ANALIZA STATECZNOĝCI BELKI TIMOSHENKI SPOCZYWAJĄCEJ NA PODàOĩU SPRĉĩYSTYMAgnieszka Dudzik, Paulina Obara

ANALIZA STATECZNOCI BELKI TIMOSHENKI SPOCZYWAJCEJ NA PODOU SPRYSTYM Agnieszka Dudzik, Paulina Obara

Politechnika witokrzyska w Kielcach

Streszczenie. W pracy poddano analizie belk Timoshenki, spoczywajc na dwuparame- trowym podou sprystym. Wyprowadzone zostao róniczkowe równanie równowagi dynamicznej belki ciskanej zachowawcz si osiow oraz zostaa przeprowadzona ana- liza rozwizania tego równania, w zalenoci od wzajemnych relacji midzy jego wspó- czynnikami. Wyprowadzona zostaa formalnie cisa macierz sztywnoci podstawowego elementu belkowego, a rozwijajc otrzyman macierz w szereg potgowy, wzgldem argu- mentów wystpujcych w niej funkcji, wyznaczona zostaa macierz sztywnoci elementu pracujcego z udziaem sprystego podoa i staej siy osiowej. Wykazano, e macierze MES, otrzymane przy wykorzystaniu tzw.  zycznych funkcji ksztatu, stanowi liniowe przyblienie macierzy formalnie cisej. Wyznaczony zosta równie wzór na si krytyczn

dla belki swobodnie podpartej, wspópracujcej z podoem sprystym.

Sowa kluczowe: stateczno , sia krytyczna, podoe spryste, belka Timoshenki

WSTP

Matematycznym modelem podoa jest relacja midzy obcieniem podoa (q) a przemieszczeniem (w) jego powierzchni (relacja q–w). Wszystkie modele podoa moemy podzieli na modele analogowe (symulujce ugicie obcionej powierzchni podoa) i masywu gruntowego (podoe de niowane jest jako trójwymiarowe kontinu- um, które opisuje zachowanie si zalegajcych pod fundamentem gruntów). Najprostszy z modeli analogowych to model Winklera, zde niowany zaoeniem, e osiadanie do- wolnego punktu powierzchni podoa jest wprost proporcjonalne do obcienia w tym punkcie. Modelami analogowymi, które lepiej ni model Winklera opisuj ksztaty ugi

obcionej powierzchni podoa, s modele dwuparametrowe, które wprowadzaj nowe elementy strukturalne. Do powszechnie znanych zalicza si: model Fionienki-Borodi- cza, model Hetenyi’ego, model Pasternaka, model witki-Murawskiego. W przypadku modeli masywu gruntowego zaleno q–w uzyskuje si w ramach analitycznego lub Adres do korespondencji – Corresponding author: Paulina Obara, Politechnika witokrzyska w Kielcach, Wydzia Budownictwa i Inynierii rodowiska, Zakad Mechaniki Budowli, al. 1000-lecia PP 7, 25-314 Kielce, e-mail: paula@tu.kielce.pl

numerycznego rozwizania zagadnienia równowagi modelu pod dziaaniem obcie- nia w maym obszarze powierzchni. Klasyczn podgrup modeli analogowych masywu gruntowego stanowi modele tzw. póprzestrzeni sprystej, na przykad póprzestrze Boussinesqa czy Bookera-Davisa-Balaama. Istniej równie modele uproszczone, które powstaj na skutek naoenia na ciao spryste wizów kinematycznych lub kinetycz- nych. Wród tego typu modeli podoa do najpopularniejszych zalicza si model Wasowa i model Kolara-Nemeca. Szczegóowa klasy kacja modeli podoa zostaa przedstawio- na przez Dembickiego i innych [1988] oraz Gryczmaskiego i Jurczyka [1995]. Sposoby modelowania przedstawili równie Jemielita i Szczeniak [1992].

