• Nie Znaleziono Wyników

. 1. Niech R b¦dzie pier±cieniem Dedekinda. Udowodni¢, »e je±li Spec(R)

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share ". 1. Niech R b¦dzie pier±cieniem Dedekinda. Udowodni¢, »e je±li Spec(R)"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

Pier±cienie Dedekinda, Lista 8

Niech R b¦dzie dziedzin¡, (A, 6) grup¡ abelow¡ uporz¡dkowan¡ i K = R

0

. 1. Niech R b¦dzie pier±cieniem Dedekinda. Udowodni¢, »e je±li Spec(R)

jest sko«czony, to R jest PID.

2. Zaªó»my, »e I

1

, . . . , I

n

E R. Wtedy:

(a) √

I

1

· . . . · I

n

= √

I

1

∩ . . . ∩ I

n

= √

I

1

∩ . . . ∩ √ I

n

,

(b) Je±li I

1

, . . . , I

n

s¡ P -prymarne (tzn. dla ka»dego i 6 n, I

i

jest prymarny oraz √

I

i

= P ), to I

1

∩ . . . ∩ I

n

jest P -prymarny.

3. Niech v : R\{0} → A b¦dzie funkcj¡ tak¡, »e dla ka»dych a, b ∈ R\{0}

v(ab) = v(a) + v(b), v(a + b) > min(v(a), v(b)).

Udowodni¢, »e v jednoznacznie przedªu»a si¦ do waluacji v

K

: K

∗

→ A . 4. Niech v : K

∗

→ A b¦dzie waluacj¡, x, y ∈ K i a ∈ A. Udowodni¢, »e:

(a) A jest beztorsyjna, (b) a 6 0 ⇔ −a > 0,

(c) v(1) = 0, v(x

−1

) = −x , v(−x) = v(x), (d) v(x) < v(y) ⇒ v(x + y) = v(x).

5. Niech v : K

∗

→ A b¦dzie waluacj¡. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) R

v

jest PID.

(b) R

v

jest noetherowski.

(c) v(K) jest izomorczna z (Z, 6) (jako grupa uporz¡dkowana).

6. Udowodni¢, »e ka»dy pier±cie« waluacyjny jest normalny.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 97.09 KB )

Powiązane dokumenty

1. Zaªó»my, »e K ⊆ M jest algebraiczne. Udowodni¢, »e ka»dy homomor-

[r]

1. Niech f ∈ R[X] \ {0}. Udowodni¢, »e je±li R jest dziedzin¡, to mamy

Udowodni¢, »e z jest liczb¡ algebraiczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ¯z (liczba sprz¦»ona) jest liczb¡

2. Niech I P R oraz M b¦dzie R-moduªem. Udowodni¢, »e R/I ⊗

Niech A b¦dzie torsyjn¡

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i R b¦dzie pier±cieniem.

[r]

R jest pier±cieniem.

Poda¢ przykªad niezerowej pot¦gi ideaªu pierwszego, która nie jest ideaªem

1. Niech P b¦dzie ideaªem pierwszym w R. Udowodni¢, »e (izomorzm R -algebr)

[r]

2. Dla jakich pier±cieni R, pier±cie« RJX K jest waluacyjny?

Udowodni¢, »e je±li pier±cie« R jest lokalny, to pier±cie« RJX K jest równie» lokalny.. Dla jakich pier±cieni R, pier±cie« RJX K

Niech R b¦dzie pier±cieniem.

Udowodni¢, »e I jest ideaªem prymarnym wtedy i tylko wtedy, gdy I jest pot¦g¡ ideaªu