A Unified Approach to Opetopic Algebra

Jednolite Ujęcie Algebry Opetopowej

Autoreferat Rozprawy Doktorskiej Stanisław Szawiel

2 listopada 2014

Kontekst Pracy

Wyniki tej pracy mają sens i uzasadnienie jedynie w kontekście teorii słabych wyższych kategorii. Teoria ścisłych wyższych kategorii jest dobrze znana [Le04] – kategoria Cat, małych kategorii i funktorów, jest kartezjańsko zamknięta, co czy- ni z niej 2-kategorię. Oznacza to, że zbiory morfizmów Cat(A, B) nie są jedynie zbiorami, ale kategoriami – dobrze znanymi kategoriami funktorów A → B, któ- rych morfizmy to transformacje naturalne. Ten proces łatwo iterować, otrzymując pojęcie ścisłej n-kategorii, czyli kategorii, w której obiekty morfizmów C(X, Y ) są (n − 1) -kategoriami (0-kategorie uznajemy za zbiory).

Teoria ta, choć może się pochwalić szeroką gamą przykładów (szczególnie we- wnętrznych wyższych kategorii), nie jest jednak zupełna. Jest tak, ponieważ natu- ralne operacje na kategoriach, takie jak dodawanie granic do danej kategorii lub abelianizacja (lewy sprzężony do funktora zapominania {kategorie abelowe} → Cat), nie są w naturalny sposób 2-funktorami. Ogólnie, naturalne operacje na n -kategoriach nie są (n + 1)-funktorami.

Jest to spowodowane własnościami uniwersalnymi. Granice, takie jak produk- ty czy ekwalizatory, prowadzą do funktorów jedynie po dokonaniu odpowiedniej ilości wyborów. W przypadku produktów, dla każdych dwóch obiektów musimy wybrać ich produkt spośród całej kategorii kanonicznie równoważnych wyborów.

W przypadku 1-kategorii nie prowadzi to do poważnych problemów. W wyższych wymiarach ten problem nabiera jednak znaczenia.

Najłatwiej dostrzec to zjawisko w teorii homotopii. Kategoria grupoidów jest równoważna kategorii 1-typów homotopii (jest to wręcz 2-równoważność). Po- dobnie 3-kategoria 2-grupoidów jest 3-równoważna 3-kategorii 2-typów homotopii [BHS11]. Niestety dla 3-typów homotopii podobnej równoważności nie ma [S98].

Problemem jest fakt, że w realizacjach geometrycznych ścisłych 3-grupoidów nie

mogą zaistnieć nietrywialne nawiasy Whitehead’a, co uniemożliwia zrealizowanie

3 -typu sfery S

.

Ten problem można naprawić osłabiając pojęcie wyższej kategorii. Tak więc 2-kategorię zastępuje się bikategorią, gdzie łączność nie jest tożsamością, ale izo- morfizmem, który sam spełnia pewne tożsamości. Ścisłe 3-kategorie zastępuje się trikategoriami [G07], gdzie tożsamość łączności składania 1-komórek staje się rów- noważnością, która z kolei jest izomorficzna innym „oczywistym” równoważno- ściom.

Niestety wypisywanie dodatkowych równoważności, izomorfizmów i tożsamości szybko staje się problematyczne. Jedna z proponowanych definicji tetrakategorii zajmuje 51 stron [T06]. Nie uwzględnia do definicji tetrafunktorów, transformacji naturalnych, i wyższych komórek. Problem ten nazywa się problemem koherencji i, jak widać na przykładzie 3-typu homotopii sfery S

, zignorowanie go oznacza odrzucenie pewnych naturalnie danych informacji o badanych przez nas struktu- rach.

Obecnie nie istnieje dobre rozwiązanie problemu koherencji, poza bardzo szcze- gólnymi przypadkami. Moja praca skupia się na objaśnianiu i ujednolicaniu po- dejścia zainicjowanego przez Baeza i Dolana [BD98]. Bezpośrednie zastosowania do teorii słabych wyższych kategorii są kwestią przyszłych badań.

