Experimentelle prüfung von berechnungs-methoden für die bewegungen von katamaranen im seegang

Klaus Lagern0

)ezifische Chip5 sind. essor iden Elektromotoren ufnehrner nwendungsspektrum i methodischen Rüst-)rtschrjtt in der Tech-:e Optimal zu nutzen. enutzerführung bzw. ungsraum für-

Vorge-nnen, bietet der

Ar-'echnjsche nformatik (TEcH) 7 TECHNISCHE LJNIVERSITEIT L.aboratortum voor Scheepshydromechanlca

kchlet

Mek&weg Z 2628 CD O&ft

Experimentelle Prüfung von

Berechnungsmeth

*P16

73 F83C O15781838

für die Bewegungen von

Katamaranen im Seegang

Heinrich Söding und Peter Blume

i. Einleitung

Für den Personen- und Autotransport auf Binnen- undRandmeeren werden

zu-nehmend Kata.marane(Doppeirumpf-Schiffe) eingesetzt, weil man hofft, daß diese

sich im Seegang sanfter bewegen als Einrumpf-Schiffe. Dies gilt vor allem für

SWATH (Small Waterplane-Area Twin-Hulls), deren zwei Rümpfe im Bereich der Wasserlinie eingeschnürt sind (Abb. 1). Dies bewirkt, daßWellen nur geringe Kräfte in senkrechter Richtung auf die Rümpfe ausüben. Dies würde die vertika-len Bewegungen entsprechend verringern, wenn die übrigen Kräfte unverändert blieben. Leider vermindert die Einschnürung aber auch die Dämpfungskräfte, die das umgebende Wasser der Schiffsbewegung entgegensetzt. Diekleine Dämpfung

bewirkt trotz kleiner erregender Kräfte große Bewegungsamplituden, wenn die Wellen auf das Schiff mit einer Frequenz treffen, die gleich der Eigenfrequenz

für Tauchen (vertikale Verschiebung), Rollen (Drehung um dieLängsachse) oder

Stampfen (Drehung um die Querachse) ist. Weil diese Eigenfrequenzen bei

SWATH klein sind, macht ein SWATH in Wellen, die kürzer als das Schiff selbst sind, nur geringe Bewegungen, vor allem wenn die Wellen seitlich oder von vorn

koinmen dagegen können lange Wellen von der Seite oder von vorn sowie von

hinten kommende Wellen etwa von Schiffslänge das SWATH zu Bewegungen mit geringer Frequenz, aber großer Amplitude anregen. Solche

Resonanzschwingun-gen sind bei normalen Schiffen hochfrequenter und kaum ausgeprägt, weil die

Bewegungen normaler Schiffe durch die dabei erzeugten Wellen stark gedämpft sind.

Um SWATH und andere Doppeirumpf-Schiffeihrem Einsatz entsprechend

rich-tig auslegen und bezüglich desVerhaltens im Seegang bewerten zu können, war von Sôdirtg (1988a) ein Programm zur Berechnung der Bewegungen und der

Belastungen von Doppelrumpfschiffenerstellt worden. Es benutzt die

Streifen-methode', eine Standard-Methode der Schiffstechnik zur Bestimmung der

Be-wegungen schlanker Körper im Seegang . Allerdings mußte die Methode hier

erweitert werden, um die Wirkung derjenigen Wellen auf einen Rumpf zu

Heinrich Söding und Peter Blume

sen, die am anderen Rumpf reflektiert _{werden, unter ihm hindurchlaufen}

oder durch dessen Bewegungen erzeugt werden. Eine Validierung_{der Methode durch} Vergleich mit den Ergebnissen von Modeliversuchen_{war bisher nur ansatzweise} erfolgt (S5ding 1988b, Dieckmann 1991). Deshalb wurden in der Harnburgischen Schiffbau-Versuchsanstalt die erregenden Kräfte in Wellen _{an SWATH-Modellen} gemessen, die ohne Oszillationen gleichmäßig voraus fuhren,_{und es wurden die} hydrodynamischen !'vlassen- und Dämpfungskräfte an zwangsweise oszillierenden SWATH-Modeilen (mit Vorausfahrt) gemessen. Das Vorhaben wurde_vom Bun-desministerium für Forschung und Technologie gefördert.

Nachdem sich gezeigt hatte, _{daß die Meßergebnisse zum Teil erheblich von den}

berechneten Werten abwichen, wurde als Alternative _{zur Standard-Methode die} von Hachmann (1991) publizierte

"H-Methode" (sie benutzt eine_schiffsfest ange-nommene stationäre Umströmung,

engl. hull-bound steady perturbation flow) zur Berechnung der hydrodynamischen _{Kräfte und Momente}

an Schiffsrümpfen im Seegang benutzt. Diese Methode ist zwar numerisch_{an üblichen Einrumpfschiffen}

überprüft worden; eine

meßtechuische Uberprüfung an Schiffen ungewöhnlicher

Bauart oder hoher _{Geschwindigkeit stand aber noch aus.}

Nachfolgend werden hydrodynamische Massen, _{hydrodynamische Dämpfungen}

und erregende Kräfte_{durch Wellen, berechnet}

nach der Standard- und _der

H-Methode, mit Meßergebnissen

an einem SWATH-Modell verglichen. Zuvor wird

die H-Methode in _{neuer Form, angelehnt}

an die Darstellungweisen anderer Be-rechnungsmethoden in Bertram

(1990) und Söding (1988a), beschrieben.

2. Berechnungsinethode

2.1 Annahmen und

_Definitionen

Das Schiffsverhalten in natürlichem, unregelmäßigen Seegang kann aus dem

Ver-halten in regelmäßigen Wellen durch Uberlagerung_{bestimmt werden, wenn man} die Schiffsreaktionen _{als proportional}

zur Wellenhöhe ansieht (Linearisierung).

