
x
A
=
+
=
+
+
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
0
B
B
Wagi są różne dla różnych rodzin wielomianów, ale mają pewne wspólne własności. Np. pochodna logarytmiczna wagi zawsze daje się zapisać jako funkcja wymierna (iloraz wielomianów 1. i 2. stopnia, których współczynniki zależą od rodziny
Nazwa
Symbol
Dziedzina
(
,
)
Waga
(x
),
Legendre’a
P
n( )
x
(
−
1
,
1
)
21
)
(
,
0
)
(
1
)
(
x
x
B
x
A
x
−
=
=
=
)
(
),
(
x
B
x
A
Hermite’a
Laguerre’a
Czebyszewa
( )
x
H
n( )
x
L
n( )
x
T
n(
− ,
+
)
( )
0
,
(
−
1
,
1
)
1
)
(
,
2
)
(
)
(
2=
−
=
=
−x
B
x
x
A
e
x
x
x
x
B
x
x
A
e
x
x
x=
−
=
−
=
−)
(
,
)
(
1
,
)
(
(
)
2 2 1 21
)
(
,
)
(
1
)
(
x
x
B
x
x
A
x
x
−
=
=
−
=
−
• Rodzaje wielomianów ortogonalnych
Własności wielomianów ortogonalnych
• Zbiór wielomianów ortogonalnych danego typu stopnia stanowi
bazę w przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż ,
określonych na przedziale
N
n
N
(
,
)
Wniosek: każdą potęgę można przedstawić jako kombinację liniową
wielomianów
kx
kQ
Q
Q
0,
1,
• Wielomian jest ortogonalny do wszystkich potęg
Q
nx
,
k
n
,
k
(
x
k,
Q
n)
=
0
,
k
=
0
,
1
,
2
,
n
−
1
• Wielomian ma n
Q
nróżnych pierwiastków rzeczywistych,
( )
n(
)(
) (
n)
n
x
a
x
x
x
x
x
x
Q
=
−
1−
2
−
• Wielomiany można uzyskać z potęg w wyniku
ortogonalizacji Grama-Schmidta
n
Q
x
k,
k
=
0
,
1
,
2
,
Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą (por. definicja ortogonalności wielomianów powyżej). Dowód: 𝑥𝑘 jest kombinacją liniową
wielomianów 𝑄0, 𝑄1, … , 𝑄𝑘, 𝑘 < 𝑛, które wszystkie są ortogonalne do 𝑄𝑛.
Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych
Można wykazać, że
(
V
,
x
k)
=
0
,
k
n
V
=
Q
n,
=
const
(
A
B
)
Q
nB
Q
nQ
nx
V
(
)
=
+
+
=
Porównując współczynniki przy najwyższej potędze równości
nx
uzyskuje się, że
(
)
A
1n
1 B
2
n
+
+
=
Podstawiając wyrażenia na A, B, uzyskuje się równania różniczkowe na
poszczególne typy wielomianów
(
B
Q
n) (
A
B
)
Q
nB
Q
nx
V
=
=
+
+
1
)
(
Zdefiniujmy wielomian V(x) stopnia n
Dowód na następnym slajdzie. Skoro 𝑉(𝑥) jest ortogonalne do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 < 𝑛 to jest proporcjonalne do
𝑄𝑛, gdzie γ – współczynnik proporcjonalności
• Wielomiany Legendre’a
P
n(
1
−
x
2)
P
n
−
2
x
P
n
+
n
(
n
+
1
)
P
n=
0
• Wielomiany Hermite’a
H
n0
2
2
+
=
−
n n nx
H
nH
H
• Wielomiany Laguerre’a
L
n(
−
+
1
)
+
=
0
+
n n nx
L
nL
L
x
• Wielomiany Czebyszewa
T
n(
1
−
x
2)
T
n
−
x
T
n
+
n
2T
n=
0
Wzór Rodriguesa
( )
( )
( )
n( )
n n nx
Q
x
B
Q
1
~
=
Ogólniej, można wykazać że
( )
( )
k k n k nW
B
B
=
−
1
kW
- wielomian stopnia k, spełniający związek rekurencyjny
(
)
k n nk
k
B
W
A
n
k
B
W
W
W
Q
W
+1=
+
+
−
,
0=
1
,
=
~
Dowód na następnym slajdzie
Przy pomocy wzoru Rodriguesa można wyznaczyć wielomiany ෨𝑄𝑛proporcjonalne
do właściwych wielomianów ortogonalnych 𝑄𝑛. Stałe proporcjonalności 𝑓𝑛 takie że
𝑄𝑛= 𝑓𝑣𝑄෨𝑛 są umowne i zostaną podane w dalszej części wykładu. Ważne jest, że
przy pomocy wzoru Rodriguesa każdy wielomian ortogonalny można wyznaczyć wyłącznie za pomocą wagi i jej pochodnych.
