MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 46, ISSN 1896-771X
117
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO
Roman Szostek
Katedra Metod Ilościowych, Politechnika Rzeszowska e-mail: rszostek@prz.rzeszow.pl
Streszczenie
Celem pracy jest oszacowanie mocy geotermicznego źródła energii cieplnej, gdy energia jest pozyskiwana za pomocą wymiennika ciepła. Przyjęto, że temperatura skał w dużej odległości od wymiennika jest w każdym kierunku taka sama oraz że wymiennik ma kształt kuli. Dzięki temu możliwe jest oszacowanie maksymalnej mocy systemu bez konieczności badania dynamiki rozchodzenia się ciepła w skałach. Praca wymiennika jest analizowana w stanie ustalonym.
Model oraz wszystkie obliczenia są wynikami autora artykułu
.
ESTIMATION THE POWER OF GEOTHERMAL SOURCE
Summary
Aim of this study is to estimate the power of geothermal source energy when the energy is obtained by means of a heat exchanger. It is assumed that the temperature of rocks at large distances from the heat exchanger in each direction is the same, and that the exchanger is in the shape of the sphere. This makes it possible to estimate the power of the system without having to study the dynamics of propagation of heat in the rocks. The system is analyzed in steady state.
The model and all calculations are the author's results.
1. WPROWADZENIE
Uważa się, że źródłem energii cieplnej znajdującej się wewnątrz Ziemi są głównie rozpady promieniotwórcze. Stosowane są obecnie metody eksploatacji zasobów tej energii bazujące na wykorzystaniu wody znajdującej się w głębokich szczelinach skalnych, która posiada temperaturę powyżej 65° Celsjusza (energia geotermalna).
Wymuszany jest obieg tej wody w zamkniętym układzie, w którym woda ta transportuje energię cieplną z wnętrza Ziemi na powierzchnię. Uzyskana w ten sposób energia może być wykorzystywana do produkcji energii elektrycznej, podgrzewania budynków lub w procesach technologicznych.
Wykorzystywanie wody mającej bezpośredni kontakt ze skałami ma znaczący wpływ na awaryjność tych systemów, ponieważ skały ulegają rozpuszczeniu w wodzie. Taka woda może być bardzo agresywna chemicznie. Dodatkowo następuje wytrącanie
minerałów w przewodach, wymiennikach, zaworach i pompach systemu. Wpływa to w znaczący sposób na koszty eksploatacji systemu i ich awaryjność. Systemy takie mają ograniczoną wydajność energetyczną, gdyż mogą służyć do pozyskiwania energii cieplnej tylko ze stosunkowo małych głębokości, na których występują szczeliny z wodą.
Alternatywnym, obecnie perspektywicznym, źródłem energii odnawialnej jest ciepło występującego w skałach nieprzepuszczających wody, głównie granitach, znajdujących się na dużych głębokościach powyżej 5000m (energia geotermiczna). Temperatura skał na tej głębokości może sięgać nawet 350°. Dzięki umieszczeniu na dużej głębokości pod powierzchnią Ziemi szczelnych wymienników ciepła możliwe będzie pozyskiwanie dużych ilości energii przy pomocy doprowadzonej z powierzchni wody, która nie będzie miała bezpośredniego kontaktu ze skałami. Woda
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO
118
będzie krążyć w obiegu zamkniętym i może być wcześniej uzdatniona. Dostępne dzisiaj technologie pozwalają na wykonanie odwiertów o głębokości 6000m i dużych, kilkumetrowych, średnicach potrzebnych do wprowadzenia wydajnych wymienników.Instalacje pozyskiwania energii z dużych głębokości będą bez wątpienia kosztowne. Konieczne jest więc wykonanie modeli całego systemu oraz przeprowadzenie symulacji jego działania, aby zminimalizować straty wynikające z niewłaściwego wykonania instalacji.