Behandelt werden daher

schlanke Körper mit Fahrt voraus in regelmäßigen Wel-len so geringer Höhe, daß nichtlinear von der _{Wellenhöhe abhängige Terme}

ver-nachlässigbar sind. Außerdem _{werden Größen vernachlä.ssigt,}

die quadratisch oder mit höherer Potenz von der Schlankheit des (oder _{eines) Rumpfes} (aus-gedrückt als Rumpfbreite/Länge oder auch Tiefgang/Länge) _{abhängen. Diese}

Vernachlässigungen werden im Folgenden ohne _{Erwähnung vorgenommen. Die} Schiffsbewegungen sind dann zeit-harmonisch (cosinus-förmig) mit der J3egeg-nungskreisfrequenz w, zwischen Schiff und Wellen, so daß der

Verschiebungsvek-tor _{eines Bezugspunktes auf}

dem Schiff gegenüber einem gleichmäßig mit der mittleren Fahrgeschwindigkeit bewegten Punkt wie folgt_{von der Zeit abhängt:}

i7(t)

_{- Re[exp(iw,t)J.}

(1) In entsprechender Weise werden komplexe Amplituden_{für alle übrigen} zeithar-monisch schwankenden Größen eingeführt und durch _{gekennzeichnet.}

w, hängt mit der Wellenkreisfrequenz

w (beobachtet an einem erdfesten Punkt)

Katamarane im Seegang 529

w,=wkUcosi.

(2)

Dabei bezeichnet U die zeitlich gemittelte Fahrgeschwindigkeit des Schiffes,

den Begegnungswinkel (O für Wellen von hinten, 7r/2 für Wellen von Steuerbord), k die Wellenzahl = 2ir/ Wellenlänge w2/g; g ist die Erdbeschleunigung. Gesucht sind zunächst die Bewegungen desSchiffes als starrer Körper in 6 Frei-heitsgraden. iZ = bezeichnet die periodische Verschiebung des

Schiffs-Bezugs-punktes gegenüber einem gleichmäßig mit U bewegten Punkt; & ist der Vektor

der Verdrehung des Schiffes aus seiner Mittellage. Im Zusammenhang mit Ma-trizen bezeichnen U und & 'Spaltenvektoren' (Matrizen der Größe 3 1).

2.2 Koordinatensysteme

Es wird ein schiffsfestes Koordinatensystem z, y, z benutzt; z zeigt nach vorn, y nach Steuerbord, z nach unten. Der Nullpunkt ist der oben genannte Schiffs-Bezugspunkt (meist in Schiffsmitte auf Hauptspant in Kielhöhe). Daneben wird ein Inertialsystem ,

i, (

benutzt. Im zeitlichen Mittel fallen die Nulipunkte und

die Koordinaten-Richtungen beider Systeme zusammen; das Inertialsystem macht

jedoch die periodischen Beweungen desSchiffes nicht mit.

Zwischen den Koordinaten

(,

i,

) und (z, y, z) desselben Punktes

besteht die Beziehung

(= +& X

¶+ iL

(3)

Der Vektor der partiellen Ableitungen nach

(bzw.

wird mit V bzw. V

be-zeichnet. Zwischen V und V besteht die Beziehung

VeV+&xV.

(4)

y bezeichne den Vektor der Geschwindigkeit eines Punktes relativ zum mer-tialsystem, wobei die Vektorkomponenten die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Einheitsvektoren des Inertialsystems bedeuten; i sei die Geschwin-digkeit desselben Punktes relativ zum schiffsfesten System, ausgedrückt in den

schiffsfesten Koordinatenrichtungen. Dann besteht zwischen i3 und i die Bezie-hung

= +&x&+(&, x

+iZ,). (5)

Dabei bezeichnet der Index t die partielle Ableitung nach der Zeit.

2.3 StrönTlungspotential

Zur Berechnung der Flüssigkeitskräfte auf das Schiff muß die Strömung um das Schiff berechnet werden. Berechnungen mit detaillierter Berücksichtigung der Zähigkeit und Turbulenz sind zur Zeit noch nicht möglich. Wegen der starken

Strömungsbeschleunigung um Schiffe in Wellen erscheinen viskose Einflüsse auch

sekundär. Die Strömung wird daher als reibungsfrei und inkompressibel ange-nommen und durch ein Potentialbeschrieben.

r Blume en oder le durch atZwejse :gischen odellen -den die ereriden m Bun-'on den .ode die t ange-ow) zur fen im schiffen trxlicher fungen der H-r wiH-rd er Be-m Ver-n maVer-n rung). n Wel-ie ver-atisch (aus-Diese i. Die 3egeg- svek-it dei Lngt: (1) ithar-unkt)

Für das vom Ortsvektor und von der Zeit t abhängige Strömungspotential _, des-sen Ableitungen nach den Koordinaten des Inertialsystems die Geschwindigkeiten

der Wasserpartikel im Inertialsystem ergeben, wird der Ansatz

= Ue+çó°()+ '(

(6)

gemacht. Auf der rechten Seite bezeichnet der erste Term die_{Parallelströmung} infolge der mittleren Vorausfahrt des Schiffes, der zweite die Störung der Par-alleiströmung infolge der Anwesenheit des Schiffes ohne Wellen (stationäre Aus-weichbewegung), und der dritte den Einfluß der Wellen und ihrer Störung durch das bewegte Schiff.

