O okresowości w sensie Auslandera–Reiten algebr samoinjektywnych

O okresowości w sensie Auslandera–Reiten algebr samoinjektywnych

na podstawie referatu Zygmunta Pogorzałego 22 października 2002

Przez K oznaczać będziemy ustalone ciało algebraicznie domknięte, zaś A oznacza bazową, spójną i nieprostą algebrę samoinjektywną.

Jeśli M jest A-modułem, to mówimy, że moduł M jest τA-okresowy, o ile istnieje m > 0 takie, że τ_A^mM ' M , gdzie τ_A jest translacją Auslandera–

Reiten. Analogicznie definiujemy Ω_A-okresowość, gdzie Ω_Ajest syzygią. Przez A^e oznaczać będziemy algebrę obejmującą algebry A. Zauważmy, że kategorię mod A^e możemy utożsamiać z kategorią A-A-bimodułów. Niech α : A → A i β : A → A będą automorfizmami algebry A. Wtedy_αA_β jest A-A-bimodułem z działaniem zdefiniowanym wzorem a⁰∗ a ∗ a⁰⁰= α(a⁰)aβ(a⁰⁰). Wiadomo, że

αA₁ ' A wtedy i tylko wtedy, gdy α jest automorfizmem wewnętrznym. Przez HH(A) oznaczamy algebrę kohomologii HochschildaL

i≥0Extⁱ_Ae(A, A). Wia- domo, że HH(A) = L

i≥0Hom_Ae(Ωⁱ_AeA, A). Mnożenie w powyższej algebrze zadane jest z wykorzystaniem funktora Ω_A^e. Można też rozważać algebrę A(τA^e, M ) =L

i≥0Hom_Ae(τ_AⁱeM, M ).

Celem referatu jest wskazanie klasy algebr A, dla których A^e-moduł A nie jest Ω_A^e-okresowy oraz wyjaśnienie dlaczego τ_A^e-okresowość jest trud- na do udowodnienia dla τ_A^e-ograniczonych modułów. Moduł M nazywamy τ_A^e-ograniczonym, o ile istnieje górne ograniczenie na wymiary modułów τ_AⁱeM , i ∈ Z. Motywacją dla tych badań jest fakt, że gdy moduł A jest Ω_A^e-okresowy, to w wielu sytuacjach HH(A)/N ' K[X], gdzie N jest ide- ałem generowanym przez jednorodne elementy nilpotentne. Wiadomo, że jeśli A jest samoinjektywną algebrą standardową skończonego typu, to A jest Ω_A^e i τ_A^e-okresowym A^e-modułem.

Wiadomo, że dla dowolnej algebry A, D(A) ' 1AνA, gdzie νA jest au- tomorfizmem Nakayamy. Algebrę A-nazywamy n-symetryczną, o ile ν_Aⁿ jest automorfizmem wewnętrznym. Przykładem algebry jest n-symetrycznej, któ- ra nie jest (n − 1)-symetryczna, jest algebra ˆB/(ν_Bⁿ_ˆ), gdzie B jest algebrą trójkątną.

1

Lemat. Jeżeli A jest algebrą n-symetryczną, to dla każdego nierozkładalnego A-modułu M , τ_AⁿM ' Ω²ⁿ_AM .

Lemat. Niech A będzie algebrą n-symetryczną. Wtedy nierozkładalny A- moduł M jest τA-okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest ΩA-okresowy.

Auslander i Reiten pokazali, że dla każdego nierozkładalnego nieprojek- tywnego A-modułu X, τ_AX ' X ⊗_Aτ_A^eA. Ponadto, jeśli X jest nierozkła- dalnym nieprojektywnym A^e-modułem, który jest projektywny z obu strony jako A-moduł, to τ_A^eX ' X ⊗_Aτ_A^eA.

Lemat. Jeżeli algebra A jest n-symetryczna, to A^op też.

Twierdzenie. Niech n ≥ 1. Jeżeli algebra jest n-symetryczna, to A^e jest n-symetryczna.

Twierdzenie. Niech n ≥ 1 i A będzie algebrą n-symetryczną. Jeżeli istnieje nierozkładalny nieprojektywny A-moduł M , który nie jest τA-okresowy, to A nie jest Ω_A^e-okresowy ani τ_A^e-okresowy.

Dowód. Oczywiste ze wzoru τ_AX = X ⊗_Aτ_A^eA.

Lemat. Niech Y będzie A^e-modułami bez projektywnych składników prostych, który jest projektywny z obu stron jako A-moduł. Jeżeli dla każdego nieroz- kładalnego nieprojektywnego A-modułu X, X ⊗AY ' X w mod A, to istnieje automorfizm α algebry A taki, że Y '_αA₁.

Stwierdzenie. Jeśli istnieje m ≥ 1 takie, że dla każdego nierozkładalnego nieprojektywnego A-modułu X, τ_A^mX ' X, to prawy A^e-moduł A jest τA^e- ograniczony.

Jeśli M i N są nieprojektywnymi A^e-modułami. Wtedy A(τA^e, M, N ) :=

L

i≥0Hom_Ae(τ_AⁱeM, N ) jest prawym A(τ^Ae, M )-modułem.

Twierdzenie. Dla prawego nieprojektywnego A^e-modułu M , który jest τ_A^e- ograniczony, następujące warunki są równoważne:

(1) M jest τA^e-okresowy;

(2) Algebra A(τA^e, M ) jest prawo noetherowska i prawy A(τA^e, M )-moduł A(τA^e, M, S) jest noetherowski dla dowolnego prawego A^e-modułu S.

(3) Dla każdego skończenie wymiarowego A^e-modułu M , prawy A(τA^e, M )- moduł A(τA^e, M, N ) jest noetherowski.

2