Propozycja [BD98] jest szczególnie obiecująca i interesująca, ponieważ zamiast wyliczać listy warunków koherencji, bądź ukrywać je w struktury algebraiczne (jak jest to robione np. w [Le04]), sprowadza się ona do określenia składania mor- fizmów (i wyższych komórek) przez własności uniwersalne. Warunki koherencji są wtedy obiektami pochodnymi, i można je wyprowadzać z definicji składania w miarę potrzeby. Najbardziej zaawansowana propozycja tego rodzaju znajduje się w nieopublikowanej pracy [M04]. Niestety własności uniwersalne są zazwyczaj de- finiowane względem danego wcześniej pojęcia składania i nie wszystkie problemy związane z próbą postawienia tej definicji na głowie zostały rozwiązane.

Sygnatury, Struktury Dystrybutywności i Działania

Praca [BD98], i prace przez nią zainspirowane [HMP02, KJBM10], charakteryzu- ją się zastosowaniem struktur algebraicznych. Główne maszyny używane w tych pracach to pewne szczególne monoidy w kategoriach monoidalnych. Aby uchwy- cić wspólne cechy tych prac, konieczne jest zrozumienie wspólnego gruntu tych struktur. Gruntem takim okazują się być sygnatury.

Kategorie Sygnatur

Sygnatury to struktury dobrze znane z logiki i algebry uniwersalnej. Są to zbiory symboli funkcyjnych

, czyli obiektów z listą wejść (interpretowaną jako argumenty

1

Nie będziemy rozważać sygnatur z symbolami relacyjnymi.

funkcji) i jednym wyjściem (interpretowanym jako wartość). Symbole funkcyjne można obrazkowo przedstawić następująco:

a

W powyższym rysunku symbol a ma dwa wejścia, typu czerwonego i zielonego, oraz wyjście typu niebieskiego.

Sygnatury tworzą kategorię Sig, na której istnieje naturalna struktura mo- noidalna. Mając dane sygnatury A i B z tymi samymi typami (tworzące zbiór O), sygnatura A ⊗

B ma za symbole funkcyjne formalne złożenia symboli z A oraz B, zgodne z typami wejść i wyjść. Obrazkowo, elementy A ⊗

B wyglądają następująco:

a

b

b

Symbol ten ma niebieskie wyjście i cztery wejścia, w kolorach pomarańczowym, żółtym, szarym i fioletowym.

Mając strukturę monoidalną można zapytać o monoidy, a w szczególności wol- ne monoidy. Wobec powyższego rysunku nie powinno dziwić, że wolny monoid w Sig na sygnaturze X, F(X), to sygnatura składająca się z drzew, których wierz- chołki są udekorowane symbolami z X, zgodnie z arnością symbolu (ilością wejść) i dzietnością wierzchołka. Mnożenie takich drzew polega na wszywaniu korzeni (wyjść) drzew w liście (wejścia) innych drzew.

Wszystkie wspomniane prace [BD98, HMP02, KJBM10] polegają na tym, że

na takich monoidach istnieje pewna dodatkowa struktura. Drzewa z F(X) można

ułożyć w sygnaturę w inny sposób. Jako wejścia możemy zadeklarować wierzchołki

tych drzew (razem z symbolami, którymi są udekorowane). Typem takiego wej-

ścia będzie sam dekorujący symbol. Wtedy F(X) ⊗

F (X) to drzewa z F(X),

których wierzchołki są udekorowane innymi drzewami z F(X), w taki sposób, że

liście drzewa dekorującego wierzchołek odpowiadają jego dzieciom. Wtedy mamy

naturalną operację

F (X) ⊗

F (X) → F (X),

która polega na podstawianiu drzew za wierzchołki, które dekorowały.