Die o.a. Zerlegung geht auf Hachmann (1991) zurück. Wesentlich ist hier,_daß

(0 ist ein oberer Index, kein Exponent) das Störpotential der

Schiffsum-strömung in glattem Wasser relativ zum und zerlegt nach den Komponenten_des

schiffsfesten Systems bezeichnet. und bezeichnen denselben Punkt, jedoch ausgedrückt in verschiedenen Koordinatensystemen. Wenn sich das Schiff

ge-genüber dem Inertialsystem verschiebt und verdreht, _{so verschiebt und verdreht} sich näherungsweise auch die stationäre Schiffsumströmung (ohne die Parallel-strömung) entsprechend. (Genau genommen ergibt sich aus der Bedingung, die

O

an der freien Wasseroberfläche erfüllen muß, eine Anderung der Störströniung.) Nach wie vor gilt aber die Voraussetzung der Potentialströmung, daß die Rotation

der Strömungsgeschwindigkeit im Inertialsystem verschwindet; dies ergibt _sich daraus, daß die Strömung im Inertialsystem durch ein Potential (nämlich ₍₆₎₎ beschrieben wird. An einem im Inertialsystem zeitlich festen Punkt verändern sich der zweite und dritte Term.

Ublich ist dagegen eine Zerlegung von , bei der als zweiter Term das stationäre Störpotential des Schiffes in seiner Mittellage im Inertialsystem _{angesetzt wird.}

Die Veränderung dieses Potentials im Inertialsystem durch die Lageänderung des

Schiffes wird üblicherweise unter Berücksichtigung der Randbedingung an der

freien Oberfläche als Anteil in qY erfaßt. Dies führt dazu, daß in den Randbedin-gungen für qY und bei der Berechnung seiner Kraftwirkungen zweite Ableitungen

des stationären Potentials qY auftreten, die mit den gebräuchlichen_numerischen Verfahren kaum zu bestimmen sind. Bei dem hier benutzten _{Ansatz nach} Hach-mann treten dagegen keine zweiten Ableitungen von Potentialen auf; statt

des-sen wird die Randbedingung an der freien Oberfläche verletzt, was hingenommen wird.

2.4 Körper-Randbedingung

Durch die Schiffsoberfläche darf keine Flüssigkeit strömen. Das bedeutet:

il(x)i(x) = 0,

(7)

wenn _{auf der benetzten Schiffsoberfiäche liegt. Dabei bezeichnet ff die} Nor-male auf der Schiffsoberfläche, idie Strömungsgeschwindigkcit relativ _{zum Schiff;}

beide Vektoren gelten im schiffsfesten System. Mit (5) folgt_daraus

und Peter Blume

gspotential , des-Geschwindigkeiten atz

(6)

_{mit U = (U,0,0).}

-. _{Damit läßt sich die Randbedingung (8) abhängig vorn} Parallelstrdmung Strömungspotential angeben:

Störung der

Par-i(statjonäre Aus-

[Ú+V°()+&x Vq°()+V4'(')&X

= 0. (10) er Störung durch

In der eckigen Klammer heben sich der 3. und 6. Term gegenseitig auf. Die sta-tuch ist hier, daB tionäre Schiffsumströmung in ruhigem Wasser erfüllt die Körper-Randbedingung

J der Schiffsurn-KOmponenten des

n Punkt, jedoch

ch das Schiff ge- Daher heben sich auch die ersten zwei Terme innerhalb der eckigen Klammern

ebt und verdreht in (10) heraus, und es bleibt als Körper-Randbedingung für den wellenbedingten hne die Parallel- Potentialantejl '

r Bedingung, die

r Störströmung.) daß die Rotation

dies ergibt sich al (nämlich (6)) unkt verändern :n das stationäre angesetzt wird. geänderung des dingung an der den Randbedin-ite Ableitungen ten numerischen satz nach

Hach-i auf; statt

des-s hingenommen

)edeutet:

net iT die

Nor-tiv zum Schiff;

us

Katamarane im Seegang 531

Das hierbei auftretende () ergibt sich mit (6) und (4) zu

=

= U + V°() + & x V°(.) + V'

(9)

[O + V°()1iT() = 0.

(11)

2.5 Näherungen für schlanke Körper

Es wird jetzt ein schlanker Körper vorausgesetzt; d.h. die erste Komponente von wird als 1 angenommen. In dem Fall ist die Längskomponente der stationären

Störströmung Vçb° vernachlässigbar. ' wird aus drei Anteilen zusammengesetzt:

(14) Dabei ist das Potential der erregenden Welle. Es hat die komplexe Amplitude

O

=3'°exp(ikxcos1) mit

'" = g .exp(kz)exp(ikysin).

(15)

c bezeichnet die Phasengeschwindigkeit g/w der Welle, c die komplexe

Ampli-tude der Welle am Ursprung des Inertialsystems.

d ist das Difiraktionspotential, d.h. die Störung des Wellenpotentials durch den unbeweglich angenommenen Körper. Für schlanken Körper wird die komplexe

Amplitude q approximiert durch

3d_ exp(ikx

cos (16)

w

=

[& x O + & x £+ u]ñ().

(12) Nach Einführung komplexer Amplituden für u, und çY ergibt sich daraus

erfüllt die zweidimensionale Laplace-Gleichung, eine zweidimensionale Bedin-gung an der freien Wasseroberfläche für die_{Kreisfrequenz w, eine} Strahlungsbe-dingung (Wellen laufen_{nur vom Körper weg, nicht auf ihn zu)}

und die folgende Körper-Randbedingung:

(V+Vç)i(ff)0

₍₁₇₎

Die Bedingung entspricht einem unbewegten Körper inWellen. ç2 _{wird getrennt}

für eine Reihe von Querschnitten durch einen der beiden Rümpfe _{nach einem}

Rankine- Quellverfahren berechnet.

