1. Niech A = {2k + 1 | k ∈ Z} i niech +, · oznaczaja odpowiednio zwykªe dodawanie i mno»enie liczb.

Egzamin

Elementy algebry i geometrii analitycznej 31.01.2018

1. Niech A = {2k + 1 | k ∈ Z} i niech +, · oznaczaja odpowiednio zwykªe dodawanie i mno»enie liczb.

T N (A, +) jest grupa;

T N · jest dziaªaniem wewnetrznym w zbiorze A;

T N (A, ·) jest grupa;

T N + jest dziaªaniem wewnetrznym w zbiorze A;

2. Czy podana para stanowi grupe?

T N (Z, ·) T N (R, ·) T N (Q

, +) T N (R \ {0}, +)

3. Dane sa permutacje σ =  1 2 3 4 5 6 5 6 1 3 4 2



, π =  1 2 3 4 5 6 1 3 6 2 5 4

 . T N σ = (1, 5)(1, 4)(1, 3)(2, 6) ;

T N σπ = πσ ;

T N π jest cyklem dªugo±ci 5;

T N σ = (2, 6)(1, 5, 4, 3) ; 4. Niech z = −1 − √

3i , w = −10 − 10 √ 3i . T N arg z =

;

T N z · ¯ w = 40 ; T N arg z = arg w;

T N z

jest liczba rzeczywista;

5. Niech A, B ∈ M

(R).

T N mno»enie A · B jest wykonalne;

T N A

∈ M

(R);

T N rzad macierzy B mo»e by¢ równy co najwy»ej 4;

1

T N dla dowolnego λ ∈ R, λ · A ∈ M

(R);

6. Niech A ∈ M

(R), przy czym det A = 0.

T N dla dowolnej macierzy B ∈ M

(R), det (A · B) = 0;

T N dla dowolnej macierzy B ∈ M

(R), det (A + B) = det B;

T N A

jest macierza odwracalna;

T N rz (A) ≤ 3;

7. W przestrzeni wektorowej R

rozwa»my wektory u = (1, 1, 1), v = (−2, 1, 0), w = (0, −1, 0) .

T N wektory u, v, w sa liniowo niezale»ne;

T N wektory u, v, w generuja R

;

T N podprzestrze« Lin (u, v) jest izomorczna z przestrzenia M

(R);

T N (−1, 2, 1) ∈ Lin (u, v);

8. Rozwa»my przestrze« wektorowa R

[x] .

T N zbiór B = {2, x, 3x

, −x

} jest baza tej przestrzeni;

T N podana przestrze« jest izomorczna z R

;

T N zbiór wielomianów stopnia 3 jest jej podprzestrzenia;

T N R

[x] = Lin (x

, 1, x

, x) ;

9. Niech U = {(x, y, z, t) ∈ R

| x + y + z − t = 0} i niech w = (1, 0, 1, 1).

T N U jest podprzestrzenia wektorowa R

; T N (4, −1, −5, −2) ∈ U ;

T N ∀u ∈ U u + w / ∈ U ;

T N ∀λ ∈ R (λ · w ∈ U ⇒ λ = 0);

10. Dane jest odwzorowanie liniowe

T : R

→ R

, T (x, y, z) = (x + y, x − y).

T N Ker (T ) = {(0, 0, 0)};

T N wektory T (1, 0, 1), T (1, 1, 4) sa liniowo zale»ne;

T N (2, 3) ∈ Im (T );

T N Ker (T ) jest podprzestrzenia R

;

2