Analys av skaleffekterna genom beräkning av gränsskiktet för 5.5 m R-Yachten ANTIOPE

R-YACHTEN ANTIOPE

Examensarbete för civilingenjörsexamen 1915

av

Hans Lidn

Gösta Saum

Institutionen för Skeppshydromekanik

Chalmers Tekniska Högskcla

AN±V[JYS AV SKALEFFEKTERNA GENOTI BERÄKNING AV GRÄNSSKIKTS-STRÖNNINGEN FÖR 5. 5 I'UTERS R-YACHTEN ANTIOPE

s íd

INNEHLLSFÖRTECKNING SUIIARY IN ENGLISH i BETE CKNINGAR/SYI'IBOLS 6 INLEDNING 8 TEORI 9

5.1

Potentialströrnning

9 5.1.1

Allrnänna samband

9 5.1.2

Friktionsfri ströinning

10

5.1.3 Potential & strömfunktionerna

10

5.1.4

Singularitetsmetoden

12

5. 2

Grnsskiktsströmning

15

5.2.1

Allinänt

15

5. 2. 2

Ekvationer för 2-dirnensionelit fall

16

5.2.3

Skjuvspänningar

16

5.2.4

Beräkring av 2-dimensionelit gränsskikt

17

5.2.5

Berökning av 3-diinensionelit gränsskikt

19

5.2.6

Integralmetoden

22

5.3

Omsiag

24

5.3.1

Ngra definitioner

24

5.3.2

Inverkan av

Reynold's tal 24

5.3,3

Inverkan av friströnisturbulens

25

5.3.4

Inverkan av tryckgradienten

25

5.4

Avlösning

27

5.5.

Notstând

2$ 5. 5. 1

Beräkning av C

28

5.5.2

Forrnfaktor

30

6.1 Skrovgeometri och försöks'cetingelser 32

6.2

Beskrivning av dataprogran 34

6.2.1

Anvnda datanrogram 34

6.2.2

Douglasprogrammet (Hess & Smith's metod) 34

6.2.3

GEON 1 & 2 37

6.2.4

Berkning av laminärt gränsskikt och omsiag för rota- 38 tionskroppar SSPA Program 191

6.2.5

Integralmetod för beräkning av tredimensionella tur- 40 bulenta gränsskikt. SSPA Program 185

6.2.6

Head's entrainmentteori SSPA Program 102 41

6.3

Bearbetning av utdata 42

6.3.1

Laminärt omrâde 42

6.3.2

Turbulent omrâde 43

6.3.3

Beräkning av viskösa motstândet CV

6.3.4

Övriga gränsskiktsparametrar 44

6.3.5

Beräkningar med modifieraci Granviliemetod 44

6.4

Övriga beräkningar 45

RESULTAT OCH DiSKUSSION 47

7.1 Variationen av C, SN, Cf och 5 47

7.1.2

Viskösa motstândets 'oeroende av SN 47

7.1.3 Viskösa underskik±et ¿

7.1.4

Variation av

Poch 5

48

7.2

Notstândskarvor och jämförelser 49

Jämförelse av k-faktorer 50

7.4

Tur'cuiensstimuiering 51

7.5

Felanalys 53

7.5.1

Nel i indata 53 7.5.2 Pci i förutsättningarna 53

7.5.3

Fel i inätningar

7.5.4

Räkneexempei

SLUTSATSER/

ooNci,usIo1s

FIGURES, TABLES AFD DIAGRS

SLUTORD REFERENSER

sid

514 514

55/56

57.-92

93 924

present in tank-testing of the 5.5 metre

yacht Antiope.

The work has been carried out by two

last years students

under the sponsorship of the

Division of Ship Hydromechanic

at Chalmers University of Technology

and the Swedish State Shipbuilding Experimental Tank (SSPA).

Use has made of various computer programs

available at

SSPA including two new computer programs

developed by

Lars Larsson as part of a doctors

thesis: one for

stream-line-tracing and one for the calculation of

three-dirnensio-nal turbulent boundary-layers.

This summary will only deal with the later

part of the paper wherein the

calculations are dealt with. Mention

of general theory contained in chapter 5 will thus be

omitted.

Hull geometry is defined by the offsets

in table IV, re-ference /

i /. The hydrostatic data from the same

reference

was used to obtain other test condition parameters - see

section 6.1.

The following computer programs have

been used:

SSPA Program 132 is the well-known Douglas Program for

the calculation of the potential flow.

SSPA Program 177 och

i8

are two new programs developed by Lars Larsson / 3

I.

GEOM 1 traces the streamlines by using the velocity

vectors from the Douglas Program.

Interpolation and

use of the Runge Kutta method

yield the streamline coordianets,

GEOM.2 then calculates the curvatures K12

och K21 and C along éach streamline.

3. SSPA Program 191 for the calculation of the laminary

boundary-layer and transition for bodies of

revolu-tion. This program uses the metric coefficient h2 as

radius in the body of revolution.

4

_{SSPA Program 185 - Integral method for the calculation}

of the three-dimensional boundary-layer - solves the

equations (146) and (147) written in curvilinear

coordinates obtained from GEOM 1 and 2 together with

the Entrainment relation (149).

5. SSPA Program 102 - Heads Entrainmentteori - is similar

to SSPA Program 191.

The calculations have been carried out in two steps.

First the laminary flow has been calculated with program

191 which gives the point of neutral instability -SN- and

C

along the streamlines. The turbulent calculations have

been started at SN with the values there as starting

values for the turbulent programs.

For the different Rns (different scales) four different

calculations have been carried out:

Direct numerical integration of laminar and turbulent

Cf along the stream-lines. (C)

A case of simulated turbulence stimulation. where the

turbulent boundary layer has been supposed

to start as in the case with Rn = v.14146 x 106. (C . ).

Vstim

An equivalent body of revolution according to Granville

/ 8

/ has been used but the boundary-layer has been

cal-culated as described above. To obtain

Cv the momentum area

at the end has been extrapolated to infinity according

to Granville / _{8 1. (CVGI).}

For comparison, C

from the boundary layer calculations

in (c) was integrated as in (a). (CVGII).

In addition to the calculation of the viscous resistance

coefficients as described above, various interesting

boundary-layer parameters have been selected and plotted

along- some of the stream-lines.

Results:

Figure 2 and diagram

O show the mador influence of

the pressure gradient upon the transition of flow.

Streamlines are shown in figures 1 and 5.

Diagram 26 shows the mean Cf-values along the hull and

it is easily seen how the transition affects the local

friction. The variation along four different

stream-lines are shown in diagrams 22-25. The distribution of

integrated viscous resistance along the hull is shown

in diagram 1.

In diagram 27 C

as a funtion of Rn is given. Two

points for 'siriiulated"

turbulence stimulation are given and it

is easily seen, that Hughes friction line is somewhat

steeper for low Rns and in general lower than the

cal-culated values, which indicates existance of a form

effect.

The thickness ofThe viscous sub-layer is given

non-dimensionally for four different stream-lines and

six Rn's in diagrams 28-31.

In diagrams 32-35 the boundary-layer thicknessis

given

nondimensionally. It is seen, that the boundary-layer

thickness reaches a maximum thickness cf about 2 % of

the ships length or about 13 cm for the lowest Rn and

stream-line 12. This gives justification to the

assump-tion, that the pressure resistance is negligable as a

first anproximation

Particularly satisfactory

is the comparison between the

ca'culated cross-flow and the visualization of

the flow in figure 28, reference

i

7

7.

At the rudder, one can

estimate the upward flow to be about 13 decrees in

figure 28. The calculatIons give for the same position

(stream-line 6

and section 13) a cross-flow angle of about

three degrees of angle for the streaniline in potential

flow - fig

_{.. Experiment and calculation show as near}

perfect agreement as possible!

The Prohaska Plot in diagram 141 gives a form factor of

about 0.20 - 0.21 to be compared to

_{our result of}

0.12 for the full scale. See table 2!

In diagram 143 our calculated "stimulated" viscous

resi-stance coefficient can be compared to five different

resistance curves obtained by HSMB and Deift towing tests.