Das Radiationspotential _{erfaßt die Wirkung der Körperbewegung auf die}

Strömung. Da q5" + ç5' die homogene Körper-Randbedingung erfüllt, muß _die inhomogene Körper-Randbedingung (13) erfüllen. _{wird aus drei}

zweidimensio-nalen, getrennt für die untersuchten _{Rumpfquerschnitte berechneten}

Potentialen 2, _{3 und p4 zusammengesetzt. Diese Potentiale entsprechend}

einer horizonta-len, vertikalen bzw. um die x-Achse drehenden Spantbewegung_{mit der} Geschwin-digkeit bzw. DrehgeschwinGeschwin-digkeit 1. D.h. die komplexen Amplituden _der Poten-tiale erfüllen neben der Laplacegleichung, der Bedingung an der Wasseroberfläche

und der Strahlungsbedingung_{die folgenden Körper-Randbedingungen:}

Die Indexe 1, 2 und 3 bezeichnen hier und im Folgenden die_{Komponenten des}

betreffenden Vektors (hier ff).

Die Körper-Randbedingung (13) _{wird bei Vernachlässigung der Anteile} propor-tional zu n1 erfüllt durch das_{folgende Radiationspotential:}

V'2n = n2;

V3ñ = n3;

Vc34r _{[(1,0,0) X £}r}

_{= zn2 + yn3.}

(18)

= â3Uç52 + &2U

₊

_{iwe(&3x2 + a14 &2X3 + t2ÇO2 + û3ç3).}

(19)

Es empfiehlt sich, hier _{zu einer Matrizen-Schreibweise überzugehen}

und damit das Radiationspotential wie folgt _{zu schreiben:}

Daß (19) mit (20) und (21)übereinstimmt, zeigt sich, wenn man die

Matrizen-gleichung in ska.larer Form ausschreibt. _{Die Multiplikation mit W wandelt die} 6-komponentige Schiffsbewegung in eine 3-komponentige Spantbewegung' (nach

Steuerbord, nach unten, um r drehend) um.

=

₍₂₀₎ mit

( 0

1

0 0

₀

_{x - U/(iw)}

W

₌

0 0 1

0 x + U/(iw)

₀ (21)

'\0001

O _O J

mensionale T3edjrx

ne Strahlungsbe

und die folgende

(17)

ç wird getrennt

npfe nach einem wegung auf die

füllt, muß ç5' die ei zweidjmensi eten Potent jalen einer horizonta-it der Geschwin-Liden der Poten-Vasseroberfläche ungen: +fJfl3. (18) mponeimten des Anteile

propor-2.6 Druck

Der Druck iii der Flüssigkeit ergibt sich aus derBernoulli-Gleichung zu

p(s)

_p[(V«)2

-

U2

-

g( +

(22) Zur Berechnung der periodischen Bewegungen erster Ordnung bezüglich der Wel-lenamplitude interessieren nur die Anteile von p, die an einemkörperfesten Punkt

zeitharmonisch mit der Kreisfrequenz w, schwanken. Alle anderen Anteile

wer-den ebenso weggelassen wie der hydrostatische Druckanteil pg(, der an einem körperfesten Punkt einen zeitharmonischen Anteil enthält, da die

zeitharmoni-schen hydrostatizeitharmoni-schen Effekte in elementarer Weise getrennt berechnet und in einer Matrix S (siehe Abschnitt 2.8) zusammengefaßt werden. Die dynamische Druckschwankung ergibt sich so aus (22) mit (6), (3) und (4) zu

p()

-p[Ú + V°() + x V°() + V'()}2 -

p[V°(

+

(23) Dabei müssen die durch den Index i bezeichneten partiellen Zeit-Ableitungen bei

konstantem gebildet werden. Nach Ausmultiplizieren des quadratischen Kiam-merausdrucks und erneutem Weglassen stationärer und quadratischer Terme in

der Wellen- oder Körperbewegung und eines dem Quadrat der Schlankheit

pro-portionalen Terms erhält man für die komplexe Amplitude

¡3(2) =

p{-Ú(

x V°(2)) - ÛV'(2)

V0(5)V1(5)

iw,(&

x 1+ )V°(2) - iw,'(î)1.

(24)

Der Ausdruck (U+ Vç5°(5))V wird im Folgenden mit

UD/Sl bezeichnet.

Da-bei bedeutet 0/Sl die Ableitung nach x entlang den Stromlinien des stationären Potentials U2 + q° auf der Körperoberfläche.

Setzt man in (25) die Ausdrücke (14),

(15),

(16) und (20) ein, läßt die

Längskomponente von Vgl° weg und geht wieder zur Matrizen-Schreibweiseüber, so wird

die Matrizen-

¡3= p(1, +

) +

+)Eexp(_ikxcos)]

kV wandelt die

wegung' (nach

Die zweite Zeile in (26) entsteht aus dem zweiten Term auf der rechten Seite

von (25), wie man durch Umwandlung beider Ausdrücke in skalare Schreibweise

.ti33).

(19)

+

Durch Zusammenfassen von Gliedern erhält man hieraus

hen und damit _¡3(2)

=

p[iw, -

(U +

v0(2VI(2) +

x U +iw,(

X 2+ )]V°(2). (25)

und Peter Blume Katamarafle im Seegang 533

bestätigt. Gleichung (26) entspricht (bis auf den hier _{weggelassenen}

hydrostati-schen Term) der Gleichung (61) von Hachmann (1991).