W pracy poddano analizie statecznoci belki krpe, spoczywajce na podou spry- stym. Rozpatrywany jest zmody kowany analogowy model Wasowa o dwóch parame- trach podatnoci podoa sprystego: podatnoci pionowej (kw) oraz poziomej (ku) – ry- sunek 1a. W warunkach równowagi róniczkowego elementu uwzgldniony jest wpyw pionowej reakcji podoa, proporcjonalnej do pionowego przemieszczenia ^{k w x tw}

 

^{, ,}

oraz reakcji poziomej, proporcjonalnej do poziomego przemieszczenia dolnego wókna belki i skierowanej przeciwnie ^kMM

 

^{x t,} , przy czym k_M k h_u / 2. Model matematyczny dwuparametrowego podoa Wasowa dla spoczywajcej na nim belki krpej moemy wic zapisa w postaci:

 

^, w

 

^, u ₄²

 

^,

q x t k w x t k h M x t (1)

gdzie: h – wysoko przekroju belki,

M – cakowity uredniony kt obrotu przekroju belki.

Rys. 1. Belka na podou sprystym – a, uredniony kt odksztacenia postaciowego ^N\

 

^{x t, – b}

Fig. 1. Beam on elastic fondation – a, average angle of non-dilatational strain ^N\

 

^{x t, – b}

u x

k udx_u

u=

h 2cos A

w x

sin szczegól A

b)

h

h 2

h 2 b

a)

B

x dx

l,EJ,GA, S

A

S q(x)

m(x)

k ww

k uu a

W rozwaaniach uwzgldniono równie wpyw odksztace postaciowych. Zaoenie to prowadzi do wprowadzenia urednionego kta odksztacenia postaciowego ^N\

 

^{x t, ,}

czyli kta, o jaki obróci si paski przekrój belki wzgldem prostej prostopadej do osi odksztaconej (rys. 1b):

 

^{x t, ww x t}

   

_x^{, x t,}

N\  M

w

   (2)

Przyjto nastpujce charakterystyki belki: E – modu Younga, G – modu Kirchhof- fa, A – pole przekroju, J – moment bezwadnoci, l – dugo belki, S – sia ciskajca,  – czsto drga wasnych,  wspóczynnik zaleny od ksztatu przekroju,  g- sto materiau, oraz  parametr, uwzgldniajcy wpyw odksztacalnoci postaciowej.

RÓNICZKOWE RÓWNANIE RÓWNOWAGI DYNAMICZNEJ (rys. 2)

Przyjmujc zaoenie podunej nieodksztacalnoci oraz niewielkich krzywizn osi w kon guracji aktualnej



^{cosM # 1, sinM # M}  , równania równowagi dynamicznej in-



 nitezymalnego wycinka belki spoczywajcej na podou sprystym, z udziaem du-

ych si osiowych S (rys. 2), zapisane w przemieszczeniach, moemy przedstawi w postaci:

2 2

2

2 2 2

2 2 2

4 0

0

u

w

GA w h

EJ k m

x x

GA w w w

S A k w q

x x x t

­ w M §w  M · M 

° w N ¨©w ¸¹

°® §w wM· w w

° ¨¨  ¸¸  U  

° N ©w w ¹ w w

¯

   



   

(3)

Bdziemy poszukiwa rozwiza ukadu (3). Po wprowadzeniu zmiennej bezwymia- rowej [ x l, [  ¢0, 1² , nieznane uogólnione przemieszczenia ^w

   

^{[,t , M [ ,t przy-}

jto w postaci:

S

2

S +

dx

2

w

k wdxw

A 4

uh

k dx

B x

2

mdx qdx

w xdx T

M

2 2

t wdx

w x

w x T⁺ Tdx

x M+ Mdx

x w

x

dx A

Rys. 2. Róniczkowy wycinek odksztaconej osi belki Fig. 2. Differential sector of deformed beam axis

       

, e

, e

i t i t

w t w

t

Z Z

[ [

M [ M [





(4)

Z równa równowagi (3) otrzymano róniczkowe równanie amplitud ruchu harmo- nicznego:

    

IV 4 2 2 2 4 2 4 II 2 4 4 4

( ) _w ( ) _w 1 ( ) 0

w [  O ]F  V F  O ]F  O_M w [  F O  O  O ]_M w[ (5) oraz równanie amplitud cakowitego urednionego kta obrotu przekroju belki:

  

4

 

²



^III

  

^{4 2 4 2}



^I

 

1 1

1 1

1 w ^w w

l _M ª º

M [  O ] ¬]  V ] [   O ]  O ] [ ¼ (6)

przy czym:

4 2 2 2 4 2

4 4 4 2 2

2 2

; ; ; ; 1 ;

4 1

w u

w

k l k h l A l Sl EJ

EJ ^M EJ EJ EJ GAl

UZ N

O O O F V ]

 V ] (7)

W przypadku analizy statecznoci zakadamy, e elementy s niewakie (U = 0), wo- bec czego równanie (5) przyjmie posta :

     

IV 2 II 0

w [  Aw [ Bw [ (8)

gdzie:

 

2 2 4 2 4 4 2 4

2A V F  O ]F  O_{w M}; B O F_w 1 O ]_M , > 0B (9) Rozwizaniem równania róniczkowego jednorodnego (8) jest funkcja:

 

^{1ek1 2ek2 3ek3 4ek4}

w [ C ^[C ^[C ^[C ^[ (10)

w której wspóczynniki ki, i = 1, 2, 3, 4, s pierwiastkami równania charakterystycznego i wynosz:

2 2

1,2 1; 3,4 2

k r k k r k (11)

gdzie:

2 2 2 2

1 ; 2 ,

k  A A B k  A A  a CB i, i = 1, 2, 3, 4 s dowolnymi staymi.

(12) W zalenoci od wzajemnych relacji midzy wspóczynnikami A i B, opisanymi za- lenociami (9), pierwiastki (11) mog by liczbami rzeczywistymi, urojonymi lub ze- spolonymi.

Analiza otrzymanego rozwizania

W ukadzie wspórzdnych prostoktnych 2A i B (rys. 3) parabola B = A² oraz o 2A dziel paszczyzn 2AB na trzy obszary (parametr B – wzór (9), jest dodatnio okrelony), w których zachodz nastpujce zalenoci midzy wspóczynnikami:

– obszar I: 2A > 0; 0 < B < A², – obszar II: B > A²,

– obszar III: 2A < 0; 0 < B < A².

Ponadto moemy wyodrbni granice poszczególnych obszarów, na których zacho- dz nastpujce zalenoci:

– granica obszarów I–II: 2A > 0; B = A², – granica obszarów II–III: 2A < 0; B = A².

Tak interpretowany rysunek 3 jest obszarem geometrycznym wszystkich moliwych przypadków wartoci i wzajemnych stosunków wspóczynników równania (8).

Na podstawie zalenoci (9), biorc pod uwag, e wspóczynniki podatnoci podoa (ku i kw) oraz parametr , okrelajcy odksztacalno postaciow, s wielkociami nie- ujemnymi, mona stwierdzi , e:

– jeeli wspóczynniki A i B speniaj warunki dla obszaru I, wówczas mamy do czy- nienia z analiz statecznoci belki Timoshenki wspópracujcej z podoem sprystym,

– w przypadku elementów poddanych dziaaniu si rozcigajcych wspóczynniki A i B speniaj nierównoci charakteryzujce obszar III,

– spenienie warunków charakteryzujcych obszar II wystpi wówczas, gdy belki kr- pe spoczywajce na podou sprystym bd poddane analizie statycznej.

Rozwizanie równania (8) w obszarach I i III

W przypadku gdy wspóczynniki 2A i B przyjmuj wartoci z obszaru I, wspóczynni- ki k₁² i k s liczbami rzeczywistymi ujemnymi, a wic pierwiastki ₂² k1,2 i k3,4 maj warto-

ci urojone, natomiast w obszarze III k₁² i k s liczbami rzeczywistymi dodatnimi, std ₂² k1,2 i k3,4 maj wartoci rzeczywiste. Dla obu przypadków cak ogóln (10) doprowadzi mona do postaci, w której argumenty s liczbami rzeczywistymi:

– obszar I

 

^{1cos 1 2sin 1 3cos 1 4sin 1}

w [ C p[ C p[ C m[ C m[ (13)

Rys. 3. Podzia paszczyzny 2AB na obszary Fig. 3. Division of 2AB plane in free areas

II III I

B

2A B=A²

k <0₁² k <0₂² k >01²

k >02²

k -liczby_1,2² zespolone

k = ip_1,2 ⁺ ₁ k = im_3,4 ⁺ ₁ k = p1,2 + 3

k = m3,4 + 3

gdzie:

2 2

1 ; 1

p  A  B A m A   (14)B A

– obszar III

 

^{1cosh 3 2sinh 3 3cosh 3 4sinh 3}

w [ C p[ C p[ C m[ C m[ (15)

gdzie:

2 2

3 ; 3

p A  B A m  A   (16)B A

Jeeli uwzgldnimy zwizki midzy parametrami pi i mi oraz odpowiednie zalenoci trygonometryczne, to cak ogóln (10) w obszarach I i III moemy zapisa ostatecznie w jednej postaci:

 

^{1cosh 2sinh 3cos 4sin}

w [ C p[ C p[ C m[ C m[ (17)

Podstawiajc odpowiednie pochodne funkcji (17) do wzoru (6), dostajemy wzór na cakowity uredniony kt obrotu przekroju belki:

 

¹_l

>

^{C D1 sinhp C D2 coshp C H3 sinm C H4 cosm}

@

M [ [  [  [  [ (18)

gdzie:

 

2 2 3 3

2 4 2

4 4

; ; ; ;

1 1

1 ; 1

w

p A B A m A B A D ep dp H em dm

e d

M M

     

 V ] ]  O ]

 O ]  O ]

(19)

Rozwizanie równania (8) w obszarze II

W przypadku gdy wspóczynniki 2A i B przyjmuj wartoci z obszaru II, wspóczyn- nik k i ₁² k s liczbami zespolonymi, wic pierwiastki k₂² 1,2 i k3,4 s równie liczbami zespolonymi postaci:

4 4

1,2 3,4

1 1 1 1

cos sin ; cos sin

2 2 2 2

k r B©¨§ X i X¸·¹ k r B§¨© X i X·¸¹ (20) gdzie  – argument liczby zespolonej, przy czym:

cos A

X  B (21)

tak wic caka ogólna (10) bdzie miaa posta :

 

^{1 2 2 2 2 2}

3 2 2 4 2 2

cosh cos cosh sin

sinh cos sinh sin

w C p m C p m

C p m C p m

[ [ [  [ [ 

 [ [  [ [

(22)

gdzie:

4 4

2 2

1 1

cos ; sin

2 2 2 2

B A B A

p B X  m B X  (23)

CISA MACIERZ SZTYWNOCI BELKI KRPEJ UWZGLDNIAJCA WSPÓPRAC Z PODOEM SPRYSTYM (rys. 4)

Rozwizujc odpowiednie zagadnienie brzegowe przy wymuszonych przemieszcze- niach wzowych, otrzymamy formalnie cis macierz sztywnoci II rzdu dla podsta- wowego elementu (rys. 4), uwzgldniajc wspóprac belki ze sprystym podoem.

W tym celu korzystamy z funkcji ugicia (17) i wzoru na uredniony kt obrotu przekroju (18). Wystpujce w tych wzorach stae Ci s wyznaczane z warunków brzegowych:

( 0) _i; ( 0) _i; ( 1) _j; ( 1) _j

w[ w M [ M w[ w M [ M (24)

które prowadz do ukadu czterech równa:

1 2 3 4

1 0 1 0

0 0

cosh sinh cos sin

sinh cosh sin cos

i i j j

C w C l

D H

C w

p p m m

D p D p H m H m C l

ª º

ª º ª º

« »

« »

« » « » « M »

« » ˜« » « »

« »

« »

« »

«  » «M »

¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

(25)

Znajc rozkad si przekrojowych w elemencie:

   

     