Curves of Fn = constant have been drawn. Most conclusive

is the observation, that towing tests give wide-spread

results at low Fu, which must be attributed t

_problems

ìn obtaining correct turbulence stimulation.

For above mentioned reasons, the resistance

curves for

tests without turbulence stimulation are given together

with our calculated C in diagram 145. This diagram is particulariy

interesting not only in the respect that

it shows good agreement between tank-testing

and

calcu-lation but for another fact: Tank tests give widely

spread

results just in the Rn-interval where calculations

_show that there is a break-down in the laminar flow arrourad

the hull. It mustbe expected that this Rn-interval dynamic

effects will occur when the laminar flow

arca is on the

verge of break-down. It may even be conceivable that

calculation could give information

on what Rn-intervals should be avoided in model-testing, or at least give

indi-cation of where results must be regarded with

great care.

In diagram 146

_{the residuary resistance coefficients}

_are

plotted for four different model scales.

_{CR has been based}

upon the calculated viscous resistance coefficient C.

In this representation, it becomes

even more conclusive how

unreliable the scale 1:3 becomes

_{as a result of the mentione} dynamic effects!

In tables 1 and 2 the calculated viscous restistance

coeffi-cients and the corresponding

_{form factors are given.}

section 1.3!

Apiece of arithmetic concerning the k-factors will be

given here in hope that it will stimulate the

discussion:

Starting from a k-value of 0.20 for the full scale obtained

by the Prohaska plot in diagram 4l, the following

reductions

can be made: Blockage correction can be set to 0.015.

A pressure resistance correction amounting to 0.03 can

be derived from kr and k assuming that the average

Gli

difference between these two k-factors can be attributed

to pressure resistance.

The calculated k-factors is 0.12 which leaves us with an

unaccounted 3.5%. This remainder could perhaps be explained

in terms of appendix drag from the rudder-hull-connection

and other effects.

3 SYMBOLS

A Sectional Area/sektionsarea

Cf Skin Friction Coefficient/friktionskoefficient

CT Total Resistance Coefficient/totalmotstândskoefficieflt

C Pressura Coefficient/tryckkoefficient

Viscous Resistance Coefficient/viskös motstndskoef-ficient

C Wave Making Resistance

Coefficient/vâgbildningsrnot-111

stândskoefficient

d Draft amidships/djupgâende midskeDps

daf

Draft at AP, FP/djupgâen.de över AP, PP

Fn Froude Number/Froudetalet (U/gL)

H12 Boundary Layer Shape Factor/formparameter för

grns-skiktet

k Hull Form Factor/formfaktor

L Length/längd

Ldl

Datum Water Line Length/konstniktionsvattenlinjelö.ngd

Lti

Test -"- -"- -"- /testvattenlinjel.ngd

p Pressure/tryck

Radius of Equivalent Body of Revolution based on AI /radie rnotsvarande sektionsarean

r Radius of Equivalent Body of Revolution based on

Peri-p _{meter Length/radie motsvarande perimeterlängd av spant}

S Wetted Surface/vât yta

s Perimeter Coordinate/periineterkoordinat

t Trim between AP and PP/trim mellan perpendiklarna

U Velocity outside Boundary Layer/hastighet utanför

gränsskiktet

Ship Speed/fartygets hastighet

u x-component of Velocity within the Boundary Layen

xkoíupnent av hastigheten irom grnsskiktet u

e i-component of Velocity at Edge of Boundary Layer/

,rnponirt av hastigheten vid gränsskiktets rand

XYZ Cartesian Coordirates of Hull/Skrovfast koordinatsy-stem

C1 ,. Transverse Derivative in Boundary Layer Bquations/ tvärderivator i grän:.! ktsekvationerna K12,K21 Curvature of Stream-: Ström- och potentiaL h1 2 Metrics referred to - --system/metrikkoefficien-ter i x,y-systemet

Wall Crossflow Angle ömsvinkel w

ô Boundary Layer Thick sskiktstjockiek

2 Displacement Thickne

trngningstjccklekar

Viscous Sublayer Thi' viskösa underskiktets tjocklek

Ship Displacemcnt/dej aient

Momentum Thicknesses/iu1sförlusttjocklekar

Dynamic Viscosity/dynamisk viskositet

V Kinematic Viscosity/kinematisk viskositet

p Densi ty/tö.thet

Velocity Potential/potentialfunktionen

Stream FuncLion/strömfunktionen

Momentum Area of Body ol' Revolution/Impulsförlus±-area för rotationskropp

T Shear Stress/skjuvspänning

ô

V

nd Potential Lines resp.! rvaturer respektive.

INLEDN ING

De traditionella metoderna för förutsägelser orn fartygs mot-stnd i vatten baserar sig p. Fraudes antagande, att

rnotst.n-det kan separeras i en friktionsdel och en restmostndsdel,

vilka följa var sin skalningslag.

Under mânga âr kunde man nöja sig med detta synsätt, icke

minst tack vare de rnängder av erfarenhetsdata, sam ansamlats och kunde appliceras i form av korrektionsfaktorer vid nya

f ör sö k.

Senare ârs drastiska f örändringar av sâväi former som dimen-sioner has fartyg har ftt de traditionella grundvaiarna att

vackla. Det stâr ocksâ kiart, att det är otillfredsställande i längden att enbart angripa korrektionsfaktorer öch

korrela-tionslinjer. Det stora och svârbernästrade pro'oiemet med skai-effekter har understrukit behovet aV att närma sig motstânds-'problemet med ett synsätt mer prägiat av förstielse fár dess

fysikaliska natur, än färdighet att väija rätt kcrrektioner.

Föreliggande examensarbete, sam utförts under ledning av tekn.

dr. Lars Larsson avser studium av strömningsfältet kring ett

fartygsskrov med specielit avseende pâ 3kaleffekter.

Sorn objekt har valts en

_5,5

meters R-yacht - ANTIOPE - av anledningar, nämligen deis därfär att mânga försök gjorts med olika modell- och fuliskalor och jämförande data därför finns tillgängliga och dels därför att skrovets slankhet gör det specielit lämpligt sam testobjekt för det av L. Larsson

ut-veckiade dataprogrammet för beräkning av trediniensioneila

gräns-skikt.

Pd detta vis erhâlies förhcppnngsvis ett mâtt Pd ovannämnda

dataprograrns kapacitet, samtidigt corn jämförelser kan anstäl-las fÖT strömningen vid olika modeliskalor.

5. TEORI

5.1 Potentialströmnin

5.1.1

A1.lnänna sam'band

Strömningen i en fluid kan beskrivas med hastighetsvektorn w

= (u,v,w)

f(xfy,z,t)

Newton's kraftekvation 'dir pa vektorform

F = ,F ) = m y z

Pa komponentform kan (2) skrivas enligt (3), dr högerleden

r summan av masskrafter, tryckkrafter och friktionskraf-ter: Navier-Stokes ekvationer öu au 8u

- + u - +

V + W

-at

3x oy 2 2 1ÒD OU

ôu

au

X--± v(+a-±-)

3v 8v 8v

- + u - +

V - +

w-- =

äz 2 2

iöo

a-v

3v

3v

Y-+

3w 3w 3w

+ u - ± y - + w

ax ay 2 2 2

12

Y)

- p az

32

r

Vidare har vi kontinuitetsekvationen

+ +

-òy âz

-so:. med p konstant och stationärt tillstnd ger

3v aw + r -- =

ox

_ay

z

(i)

Ekvationerna (3a,b,c) och (5) bestämmer nu strömningsfltet.

5.1.2 Friktionsfri strömning

lo

-Prandtl f

ann,

att strömnin'sfältet kring en kopp kan inde-las i ett yttre omrdc, där .friktionskrafterna inte inverkar

och i ett inre där strömningen är friktionsbehäftad. I d.et

förra gäller allts., att man kan sätta ' = O i ekvationerna (3a,b,c). 0m vidare strömningen är stationär, gäller att:

Ur (3a,b,c) er

lies

dâ Eulers ekvationer:

¿Ii eu au

u - v

+ _{= X} -âx öy oz

pôx

3x

3'

az

p ay

3w 3w 3w 1 ap u --

+ V -- + W -

=

Z

-äz

pöz

Antager man vidare, att strömningen sker enbart i t.ex. x-led

- dvs r

= (u,O,O) -

s ger (6a,b,c):

1 3D

u'=X---

_pôx

varur efter integration erhâlles

2

pu /2 _{+ +} p gh = kons't

vilket är Bernoullis ekvation.