Der Term U3/3l[._{. .J in Verbindung mit der}

zweidimensionalen Approximation der Strömungspotentiale q5° und ' führt zu großen _{Druckamplituden an solchen} Stellen, an denen sich der Körperquerschnitt über x schnell oder sogar unstetig verändert. Tatsächlich treten _{diese Druckspitzen ini Vorschiff, aber nicht im} Hin-terschiff auf. Reibungseffekte in Verbindung mit _{scharfen Hinterkanten führen}

zu einer Zirkulation der Tjmsträmung, die diese Druckspitzen _{beseitigt. Da dies} durch die verwendeten _{Ansätze nicht direkt erfaßt}

wird, wird das allgemein_bei Potential-S trömungsberechnungen um schlanke Körper übliche Verfahren

ange-wendet: der Term ua/ai[.

..J wird nicht berücksichtigt an solchen Stellen des

Hinterschiffs, wo mit Strömungsablösung zu rechnen ist.

2.7 Kraft und Moment

Die komplexen Amplituden der verallgemeinerten_{Kraft, d.h. der}

hydrodynami-schen Kraft und des _{hydrodynamischen Drehmoments}

infolge _{, ergeben sich als} Integral des Drucks über die Schiffsoberfläche. Dies_{Integral wird durch}

Integra-tion IL über die Längenkoordinate _{z und Integration J'Spa}

über die Spantkon-turlänge s gebildet. Man erhält dann

(

(=11

_(dsdx.

\\ it? _J JLJSpan \ X X

_{n )}

Es empfiehlt sich, dieaus ri und _{x ñ gebildete Matrix in zwei}

Faktoren aufzu-teilen, von denen der _{erste nur von z, nicht von y und z abhängt:}

n

xXn

(SI) PJVf

Die Multiplikation mit V wandelt die _{3-komponentige verallgemeinerte} 'Spant-kraft' (Kraft nach Steuerbord, _{nach unten, Moment uni z) in die 6-komponentige}

verallgemeinerte 'Schiffskraft' _{um. Hiermit und mit (26) ergibt}

sich für die ver-allgemeinerte Kraft aus (27):

/ _n2 r'3 yn3 - zn2 J {{_iwe

+ U)(2,

,

) + (,

_{, y}

-

z)]

ds iwjVdx (

)

n., n3 yn3 - Zn2 _/

mit V=

/0

0

100

010

001

O x

\x

O 0 O

Oj

(28) Heinrich Söding und Peter Blume

ing und Peter _Blume lassenen hydrostatj

ialen Approximation aplituden an solchen

oder sogar unstetig f, aber nicht im

Hin-FIinterkaten führen n beseitigt. Da dies d das allgemein_bei ±e Verfahren

ange-solchen Stellen des

der hydrodynarni j3, ergeben sich als

'ird durch Integra-iber die Spantkon

(27) ei Faktoren aufzu-Tigt: o o i (28)

Oj

meinerte 'Spant-G-komponentge sich für die

ver-+U(2,3,4)ds iwW'+(,,y z)ds iWeW] dx

(

_{\a )}

+(iw + U)(

+ ) d

s exp(zkxcos

)dx}.

(30)

w

Hier bezeichnet W' = dW/dx. Bei der Umformung des letzten Terms wurde (2) benutzt. Aus der Kirperrandbedingung für ç5° ergibt sich

= Udy/dx und

= Udz/dx.

(31)

Dabei bezeichnen dy/dx und dz/dx die Ableitungen der Koordinaten y und z der Stromlinien des station.ren Potentials Ux + ç5° nach der Längenkoordinate x. Es werden jetzt Abkürzungen für die vorab für die einzelnen Spanten zu

berech-nenden Matrizen eingeführt:

a _{yn3 -}

) (,

) ds; ISP

₍

2 n3

(2

\\

a' = P]

I I (p2, (p3, cp) ds; Spant (Ji \ yn3 - Zn2 a" = _{'°Ispant (}

:

)

, y

- z) ds;

yn3Zn2

a=p

e=p

e' _{= p}

ISpt (

fSpa t 2 fl3

)

((O

₊

_{d) ds;}

yn3zn2

(

:

- Zn2 Katamarane im Seegang 535

+(iw +U)( +) ds

exp(_ikxcos)dx}.

(29)

In (29) beziehen sich die Ableitungen 3/51 auch auf die

Faktoren W bzw. exp(ikxcos). Deutlicher wird (29), wenn die Formel so umgeschrieben wird, daß sich die Ableitungen nur auf den Klammerausdruck unmittelbar nach dem Ableitungsoperator beziehen. Man erhält dann

()JvJ

L Spa t

:

-

) {

i:

Damit ergibt sich die verallgemeinerte Kraft zu

jV([-iwa + U(a' - a")]iweW + UaiwW') dx (

)

+I

L.

V(e + e')exp(-ikxcos)dx (E.

iUW

2.8 Bewegungsgleichung

Das Newtonsche Gesetz wird hier in Matrizenform für die komplexen Amplituden wie folgt geschrieben:

2

(

Komplexe Amplitude der gesamten

a

verallgemeinerten Kraft auf das Schiff.

Dabei bezeichnet M die Massenmatrix (Größe 6 6); ihre Elemente enthalten

die Schiffsmasse, die Koordinaten des Massenschwerpunkts sowie die

Trägheits-und Zentrifugalmomente um die x-, y- Trägheits-und z-Achse.

Die rechte Seite von

setzt sich zusammen aus der verallgemeinerten, überwiegend hydrostatischen Rückstellkraft und den zuvor behandelten hydrodynamischen Kräften. Setzt man diese Anteile ein und bringt die Glieder, die den Schiffsbewegungen proportional sind, auf die linke Seite. so erhält man die Bewegungsgleichung in der Form

[S_W(M+A)]()

=Eß.

