...
imię i nazwisko
Łódź, 26 stycznia 2017 r.
Egzamin z Równań różniczkowych
Zadanie 1. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych następującego układu równań linio- wych o stałych współczynnikach
y0 =
"
−1 −1
1 −1
#
y.
Zbadać stabilność i asymptotyczną stabilność powyższego układu.
Zadanie 2. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania y00− 4y0 + 4y = xe2x.
Zadanie 3. Podać definicję równania zupełnego oraz podać i udowodnić twierdzenie mó- wiące o ogóle rozwiązań takiego równania.
Zadanie 4. Niech f : R2 → R będzie funkcją ciągłą i niech
(1) y0 = f (x, y)
będzie równaniem różniczkowym. Podać definicję rozwiązania równania (1) oraz bez roz- wiązywania równania zbadać, czy funkcja ϕ określona wzorem
ϕ(x) = 1
1 − x, x ∈ (1, +∞) jest rozwiązaniem integralnym równania
y0 = y2 w prostokącie T = R2.
Zadanie 5. Niech akl : (p, q) → R będą funkcjami ciągłymi i A(x) = hakl(x)i
16k,l6n. Udowodnić, że ogół rozwiązań integralnych układu równań liniowych
y0 = A(x)y
jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R. Uzasadnić, że jej wymiar nie przekracza liczby n.