2. MODEL I JEGO ANALIZA
Przyjęto, że na dużej głębokości Ziemi został umieszczony wymiennik ściśle przylegający do skał.
Wymiennik ma kształt kuli o promieniu R1. Przepływ wody przez wymiennik jest regulowany w taki sposób, że skały bezpośrednio przy wymienniku mają stałą w czasie temperaturę T(R1). Dla uproszczenia przyjęto, że temperatura w odległości R2 >> R1 od środka wymiennika jest taka sama w każdym kierunku wymiennika i wynosi T(R2) > T(R1). To właśnie te odległe gorące skały są źródłem energii cieplnej.
Sytuacja jest przedstawiona na rys. 1.
R
1R R+ ∆ R
∆Q
Rys. 1. Wymiennik o promieniu R1 umieszczony wewnątrz skał
Pracujący wymiennik ciepła powoduje schłodzenie skał w swoim otoczeniu. Ciepło do wymiennika napływa przez grubą warstwę skał. W stanie ustalonym temperatura skał w każdym punkcie jest stała w czasie t., tak więc, strumień ciepła ∆Q/∆t przepływający w kierunku wymiennika przez każdą sferę nie będzie się zmieniał w czasie t. Jednocześnie z prawa zachowania energii wynika, że strumień ciepła
∆Q/∆t nie będzie zależał od promienia R sfery. Jest więc
Δt t) ΔQ const(R, t)
(R, Δt
ΔQ = = (1)
Ciepło przepływające przez sferę w jednostce czasu
ΔR
T(R)]
ΔR) [T(R λS(R) Δt
ΔQ ⋅ + −
= (2)
gdzie:
S(R) – powierzchnia sfery o promieniu R, T(R) – temperatura w odległości R od środka wymiennika,
λ [ 2 K m
m W
⋅
⋅
] – współczynnik przewodnictwa cieplnego skał (z założenia skały są jednorodne).
Moc wymiennika wynosi więc:
t) const(R,
ΔR T(R)]
ΔR) 2[T(R R λ 4π Δt M ΔQ
=
=
− +
⋅
=
=
(3)
Jeżeli ∆t→0, wtedy na podstawie (3) jest:
dR dT(R) R2 λ 4π
M= ⋅ (4)
2dR R M 1 dT(R) λ
4π ⋅ = ⋅ (5)
∫
⋅
∫ =
⋅
R
R1 T(R)
1) T(R
2dR R M 1 dT(R) λ
4π (6)
−
⋅
=
−
⋅
R 1 R1 M 1 1)]
T(R [T(R)
4ππ (7)
Ostatecznie otrzymuje się:
1) T(R R 1 R1
1 λ 4π
T(R)= M ⋅ −
+
(8)
W odległości R2 >> R1 od środka wymiennika temperatura skał jest stała i wynosi T(R2). Z tego warunku brzegowego i na postawie (8) można wyznaczyć moc M wymiennika. Wystarczy do (8) podstawić T(R)=T(R2) oraz R=R2, otrzymuje się wtedy:
R2 1 R1
1
1)]
T(R 2) [T(R 4ππ M
−
−
⋅
= (9)
Po wstawieniu (9) do (8) otrzymano
1) T(R R 1 R1
1
R2 1 R1
1
1) T(R 2) T(R
T(R) ⋅ − +
−
−
=
(10)Tak więc rozkład temperatury skał T(R) nie zależy od współczynnika przewodnictwa cieplnego skał λ.
Przykładowy wykres temperatury T(R) został przedstawiony na rys. 2.
Roman Szostek
119
Rys. 2. Wykres funkcji temperatury T(R) dla R1=100m, T(R1)=200°C, T(∞)=900°C
Ponieważ R2 >> R1 ,więc można na podstawie (9) przyjąć, że
R1
1)]
T(R 2) [T(R 4ππ
M≅ − ⋅ (11)
Wynika stąd, że moc M wymiennika jest proporcjonalna do promienia wymiennika R1.
