RELACJE I ODWZOROWANIA

(1)

RELACJE I ODWZOROWANIA

Definicja 1.

Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X×Y , X≠∅ ∧ Y≠∅ nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grR , Y ) , gdzie grR ⊂ X×Y .

Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Zbiór Y nazywamy zapasem relacji.

grR to wykres relacji.

Mówimy, że dwa elementy x ∈ X ∧ y∈Y są w relacji R ⇔ ( x, y ) ∈ grR Definicja 2.

R = ( X, grR, Y )

Dziedzinę relacji oznaczamy DR

DR: = { x∈X: ∃ y∈Y: xRy }

Przeciwdziedzinę relacji oznaczamy R :={y∈Y: ∃x∈X: xRy}

PRZYKŁAD 1.

X=[1,2] , Y=[1,2]

grR = {(x,y): x ≤ y }

1 2

2 1

Definicja 3.

R= (X, grR, Y)

Relacją odwrotną do relacji R nazywamy relację R^-1 = (Y, grR^-1, X), gdzie grR^-1= {(x,y)∈Y×X: (y,x)∈grR }

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 9 Część 2 - Relacje i odwzorowania

(2)

Definicja 4.

Niech R i S to następujące relacje:

R= (X, grR, U) S= (U, grS, Y)

Złożeniem relacji R z relacją S nazywamy relację

( ) ( ( ) )

( ) { }

S R : ,gr S R , , gdzie

gr S R : ( , ) : :

u U

X Y

x y X Y xRu uSy

∈

=

= ∈ × ∃ ∧

D D

D

PRZYKŁAD 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( , , )

{(2,1), 3,1 , 4,2 , 4,5 , 5,3 } ( , , )

{(1,3), 4,1 , 3,6 , 6,8 , 6,7 } {2,3,4,5}

{1,2,3,5}

( , ( ), )

( ) { 2,3 , 3,3 , 5,6 } ( , ( ), )

( ) { 1,1 }

R R

R grR

grR

S grS

grS D

S R gr S R gr S R

R S gr R S gr R S

=

= ⊂

= ∧

=

= ∧

=

` `

`

D ` D `

D

D ` D `

D Definicja 5.

R = ( X, grR , Y ) ∧ X=Y ≠ ∅ relacje, czyli R = ( X, grR , X )

Relacja jest relacją równoważności, gdy spełnione są warunki:

1° Relację nazywamy zwrotną: ⇔ ∀x∈X: xRx

2° Relację nazywamy symetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ⇒ yRx

3° Relację nazywamy przechodnią: ⇔ ∀x,y,z∈X: xRy ∧ yRz ⇒ xRz Przyjmujemy oznaczenie (X,R)

Definicja 6.

Jeżeli (X,R) jest zbiorem z relacją równoważności i x∈ X to klasą równoważności elementu x nazywamy zbiór:

[x]:={y∈X: xRy }

(3)

PRZYKŁAD 3.

R jest relacją równości w zbiorze liczb rzeczywistych.

R=(R,=), xRy ⇔ x=y

1° ∀x∈R x=x ⇒ xRx

2° ∀x,y∈R xRy ⇒ x=y ⇒ y=x ⇒ yRx

3° ∀x,y,z∈R xRy ∧ yRz⇒ x=y ∧ y=z⇒x=z⇒ xRz PRZYKŁAD 4.

( )

{ }

R || ˆˆ wektory są zgodnie równolegŁe Z wasnos

1° R , gdyż || ˆˆ

2° R R

X AB

AB CD AB CD AB CD

ci wektorów

AB AB AB AB AB AB

AB CD CD AB

=

⇔ = ∧

= ∧

⇒ JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

3° R R R

{ : R }

W tej relacji klasą równoważnoci jest wektor swobodny.

AB CD CD EF AB CD AB CD AB CD

AB

∧ ⇒

  =

 

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG

Definicja 7.

(X,R) – zbiór z relacją równoważności

Zbiór klas równoważności relacji nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy X/_R:={[x]: x∈X }

TWIERDZENIE 1.

Z: (X,R) – zbiór z relacją równoważności T: 1° ∀x∈X: [x]≠∅

2° ∀[x], [y]∈X/_R : [x]≠[y]⇒[x]∩[y]=∅

3° ∀[x]∈ X/R : x=X

(4)

WNIOSEK

Relacja równoważności w zbiorze X dzieli ten zbiór na podzbiory niepuste, rozłączne, dające w sumie cały zbiór X.

Definicja 8.

(X,R) – zbiór z relacją równoważności

1° Relację nazywamy antysymetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ∧ yRx ⇒ x=y 2° Relacja nazywamy asymetryczną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ⇒ ¬(yRx)

3° Relacja nazywamy spójną: ⇔ ∀x,y∈X: xRy ∨ yRx ∨ x=y

Definicja 9.

A) Jeśli dwuelementowa relacja (X,R) jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia to nazywamy ją relacją słabego porządku częściowego.

Jeżeli dodatkowo jest spójna to nazywamy ją relacją słabego porządku totalnego albo liniowego.

B) Jeżeli dwuelementowa relacja (X,R) jest asymetryczna i

przechodnia to nazywamy ją relacją silnego porządku częściowego, jeżeli ponadto jest spójna to jest to relacja silnego porządku

liniowego lub totalnego.

C) Jeżeli w zbiorze X określona jest którakolwiek z powyższych relacji, to zbiór nazywamy uporządkowanym

• Częściowo, jeżeli R jest relacją porządku częściowego,

• Totalnie, jeżeli R jest relacją porządku liniowego.

PRZYKŁAD 5.

( )

x x,y

x,y,z x,y

, , xRy: x y

Sprawdzamy, czy relacja , jest relacją porządku.