5.1.3 Potential- och trömfunktionerna

0m ett medium är rotationcfritt existerar en funktion

- ?otentialfunkt.ionen - sâdan att:

=

(u,v,w)

₍

-a -.

) =

grad

(7)

a2 ä2

2ö2ä2

-

-X

y

z

Ekvation (10) är en iinjär dìfferentiaiekvation, vilket bland annat betyder, att man kan superponera olika iösningar. Ett önskat strömningsfält kan all ts. framstälias genom

superposi-tion av elementära strönnigsfalJ se nedan

Strömfunktionen definieras därav, att hastigheten i en viss riktning erhâlles genom derivering av strömfunktionen

vinkel-rätt ât vänster.

Vidare är ju hastigheten vinkelrätt mot en strömlinje lika med

noii, varför derivatan längs strömlinjer är nell. Av detta

inses, att är konstant längs varje strömlinje

För potentialfunktionen gäller pa motsvarande vis, att den är

konstant vinkeirätt mot strömlinjerna och linjer med konstant

kallas för potentiallinjer.

12

-Vr strömfunktionen kan hastiEheten erhâllas enligt:

i

çu;v)

-Vidare gö.11er Laplace's ekvation för strömfunktionen orn me-diet är rotationsfritt

5.1.4

Singularitetsmetoden

I1ed singularitetsmetod avses alimänt en simulering av ett

strömningsfält genom superposition av olika elemetä.ra

ström-ningsfall. ITedan beskrives ko:ctfattat teorien för en program-merbar singularitetsmetod.

z

Figuren visar en tredimensioneli kropp i parallellströmning. Genom kropen strömmar medium red känd hastighet F i

normal-riktni.ngen . 0m w är den hastighet kroppen inducerar fâs

hastigheten:

ru = - (13)

För r definieras en potentialfunktion genom:

Potentialfunktionen mte atisf jera Laplace' ekvation vacför

v2

::-O (15) Randvillkoren r ' är Pâ kroppsytan - LT = grad = = Jco - F

Pâ o.ndligt avstând. f rn kroppen

grad 0

(17)

I"Ian kan fuma ett , som satifierar ekvationerna (15)

-(17) genom att belä.gga kroppsytan med källor och sankor.

Potentialen hos en källa med källstyrkan V är

=V/2nr

Antag at ytan är täckt av en kontinuerlig fördelning av

källor och sänkor med källstyrkan 2t per ytenhet.

Bidraget d till potentialen i P P.g.a. källorna a-'(c!) o-ver ds blir d:

=

r (p, qJ

(ie)

Genom integration erhl1es sâl.unda potentialen i punkten P

fT

dds

jr

ds (19)

Nu är (19) en iösning till (15) som satisfierar

(17)

för alla

'. Kä1lsyrkan löses ur randvillkoret (i6), scm ju

Fö punizten

p =

q blir has tigheten o.ndiig d intrffar

en sigularitet - varav nanmet Einguiaritetsmetod.

Enligt

Kellogg g..iler vid ytan S

)

(20)

Termen -27t' r bith'aget fran ett infiniteirnalt oirâde P. Ned randviJlkoret (16) fs

27c'(p) -

if

j ( ) ds = (p) Qrco F (21) Penna ekvation ger ='(q). Ekvationerna

(21)

och (19) ger potentialen och hastigheten bestäms genom derivering av

5.2 GrLnsskiktsströmning

5.2.1 Allrn.nt

Innanför dot friktionsfria omrâdet är ströniningen friktions-behäftad. Därvid utbilda ott gränsskikt, vilket fräinst styrs av tryckfördeiningen och friktionen.

För en plan piatta kan gränsskiktet schematiskt indelas enligt

figuren nedan:

arnnärt ornsLag

turbuLent

Omsiaget mellan laminärt och turbulent gränsskikt pverkas

främst av ytans skrovlighet, tryckfördelningen och den s.k.

friströmsturbulensen. Denna sistnämnda definieras scra RiIS-värdet av den turbulenta hastighecskomponentens variationer dviderat med medeihastigheteri.

a1u = u') (22)

u

Härvici ansättes genereilt hastighetr och tryck enligt:

p = ± p

där t.ex. hastigheten u besUr av en medeihastighete och en därpâ överlagrad, stokastiskt förde].ad turbulent el u.

5.2. 2 Ekvationsr för 2-dirnensioncilt fall

Navier-Stokes ekvationer (a,b,c) ger med ansatserna (21)(22) och motsvarande för

y

och w de ekvationer son 'estämer

gräns-skiktet. 0m

massterinerna

X,Y och Z saopas kan man förenkla de sâ erh.11na ekvationerna genom att slopa temer av lägTe

stor-i ek sordnstor-ing.

Betraktas det tvâdimensionelia failet fâs d:

- + =

a(T')

p 3x

_ô2

ay

p aY

(25b) ger att medeltrycket ¶ ir konstant genom grmnskiktet och det tvdimensionella turbulenta gränsskiktet. bestäns dâ

av (25a).

5. 2. 3 Skjuvspänninar

I clot viskösa underskiktet erhâlles viskösa och turbulenta skjuvspmnningar - i det helt turbulenta skiktet erhilles

en-das t turbul en ta sk juv spänningar.

-Neilanledet i (27) är endast en analogi med (26) varigenoni

den turbulenta viSkositEten e definierafl.

i

16

-\<vi5k

oflq

«tu

rb

v/

76

(Schematisk fördeinin av mom ett turbulent ränsskìkt

pâ en plan piata.)

5.2.4 Beräkning av 2-dimensionelit gränsskikt DI FFERE SIIETO D:

Kontinu.itetsekvationen (5) blir med hastighetsuttryck sors

(2)

- + ;:;- = O

äx c,y

(25a,b) ger sedan lösningen xn.h.a. (27) och (28).

INTEGRALMETOD:

Denna bygger pâ integration av (25a) genorn gränsskiktet fr.n

tin ô.

Härvid införes följande legrepp fJr beskrivning av

gränsskik-tet:

Pörträngningstjockieken definiei'as sâ att massflödet blir lika i det verkilga fallet och ett fall, där vägen flyttas ut en sträcka och gränsskikt saknas.

u/

/U

Konstant mas sfiöde kräver nu:

pf( -r--

dy =

pf

dy p ldy - [ idy o C) f

f

1y

₌ ô ₌

f

(i ufue)dy o o i

Impuisförlustt,jockleken 9

Grä.nsskiktet

medför en

förlust av rörelsemngd (mv) dvs. en

impuisförlust p.g.a.

hastighetsprofilen.

Ett idealierat fail antages

nu, d.r

den verklia impuisförlusten eher mel-lan vggen och ett avstànd fran denna.

I

-

18

-of(i

/ue) _{/ue d:r =} 1

-( ='-(i _/ue)edy

l"ormfaktorn H12

definieras corn kvoteìi mellan föri;rängningstjockleken och

im-pul cförlusttjockleken

1

12 )

Integreras nu ekvation (2.), fr man:

°' H

dx 12- ue dx 2

çd\

T i f

1?

i 2 PUe .

P a

Förutom (27) behövs dâ ytteligare tvâ ekvationer. bru-kar dâ uttryckas empiriskt on en funktion av H12 och G H12 erhâlles siutligen ur nâgon h.jälekvation - vanliger

en-trainmenbekvationen.

.5.2.5

Beräkning av -dimensionella gränsskikt

Det tredimensionella gränsskiktet skiijer sig fân det

tvâ-dimensionella i sâ mâtto, att tryckgradien.ter uppkommer tvärs strömlinjerna. Härigenom uppkornmer tvärströmnings-komponenter, varvid strörnlinj en kröker lateral t.