R1
~
M (12)
3. OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA
GEOTERMICZNEGO
Przyjęto, że współczynnik przewodnictwa cieplnego skał (piaskowiec, kwarcyt, granit, anhydryt) wynosi:
C m
m 3 W
λ 2
°
⋅
⋅
≅ (13)
temperatura skał w dużej odległości od wymiennika równa się:
C 900 )
T(R2 = ° (14)
temperatura skał bezpośrednio przy wymienniku jest stabilizowana do wartości
C 200 )
T(R1 = ° (15)
Wtedy na podstawie (11) moc wymiennika wynosi [W]
R 26376 R
200]
[900 12π
M≅ − ⋅ 1 = ⋅ 1 (16)
Moc wymiennika, dla przyjętych wartości, przedstawiono na rys. 3.
Rys. 3. Zależność mocy wymiennika od promienia R1
Tak więc, aby uzyskać moc 2,6 MW, konieczny jest wymiennik o promieniu co najmniej 100m.
4. WNIOSKI
W pracy [4] przedstawione są rozwiązania równania ciepła w układzie ze środkową symetrią dla różnych warunków brzegowych. Równanie to jest modelem procesów przejściowych w systemie, który jest analizowany w tej pracy. Ponieważ rozwiązania te mają złożoną postać, więc trudno jest na ich podstawie oszacować metodami analitycznymi moc systemu. Przedstawiona w pracy analiza stanu ustalonego pozwala na oszacowanie mocy źródła geotermicznego metodami analitycznymi.
W pracach [2] oraz [3] przedstawiono informacje na temat energii zgromadzonej w gorących skałach oraz perspektywy pozyskania tej energii w przyszłości.
Jak zostało wykazane w tej pracy, moc geotermicznego źródła energii cieplnej zależy w stanie ustalonym od promienia wymiennika w sposób liniowy. Dlatego, aby uzyskać duże moce wymiennika, konieczne jest zastosowanie stosunkowo dużych wymienników.
Zwiększenie promienia wymiennika k razy powoduje wzrost jego powierzchni k2 razy.
Wydawałoby się, że moc wymiennika powinna być proporcjonalna do tej powierzchni wymiennika.
Jednak jak wynika z analizy przyjętego modelu, moc wymiennika nie jest proporcjonalna do powierzchni wymiennika, tylko do jego promienia. Efekt ten jest skutkiem wpływu dużych warstw skał, które stanowią barierę dla napływającego ciepła.
W rozważanym modelu przyjęte zostało, że temperatura skał w dużej odległości od wymiennika jest taka sama w każdym kierunku. W rzeczywistości wysokie temperatury będą występować w skałach położonych poniżej wymiennika, skąd będzie napływała energia cieplna. Skały położone powyżej wymiennika nie będą źródłem energii. Tak więc moc rzeczywistego wymiennika będzie niższa niż moc oszacowana przy pomocy rozważanego modelu.
Dlatego otrzymaną moc w postaci zależności (11) należy traktować jako górne oszacowanie mocy możliwej do uzyskania w rzeczywistym wymienniku.
0 100 200 300 400 0
2 4 6 8 10
R
1[m]
M [ x 10
6W]
0 R
1=100 500 1000 0
10 T(R
1) =2 30 40 50 60 70 80 T(∞) =90 T(R)
R [m]
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO
120 Literatura
1.
Leja F.: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2012.2. Kozłowski R.H., Żakiewicz B.M.: Large capacity energy from Geo - Plutonic formation for power plants with zero CO2 emissions. “Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering” 2010, 43/2, p. 790-795.
3. Kozłowski R.H.: Geothermic power plants of high capacity - how far? “Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering” 2011, 49/2, p. 573-576.
4. Polyanin A. D.: Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. Chapman &
Hall/CRC, 2002
5. Mac S.: Termodynamika. Warszawa: WSiP, 1980.
Proszę cytować ten artykuł jako:
