• Nie Znaleziono Wyników

1. Niech |z| > 1. Pokaż, że lim n

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Niech |z| > 1. Pokaż, że lim n"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Funkcje analityczne #3 Funkcje analityczne #3 Funkcje analityczne #3

1. Niech |z| > 1. Pokaż, że

n→∞lim

n

X

k=0

zk = ∞.

2. W których punktach funkcje

Re z, z Re z, x2y2, |z|2, x2+ iy2, 2xy − i(x2− y2) są holomorficzne?

3. Pokaż, że dla każdego n ∈ Z funkcja f (z) = zn jest holomorficzna na swojej dziedzinie i znajdź jej pochodną. Czy funkcje te mają pierwotne? Jeśli tak, to znajdź je.

4. Znajdź pochodne funkcji sh z, ch z, esh z.

5. Rozwiń funkcję Żukowskiego w szereg potęgowy wokół a = i. Znajdź miejsca zerowe funkcji Żukowskiego, jej pochodnej i jej drugiej pochodnej.

6. W obszarze Ωα definiujemy dla ustalonego a ∈ C potęgę:

za = ea logαz.

Pokaż, że funkcja f (z) = za jest holomorficzna i oblicz jej pochodną. Sprawdź, że ea logαz

ea logβz = e2kaπi. Czy k ∈ Z zależy od z?

7. Niech będzie dana funkcja f = u + iv : C \ {0} → C. Niech g(r, ϕ) = f (re) = U (r, ϕ) + iV (r, ϕ). Pokaż, że f jest holomorficzna iff

∂U

∂r = 1 r

∂V

∂ϕ oraz ∂V

∂r = −1 r

∂U

∂ϕ.

8. Sprawdź, że funkcja fα(re) = ln r + i argαϕ jest holomorficzna na Ωα.

9. Niech f będzie holomorficzna w obszarze Ω. Pokaż, że jeśli Re f (z) jest funkcją stałą w Ω, to f jest funkcją stałą w Ω.

10. Niech f będzie holomorficzna w obszarze Ω. Pokaż, że jeśli |f (z)| jest funkcją stałą w Ω, to f jest funkcją stałą w Ω.

11. Wszystkie wartości funkcji holomorficznej f na obszarze Ω leżą na ustalonej pro- stej. Udowodnij, że f jest stała.

12. Niech f = u + iv będzie holomorficzna w obszarze Ω i niech u(z) = F (v(z)), gdzie F ∈ C1(R). Pokaż, że f jest stała. W tym celu zróżniczkuj równość u(x, y) = F (v(x, y)), zastosuj równania Cauchy’ego-Riemanna i wyciągnij wnioski.

(pg) (pg) (pg)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ile różnych deserów może z tego sporządzić ekspedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem..

Uwaga, dwa sposoby usadzenia uważamy za takie same, jeśli w obu sposobach każda z osób ma tych samych sąsiadów zarówno po lewej, jak i prawej stronie..

Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i

Pokaż, że test R 2 > c jest równoważny te- stowi ilorazu wiarygodności dla modelu liniowego

Pokaż, że u jest funkcją harmoniczną na

Przypomnij dowód równoważności definicji ciągłości Cauchy’ego i Heinego i zaadaptuj go do przypadku jednostajnej

Dlacze- go pierwsze dwa szeregi nie są zbieżne jednostajnie na całym przedziale [0, 2π]?. Podstaw x n

Udowodnij, że punktowo zbieżny ciąg nieujemnych funkcji har- monicznych jest zbieżny jednostajnie na każdym zbiorze zwar-