beda topologiami na zbiorze X. Poka», »e odwzorowanie identyczno±ciowe (X, τ) → (X, τ

Topologia II: ¢wiczenia 3

1. Niech τ, τ

beda topologiami na zbiorze X. Poka», »e odwzorowanie identyczno±ciowe (X, τ) → (X, τ

) jest ciagªe wtedy i tylko wtedy, gdy τ

⊂ τ .

2. X jest przestrzenia topologiczna taka, »e dla ka»dej przestrzeni topo- logicznej Y ka»da funkcja f : X → Y jest ciagªa. Poka», »e topologia na X jest dyskretna.

3. Y jest przestrzenia topologiczna taka, »e dla ka»dej przestrzeni topo- logicznej X ka»da funkcja f : X → Y jest ciagªa. Poka», »e topologia na Y jest trywialna.

4. Odwzorowanie, które przeksztaªca zbiory otwarte na zbiory otwarte nazywamy otwartym. Odwzorowanie, które przeksztaªca zbiory do- mkniete na zbiory domkniete nazywamy domknietym. Podaj przykªad:

(a) odwzorowania otwartego, które nie jest ciagªe;

(b) odwzorowania domknietego, które nie jest ciagªe;

(c) odwzorowania ciagªego, które nie jest ani otwarte, ani domkniete;

(d) odwzorowania ciagªego, które jest otwarte, ale nie jest domkniete;

(e) odwzorowania ciagªego, które jest domnkiete, ale nie jest otwarte;

(f) odwzorowania ciagªego, które jest i otwarte i domkniete.

5. Podaj przykªad przestrzeni X, Y i ciagªej bijekcji f : X → Y takiej, »e f

nie jest ciagªa.

6. Niech X i Y beda przestrzeniami topologicznymi. Poka», »e X i Y sa homeomorczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja ciagªa f : X → Y taka, »e (1) f jest bijekcja, (2) zbiór U jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy f(U) jest otwarty.

7. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna i niech G(X) oznacza zbiór wszystkich homeomorzmów f : X → X. Poka», »e G(X) jest grupa.

Dla x ∈ X przyjmijmy

G

(X) = {f ∈ G(X)|f (x) = x}.

Wyka», »e G

(X) jest podgrupa grupy G(X).

8. Poka», »e je»eli Y jest podprzestrzenia przestrzeni X i Z jest podprze- strzenia przestrzeni Y , to Z jest podprzestrzenia X.

1

9. Wyka», »e podprzestrze« przestrzeni metryzowalnej jest metryzowalna.

10. Przypu±¢my, »e S jest podprzestrzenia przestrzeni X. Poka», »e in- kluzja S → X jest funkcja ciagªa. Poka», »e topologia przestrzeni S jest najsªabsza (tzn. ma najmniejsza ilo±¢ zbiorów otwartych) spo±ród topologii, przy których inkluzja S → X jest funkcja ciagªa.

11. X jest przestrzenia topologiczna, S jest podzbiorem, i : S → X oznacza inkluzje. Na zbiorze S wprowadzamy topologie taka, »e dla ka»dej przestrzeni Y i dowolnego odwzorowania f : Y → S mamy:

f : Y → S jest ciagªa ⇔ funkcja i ◦ f : Y → Xjest ciagªa.

Poka», »e topologia na S jest topologia indukowana przez topologie przestrzeni X.

12. Poka», »e podzbiór (a, b) przestrzeni R z topologia indukowana jest homeomorczny z R.

13. Niech X i Y beda przestrzeniami topologicznymi i niech S bedzie pod- przestrzenia przestrzeni X. Udowodnij, »e je»eli f : X → Y jest od- wzorowaniem ciagªym, to równie» odwzorowanie f|

: S → f (S) jest ciagªe.

14. Poka», »e podprzestrzenie (1, +∞) i (0, 1) przestrzeni R z topologia zwyczajna sa homeomorczne.

15. Poka», »e S

\ {(0, 0, . . . , 0, 1) } jest homeomorczne z R

.

2