Dabei bedeutet S die Matrix der Rückstellkonstanten (6. 6). Die

hydrodynami-schen Kräfte sind hier in einen Anteil wA proportional zu den Schiffsbewegungen und einen von den Schiffsbewegungen unabhängigen Anteil E(ß, die Erregungs-kraft durch die Welle, aufgeteilt. A stellt eine komplexe hydrodynamische Masse dar; der Imaginärteil enthält die hydrodynamische Dämpfung. Der Vergleich von

mit (37) ergibt

A = j([a -

L 41-(a'ZWe

- a")]W -

.-aW') dx

ZWe

(40)

(

F

M (37) (38) (39) und

E

=

f V(e -

-1--e')exp(-ikxcos/1)dx. (41)

Bisher wurde die Wechselwirkung zwischen beiden Rümpfen vernachlässigt. Im Zusammenhang mit der Streifenmethode gibt Sôdirtg (1988a) an, wie die

Wech-selwirkung erfaßt werden kann. Hachrnann (1993) schlägt eine Korrektur dieser

Methode vor. Der Einfluß der Wechselwirkung ist groß bei nicht fahrendem Schiff, verschwindet aber bei größerer Fahrgeschwindigkeit; denn die Wellenausbreitung

ng und Peter Blume

J') dx ( ,)

(37) iplexen Amplituden samten Schiff. (38) lemente enthalten

owie die Trägheits

e rechte Seite von

nd hydrostatjsch

Kräften. Setzt man

angen proportional ig in der Form Die hydrodynarni Schiffsbewegungen die Erregungs-dynamische Masse Der Vergleich von

ernachlässigt. Im

n, wie die

Wech-Korrektur dieser

fahrendern Schiff, VeUenausbreitung Ler das Schiff bei

2.9 Ergänzungen

Die beschriebene Methode wurde für praktische Anwendungen wie folgt ergänzt:

- Längskräfte werden durch Ansatz einer hydrodynamischen Masse für Längs-beschleunigung und der Froude-Kriloff-Kräfte infolge der vom Schiff nicht gestörten Druckverteilung in der erregenden Welle angenähert; alle anderen

Kraftanteile in Längsrichtung werden vernachlässigt.

Bei hydrostatischen und hydrodynamischen Termen kann berücksichtigt wer-den, daß ein Spiegel (plattes Schiffsheck) bei höherer Fahrgeschwindigkeit von

hinten nicht benetzt ist.

Feststehende und gesteuerte Ruder und andere Tragflügel können

berück-sichtigt werden. An ihnen werden Massen-, Dämpfungs- und Erregungskräfte wirksam.

- Durch Ablösung der Strömung von schräg angeströmten Rumpfquerschnit-ten entstehen nach der PoRumpfquerschnit-tentialtheorie nicht erfaßbare Widerstandskräfte,

die quadratisch von der Quergeschwindigkeit abhängen. Diese werden durch

Ansatz von Widerstandsbeiwerten abgeschätzt und

nach der Methode der

äquivalenten Linearisierung berücksichtigt. Bei den nachfolgenden Berech-xiungen wurde als Widerstandsbeiwert 0,5 für die Tauchbewegung und 0,6 für die Horizontalbewegung angesetzt.

- Die

Relativbewegungen zwischen Schiff und Wasseroberfläche können

berech-net werden; dies ermöglicht es, abzuschätzen, bis zu welchen Seegängen die

angenommene Linearisierung zulässig ist.

- Zur Festigkeits-Bemessung der Schiffsstruktur können die Schnittkräfte und -momente in gedachten Schnitten durch dieSchiffsrümpfe und durch die

ver-bindende Brückenkonstruktion berechnet werden.

Zusatzprogramme erlauben die Berechnung von kennzeichnenden Aznplituden der Schiffsreaktionen in natürlichem, unregelmäßigen Seegang.

Katamarane im Seegang 537

großer Fahrgeschwindigkeit den Bereich der Störwellen verläßt. In den im

Fol-genden numerisch und experimentell untersuchten Fällen ist dies durchweg der

Fall; deshalb wird hier auf die Berücksichtigung der Wechselwirkung verzichtet. Der Unterschied zwischen der Standaxd-Streifenmethode und der H-Methode

be-trifft nur die Gleichungen (40) und (41). Nach der Standard-Methode ergibt

si cli:

A=fv(1_awdx;

(42) L

\

ZWeôX)

(

U3e7'\

.5 = j V j e - -- j exp(zkxcos)dx.

(43) iL \\

zwûxj

Dabei ist e7 der Diffraktions-Anteil an der vVel1enerregung; er ergibt sich aus (35), wenn p'° weggelassen wird.

Sind A und E und die leicht zu bestimmenden

Matrizen S und M bestimmt,

folgen ii und S aus der Lösung der linearen Bewegungsgleichung (39).