Nie sprecyzowaliśmy jeszcze, jakie są wyjścia symboli w F(X) w tym nowym ujęciu. Aby to zrobić potrzebujemy sposobu, by drzewo z F(X) porównać z sym- bolem z X, za który chcemy podstawić to drzewo. Zatem potrzebujemy morfizmu

 : F (X) → X. Aby operacja ⊗

była łączna, musi to być struktura F-algebry na X , czyli struktura monoidu względem ⊗

na X. Daje to sposób na ewaluowanie drzew do pojedynczych symboli, zachowując otypowanie względem O (ilość liści drzewa T to ilość wejść symbolu (T ) ∈ X).

Ta operacja jest podstawą wszystkich trzech podejść do zbiorów opetopowych.

Niestety mimo intuicyjnego opisu, jej formalizacja okazuje się niezwykle trudna.

Problemem jest to, że symbole mają listę wejść, a wierzchołki w drzewie mają swoje geometryczne miejsca. Element listy może mieć co najwyżej dwóch sąsiadów, a wierzchołek drzewa dowolnie wiele. Prowadzi to do następującego problemu:

niezależnie od tego jak wyliczymy wierzchołki drzewa w liście, po podstawieniu za wierzchołek innego drzewa (z własną listą), lista wierzchołków wynikowego drzewa będzie przetasowaniem dwóch list. Nie ma konwencji, która umożliwiałaby zwykłą konkatenację list symboli obu drzew. Konieczne są permutacje list wejść.

Ten problem, jak i problem rozważania jednej sygnatury F(X) nad typami O, a także nad typami X, jest rozwiązany przez wprowadzenie kategorii monoidalnych sygnatur z niestandardową amalgamacją, oznaczanej Sig

. Jej konstrukcja, wraz z odpowiednimi strukturami monoidalnymi, jest jednym z kluczowych osiągnięć mojej pracy.

Problem permutacji jest rozwiązany przez wprowadzenie nowych morfizmów.

Zwykły morfizm sygnatur musi zachowywać listy wejść, wraz z ich porządkiem.

My dopuszczamy następujące morfizmy:

f (a)

a f

σ

W powyższym rysunku permutacja σ tłumaczy, jak lista wejść symbolu f(a) ma się do listy wejść a, dla morfizmu f : A → B. Kategoria sygnatur z takimi morfizmami nazywa się Sig

.

Problem dwóch różnych typowań jest rozwiązany wymagając, aby typy M były symbolami pewnego monoidu w Sig

. Wtedy sygnatura A z typami M ma zwykłe typowanie w M, jak i dodatkowe typowanie, pochodzące od typowania samego M jako sygnatury. Prowadzi to do dwóch struktur monoidalnych ⊗ oraz , które odpowiadają, kolejno, podstawianiu i zszywaniu drzew.

Struktury Dystrybutywności

Mając odpowiednią kategorię sygnatur, możemy rozważyć problem scharakteryzo- wania operacji podstawiania drzew za wierzchołki. Odpowiedź ostatecznie okazuje się bardzo prosta. Zauważmy, że wszywając drzewa w liście jakiegoś drzewa T , a potem podstawiając inne drzewo za jakiś wierzchołek w T , otrzymamy ten sam wynik, co najpierw podstawiając drzewo za wierzchołek w T , a potem wszywając drzewa w wynik. Jednym słowem, operacje wszywania i podstawiania komutują ze sobą.

Okazuje się, że ta przemienność, razem z oczywistym faktem, że podstawianie wierzchołka za samego siebie nic nie zmienia (unitalność monoidu), jednoznacznie określa operację podstawiania drzew za wierzchołki. Twierdzenie to nazywa się twierdzeniem o trzech tensorach. Dwa z nich już znamy. Trzeci tensor to koprodukt sygnatur.

Aby wyrazić tą charakteryzację, potrzebna jest jednak dodatkowa struktura.

Jest to struktura dystrybutywności między dwiema strukturami monoidalnymi.