I

I

M EJ

l

T GA w l

l [  M [

ª º

[ N ¬ [  M [ ¼

(26) Rys. 4. Podstawowy element belkowy

Fig. 4. The basic beam element

W W

w w

i i

j

i j

i

i j j

l

l W

W M M

j

S S

moemy okreli siy przywzowe (rys. 4):



^{0 ;}

 

^{0 ;}

 

^{1 ;}

 

¹



i i j j

W W [ ) M [ W W [ ) M [ (27)

Poniewa belka jest ciskana si osiow (S), wic zgodnie ze schematem z rysunku 2 oraz zaoeniem maych przemieszcze si o kierunku prostopadym do nieodksztaco- nej osi belki zapiszemy w postaci:

 

3 2 ^I

   

1 1

W EJ w l

l

ª º

[ ] F«¬ [  M [ »¼ (28)

De nicje (27) pozwalaj na zapisanie zwizków midzy wielkociami geometryczny- mi a wielkociami statycznymi w nastpujcej postaci macierzowej:

R = K · r (29) gdzie: r – wektor przemieszcze przekrojów skrajnych, r = {w_i, M_i, wj, M_j},

R – wektor si przywzowych, R = {W_i, )_i, W_j, )j},

5 6

3 4

3 1 4 2

2 6 5

4 3

4 2 3 1

F F

F F

l l

F F l F F l

EJ

F F

Ll F F

l l

F F l F F l

ª  º

« »

« »

«  »

« »

«   »

« »

«  »

¬ ¼

K

  

^{2 2}



2 1 cosh cos sinh sin ,

L DH  p m  D H p m

 

1 ( ) cosh sin sinh cos ,

F DpHm D p mH p m

 

2 ( ) sinh sin ,

F DpHm H pD m

    

3 cosh cos 1 sinh sin ,

F DH¬ª DpHm p m  DmHp p mº¼ (31)

 

4 ( ) cosh cos ,

F DH DpHm p m

 

5 ( ) sinh cos cosh sin ,

F DH DpHm H p mD p m

 

6 ( ) sinh sin

F DH DpHm D pH m gdzie wielkoci D, H, p i m okrelaj wzory (19).

Macierz sztywnoci (30) moe suy do cisej analizy belki Timoshenki spoczywa- jcej na sprystym podou. Sformuowanie to jest kopotliwe rachunkowo z uwagi na uwikanie funkcje parametrów zadania. Dokonujc rozwinicia cisej (w ramach przyj- tych zaoe) macierzy sztywnoci (30) w szeregi potgowe wzgldem parametrów opi- (30) – cisa macierz sztywnoci belki Timoshenki

poddanej dziaaniu siy ciskajcej i wspó- pracujcej z podoem sprystym, przy czym:

sujcych waciwoci podoa (O_w i O_M) oraz wzgldem parametru opisujcego intensyw- no obcienia ciskajcego (V), otrzymamy odpowiednio: macierz sztywnoci liniowej (K), macierz sztywnoci geometrycznej (K_G) oraz macierze sprystego podoa zwiza- ne odpowiednio: z translacj elementu (wpyw podatnoci pionowej podoa spryste- go) K^w i z obrotem elementu (wpyw podatnoci poziomej podoa sprystego) K^M:

w

S G ^M

  

K K K K K (32)

gdzie:

2

12 12 4 4

6 6 2 2

6 4 6 2 36 2 2

12 12 1 12 4 4

6 6 2 2

6 2 6 4 2 2

l l l l

l l l l EJ

l

l l l l

l l l l

§ª º ª º·

¨« » « »¸

¨« » « »¸

 

¨« » ] « »¸

¨« »  ]« »¸

¨«   » «   »¸

¨« » « »¸

¨«¬  »¼ «¬  »¼¸

© ¹

K

 

 

²

36 36 4 4

3 3 2 2

6 1 6

3 4 3 2 2

1

36 36 4 4

30 3 3 5 1 12 2 2

3 3 4 2 2

G

l l l l

l l l l

l l l l

l l l l

§ ª  º ª  º·

¨ « » « »¸

¨ « » « »¸

]  ]