3. Modellversuche und

_{Vergleich mit}

Rechenergebnissen

3.1 Modelle

Die Versuche wurden mit _{(im Vergleich zur Praxis) vereinfachten,}

symmetrischen Rürnpfen ohne Propeller, Ruder und Flossen gemacht. _{Jeder Rumpf bestand}

aus einem voll getauchten

Rotationskörper (Achse in Schiffslängsrichtung) und einer

darauf gesetzten Stütze (Abb. 2). Der horizontale _{Querschnitt der Stützen}

war

konstant über der Stützenhöhe;

die Wasserlinie wurde aus einem parallelen

Mit-telstück mit angesetzten _{parabolischen Enden gebildet}

(Scheitelpunkt der

Para-beln am Einlauf in das Mittelstück). Der Verlauf des Radius des Rotationskörpers geht aus Abb. 2 hervor. Die im Folgenden besprochenen_{Ergebnisse beziehen}

sich

auf ein Paar_{von Rümpfen mit folgenden Abmessungen:}

Lif =2,500m _{L5 =2,500m}

LTS =O,625rn _{LNS =O,625m} Lrff =O,SQOrn LNH =O,625m _{Dff =O,160rn}

B5 =O,800m ts =O,OSOm _{d =O,160m LFH =O,150m}

Der Koordinaten-Ursprung

wurde auf halber Länge der Rotationskörper in

der Symmetrie-Ebene

_{zwischen den zwei Rümpfen}

in Höhe der

Rumpf-Rotationsachsen festgelegt. t5

'Ï

-E:

8s Pa ra bel JI- -Pa ra bel LTH L LH L Abb. 2. Versuchskörper Blume Pa ra bel Ellipse L NH

3.2 Erregerkräfte

In einer ersten Versuchs-Serie wurden die erregenden Kräfte_{in regelmäßigen}

Wel-len gemessen. Dazu

_{waren die Modelle über eine}

6-Komponenten-Waage am

CPMC (Computerized Planar Motion Carriage) _{befestigt. Sie konnten so mit} unterschiedlichen, während einer Messung konstanten _{Geschwindigkeiten unter}

verschiedenen Begegnungswinkeln _{zu den in Tank-Längsrichtung}

laufenden

Wel-len bewegt werden. Abb. 3 zeigt die so _{gemessenen Kraft-Amplituden für eine}

Modell-Geschwindigkeit von 2 rn/s

_(F

_{U/',/gL = 0,4) bei 150°}

Begegnungs-winkel (Wellen schräg von vorn), proportional vergrößert _{für eine fiktive}

Wellen-amplitude von 1m. Die Längskraft f, die Vertikalkraft _{f und die hauptsächlich} von vertikalen Kräften verursachte Größe f (Moment um die Querachse) erga-ben sich nach beiden _{Rechenmethoden ähnlich wie}

und Peter Blu 'ne en

1en, symmetrischen

umpf bestand aus

[ichtung) und einer

t der Stützen War

km parailelen

Mit-elpuukt der Para-Rotationskörpers

bisse beziehen sich =O,625m

=O,SOOm

otationskörper in

öhe der

Rumpf-gelmäßigen Wel-nten-Waage am konnten so mit idigkeiten unter laufenden Wel-'lituden für eine iO° Begegnungs-fiktive Wellen-je hauptsächlich )uerachse) erga--agegen sind die

1000 750 f,[N]

r

10000 7500 12 [N] e n 1600 1200 f [N] a a 500 C 5000 800

_D

a 250 - a

Ij

2500 400 Q a D

v'rn1

1200 900 600 1000 750 500 8000 6000 4000 1,5 f4[Nm] D o 2,0 n0 o 2.5 D 0 1,5 f, [Nm] 2,0 a 2,5 1,5 2,0 16 [N rn] a e n a _a 2,5 D o a D 300 250 a 2000 Katamarane im Seegang 539

gemessene horizontale Querkraft f2 und die in erster Linie von Horizontalkräften verursachten Momente f (um die Längsachse) und f6 (um die Hochachse) wesent-lich kleiner als die berechneten Werte, unabhängig von der Rechenmethode. (Da die Vertikaikräfte um eine Größenordnung kleiner als die Horizontaikräfte sind, sind die Horizontaikräfte ausschlaggebend für das Rolimoment f trotz ihres

klei-neren Hebelarms.) Vergleiche zwischen Meß- und Rechenwerten für das Schiff

ohne Fahrt (U = 0; hier nicht gezeigt) ergaben

für alle 6 Komponenten der Erregung gute lJbereinstimmung.

a

II

I

1,5 2,0 2,5 1,5 2,0 2,5 1,5 2,0 2,5

Meßwerte, o Standard-Berechnungsmethode, D 11-Methode

Abb. 3. Erregende Kräfte und Momente in Wellen abhängig vonder Wellenlänge,\ bei U = 2m/s

3.3 Massen und Dämpfungen

In einer zweiten Versuchsserie wurde das Schiff über die 6-Komponenten-Waage mit einem auf dem Schleppwagen befestigten Oszillator verbunden.

Nacheinan-der wurden zeit-harmonische Verschiebungen in y und zRichtung (querschiffs bzw. vertikal) sowie Drehungen um die s und yAchse (Rollen,Stampfen) einer

stationären Fahrt voraus überlagert. Aus Fourier-Analysen der Kräfte und

Ver-schiebungen wurden die hydrodynamische Massenmatrix (Kräfte pro

Beschleu-nigung) und die Dämpfungsmatrix (Kräfte pro Geschwindigkeit) bestimmt. Für

das Schiff ohne Fahrt voraus ergab sich gute Ubereinstimmung zwischen

1200 900 600 300

v/mi

160 120 80 40

lj

1 _{2 3} 160 120 80 40 -40 -30 -20 -10 rn35{23mj O Abb. 4. Elemente der hydrodynamischen Massenmatrix bei _{U = 2m/s} = 2irg/w = Länge Radiationswelle Meßwerte o Rechnung (Standard) D Rechnung (H-Methode)

Fahrt voraus mit _{F,. = 0,4.}

m24 bezeichnet_{beispielsweise die 2.}

Krafticornponente (querschiffs) infolge_{von und dividiert}

durch die 4.

Beschleunigungskomponente (Drehbeschleunigung um Längsachse).

n24 bezeichnet das_{entsprechende Element} der Dämpfungsrnatrix.