Definicja struktury dystrybutywności to kolejny kluczowy element pracy, na któ- rym opierają się wszystkie twierdzenia unifikujące algebraiczne podejścia do zbio- rów opetopowych [BD98, HMP02, KJBM10].

Intuicja stojąca za tą strukturą jest następująca: tworząc konfiguracje drzew gotowych do zszycia (F(X) 

F (X)), jak i konfiguracje gotowe do podstawienia (F(X) ⊗

F (X) ), oba rodzaje wejść są niezależne od siebie. Zatem spodziewamy się izomorfizmu

(F (X) 

F (X)) ⊗

F (X) −→ (F (X) ⊗

F (X)) 

(F (X) ⊗

F (X)),

który pokazuje, że poniższy rysunek jest dobrze określony:

W powyższym rysunku duże czarne trójkąty to drzewa w F(X), a małe kolorowe trójkąty to ich wierzchołki. Wypełnione kolorowe trójkąty to inne drzewa, których złożenia do pojedynczego symbolu oznaczyliśmy odpowiednim kolorem. Konfigu- racja czarnych trójkątów to element F(X) 

F (X) . Aby udekorować tą konfi- gurację drzewami formujemy (F(X) 

F (X)) ⊗

F (X) lewą stronę powyższego izomorfizmu.

Jednak ten sam rysunek można otrzymać inaczej: najpierw udekorować czarne drzewa innymi drzewami, tworząc F(X) ⊗

F (X), a potem ułożyć je w odpo- wiednią konfigurację, otrzymując (F(X) ⊗

F (X)) 

(F (X) ⊗

F (X)). Fakt, że otrzymaliśmy ten sam rysunek, tłumaczy powyższy izomorfizm.

Ogólnie struktura dystrybutywności to rodzina izomorfizmów (A  B) ⊗ C −−−−→ (A ⊗ C)  (B ⊗ C),

która tłumaczy, że każdy funktor (−)⊗C jest silnie -monoidalny. Te izomorfizmy muszą być koherentne, co wyraża się wymagając podniesienia

End

(C)

C End(C)

R = C 7→ (−) ⊗ C

˜ U R

funktora R, jako funktora (⊗, ◦)-monoidalnego, do kategorii -monoidalnych en- domorfizmów C.

Działania Sygnatur

Sygnatury, jako kategoria monoidalna, posiadają naturalne działanie (reprezenta- cję) na zbiorach

? : Sig × Set → Set.

Zbiór A ? X, to symbole z A z formalnymi zmiennymi wstawionymi w ich wejścia.

Nazwy zmiennych bierze się ze zbioru X. Analogicznie, monoidalne sygnatury Sig

posiadają własne działanie

? : Sig

× U

Set → U

Set,

na kategorii trochę bardziej skomplikowanej niż Set, ale blisko z nią związanej. W tym działaniu przejawia się struktura dystrybutywności na Sig

. Na U

Set jest naturalna struktura monoidalna ⊗ i działane Sig

jest monoidalne w następują- cym sensie:

(A  B) ? X = (A ? X) ⊗ (B ? X),

gdzie A, B ∈ Sig

, a X ∈ U

Set. Jak w definicji struktury dystrybutywności, pełne stwierdzenie wyraża się mówiąc o podnoszeniach funktorów. Ta monoidalna własność działania Sig

jest kluczowa do badania równoważności trzech wspo- mnianych podejść do zbiorów opetopowych, i stanowi trzeci fundamentalny ele- ment pracy.