+
+
=
m−1 m m m mw
x
x
W
-
współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej x
m m
w
,
Posługując się tym związkiem, można określić
Dla 𝑚 = 𝑛 współczynniki 𝑤𝑛, 𝑣𝑛
pokrywają się ze współczynnikami przy najwyższych potęgach wielomianu ෨𝑄𝑛
• Wielomiany Legendre’a
P
n(
)
(
)
( ) ( )
,
0
!
!
2
1
,
2
1
2 1=
−
−
−
=
−
=
+ n n n k k kn
n
w
W
k
n
x
W
x
W
• Wielomiany Hermite’a
H
n• Wielomiany Laguerre’a
L
n( )
2
,
0
,
2
1=
−
=
−
=
+ n n n k k kW
xW
w
W
(
−
+
−
)
=
( )
−
=
( ) (
−
+
)
+
=
− +x
W
x
n
k
W
w
n
n
W
k 1 k k,
n1
n,
n1
n 1Współczynniki wyznacza się analogicznie jak w przykładzie na poprzedniej transparencji. Dla wielomianów Czebyszewa – por. skrypt do ćwiczeń z rozwiązaniami
Sprawdzenie warunku ortogonalności
.
Wykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
n n k n k k k n n k n n k n n k n k n n k n n k n n k n kQ
Q
n
k
W
B
k
B
k
dx
B
x
k
dx
B
x
k
BW
x
dx
B
x
k
B
x
dx
B
x
Q
x
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
− − + − − − − − − − − − −
~
,
0
!
1
!
1
~
,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Korzystamy ze związku 𝜌𝐵𝑛 (𝑘) = 𝜌𝐵𝑛−𝑘𝑊 𝑘 ⇒𝜌𝐵𝑛 (𝑛−1) = 𝜌𝐵𝑊𝑛−1, itd, oraz z właściwości wagi
𝜌 𝛼 𝐵 𝛼 = 𝜌 𝛽 𝐵 𝛽 = 0.
Zauważmy, że ostatniej całki nie można wykonać dla 𝑘 = 𝑛, więc uzyskany wynik jest prawdziwy dla 𝑘 < 𝑛. Skoro wielomian ෨𝑄𝑛jest ortogonalny do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 <
𝑛, to jest proporcjonalny do wielomianu ortogonalnego 𝑄𝑛który ma tę własność.
Ostateczna postać wzoru Rodriguesa
Q
n( )
x
=
f
nQ
~
n( )
x
• Wielomiany Legendre’a
P
n( )
( )
(
)
( )
( )
!
,
0
2
!
2
,
1
!
2
1
~
!
2
1
2 ) ( 2=
=
−
−
=
−
=
n n n n n n n n n n nb
n
n
a
x
n
P
n
P
• Wielomiany Hermite’a
H
n• Wielomiany Laguerre’a
L
n(
)
( )
( )
( ) (
)
=
−
=
−
+
=
=
− + − −n
n
b
a
e
x
e
x
L
L
n~
n x n x n,
n1
n,
n1
n 1• Wielomiany Czebyszewa
T
n( ) (
(
)
)
( ) (
(
)
)
(
1
) (
1
)
( )
,
1
,
0
!
1
2
!
1
1
~
!
1
2
!
1
1
−
2 12−
2 1 2=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
n n− n n n n n nx
x
a
b
n
n
T
n
n
T
( )
−
1
~
=
( )
−
1
2( )
2( )
,
=
2
,
=
0
=
− n n n n x x n n n nH
e
e
a
b
H
Współczynniki 𝑓𝑛 dla poszczególnych wielomianów
Normy wielomianów ortogonalnych
(
)
=
(
+
+
) (
=
)
=
( )
( )
=
−
B
dx
x
f
a
Q
x
a
Q
x
b
x
a
Q
Q
Q
n 2 n,
n n n n n 1
,
n n n,
n n n n n nWykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy
( )
−
=
B
dx
f
a
n
Q
n 21
n!
n n nKorzystamy z faktu, że wielomian 𝑄𝑛jest
• Wielomiany Legendre’a
P
n( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
(
) (
)
)
2
1
2
2
2
1
1
2
!
2
!
2
1
!
2
1
!
2
!
2
!
1
2 2 1 2 1 1 2 2 2+
=
+
+
+
=
−
−
−
=
+ −
n
n
n
n
n
n
dx
x
n
n
n
n
P
n n n n n n n n• Wielomiany Hermite’a
H
n• Wielomiany Laguerre’a
L
n(
1
)
!