Varje medieeiements järnvikt bestäms äâ av de pâ detta

ver-kande tryck- och centrifugaikrafterna.

z

X

(Hastighetsprofiler längs resp. tvärs strömiinje)

För beräkningsändamâl införe s ett kroklinjigt koord

natsy-stern med x-aeln längs strörnlinjeriia och y-axeln längs Do-tentiall njIrna. z-axeln lägges ortogonalt mot x-- och y-axl ama.

dY\

-r

z

- 20

pot

nt fat

nje r

r

ri

A

Vidare införs zìetrikkoefficienerna

h1, h2,

h för att òe-teckna det kroklinjiga koordinatsysternets töning i , y

resp. z-lcd.

Genom att gränsskihtet är tunt i förhJ.lande till n.gon för

ströningen relevant referens1äng antages z-axein vara

rät-linjig och riktacl i

ytnorinalens riktning. Sâlunda blir

h3 = i

medan

h1 och h2 'our funktioner av x och y.

h1 = h1(x,y)

n2

=

h(x,y)

För ett gocityckligt geleient ds i gränsskiktet gäller dâ:

2 , - 2

= (n1Qx) -+. n2uy) + (az)

Längs en strörnlinje 'our dà t.ex.

cis = hìx

Viare iriföres de dmensions1öa krökningarna

K12 och K21 enligt: K i 12

h1h2

öy

i

öh2

- 21 -

h1h2

3x

Grnsskiktsapproximitionen av

Navier.Stokes

ekvationer

f.r

dâ formen: (Jfr (25))

++

-K)

h1 òx h2 ay oz 12 ¿1 Ue - h1 dUe 1 dTx ô:': p dz h1 OX 2 ± (u - 2)K12 =

äzp

-och kontinuitetsekvationen (h2 )

± -

(h1 V) ±

-

(h1 h. ) = o I ekvationerna (33a, 0) är

TT

T

=p

(y -: -.

) =

p (y

-(33a)

Liksom vid leräkningen

av tvdirnensione11a gr.nsskikt kan

ber-kningsmetoderna hnföra5 till huvudsakligen tvâ

meto-der: di2fei'ensnietodr och inegralmetoder. ITedan ges en kortfattad

beskrivning

av integralmetoden enligt Lars Lars-son/3/.

Ekvationerna (31a,b) integreras i

z-lcd, va'vid

man erhâi-1er sex nya parametrar - Jf r

5.2.4.

= (i -

(37a)

-pV

= - J

-

(.LZ o e11 = (i -Ue dz e12 (i- dz e21 _-

f -

dz O Ue c _-2 -

f

L

dz O U

Införes hastighetspotentialen sor oberoende variabel i stället för x kan man skriva impulsintegralekvationerna:

'-i-e + h2 + + Cf'7 + h91 '22

o21

_òC22 uc +

- + 291

_{:-;:- + '21)}

- K12 (

+ 0 22 + =

-

_L

-5.2.6

Integralrnetoten

I ekvationerna (38) och

(39)

r höerleden komponenterna av friktionen. T är väggskjuvpänningsvektorn.

1 2

C T

rx,y

e

Ekvationerna (38) och

(9)

innehâller ammanlagt sju «be-kanta. Fern av dem är integrrilkvantiteterna

(.7

a,c,d,e,f). De övriga tvâ är friktionskomponenterna (40).

Eftersom vi endast har tv ekvationer men sju obekanta, krävs

ytterligare fern samband. Dessa utgöres ay: en hjälpekvation

ett friktionssamband

en antagen uppsättning hastinetsprofiler

Hjälpekvationen kan erhllas genom att antaga, att

formfak-torn H12 är konstant eher genoin andra metoder. Se Lars Larsson,

/3/.

För friktionssambandet finns vid tredimensionella beräkningar

fiera alternativ, vilka ursprungligen härletts frân

tvâdirnen-sionell strömnin. För referens, se Lars Larsson,

/3/

Aven f ör hastighetsprofilerna finns flera antaganden och föreslagna metoder, sorn kan komma till använthing - se Lars

Larsson

/3/

för referens.

5.3

Omsiag

5.3.1

Nâgra defiriitioner

Omsiag mellan larninrt och turbulent gränsskikt sker i ett

omrâde snarare

n i en punkt.

Den Itomsiagspunkt, sors

verk-ligen erhâiles i ett visst fall, sestarns av fiera ftktorer,

varav de viktigaste är Reynold's tal, Rn, ytans skrovlighet

samt tryckgradientens riktning och belopp.

Det säkert, laminära onrâdet karaktäriseras av att

gränsskik-tet, dâ det utsättes för en yttre störning eher annan defekt

i strömningen, äger förmâga att stabilisera sig säiv'b.

Pâ rnotsvarande vis karaktäriserar vi det säkert turbulenta

omrâdet pâ sâ vis, att larninär strömning är omöjiig under

alla förhâlianden.

Den första möjiiga punkt för omsiag är den punkt där

ns-skiktets förmâga till självstabiiisering uprhört - cien

neu-trala instahilitetsounkten - SN - och efter viikcr vnrje

störning resulterar i omslag.

Den sista Dunkt vid vilken larninärströrsning r möjlig under

ideaia förhâlianden kahlar vi punkten för självgenererat

orn-slag, ST.

24

-Sâlunda begränsas omrâd.et för ornsiag av desea tvâ punkter:

Dunkterna för neutral instabihitet och självgenererat

orn-slag.

5.3.2

Inverican av Reynold's tal

För vissa bestärnLa strömningsf ali brulcar mari räkna med att

omelag sker vid vissa Rn.

För rörströnming, där Rn baseras

p

rördiametern - Rnd - 'orukar man räkna med omsiag för

Rn,

_,krltlsk

2300 trots att omsla kan eke mom intervallet

Rn kan ocksâ baseras pâ gränsskiktets tjocklek t.ex. dess

förträngningstjocklek

1

För det speciella fallet att ytterströrnningen saknar fr1-strömsturbulens, ytan är helt slät samt tryckgradienten

noii, f.s

Rn

3x1O

x kritisk

ô1kritisk3

X

Härav fâr man t.ex. för en pian piatta, att

}rit Xkrit 1O

5.3.3

Inverkan av friströmsturbulens Tu Rn

Friströmsturbuiensen har avgörande inverkan pâ

omslagsomr-dets luge. Redan vid. 1%-.iga Tu-värden (se ekvation(20)) frarnflyttas omslagsomrdet till hälften mot O-ig

friströms-turbulens.

Enligt Granville gäller, att 2% Tu flyttar omsiaget till SN.

5.3.4

Inverkan av tryckgradienten

Som regel gäller, att en negativ tryckgradient i

strömnings-riktningen stabiliserar gränsskiktet

medan

en positiv tryck-gradient ger ett instabilare gränsskikt.

Att sâ är fallet inses t.ex. för ett fartygsskrov genom

föl-jande resonemang:

Vid PP har man en stagnationspunkt och Bernoullis ekvation

ger dâ ett tryckmeximum. Efter PP har man en negativ tryck-gradient - dvs f allande tryck i strömningens riktning - var-vid vattenpartikiarnas hastighet ökar enligt 3amma lag. M

strömningen sâ smâningoin nr förliga skuidran byter

S. länge tTyckradienten är negativ har den alltiâ en

stab!-liserande inverkan vars belopp bestämmer omsiagets läge till-sammans med Rn och de övriga nämnda faktorerna.

U

-5.4

Avlösning

Dâ trvckgradienten vrixlar tecken och 1örjar öka minskar

cam-tidigt hastigheten utanför gränsskiktet. Hastighetens andra-derivata i gränsskiktet byter tecken samtidigt corn tryckgra-dienten för att ocks. den öka, vilket innebär, att

hastighets-profilen blir spetsigare vid. väggen. Härvid bromsas medium i gränsskiktet och dâ hastig'netsgradienten Mir noii inträder

avlösning. Ef ter tryckgradientens teckenbyte tiliväxer ocksâ gränsskiktet i tjockiek.