Nicht angegebene Elemente wurden nicht_{gemessen (mit}

Indexen i und 6) bzw. sind

Null wegen der Symmetrie des Schiffes. _{Auch hier} zeigt sich, daß die hauptsächlich

von senkrechten Kräften verursachten _Elemente von beiden Rechnungen

gut getroffen werden, während_{die von waagerechten}

i 24 m44[m2J o o_o 60 m3a[Ic} o D 18 45

0

12 30 6 15

lJ

-8 1 2 m53[IiTjm} e O 3 48 1 m55[1gm2] 2 3 D -6 36 OD -4 B 24 O -2 12

Je) ute nte ent Iii t ier Tite

Blume Katamarane im Seegang

Welle 3 6000 fl22[ldI3}0

800-l24[m/S]

800 fl42[Jm] O OD OD 4500 D 0 600 D0 600 D° D D 3000 - . C 400

_.0

400 c

°

1500 - 200 200 Arn} [rn]

\tTf

100 1 2 n44[Am2/s1 3 80 1 2 -3 120 1 2 Ti:i5 [kg rn/s[ 3 DO g o 'o O 60 - OD 90 D O 50

..

O 40 60 25 . D 20 30

lI

,/A[m] 1 2 3 n53[Iogm/s] i 2 ?55 {IcS'm2/31 3 1 2 3 -100 - _.c 60 D D _g -75 Q O 45 - .g D o D -50 30 - A = 2irg/w = Länge Radiationswelle -25 15 Meßwerte o Rechnung (Standard) D Rechnung (11-Methode) 1 2 3 1 2 3

Abb. 5. Elemente der hydrodynamischen Dämpfungsmatrix bei U = 2m/s Spantkräften dominierten Elemente nach beiden Methoden zu groß berechnet werden. (Bei den re1aiv großen Abweichungen in m53 muß man beachten, daß

m53 sehr klein ist; Abweichungen der Massen bei großen Wellenlängen, also gerin-gen Frequenzen, spielen für die Bewegungerin-gen kaum eine Rolle, weil die

3.4 Interpretation

Es ist kein Grund dafür erkennbar, daß beide Berechnungsmethoden _{im Rahmen}

der Potentialtheorie wesentliche Fehler bezüglich der horizontalen, aber nicht

bezüglich der vertikalen hydrodynamischen_{Kräfte machen. Im Gegenteil:} bei den vertikalen Kräften heben sich für die in der Wasserlinie_{eingeschnürten} Quer-schnitte z.B. Froude-Kriloff.. und Diffraktionskräfte weitgehend auf» so daß die relativen Fehler hier eher größer erwartet wurden. Die kleinen_Unterschiede

zwi-schen den beiden

Berechnungsmethoden zeigen auch, daß die Wechselwirkung

zwischen der stationären und _{der periodischen Umströmung,}

die nur bei der

H-Methode detailliert erfaßt wird, wenig Einfluß auf die Ergebnisse_{hat. Die großen}

Fehler in den berechneten _{Horizontalkräften deuten daher auf}

viskose, von der

Potentiaitheorie nicht erfaßbare

Kraftanteile infolge von Strömungs-Ablösungen hin. Daß Ablösungen bei horizontalen Bewegungen stärker als bei vertikalen

auf-treten, ist zu erwarten. Aus

_{Messungen der Widerstands- und}

Massenbeiwerte

an periodisch uinströmten Kreiszylindern

(Morison-Koeffizienten) ist außerdem bekannt, daß sich im Falle großer Bewegungsamplituden kleinere_{Massenbeiwerte}

als nach der Potentiaitheorie_{ergeben. Daß sich solche Effekte}

bei Fahrt voraus so viel stärker als ohne Fahrt voraus ausprägen, ist denkbar, aber_unerwartet.

Durch Lösen der Bewegungsgleichung _{(39) alternativ mit berechneten}

und

ge-messenen Erregerkräften, Massen und Dämpfungen wurde der Einfluß_der

Ab-weichungen auf die Bewegungen des SWATH für zwei Verhiltnisse _Wellenlänge

zu Schiffslänge (1,6 und 2,5) für den _{Begegnungswinkel 1500 bei F = 0,4} un-tersucht. Es zeigte sich, daß sich die Fehler in den erregenden Kräften und in

den hydrodynamischen Massen und Dämpfungen im allgemeinen fast aufheben. Ausnahmen bilden nur die Rollbewegung bei der größeren_{Wellenlänge (um 20%}

überschätzt) und die Querbewegung _{bei der kürzeren Wellenlänge}

(fast doppelt

so groß wie real berechnet; hier ist_{m22 0).}

Schrifttum

Bertram, V. (1990): Ship motions by a Rankine source method. _{Ship Technology Res.} 37, 143 - 152

Dieckmann, ¡J. (1991): Seeverhalten_{eines tragfluigelunterst ützten}

Katamarans. Diplom-arbeit, Institut für Schiffbau

Hachmann, D. (1991): Calculation of pressures on a ship's hull in waves. Ship_Technology Res. 38, 111 - 133

Hachmann, D. und Söding, H. (1993): Bewegungen und Belastungen von Doppeirumpf-schiffen unter Berücksichtigung _{nichtlinearer Einflüsse. Interner Bericht.}

Söding, H. (1988a): Berechnung der Bewegung und Belastung_{von SWATH-Schiffen und} Katamaranen im Seegang. Bericht 483, Institut für Schiffbau

Säding, H. (1988b): Berechnung

des Seeverha.ltens von Doppelrumpfschiffen. Bericht

'Kolloquium 1988' Institut für Schiffbau

Institut für Schiffbau der Universität Hamburg