!
0 2+
+
=
+ −n
n
dx
x
e
n
L
n x n
• Wielomiany Czebyszewa
T
n
3
,
2
,
1
,
2
,
2 2 1 2 0=
T
=
−n
=
T
n
n( )
1
!
2
( )
1
22
!
2n
dx
e
n
H
n=
−
n n−
n
x=
n −− Prosta całka z rozkładu Gaussa
Wprost z definicji funkcji gamma Eulera
Obliczenie podobne jak dla wielomianów Legendre’a
Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
(
n j)
j j n n n n n n nxQ
Q
Q
c
Q
c
Q
c
Q
c
xQ
=
+1 +1+
+
−1 −1,
=
1
2,
2 1 2 1 1 1 1 1 1 − − − + + + +=
−
=
=
n n n n n n n n n n n n nQ
Q
a
a
c
a
b
a
b
c
a
a
c
Są to związki pomiędzy wielomianami stopni n, n+1, n-1, obowiązujące dla wszystkich klas wielomianów. Umożliwiają one obliczanie całek, zawierających iloczyny wielomianów różnych stopni (przy skorzystaniu z relacji ortogonalności dla wielomianów).
• Wielomiany Legendre’a
P
n 1 11
2
1
2
1
− ++
+
+
+
=
n n nP
n
n
P
n
n
xP
• Wielomiany Hermite’a
H
n
• Wielomiany Laguerre’a
L
nxL
n=
−
L
n+1+
(
+
2
n
+
1
)
L
n−
n
(
n
+
)
L
n−1• Wielomiany Czebyszewa
T
n
3
,
2
,
1
,
4
1
;
1
,
4
1
4
1
1 1 0 0 2 1=
T
+
T
+
T
=
xT
=
T
++
T
−n
=
xT
n n n1
1
2
1
−
+
+
=
n
n
n
H
nH
xH
Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych
( )
( )
==
0!
~
,
n n nw
n
x
Q
w
x
Ze wzoru Rodriguesa
( )
( )
( ) ( )
==
0!
1
,
n n n n nx
B
x
dx
d
n
w
x
w
x
Ze wzoru całkowego
Cauchy’ego
( ) ( )
=
( ) ( )
−
C n nC
x
x
dz
x
z
z
B
z
i
x
B
x
,
Int
2
1
(
)
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
( )
−
−
=
−
−
=
−
=
−
= + C n n n n C n n nz
wB
x
z
dz
z
x
i
dz
x
z
z
B
w
x
z
z
x
i
w
x
x
z
n
x
z
dx
d
1
2
1
1
2
1
,
!
1
0 1Wielomian stopnia 2 w mianowniku ma dwa pierwiastki (bieguny rzędu 1)
( )
( )
( )
( )
z
B
w
z
x
w
x
C
z
z
C
z
x
z
w w
−
=
→
→
→ →1
1
,
Int
Int
1 2 0 2 1 0 1
Z metody residuów
To jest równość formalna, ułatwiająca dalsze obliczenia. C jest dowolną krzywą zawierającą punkt x, funkcja podcałkowa ma biegun 1. rzędu w z=x.
Funkcja podcałkowa jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie 𝑤𝐵 𝑧 − 𝑥Τ
Tych własności pierwiastków 𝑧1, 𝑧2nie da się ogólnie pokazać, po prostu tak zawsze wychodzi
Funkcje tworzące są powszechnie używane w wielu działach
matematyki. Funkcję tworzącą dla wielomianów ortogonalnych można traktować jak „szereg Taylora” dla małych wartości w, którego
współczynnikami są wielomiany ෪𝑄𝑛
• Wielomiany Legendre’a
P
n( )
( )
( )
2 0 2 01
2
1
,
4
4
1
1
~
!
,
+
−
=
+
+
=
=
= =x
x
P
w
wx
x
P
n
w
w
x
n n n n n n• Wielomiany Hermite’a
H
n• Wielomiany Laguerre’a
L
n• Wielomiany Czebyszewa
T
n( )
( )
( )
x n n n wx w n n ne
n
x
H
e
x
H
n
w
w
x
2 0 2 0 2 2!
,
~
!
,
− + = − − ==
=
=
( )
(
)
w w x n n ne
w
n
w
x
L
+ − − =−
=
1 1 01
1
!
( )
2 2 04
4
4
w
wx
w
w
x
T
n n n−
+
−
=
= Tej funkcji tworzącej nie da się uzyskać z ogólnego wzoru (metoda: patrzskrypt do ćwiczeń z rozwiązaniami). Funkcja tworząca dla ෨𝑇𝑛uzyskiwana ze