0m man - soin i vârt fall - först be:äknat potentiaiströmnings-fältet och vid. beräkningen av gränssskiktet finner att detta förtjockas i sâdan grad, att avlösning kan rnisstänkas eher att den utförda potentialströmningsberäkningen upphör att vara

giltig- ja, d& mâste potential strömningsberäkningen göras orn med hänsyn till det förtjockade gränsskiktet. Givetvis Mir

gränsskiktsapproximat.ionen mycket gov med stora f ei till föijd.

De program och metoder, corn komner till användning i deta

ar-bete, förutsätter sâväl att avlösning inte inträffar soin att gränsskiktet inte undergâr nâgon alivarlig förtjockning i

28

-5.5.

Notstnd

Ett skrovs zots-Lând beror i huvudsak av de visk5sa kraterna

i vattnet och i vâgbi1dningn.

Med vedertagna beteckningar

kan man skriva:

CT(lin, Rn) = C (Fn,Rn) + c(rn,Rn)

(41)

Nu betraktas enbart det viskösa inotstândet.

Dâ vâgbiidning

förekominer inverkar detta pâ dot viskösa motstândet genom

bi.a. ändr'ad tryckfördelning och vattenyteform.

Det viskösa

motstândet kan dâ uppdelas och man kan skriva:

C

(Rn) = C (Rn, Rn) - C'(Fn

vo

y

y

(42)

där C' beror av vâgbiidningen och C

kan tolkas som

gräns-vrdet av C

dâ Fn-FO.

I det följande avses med C

just

V V

detta C. Se t.ex. Granville /6/.

C

kan experirnentelit 'oestämmas genom modellförsök.

Vid

mycket lâga Fn erhâlles tyvärr ofta stor spridning i

för-söksdata sammanhängande bl.a. med svârigheten att mäta smâ

dragkrafter, skaleffekter ni.m.

Se även 7.4

Turbulensstimu-i erTurbulensstimu-ing.

5.5.1

Beräkning av

Bet viskösa motstândet bestâr deis av ett rent

frikLionsrnot-stând (skin friction) och deis av ett tryckmotfrikLionsrnot-stând.

Let

f örra hänför sig till de viköca krafterna i gränsskiktet

medan de senare uppstâr genoui gränsskiktet

tiiiväxt i

ström-ningsriktningen.

Därför crhâiìes i verkligheten

potential-strömning icke kring dot egentliga skrovet utan kring ett av

gränsskiktet expanderat skrov.

En konsekvens av detta

för-hâliande är, att dot integrerade värdet av

tryckkomDonten-terna i verkligheten inte blir noii.

Skilinaden är

Föi' teorstiska boräkningar av det viskösa inotstândet finns

olika metoder beroend.e pâ strömningsfallet:

tvâdiinensionellt,

rotationssymmetriskt eher alimänt tredimensionehlt.

Nedan

beskrivs tre förekominande metoder varvid. förutsättes, att

ay-lösning inte sker.

Tv&dimensionell kropp

0m gränsskiktet

eräknats kan Squire-Youngs formel

an-vändas:

O =2(a)

_{V L x=L}

()(HL+5)

_{Uc x=L}

där

H =

och

x = L vid. AP

Rotationssymetrisk krop

Tryck och friktionsmotstând beräknas separat.

För en

gi-ven tryckfördelning kan friktionsmotstndet beräknas via

gränsskiktcekvationerna genom integration av C

över

krop-pen.

(43)

Granvihle /8/ föreslr formeln

C

= 47Q/s

(i-î+2'iq -f.

u

l+q

där Q=

_{x=L U ':t=L}

och

= r

O

För q =

i

erhâhles samma exponent som i

_(43).

Granville

anser, att q >1 ger bättre överensstämmelse med

experi-mentehla värden.

Q

är impulsförlustarean extrapolerad

till

.

Tryckmotstând ingâr alltsâ.

Alirnän tredimensionehl kroDp

30

-0m den verklia tryckf6rdeiningen .r känd, kan den lätt integreras i länsied ever kroppen, varvid tryckmotstân-deL erhâlles.

0m den verkliga tryckfördelningen däremot är okänd, kan man beräkna en teoretisk tryckfördelning m.h.a. t.ex.

Douglasmetorlen. 0m hänyn skali tagas till gränsskik-tets tiilväxt, är man hänvisad till att iterera sig fram:

En antagen tryckfördelning gor via

gränsskikLsberäkninar-na ett' gränsskikt, vars förträngningstjocklek lägges till kroppens koordinater. En ny t.ryckfördel.ning bestämmes fOr denna kropo och tt nytt gränsskikt beräknas. Förfarandet upprepas tills önskad överensstämmelse mellan ansatt och

erhâll en tryckfördelning erhâlle s.

Den erhlina tryckfördelningen ger nu ett tryckmotstând,

sors tar hänsyn till det verkliga gränsskiktet. Lägges härtill det integrerade v.rdet av Cf erh.11es kroppen

viskösa niotstând.

5.5.2

Formfaktor

Förh.11andet mellan ett skrov viskösa motstnd oc'n motsva-rande "ekvivalenta" plattas friktionsmotstând brukar uttryckas

med den s.k. formfaktorn k, vilken definieras ay:

(i + k) _{= CV/CF} (45)

Formfaktorn skulle d uttrycka motstrdsökningen, dâ en piatta bltstes upp till ott visst skrov. Enligt Hughes har varje skrov en konstant och secifik formfaktor. Dat är- emellertid kiart, att formfaktorn är en funktion av Rn, vilket l.a. vi-sas i detta arbete.

Den ekvivalenta plattan hestäms av korresponderande area och

flLOfl

ekvivaìent längd. For Lartyg brukar donna variera mel-lan 0.7 och i av vattenlinjelängden beroende p. källan.

Ett annat stt att b:kna fomfaktorn

.r det o.k. Px'ohaka-plottet. Vgbi1dningsnottndet antas proportioneilt mot

fjärciepotensen av Froudetalet. Genom att plotta C/C som funktion av Fn4/C och extrapolera karvan till O erhâlles

6. BERK1INGAR

6.1 Skrovgeometri och försöksbetingelser

Hösten

1965

utfördes en serie försök vid NSRDC med Antiope. Ref

/7/.

En linjeritning av Antiope urpgjordes d& pâ

foto-grafisk väg. Denna lg till grund för tiliverkning av en serie modeller i skala 1:6. Data orn desca modeller finns i Ref. /1/. Fran rnätningarna i den slutliga linjeritningen uppgjordes hydrostatiska data av Herreshoff and Karwin Inc.

medeist et't datorprograrn.

Utgâende frân dessa mätningar gjorde vi en spantruta i skala

1:2, där samma spantdelning och nuinrering användes.

För att erhâlla bättre noggrannhet i indata till Douglaspro-grammet uppgjordes dessutom linjeritningar för kölen samt för-. och akternektionerna i skala 1:2 samt inlades halvsrant.

Nellan modellens Th!L ornräknad till fuliskala och Aatioo-DVi

skilde 0.1 fot. Dâ vi använt modellens utslag till spantru-tan, beslöt vi att även använda modellens mâtt i övrigt.

Ned deplacernent och trim taget frân testkondtionen vid NSRDCS försök använde vi Herreshof & Kerwints hyc'ostater för att 'ne-räkna medeldjupgâende och LCR. Djupgâendet för och akter

be-stämdes och en vattenlinje för testflytläget inlades i vâr

spantruta.

Vâta ytan hestämdes genom rnätning av uthredda spantlängderna

och planimetrering.

För att undcrsöka skaleffekterna hestrdes att beräkningarna

skulle utföras för ett antal Reynold' s tal. En skaländring är ju ekvivalent med en ändring av Rn.

Rn med V frân fuliskaleförsöken bestärndes för skala 1:1 och

1:6 vid samma Rn = 0,122 och för skala 1:3 vid Rn =

0,126.

(Rn = 0,122 motsvarar en fart av i rn/s i skala 1:1)

För att erhâlia euiklare räkningar hölls V och L konstanta

ut-scende Thr t.ex. Rn = 1,489 x 106 kan sâledes tolkas som att skala 1:1 körs raed Pn = 0,024, skala

_1:3

med Fn = 0,126 eher skala 1:6 med Fn =

0,357.

