f (x) = 3 cos(x − π/4) dla |x| < 3π/2, px + q dla |x| ≥ 3π/2 była ci¸ agła na zbiorze R.

Analiza Matematyczna Zestaw C

Zadanie 1

Prosz¸e dobrać wartości parametrów p, q tak, aby funkcja

f (x) =  3 cos(x − π/4) dla |x| < 3π/2, px + q dla |x| ≥ 3π/2 była ci¸ agła na zbiorze R.

Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie

lim _x→3π/2

3cos(x − π/4) = lim _x→3π/2

(px + q) = p3π/2 + q- wynika równość 3 cos(3π/2 − π/4) = 3pπ/2 + q sk¸ ad −3 √

2/2 = 3πp + q , p = − √

2/π, q = 0 Funkcja f (x) jest ci¸ agła dla p = −

√ 2

π i q = 0.

Zadanie 2 Prosz¸e obliczyć

x→∞ lim

 x ² + 2 x ² − 2

 2x

. Rozwi¸ azanie

x→∞ lim

 x ² + 2 x ² − 2

 2x

= lim

x→∞

"



1 + 4 x ² − 2

 (x

−2) # 2



1 + 4 x ² − 2

 4

= e ⁸ · 1 = e ⁸ .

Zadanie 3 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim

 1

√ n ⁴ + 1 + 1

√ n ⁴ + 2 + . . . + 1

√ n ⁴ + n



Rozwi¸ azanie

Dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność

√ 1

n ⁴ + 1 ≤ 1

√ n ⁴ + 1 + 1

√ n ⁴ + 2 + . . . + 1

√ n ⁴ + n ≤ n

√ n ⁴ + 1

1

n→∞ lim

√ 1

n ⁴ + 1 = lim

n→∞

√ n

n ⁴ + 1 = 0 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach

n→∞ lim

 1

√ n ⁴ + 1 + 1

√ n ⁴ + 2 + . . . + 1

√ n ⁴ + n



= 0 Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = √

6x ² − x ³ na przedziale [-2, 5].

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wartości funkcji f na końcach przedziału wynosz¸ a √

32 i √

25.

Współrz¸edne punktu krytycznego funkcji f : f ⁰ (x) = 12x − 3x ²

3 p(6x

² − x ³ ) ² = 0 ↔ x = 0 ∈ [−2, 5], x = 4 ∈ [−2, 5]

Zauważmy, że liczba 0 nie należy do dziedziny pierwszej pochodnej funkcji D _f

= R\{0, 6}

nie może wi¸ec być brana do zbioru wartości funkcji, choć należy do przedziału [−2, 5].

St¸ ad f (4) = √

32 = 2 √

4. Wartości¸ a najmniejsz¸ a funkcji f na przedziale [−2, 5] jest √

25 ( wartość funkcji w prawym końcu przedziału), wartości¸ a najwi¸eksz¸ a √

32 = 2 √

4 (wartość funkcji w lewym końcu przedziału lub jej maksimum lokalne ).

2