Zbiory Opetopowe i Opetopy

Intuicje

Mając do dyspozycji twierdzenie o trzech tensorach i kategorię sygnatur monoidal- nych, możemy przystąpić do konstrukcji kategorii zbiorów opetopowych. Zbiory te to konfiguracje komórek opetopowych, tak jak zbiory symplicjalne to konfiguracje sympleksów. Komórki opetopowe w niskich wymiarach wyglądają następująco:

α β

0 (wymiar) 1

2

3

Jak widać, są to dość skomplikowane kształty. Aby zrozumieć jak powstają, za-

uważmy, że dziedzina komórki opetopowej w każdym wymiarze jest formalnym

złożeniem komórek w niższych wymiarach. W wymiarze dwa widzimy dziedziny składające się z pewnej liczby strzałek, od zera do trzech. W wymiarze trzy je- dyna przedstawiona komórka ma za dziedzinę formalne złożenie czterech komórek wymiaru dwa.

Aby skonstruować dziedziny komórek dwuwymiarowych wzięliśmy strzałkę X = {· → ·} (komórkę wymiaru 1) i obliczyliśmy F(X) – wolny monoid na tej strzałce, który składa się z liniowo uporządkowanych list strzałek. Przeciwdziedzinę otrzy- mujemy formalnie składając strzałki do jednej strzałki. Formalnie X jest mono- idem, którego jedynym elementem jest identyczność. Aby przejść do następnego wymiaru, monoid F(X) rozważamy z typowaniem w X – teraz wejściami są same strzałki, a nie ich dziedziny i przeciwdziedziny. W ten sposób, formując F(F(X)), otrzymujemy dziedzinę trójwymiarowej strzałki.

Wymiar trzy to pierwszy wymiar, w którym jasno widać rolę operacji pod- stawiania w wolnym monoidzie. Aby obliczyć przeciwdziedzinę trójwymiarowej strzałki z jej dziedziny, używamy operacji podstawiania w F(X), czyli struktury algebry F(F(X)) → F(X). Ten morfizm zaczyna od dziedziny 2-komórki α z trze- ma wejściami, do której przyczepione są trzy inne komórki, i wstawia dziedziny tych komórek w miejsca w α wskazywane przez ich przeciwdziedziny. Efektem te- go podstawienia jest dziedzina komórki β. Niestety podstawianie dla prawdziwych drzew (w przeciwieństwie do list) pojawia się dopiero w następnym wymiarze, który trudno jest zilustrować na papierze.

Zbiory Opetopowe jako Kategoria Presnopów

Zbiory symplicjalne to konfiguracje sympleksów. W ramach teorii kategorii jest to niemal synonim stwierdzenia, że zbiory symplicjalne to kategoria presnopów na kategorii sympleksów ∆. Jest tak, ponieważ dla małych kategorii C presnopy C = b Set

to wolne kouzupełnienie C. Oznacza to, że obiekty C b to formalne kogranice obiektów z C. Tak więc, zbiory symplicjalne ∆ b to formalne sklejenia sympleksów wzdłuż możliwych relacji incydencji (morfizmów ∆).

Podobne zjawisko powinno zachodzić dla zbiorów opetopowych – powinny two- rzyć kategorię presnopów na kategorii opetopów, której niektóre obiekty zilustro- waliśmy powyżej. Niestety, definicja kategorii zbiorów opetopowych, jaką podaje- my w pracy, nie czyni tego oczywistym. Na szczęście możemy podać dowód, że tak faktycznie jest. Jest to drugi dowód tego faktu w literaturze, po [HMP02], i jedyny, który nie korzysta bezpośrednio z niezwykle skomplikowanej kombinatoryki. Jego prostota i ogólność jest jednym z głównych osiągnięć pracy.

Nasze argumenty pozwalają nam też zobaczyć kilka istotnych własności katego-

rii opetopów. Jest to istotne w późniejszych porównaniach. Znów, zaproponowana

konstrukcja jest druga w literaturze, po [HMP02], i pierwsza bez nadmiernego

wykorzystania kombinatoryki.

Twierdzenia Porównawcze

Cały materiał przedstawiony powyżej służy nam przy analizowaniu związków trzech wspomnianych już podejść do zbiorów opetopowych. Dowody streszczonych niżej wyników są trudne i stanowią istotny wkład w ustalenie jedyności pojęcia zbio- rów opetopowych. Tradycyjnie każda praca w tej dziedzinie prezentuje technicznie nowe podejście i nie dowodzi żadnych twierdzeń o związkach swojego podejścia z poprzednimi. Nasze twierdzenia znacząco ograniczają liczbę różnych podejść.

Najprostsze porównanie to porównanie z formalizmem [KJBM10]. W tej pracy konstruowane są opetopy – jako zbiór, a nie jako kategoria. Wynikiem porównania jest fakt, że ten zbiór jest w naturalnej bijekcji z obiektami naszej kategorii opeto- pów. Jest to bardzo przydatne twierdzenie, ponieważ w [KJBM10] rozwinięty jest systematyczny system graficzny do przedstawiania opetopów dowolnych wymia- rów. Jak widać wyżej, nie jest to takie proste. Poniżej zobaczymy, że ten system opisuje również obiekty kategorii opetopów skonstruowanej w [HMP02].

Drugie porównanie dotyczy oryginalnego podejścia [BD98]. Wynik jest nega- tywny – odpowiednie kategorie zbiorów opetopowych nie są równoważne. Wynik ten należy interpretować na niekorzyść technicznego formalizmu [BD98]. Wobec poprzedniego porównania, rysunki ze wstępu tej pracy opisują nasze opetopy, a nie te odpowiadające strukturom Baeza i Dolana. Niestety w [BD98] dana jest tylko konstrukcja kategorii zbiorów opetopowych, więc podajemy dowód, że two- rzą one kategorię presnopów. Aby tego dokonać trzeba również poprawić różne techniczne niedomówienia i błędy w [BD98]. Mimo tych trudności logiczna inter- pretacja wyników tego porównania (o której za chwilę) jest ciekawa.

Ostatnie porównanie jest najistotniejsze. W [HMP02] podana jest bardzo skru- pulatna konstrukcja kategorii zbiorów multitopowych i skomplikowany kombina- toryczny dowód, że tworzą one kategorię presnopów. Obiekty tej kategorii nazwa- no multitopami. Wynik naszego porównania jest prosty: kategorie zbiorów ope- topowych i multitopowych są równoważne, a kategorie opeotpów i multitopów są izomorficzne. Niestety dowód tego faktu jest niezwykle techniczny i wymaga drobiazgowej analizy dowodów (nie tylko twierdzeń) podanych w [HMP02].

Ten wynik, wraz z innymi porównaniami, zaczynającymi się w [HMZ08], łączy naszą definicję z siecią innych, niealgebraicznych, podejść do zbiorów opetopowych i opetopów. Ta sieć równoważności, wraz z przedstawionymi wyżej, jest wyrazem jedyności pojęcia zbiorów opetopowych.

Związek z Logiką

Monoidy, których używamy w naszej pracy, odpowiadają, przez reprezentację sy-

gnatur na zbiorach, pewnym monadom. Te z kolei odpowiadają teoriom równo-

ściowym [CJ95]. Nie powinno to być zbyt zaskakujące, ponieważ drzewa (elementy

naszych wolnych monoidów) to naturalna struktura tworzona przez termy logiczne.

Reguły składania tych drzew (mnożenie w monoidach) odpowiadają aksjomatom teorii równościowych. Jednak precyzyjna odpowiedniość różnych klas teorii rów- nościowych i różnych klas monad (monoidów) była istotnym problemem otwartym w logice równościowej [CJ04]. W ostatnim rozdziale finalizujemy odpowiedź na to pytanie, rozpoczętą w [CJ95].

W języku tego autoreferatu, zasadniczym wynikiem tych rozważań jest odpo- wiedź na następujące pytanie: jakim teoriom równościowym odpowiadają monoidy w kategorii sygnatur z niestandardową amalgamacją? Odpowiedź jest następująca:

są to teorie równościowe spełniające następujące warunki.