Ytterligare tre Bn-värden köra.es

för att erbâhla en srare kurva C = f(Rn).

Anvinda data:

Deplacement; 2561 kg

Längd i konstruktionsvattenhinjen ThÏL = 6,895 m

För de sex ol5ka fallen erhâller man följande iippsttning

vrden: -'z 10 Rn x V = 22,98 Fn Skala 1:1 0,371 Pn Skala 1:3 Fn Skala 1:6 7,z146 0,122

0,632

2,82

0,040 0,211 1,i89

0O24

0,126

0,357

1,241 0,020 0,105 0, 298

0,509

0,008

8,044

0,122 Vât yta * S - l51 'n2 Medeldjupgâende a ni =

1,436 n

Djupgâendc akter da = 1,422 in Djupgâenrle för df =

1,452 in

Trim t = 0,030 ni

Flytcentrums lage LOF = -

0,34 m

Vattentemperatur T = 23,9°C

Kinematiska viskositeten

V, =

0,926 10

-6

34

-6.2

Beskrivniav dtapiograra

6.2.1 Använda datarrograrn

De dataprograrn, om korrmit till användning är:

i. Douglasprogrammet f ör berökn.ing av potentialströmningen,

SSPA,Program 132, Ref. /2/

GEOM 1 & 2 f ör sDrning av strömlinjer och kurvaturer,

SSPA, Program 177, 178, Ref.

//.

t'Beräkning av laminärt gränsskikt och omsiag för rota-tionskroDpar" SSPA, Program 191.

"Integra1reod för beräkning av -bredimensionelia turbu--lenta gräiasskikt" SSPA, Program 185. Se även

/3/.

uHeadts Entrairimentteori", SSPA, Program 102.

6.2.2 Douglasnrogrammet (Hess & Smith' s metod)

Pör teori, se

5.1.4.

För den numeriska lösningen av (19) och (21) approximeras

kroppsytan av etb antal (N) yteleent över vilka källstyrkan

är konstant. Pâ varje eleïiient väljes en punkt (p) där nor-maihastighc-ten är den givna. ör varje punkt r erh&lles

s--lunda en ekvatiorì. där alla (p) ing.r som obekanta. För de N st ytelernenten erhlles da IT st ekvationer varur

käll-styrkorna (p) kan lösas.

I varje puak-t erhlles sedan potentialen gonom summation a

biörager frân alla elementen. Hastigheten erhlles sedan

genom clerivering -

(9).

En tryckkoefficient definieras: p - p00

C -y

p

-pU

Zn N st :e1e1nenten erhâiles genom att ytan indelas m.ha

u.k. m- och n-linje, där n-iinjerria utgöres av spant och m-linjcrna av linjer i kroppens längsriktning. De senare kan väijas relativt godtyckligt men är i huvudsak

vinkel-räta mot n--linjerna.

P.g.a. vissa krav p eementens iängd-breddförhâllande .r

det ibland nödvändigt, att dela skrovet i sektioner, vilka

kan beskrivas p godtyckligt vis orn blott här±syn tages till kontnuitet mellan sektìonerna. För beskrivning av kölen

p. Antiope är en sâdan sektionering nödvändig.

Dâ varje element mâste definieras av fyra hörnpur.kter blir kroppen öppen i för och akter. M örpningarna kan görs

godtyckligt smâ, rnedför detta inget problem. Se Pef. Ï2/.

Indelningen av Antiope gjordes i fern sektioner och 2 x 365

element. Se figiren, som är en 1ot av de koordinater, vil-ka erhölls genom uppmätning av spantrutan p SSPA's

lzoordi-na tb o rd

Akterkant av kölen har gjorts vinkeiritt mot x-axeln genom

spant 13, dâ GEON-prograrnrnet kräver sâdana sektionegränser. Härigenom erhâlles en diskontinuitet nellan skrovet och

kö-len, vilket dock endast medför försambara fel.

Douglasprogrammet gay allts och hastig1i.'tsvektorn f ör

varj e nolipunkt. varigenoi potential strömningsfälte alit-sâ är bestämt.

'-1

/

-

36

-PLOT O COORDINATES OETAINED PROT AT1RF

INTS IN CCT--SF;CTIÇ.TT DRA7TI1T

o

o

ç1 CQ

o

R H H

o

H E.

o

ri

o

/

_¿

/

/1

/

t)

f

I-

t

-f- -f- -f-- -+

+ -s---

-f

O! 0' 0- OD- J 0-- ù!0- Çf- 0!0- OLD--- .Jfl- X-0- 01-

01!- Ol- X'-

_J't-

ODi--13X-Z

t)

6.2.3 GEOM i & 2

Pör att 1öa Navier-Stokes ekvationer

₍₃₃₎

och kontinuitets-ekvationen (34), mâste tryckderivatorna och krknirigarna K12 och K21 längs ström- och potentiallinjerna vara kända. Där-för mste man börja med att bestämma strömlinjernas

koordi-nater.

För dci;ta ändarnâl studeras skrovet i ett koordinatsystem X, Y', Z' vridet ₄₅ grader i förhl1ande till

normalsyste-met.

skrovso kti on

GEON1 utför denna koordinattransformation och projicerar

skrovet pâ XZ'-planet. Med hastighetsvektorerna frn Doug-lasprogrammet som indata interDolerar GEON i fram

hastighe-terna var sam heist pâ kroppsytan. Strörnlinjerna bestäms sedan m.h.a. Runge-Kuttas metod utav villkoret, att ström-linjerna är tangenter till hastighetsvektorerna i varje

punkt. Strömlinjekoordinateriia transformeras sedan tilibaks till X, Y, Z--systemet och utgör utdata frân GEOM 1.

GEOM 2 bcri1mar

sedaìi krökriingarna K12 och K21

samt derivatsn

av C för varje s-trörn1injc Se Dessa- värden utgör sedan indat till det turbulcnt grissik-sprogrammet.

För körning av GNOM mste

startvärden ges för strömlínjerna.

Ned erfarenhet fr,n körningarna ay en Nordisk Pölkbt,

ut-valdes 13 stationer som utgângsrunkt för startvörden.

För

att

erh&lla ngon noggrannhet i interpoleringen m.ste rninst

fyra strömlinjei' startas vid varje station. Startvärdena fâr ej heller ligga

utan.för

nolipunkterna i

Douglasprograrn-met. D&. GEON bara arbetar ed

startvärden

som ligger

i

ett

plan vinkeirätt mot

X-axeln, k3rdes GNON en gâng per station.

Frân GEOiI .1 & 2 erhâlles dâ soin utdata:

strömiinjekoordinater,

längs varje strömlinje samt

krök-ningarna.

6.2.4 Beräkning

av laminrt

gränsskikt och onlag för rotationokroppar SSPA

Program 191

Indata bestâr av h2, se sid 20 , f rân GNON, den dimensionsiösa kvantiteten

U/U,

vilken beräknas med U

frân Douglasprogrammet samt en dimensionsiös bâglängdskoordinat s

längs varje strömlinje.

Ekvationerna

(30) och

₍₃₉₎

skrives om i den oberoende

vari-abeln ds _-

u

= d 9/ds - med benktande av sarnbanden mellan

H,

5, 0.

oeil

0°

o

-(2

+ H ₎ 0G C 21 fr -

tan

₁₃

-2091 i ÔUe

K

Ue O 2i' 12 11 -r _{12 '22} -(i ₁₁₁₂₎

Ç

o

(47)

dr

-Cl _fl2 -e22 - h

"Small cross-flow'7 apDroxirnationen ger, att C1 = C2 = O. Insättes h2 = r, gälier ekvation

(46)

för en rotationskropp, vars adieförelning alltsâ òestäms av str5rnl inj ernas

diver-gens genorn h2. Se fi.gur sid 20

rroet arbetar n med en hastighetsgx-ad!eatpararaeter X

definierad av

dU

= V

ds

Sâväl den använda friktionsiagen som nastighetsprofilen

foi-rnuieras i X. Genom insattning .

