Wyznacz graniceι ciaιgu (an)

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2013/14 MATEMATYKA - ETAP II

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW

1. Urza_ιdzenie I wykonuje pewna_ι prace_ι w cia_ιgu 20 godzin, a urza_ιdzenie II w cia_ιgu 30 godzin. W jakim czasie wykonajaι teι praceι oba urzaιdzenia pracujaιc jednocze´snie?

2. Kotangens kaιta rozwartego α jest r´owny −3. Oblicz warto´sci funkcji trygonomet- rycznych ka_ιta 2α.

3. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c |3 logx2− 2| > 1.

4. Zbadaj monotoniczno´s´c cia_ιgu (a_n), kt´orego n-ty wyraz jest r´owny

an= 3ⁿ⁺² 3ⁿ+ 2²ⁿ⁺¹. Wyznacz granice_ι cia_ιgu (a_n).

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW

5. Okraιg O ma r´ownanie x² + y²+ 6x + 4y− 12 = 0. Okraιg O^′ jest obrazem okreιgu O przez translacjeι o wektor ⃗v = [7, 1]. Znajd´z r´ownania osi symetrii sumy O∪ O^′ tych okre_ιg´ow. Wyznacz punkty wsp´olne obu okre_ιg´ow. Znajd´z r´ownania prostych stycznych jednocze´snie do O i O^′.

6. Podstawa_ι ostros lupa o wysoko´sci H jest tr´ojka_ιt prostoka_ιtny ABC o przyprosto- ka_ιtnych |AB| = a i |AC| = b. Kraweιd´z boczna wychodza_ιca z wierzcho lka A jest prostopad la do podstawy. Ostros lup ten podzielono p laszczyznaιr´ownoleg laιdo pod- stawy na dwie bry ly o r´ownych obje_ιto´sciach. Oblicz pole powierzchni ca lkowitej tej bry ly, kt´ora nie jest ostros lupem.

7. Do windy na parterze budynku czteropieιtrowego wsiada osiem os´ob. Oblicz prawdo- podobie´nstwa zdarze´n:

A : wszyscy wysia_ιda_ι na tym samym pie_ιtrze,

B : na czwartym pieιtrze wysiaιdaι co najmniej dwie osoby, C : na ka˙zdym pie_ιtrze wysia_ιda_ι po dwie osoby.