1. Każda konsekwencja teorii jest konsekwencją zbioru równości t = s tej teorii, w których każda zmienna z termu t występuje w t i s dokładnie raz.

2. Jeżeli teoria dowodzi t = t · τ, gdzie τ to permutacja mieszająca zmienne t, i zmienne w t się nie powtarzają, to τ jest identycznością.

Wyniki ostatniego rozdziału pracy pozwalają zreinterpretować nasze algebraicz- ne mechanizmy konstruowania opetopów. Jest to szczególnie ciekawe w kontekście postulatów pracy [BD98] (których pierwsze poprawne dowody są treścią nasze- go porównania). Baez i Dolan używali „operadu operadów” – monoidu, którego działaniami (wzdłuż działania sygnatur na Set) są inne monoidy. W kontekście logicznym istnienie takiego monoidu oznacza to, że teoria, której modelami są liniowo-regularne teorie równościowe (teorie spełniające warunek 1. powyżej), sa- ma jest teorią równościową, a w dodatku jest sztywna, tzn. spełnia oba powyższe warunki.

Wynik ten stanowi swojego rodzaju dosłowną realizację metaforyki [BD98] – kategoryfikacja, wyobrażona jako przechodzenie do meta-poziomu (np. definicja kategorii monoidalnej to definicja monoidu w kategorii monoidalnej Cat), jest im- plementowana przez iterowanie tworzenia „operadu operadów”, czyli formowania meta-teorii pewnych teorii równościowych.

Literatura

[BD98] J. C. Baez, J. Dolan, Higher-Dimensional Algebra III: n-Categories and the Algebra of Opetopes, Adv. Math. 135 (1998), pp. 145-206. dostępne jako arXiv:q-alg/9702014v1.

[BHS11] R. Brown, P. J. Higgins, R. Siviera, Nonabelian Algebraic Topolo-

gy, EMS Tracts in Mathematics 15, European Mathematical Society,

Zürich 2011.

[CJ95] A. Carboni, P. T. Johnstone, Connected Limits, Familial Representabi- lity and Artin Glueing, Mathematical Structures in Computer Science 5 (1995), pp. 441-459.

[CJ04] A. Carboni, P. T. Johnstone, Corrigenda for ‘Connected limits, familial representability and Artin glueing’. Mathematical Structures in Com- puter Science 14 (2004), pp. 185-187.

[G07] N. Gurski, An algebraic theory of tricategories, dostępne pod adresem http://users.math.yale.edu/∼mg622/tricats.pdf

[HMZ08] V. Harnik, M. Makkai, M. Zawadowski, Computads and Multitopic Sets, available as arXiv:0811.3215 [math.CT].

[HMP02] C. Hermida, M. Makkai, J. Power, On weak higher dimensional cate- gories I, part 1: J. Pure Appl. Alg. 154 (2000), 221-246, part 2: J. Pure Appl. Alg. 157 (2000), 247-277, part 3: J. Pure Appl. Alg. 166 (2002), pp. 83-104.

[KJBM10] J. Kock, A. Joyal, M. Batanin, J-F Mascari, Polynomial Functors and Opetopes, Adv. Math. 224 (2010) pp. 2690-2737. Dostępne jako arXiv:0706.1033 [math.QA].

[Le04] T. Leinster, Higher Operads, Higher Categories, London Mathematical Society Lecture Note Series 298, Cambridge University Press, Cambrid- ge 2004. Preprint dostępny jako arXiv:math/0305049v1 [math.CT].

[M04] M. Makkai, The multitopic ω-category of all multitopic ω-categories, ogłoszenie, dostępne pod adresem

http://www.math.mcgill.ca/makkai/mltomcat04/mltomcat04.pdf.

[S98] C. Simpson, Homotopy types of strict 3-groupoids, preprint, dostępne jako arXiv:math/9810059 [math.CT]

[T06] T. Trimble, Notes on Tetracategories, strona internetowa,

http://math.ucr.edu/home/baez/trimble/tetracategories.html.