(46) mea

C1 = S92 = O

er-hlls en analytiskt integrerbar differenti.alekvation i

para-metern e -impulsförlusttjocklekon.

(e)2

'r

u ds (48)

Ue O

Genon numerisk integration av (48) erh.iis

impulsförlust-tjockleken längs strörnlinjer likE-om friktionskoefficienten

Cf.

Vidare 'oeräknas neutrala instahiiitetspunkten sâlunda, att ett Reynoldstal baserat râ kontinuerligt beräknas. Dâ

skär en i programmet lagrad kurva Rn5 erhâilee neutrala instabilitetspukten SN, vilken använts f ör omsiag

vid beräkningar.

Sam utdata erhlls allts. bl.a.

6.2.5

Integralinetod för heräkning av tredimensionelia turbulenta

gränsskikt.

SSPA Program 185

Detta program löser ekvationerna (46) och (47) med hjälp av

entrai nm en t ekva t ionen:

ciar

dU

Ue

ds

+ K21) + 03

c

3h2

1

öy

Dessutom anvindes Nichels frikticns:amband samt Michele

re-la.tioner f ör hantighetsprofilerna, varigenorn

grönsskiktsek-vationerna blir lösbara. Jmför 5.2.6.

(46) och (47) integreras numeriskt med Runge-Kuttas metod

p. följande sätt:

Ett startvärde ges ât C1 - 0

varefter integrationen sker

ett steg för fern intilliggande strörnlinjer. Efter detta

steg berö.knas C

- C

(soi är tvärderivatorna av °12' 22,

och ô 2)med hjälp av en i programmet inlagd

spiinefunktion".

De erbâlina värdena utgör sedan startvärdena i nästa

itera-tion för samia steg.

Efter konvergens användes lösningen

soi startvärde i nästa steg.

D. vâr skrovform är slank, bar vi istället för detta

förfar-ande använt small-croseflow-approxirnationen där C1

02 =

= C-.

0.

Soi indata gives bâgkoordinaten närmast efter SN

övriga

finns lagrade frân GEOM 1 &

.

Soi utdata erhâlles:

.5,

1

0, °12' 02î

822..

Se ekvation (37), forrifaktorn :d19,

och tvärströmsvinkeln

för varje spant.

(49)

6.2.6

Head's entrainrnntteori SSPA Program 102 Detta program .r1ikt SSPA Program 191.

Det använder ekvation

(46)

_{med C1 = 022 =} 0 och h2 = r där r är rotatiorskroppen radie, samt tv. hjä1pekvationer varav den ena är Ludwieg-Tilirnan's friktionssamband.

/9/.

Den andra är ett uttryck f br forufaktorn erhâilet ur entrain-mentrelationen för en rotationskropp. Indata och utdata är

analoga med vad som tidigare gällt.

6.3

Bearbetnin

av utdata

6.3.1

Larninärt ornrde

14 strömlinjer4 som ansâgs representativa för de fortsatta

beräkningarna valdes av de 52 som körts och dessas

koordi-nater samt C

och krökningarna erhölls längs varje

ström-li nje.

Det laminära gränsskiktet beräknades rn.h.a. den

"rotations-symmetrisk'a analogien" - orn tvärströrnrnen är liten kan

strörn-linjens divergens - h2 - användas sam radien i en

rotations-kroDp och progrri 191 användes. Se fig sid 20.

Ett intrikat problem är att avgöra var strörnlinjerna skall

anses starta.

Teoretiskt sett skulle alla strömlinjer

star-ta i fränire sstar-tagnationspunkten, men för att erhâlla täckning

av hela skrovytan tvingades vi att starta strörnuinjer även

vid andra sektioner.

Vid beräkning av det laminära grö.nsskiktet extrapolerades

i allmänhet strömuinjerna till frärnre stagnationspunkten.

För strörnlinjer, nom ssârats fran kölens frankant (1-6)

gjordes emellertid inte detta.

Efterso

strömningen förbi

stäven och kölens framkant dr mycket divergent, antages

gränsskiktstiliväxten för ströslinjerna 1-6 starta vid

kö-lens franikant.

Se figur (i) och (5).

Ur program 191 erbâlles friktionskoefficienten C1 längs

strörnuinjerna samt SN för varje strömlinje.

Variationen av Cf längs nâgra strömuinjer har plottats i

diagram 22-25.

Neutrala instabilitetspunkten SN har använts nom

omsiags-punkt (Se 5.5.3.) och inlagts i figurerna 2:1 och 2:2.

6.3.2

Turbulent omrde

Som startvärde i Program 185 (Se 6.2.1.) används

omsiags-punkterna X-koordinat. Den fysikaliska riktigheten i det-ta kan diskuteras, d. ett omsiag p. en ströinlinje borde sâ-väl pâverka som pâverkas av intilliggande strömlinjer.

Dâ naturen av denna pverkan inte är känd, har vi konsekvent

använt beräknade värden for omslaget.

Som startvärde pâ e användes e vid SN enligt ovan. Vidare

gays parametern H12 cit startvärde enligt kriteriet: För

RC,n>500

används H12 = 1,4 f.ö. sätts H12

= 1,5.

Sors utdata erhlles gränsskiktets aktuella parametrar - se

6.2.5.

Härav har

,5

piottats längs strömlinjerna

3,

6,

8 och

12.

Se diagram

23 - 26 och 32 - 39.

Gränsskiktets tillväxt visade

Sig

vara mycket mttlig

-- 15 mm - varför Douglasprogrammets tryckfördelning kan anses gälla.

6.3.3

Beräkning av viskösa motstândet

Bâgkoordinaterna längs spanten för ströralinjernas skärning

med dessa beräknades och avsattes sors abskissa i diagram, där Cf plottades. Värdena i spant 17 är extrapolerade längs strörnlinjerna f örifrn, dâ beräkningarna bröt samrnan häi' eftersom heräkningarna hamnade utanför DouglasDrogrammets

nollpunkter.

Cf uppritades allts sors funktion av utbredda spantlängden för varje spant. Man fr lika mnga kurvor för varje spant

sors antalet använda Reynolds tal - här 6 st. (Med

genom-sui-Luigi ca 10 strömlinjer ger detta 1200 ui±ter att

plot-ta:) Kurvorna Cf(s) (s är bâkoordinaten längs varje spant) integrerades med planimeter och man erhöll _J Cf ds, se

-

44

-Genorn att slutligen avsätta desna värd.en för varje spant

och

integrera kurvan med planimeter erhölls fj'

c.

dS.

S

-C erhölls dâ slutligen genom att dividera med vâta ytan S. Se tabell (i).

Vid integreringarna anvä.ndes den verkliga kölprofilen

och

ej den idealiserade, som använts i Douglasprogrammet.

6.3.4

Övriga gränsskiktsoarametrar

De intressanta parame±rarnav/L, C och, 8/L plottades

för strömlinjerna 3, 6, 8 och 12. Se diagrammen 28 - 40.

6.3.5

Beräkningar med modifierad. Granvillemetocl

För teori se 5.5.2. (2) och Ref. /8/. Douglasorogrammet kördes för en rotationskropp, vars radiefördelning

motsva-rade Antiopes deplacementsfördelning enligt:

rA(x) (2A(x)/n) (A)

Den erhâllna tryckfördeiningen användes vid beräkningen av

gränsskiktet. Detta bestämdes för en rotationskropo vars radiefördelning inotsvarade Antiores fördeining av vât yta

eni:

r(x) = S(x)/it (B)

För ett segeibâtsskror med köl bar spantareakurvan och

vât-yta-kurvan en puckel för kölen. Berkningar för rotations-kroppar lärnpar sig inte för sâana former, vari'ör skrovet

upodelades i en kontinuerlig rotationskropp och en plan piatta med samma area och medellängd. som kölen. Se figu-rerna

₍₃₎

och ().

Spantareakurvan hämtades fr.r Ref /1/ "Geometrical

proper-ties of each station". Ned d och det aktuella trimmet in-terpolerades en spantareakurva fram. För att erhâlia

samman-des en uppskattning av viskösa underskiktet enligt:

ô 10

V

u.Vc

där U dr den verkliga hastigheten. 5L finns redovisat i

diagram (28 - 31).