 

¨ « » « »¸

¨ « »  ] « »¸

¨ «   » «   »¸

¨ « » « »¸

¨ «¬  »¼ «¬  »¼¸

© ¹

K

 

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

13 294 1680 11 231 1260 3(3 84 560 ) 13 378 2520

6 2 12

11 231 1260 1 21 126 13 378 2520 1 28 168

1 6 3 12 4

3(3 84 560 ) 13 378 2520 13 294 1680 11 231 1260

35 1 12

2 12 6

13

w

l l

l l

l l

 ]  ]  ]  ]  ]  ]   ]  ]

 ]  ]  ]  ]  ]  ]   ]  ]

 ]  ]  ]  ]  ]  ]  ]  ]

 ] 

 

K ⁴ 2

2 2 2 2

378 2520 1 28 168 11 231 1260 1 21 126

12 4 6 3

w

EJ l

l l

ª º

« »

« »

« »

« »

« » O

« »

« »

« »

« ]  ]  ]  ]  ]  ]  ]  ] »

«   »

¬ ¼

 

2 2

2

2 2

42 21 1260 42 42 2520

6 12

21 1260 14 210 5040 42 2520 14 840 10080

1 6 3 12 12

42 42 2520 42 21 1260

35 1 12

12 6

42 2520 14 840 10080 21 1260 14 210 5040

12 12 6 3

l l

l l

l l

l l

M

 ]  ]

ª  º

« »

« »

 ]  ]  ]  ]  ]  ]

«   »

« »

« »

 ]  ]

« »

 ] «   »

« »

 ]  ]  ]  ]  ]  ]

«   »

« »

¬ ¼

K ⁴EJ₂

Ml O

Pozostae wyrazy rozwinicia przedstawiaj samozrównowaone ukady reakcji w- zowych o silnie malejcych wartociach i mog by pominite. Wymienione macierze mona uzyska , aproksymujc pola przemieszcze  zycznymi funkcjami ksztatu (tzn.

funkcjami, które opisuj stan przemieszczenia elementu skoczonego spowodowany jednostkowymi przemieszczeniami wzów oraz które zale od parametrów  zycznych

i geometrycznych elementu – s to kombinacje odpowiednich wielomianów Hermite’a).

Macierze te zawieraj czony korekcyjne, wyraajce wpyw odksztacalnoci posta- ciowej na wartoci si wzowych spowodowanych jednostkowymi przemieszczeniami wzowymi.Tym samym wyjaniony zosta zwizek midzy przyblionym podejciem skoczenie elementowym a cis liniow analiz statecznoci. Dysponujc wyznaczony- mi macierzami, mona przeprowadza analiz statecznoci ukadów na podou spry- stym wedug algorytmu klasycznej metody przemieszcze lub w ujciu MES.

SIA KRYTYCZNA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ

Stateczno (lub jej brak) okrelonego pooenia równowagi zwizana jest w istot- ny sposób z intensywnoci danego rodzaju obcienia zewntrznego. Przejcie ze stanu równowagi statecznej do niestatecznej uwarunkowane jest obcieniem pewn wartoci

obcienia Skr, nazywan si krytyczn. Jest to najmniejsza warto , która utrzymuje ele- ment w odksztaconej postaci równowagi. W przypadku wyboczenia funkcja ugicia bel- ki wyraona jest wzorem (13), a warunkiem na to, aby opisywaa ona równanie wygitej osi, jest spenienie odpowiednich warunków brzegowych. Dla belki swobodnie podpartej warunki brzegowe, dotyczce ugicia i momentów zginajcych na kocach elementu:

( 0) 0; ( 0) 0; ( 1) 0; ( 1) 0

w[ M [ w[ M [ (33)

prowadz do ukadu jednorodnych równa na stae cakowania:

1 2 3 4

1 0 1 0 0

0 0 0

cosh sinh cos sin 0

cosh sinh cos sin 0

C C

Dk Hm

C

k k m m

C

Dk k Dk k Hm m Hm m

ª º

ª º ªº

« »

«  » « » « »

« »˜ « »

« »

« » « »

« »

«   » « »

¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

(34)

Warunkiem istnienia niezerowych rozwiza jest zerowanie si wyznacznika podsta- wowego ukadu (34), co prowadzi do równania:

sinmsinh (k Hm Dk)2 0

  (35)

którego spenienie jest warunkiem bifurkacji stanu równowagi rozwaanego elementu.

