• Nie Znaleziono Wyników

Niech R b¦dzie pier±cieniem.

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Niech R b¦dzie pier±cieniem."

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

Pier±cienie Dedekinda, Lista 6

Niech R b¦dzie pier±cieniem.

1. Niech I C R. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) Ideaª I jest prymarny.

(b) W pier±cieniu R/I ka»dy dzielnik zera jest elementem nilpotent- nym.

2. Niech P b¦dzie ideaªem pierwszym R i n ∈ N

>0

. Udowodni¢, »e

√

P

n

= P.

3. Niech I, J b¦d¡ ró»nymi ideaªami maksymalnymi R i n, m ∈ N. Udowod- ni¢, »e

I

n

+ J

m

= R.

4. Udowodni¢, »e je±li I C R jest prymarny, to √

I jest pierwszy.

5. Niech I C R i zaªó»my, »e √

I ∈ Max(R) . Udowodni¢, »e ideaª I jest prymarny.

6. Poda¢ przykªad R i I CR, takiego »e √

I ∈ Max(R) oraz »e dla ka»dego n ∈ N mamy I 6= ( √

I)

n

.

7. Poda¢ przykªad R i ideaªu prymarnego, który nie jest pot¦g¡ »adnego ideaªu pierwszego.

8. Poda¢ przykªad R i ideaªu pierwszego P w R i n ∈ N

>0

, takich »e P

n

nie jest ideaªem prymarnym.

9. Niech R b¦dzie pier±cieniem Dedekinda i I C R. Udowodni¢, »e I jest ideaªem prymarnym wtedy i tylko wtedy, gdy I jest pot¦g¡ ideaªu pierwszego.

10. Niech R b¦dzie pier±cieniem Dedekinda i S ⊆ R podzbiorem multyp- likatywnym. Udowodni¢, »e R

S

jest pier±cieniem Dedekinda lub ciaªem.

11. Udowodni¢, »e ka»dy wªa±ciwy podpier±cie« Q jest pier±cieniem Dedekinda.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 81.04 KB )

Powiązane dokumenty

2. Niech a ∈ R. Udowodni¢, »e a jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego b ∈ R, je±li b|a, to b ∼ a lub b ∈ R

Znale¹¢ wªa±ciwy ideaª pierwszy Z[X], który nie jest

Niech R b¦dzie pier±cieniem przemiennym z 1 oraz

Udowodni¢, »e RJXK z dziaªaniami podanymi na wykªadzie jest pier±- cieniem przemiennym z 1.. Udowodni¢, »e R[X] jest

Niech R b¦dzie pier±cieniem przemiennym z 1.

Znale¹¢ wªa±ciwy ideaª pierwszy Z[X], który nie jest

Niech R b¦dzie pier±cieniem przemiennym z 1 i K b¦dzie ciaªem.

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów

Niech R b¦dzie pier±cieniem przemiennym z 1 i n ∈ N

[r]

Niech R b¦dzie pier±cieniem przemiennym z 1 i K b¦dzie ciaªem.

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów

1. Niech f ∈ K[X] i deg(f) ∈ {2, 3}. Udowodni¢, »e f jest nierozkªadalny wtedy i tylko wtedy, gdy Z(f) = ∅.

Niech p b¦dzie

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i R b¦dzie pier±cieniem.

[r]