Z własnosci liczb rzeczywistych 1°

2°

3°

4°

Re jest relacją słabego porz R

x x

x y y x x y x y y z x z x y y x x y lacja

∈

⇔ ≤

≤

∀ ≤

∀ ≤ ∧ ≤ ⇒ =

∀ ≤ ∧ ≤ ⇒ ≤

∀ ≤ ∨ ≤ ∨ =

R R

R

ądku liniowego.

(5)

PRZYKŁAD 6.

( )

∈

⇔ ⊂

∀ ⊂

∀ ⊂ ∧ ⊂ ⇒ =

∀ ⊂ ∧ ⊂ ⇒ ⊂

E

A 2 A,B 2

A,B,c 2

2 , A R B A B

1° A A

2° A

3° A

Jest to relacja slabego porządku częsciowego.

E R

B B A A B

B B C A B

Relacja nie jest spójna na przykład dla zbiorów z

A B

ELEMENTY WYRÓŻNIONE ZBIORU UPORZĄDKOWANEGO Definicja 10.

(X,R) –zbiór uporządkowany

1° M∈X , M nazywamy elementem największym zbioru

słabouporządkowanego: ⇔ ∀x∈X xRM (dla silnego porządku M≠x) 2° m∈X, m nazywamy elementem najmniejszym zbioru

słabouporządkowanego: ⇔ ∀x∈X mRx (dla silnego porządku m≠x) TWIERDZENIE 2.

(X,R) – zbiór uporządkowany

Jeżeli w zbiorze X istnieje element największy (najmniejszy) to jest on jedyny.

Definicja 11.

(X,R) – zbiór uporządkowany

1° ξ∈X ∧ ξ≠x, ξ nazywamy elementem maksymalnym zbioru

słabouporządkowanego: ⇔ ¬(∃x∈X: ξRx) (dla silnego porządku ξ≠x)

2° η∈X ∧ η≠x, η nazywamy elementem minimalnym zbioru

uporządkowanego: ⇔ ¬(∃x∈X: xRη) (dla silnego porządku η≠x)

(6)

PRZYKŁAD 8.

( )

*

1

2

*

x

k 1 k 2

1

1 2 1 2 1 2

2

,| x|y: : y x 1° x|x bo x=1x 2° x|y y|x x=y

ten jest w formie twierdzenia Z:

: : T: x=y D:

y= 1

k k y kx

Warunek

y k x x k y

k x y k k y k k k k k

x k y

∈

⇔ ∃ = ⇔ =

∀

∧ ⇒

∃ =

⇒ = ∧ ∈ ⇒ = ⇒

= 

`

1

2

3

1 2

k 1 k 2

k 3

2 2 1

3

3 2 1

1 1

3° x|y y|z x|z Z:

: y=

: T:

: D: z=k z=

k

elacja nie jest spójna, bo na przykład dla liczb 2

k x

k x x k y

z k x y k k x z k x

k k R

∈

y

= ∧ = ⇒ =

∧ ⇒

∃

∃ =

=

= ∈

`

1, *

3 (2|3) (3|2) (2 3)

| | x=y

Jest to więc relacja słabego porządku częściowego.

x y x y y x

∈

∧

¬ ∧ ¬ ∧ ¬ =

∀ ∪ ′ ∪

`

PRZYKŁAD 9.

a) (A, | ) – relacja podzielności w zbiorze A tzn. x,y∈A :xRy ⇔ x|y

(7)

A={1,2,4,8,16}

m=1 bo 1|2, 1|4, 1|8, 1|16 M=16 bo 1|16 ,2|16, 4|16, 8|16

b) (B, | )

B={1,2,3,4,5,6,7,8}

m=1 η=1 ξ=8 ξ=7 ξ=6 ξ=5

Definicja 12.

(X,R) –zbiór uporządkowany , A⊂X, A≠∅

1° ν∈X ν nazywamy majorantą zbioru uporządkowanego A: ⇔ ∀x∈A: xRν

-1 5

(R,≤) Majorantą jest np. 6

2° ζ∈X, ζ nazywamy minorantą zbioru uporządkowanego A: ⇔ ∀x∈A: ζRx Definicja 13.

Jeżeli zbiór A posiada co najmniej jedną majorantę, to mówimy, że jest on ograniczony od góry.

Jeżeli zbiór A posiada co najmniej jedną minorantę, to mówimy, że jest on ograniczony od dołu.

(X,R), A⊂X, (A,R)

Kresem górnym zbioru A w zbiorze X nazywamy, o ile istnieje, element najmniejszy zbioru majorant i oznaczamy go supA.

(8)

(X,R), A⊂X, (A,R)

Kresem dolnym zbioru A w zbiorze X nazywamy, o ile istnieje, element największy zbioru minorant i oznaczamy go infA.

Definicja 14.

R=(X,grR,Y) - relacja

1° relację nazywamy relacją prawostronnie jednoznaczną (funkcją):⇔

∀x∈X ∧ ∀y₁,y₂∈Y: xRy₁ ∧ xRy₂⇒ y₁=y₂

2° relację nazywamy relacją lewostronnie jednoznaczną (injektywną) :⇔

∀x₁,x₂∈X ∧ ∀y∈Y: x₁Ry ∧ x₂Ry ⇒ x₁=x₂

3° relację R nazywamy surjektywną: ⇔ _R=Y

4° relację R nazywamy wszędzie określoną: ⇔ D_R=X

5° relację wszędzie określoną i prawostronnie jednoznaczną (funkcję wszędzie określoną) nazywamy odwzorowaniem.

6° odwzorowanie, które jest injektywne i surjektywne nazywamy odwzorowaniem bijektywnym.

(9)