Równanie ma rozwizania dla:

m = nS, gdzie n = 1, 2, 3... (36)

skd, po wykorzystaniu zalenoci (19) oraz dokonaniu odpowiednich przeksztace, otrzymamy wzór na si krytyczn ciskanej belki krpej, spoczywajcej na podou sprystym:

 

2 2

kr 2 2 2 2 2

1

c d n EJ

S n d n l

ª  S º

«  »

« S  ]  S »

¬ ¼

(37)

Na postawie wzoru (37) dla dowolnych charakterystyk belki oraz podoa spryste- go wyznaczy mona wartoci siy krytycznej.

PRZYKADY

W celu ilustracji rozwaanego problemu przyjte zostay nastpujce dane: E = 31 GPa, Q = 0,2, N = 1,2, l = 6 m, b = 0,5 m, kw = 49,05 MN·m^–3, ku = 11,77 MN·m^–3, h = 0,6–2,2 m.

Na rysunku 5a pokazany zosta wpyw zadanego podoa sprystego na wartoci krytyczne belki, wyznaczone na podstawie wzoru (37), w zalenoci od ] (parametr za- leny od smukoci, wspóczynnika Poissona oraz rodzaju przekroju, im wikszy, tym mniejsza smuko ). W przypadku belki, dla której moglibymy zastosowa teori Ber- noulliego (]= 0,0016), wpyw sprystego podoa jest znaczny, bowiem rónica wynosi 67%, natomiast dla ]= 0,0267 rónica wynosi 4%. Tak wic moemy wnioskowa , e wpyw podoa sprystego jest duy w przypadku belek o wikszej smukoci, a maleje wraz ze zmniejszaniem si smukoci belek, czyli wzrastaniem parametru ].

2335,8

1795,0

1333,3 952,4 650,2 423,0 264,3 164,7 133,4

2242,7

332,2

1241,4

43,5 74,7 173,9

558,9 860,7

1702,3

0 500 1000 1500 2000 2500

0,0016 0,0024 0,0043 0,0067 0,0096 0,0131 0,0171 0,0216 0,0267]

SKR>MN]

podoe spryste - elastic foundation

brak wspópracy z podoem - no collaboration with foundation

a

2928,3

952,4 1333,3

2159,4 1543,7 1064,0 703,5 445,0 271,7 166,5

134,1 423,0

264,3

650,2 133,4 164,7

1795,0 2335,8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0,0016 0,0024 0,0043 0,0067 0,0096 0,0131 0,0171 0,0216 0,0267

]

SKR>MN]

teoria Bernoulliego - Beroulli theory teoria Timoshenki - Timoshenko theory

b

Rys. 5. cise wartoci krytyczne obcie dla belki swobodnie podpartej Fig. 5. The critical values of loads for the simply-supported beam

W celu uzasadnienia zastosowania do analizy elementów krpych teorii uwzgldnia- jcej odksztacalno postaciow przekrojów na rysunku 5b przedstawiono krytyczne wartoci obcienia dla belki wspópracujcej z podoem sprystym przy zastosowaniu teorii Bernoulliego (bez uwzgldnienia odksztacalnoci postaciowej przekrojów) oraz teorii Timoshenki. Bd oblicze wzrasta wraz ze wzrostem parametru ] (0,5–25%).

Na rysunku 6 przedstawione zostay wartoci pierwszej siy krytycznej dla belki swo- bodnie podpartej w zalenoci od ]. Podany zosta wynik cisy obliczony na podstawie wzoru (37) oraz wyniki przyblione otrzymane przy wykorzystaniu macierzy elementu skoczonego (32). Obliczenia wykonano w programie Mathematica. Przy czym, przy wykorzystaniu formalizmu MES, okrelamy odpowied belki Timoshenki spoczywajcej na sprystym podou w sposób przybliony. Zadanie jest zlinearyzowane w odniesieniu do formalnie cisej macierzy (30) i wymaga zagszczania siatki podziau w celu otrzy- mania dokadniejszych wyników.

WNIOSKI

1. Wpyw podoa sprystego na krytyczne wartoci obcie maleje wraz za zmniej- szaniem si smukoci belek, czyli wzrostem parametru ].

2. W analizie statecznoci belki krpej wspópracujcej z podoem sprystym nale-

y stosowa teori uwzgldniajc odksztacalno postaciow.

3. Wykorzystujc macierze elementu skoczonego – wzór (32), do wyznaczania kry- tycznych wartoci obcienia, mona zauway , e zbieno do wyniku cisego, obli- czonego na podstawie wzoru (37), jest tym lepsza, im mniejszy parametr ].

Rys. 6. Wartoci krytyczne obcie: cise i przyblione Fig. 6. The critical values of loads: exact and approximate

] 0,0024 181,52

166,26 164,75 166,94

cisa 164,68 160

165 170 175 180 185

1 2 3 4

liczba elementów - number of elements

SKR [MN]

] ]=0,0067 ]

520,32

442,33

423,08 446,88

cisa 423,01 400

450 500 550

1 2 3 4

liczba elementów - number of elements

SKR [MN]

]=0,0216

2604,06

2125,51 1799,55 2163,84

cisa 1796,00 1700

2000 2300 2600 2900

1 2 3 4

liczba elementów - number of elements

SKR [MN]

] ^]=0,0323]

4679,97

3870,1

2955,49 3802,35

cisa 2953,44 2600

3100 3600 4100 4600 5100

1 2 3 4

liczba elementów - number of elements SKR [MN]

PIMIENNICTWO

El-Mously M., 1999. Foundamental frequencies of Timoshenko beams mounted on Pasternak foun- dation. Journal of Sound and Vibration 228 (2), 452–157.

Fan S.C., Zheng D.Y., 2002. Stability of a cracked Timoshenko beam column by modi ed Fourier series. Journal of Sound and Vibration 264, 475–484.

Gilewski W., Obara P., 2007. cise i ucilone macierze sztywnoci belki Timoshenki spoczywajcej na sprystym podou. Proceedings Conference, Bratysawa, 69–72.

Gryczmaski M., Jurczyk P., 1995. Modele podoa gruntowego i ich ocena. Inynieria i Budow- nictwo 2, 98–104.

Jemielita G., Szczeniak W., 1992. Sposoby modelowania podoa. Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej 120, Warszawa.

Song Xi, Soi-Rong Li, 2006. Thermal buckling and post-buckling of pinned- xed Euriel-Bernoulli beams on an elastic foundation. Mechanics Research Communications 34, 164–171.

Vlasow V.Z., Loentiev U.N., 1966. Beams, plates and shells on elastic foundation. Israel Program for Scienti c Translation, Jerusalem.

Yokoyama T., 1995. Vibration analysis of Timoshenko beam-columns on two – parameter elastic foundations. Computers and Structures 61, 6, 995–1007.

THE STABILITY ANALYSIS OF TIMOSHENKO BEAM ON ELASTIC FOUNDATION

Abstract. The paper presents the analysis of Timoshenko beam on two-parameter elastic foundation. The differential equation for dynamic equilibrium of beam compressed by con- servative axial force has been derived and its solution has been analyzed depending on mutual relationships between its coef cients. The exact stiffness matrix of the basic beam element has been derived formally, and by the power series expansion of this matrix in rela- tion to the arguments of the functions occuring in it the stiffness matrix of working element with elastic foundation and constant axial force has been determined. It has been demon- strated that the FEM matrices obtained with the use of so-called physical shape functions are the linear approximation of the formally exact matrix. In addition, a formula for critical force is found for the case of free supported beam on elastic foundation.

Key words: stability, critical force, elastic foundation, Timoshenko beam

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 2.03.2010