För att simulera försök med stimulerai turbulens, användes f/2

hingande värden, tog vi även utbreida spantlängien frân

samma referens..

Med tryckfördelning enligt A och radiefrdeining enligt B

kördes sedan program 191. Den erhâllna neutrala instabi-litetspunkten och användes sedan soin indata i program

102.

Dessa beräkningar gay O och H längs kropen.

C beräknades sedan enligt

5.5.2.

(2)

Värdena U/lico , 8 och H togs för spant 17, dâ f örhâllan-iena vid rotationskroppens bakre stets dr osäkra.

Resultaten dr redovisade i ta'oeii (l),(2) . Form-faktorn erhâllen pà detta sätt benämnes kGI.

6.4

Övriga beräkningar

För att fâ en uppfattning orn skrovlighetens inverkan

gjor-omslagspunkterna frân beräkningarna med skala 1:1 och Fn =

= 0,122 soin startvärden i det turbulenta programnet f br skalorna 1:3 och 1:6 vid Fn = 0,126 resp. 0,122. C beräk-nades enligt föregâende och resultaten plottades i ta'oell (i).

För att bestämma formfaktorn f ör fuliskalan gjordes ett

Pro-haska-plot. CT togs härvid frân de försök, soin utfördes vid

NSDRC 1965 -

se ref

/7/

samt vid HTB - se ref

/5/.

Kurvan drogs genom de tre lägsta Fn-värdena. Se diagram (41).

46

-I avsik-t att erhâlla en jämförelse mellan resultaten enligt

metoden beskriven i

6.3.3

och metoden beskriven i

6.3.5.

ay-sattes utdata i form av Cf x 27cr frân 191 och 102 lings rotationskroppens längd varefter dessaintegrerades. C

erhölls sedan efter sammanvägning med värdena frân kölen

och division med arean.

Härav beräknades ytterligare en form faktor - kG11.

7. RESULTAT OCH DISKUSSION

7.1.

Variationen av C, SN, Ci.,

ß, ô

v

och 5.

7.1.1

Omslagspunktens SN beroende av C

p

I

5.3.5.

hai' omslagspunktens starka beroende av

tryckgradi-enten nmnts.

Studeras t.ex. figur 2 och diagram 40 kan man konstatera,

att omslagen aura senast sker dâ tryckgradienten byter

tecken.

Detta är tydligt skönjbart för strömlinjerna

12

och 8 vid spant

9.

Att en kraftig negativ tryckgrdient

kan stabilisera gränsskiktet framgr ocksâ mycket tydligt

orn than betraktar strömlinje 8,

d.är omsiag i tvâ fall (Rn

= 1,489 x

i6

och 2,482

x 106)

sker precis vid spant

5,

där ocksâ tryckkurvan planai' ut.

Sarnraa gäller för

ström-6

linie

12

vid spant 6 och Rn =

z,48 x 10

orn och minare

markant.

För den korta strömlinjen

5,

gäller att omsiaget

i stort sett ligger p

san'îra punkt oavsett Rn-värdeL.

För-kiaringen är det mycket markerade tryckrninimun, som

inträf-far efter spant

8.

7.1.2

Viskösa motstândets beroende av SN

I diagram

27

kan en markant ökning av C

ses mellan log

Rn = 6,17 och 6,39.

De mot de inringade abskissvärdena

svarande omslagen âterfinns i figur

2. (log Rn = 6,87

mot-svaras av tredje bilden i ftgur 2:2).

Den typiskt laminära

strömnings'oilden för log Rn

6,09

onvandlas till en typiskt

turbulent strömning för log Rn

= 7,36.

I makroskala

erhâl-les ett omsiag för de mellanliggande värdena.

7.1.3

Viskösa underskiktet

5

Det viskös underskiktet är plottat dimensionsiöst för fyra

strömlinjer

vid

de sex olika

Rn, se

diagram

28.-31.

Icke i

48

-nâgot fall understiger viskösa underskiktets tjockled 70 io_6 _{m. För sjttedelsrnodellen understiger icke viskös}

-6

underskiktet 100 x 10 m vid Fn =

0,357.

Enligt Schlichting ör vilikoret f ör en hydrauliskt glatt

yta, att ytraheten k uppfylier vilikoret:

u k

dvs k4 ôv/2

V

En ytrahet' pa

35 x

io_6

m. kan alitsa tillâtas. För pole-rade ytor är detta vi].lkor ailtid urpfyllt. Beräkningarna av Cf är baserade pa ett antagande orn hydrauiiskt glatt yta. vilket alitsâ överensstämmer med förhâllandena vid

släpför-sök.

.7.1.4

Variation av @och

5

Sâväi för köl som för skrov (strörnlinjerna 3 och 12)

uppvi-sar bâde tvärströmsvinklarna och dessa derivator smâ värden. Se diagramnen

3K-39.

I siagets aktre dei kan tvärströmsvin-klar orn upp till 10 grader uppstâ. D det i ogynnsanmaste fall rör högst en och en haiv soantdistans, kan "small cross-f10jc approximationen anses vara godtagbar.

En jämförelse med den visualisering av strömningen, sorn gjorts

med ulitrâdar i referens

/7/

sidanT28 U0 Degrees Rudder" kan göras. Här kan man i fotografiet uppmäta uppâtströmningen

till ca 13 gradoi- vid spant

13.

Programmet GE0II liar vid vâra beräkningar visat, att potentialströmningen pa rnotsvarande

plats (strömlinje 6 och spait 13) böjer uppât ca 3 grader.(fjg 5) Tvärströmsvinkeln vi erhöll med program 185 var här ca 10

grader - se diagram

_37.

verensstämmelsen mellan modeliför-sök och teoretisk beräkning är här perfekt.

I övergângen mellan skrov och f enköl förekommer - liksom i övrigt - de största fluktuationerna. Jämför strömlinjernas

Grnsskiktstjockleken är plottad dirnensionsiöst för fyra

strömlinjer vid de sex olika Rn i diagrammen

_32-35.

Gränsskiktets tillväxt företer inga anmärkningsvärda

fluk-tuationer. Ti].lväxten fram uil spant

12-13

är nästan

lin-jär. I detta omrde ökar derivatornas belopp markant var-efter tiliväxten sker snabbare. Förklaringen till detta torde stâ att finna i spantareans relativt snabbare

minsk-ning med 'oörjan i dessa spant. Gränsskiktets maximala tjockiek uppgâr vid spant 16 till ca 0,1 m. Att försöka kvantifiera det hxigenom uppkomna tryckrnotstndet är svrt.

Ett. försök till uppskattning göres i kapitel

7.4.

7.2

ITotstândskurvor och jämförelser

Motstndskurvorna har tagits frân Ref.

/5/ figurerna 32-92.

Värden frân HSIIB's försök och försök utförda i Deif t valdes, d. dessa provat mer än endast en skala. Vid dessa försök har turbulensstirnulering använts.

Motstndskurvorna är redovisade i diagram

_43.

Kurvor med konstant Fn har lagts in för HSNB-försöken, liksom vâr

be-räknade turbulenta Cv_kurva och Hughes korrelationslinje.

De stora diskrepanserna mellan Deift' s och HSNB' s värden f ör sjättedels och tredjedeismodelierna pekar pâ svârig-heter med att erhlia korrekt turhulensstimulering. (Se

nästa kapitel). Vr beräknade C_linje är i diagrammet

likformig med. linjerna F =

0,30

och 0,35. BUdas en

rest-motstândskoefficient med HSMB's och Delft's värden baserad $ vr viskösa motsUndskoefficient, erh.lies för HSI'IB's

värden god överensstämmelse vid Fn frân 0,30 och uppât. Se

diagram

_44.

Fn lägre än 0,50 ger en synnerligen splittrad uppfattning orn restmotstândet vid. lägre farter.

Atem

nh-tas misstankarna mot svârigheterna att undvika under- eher

överstimulering av tur'oulens liksom risken för extra mot stând frân stimulatorerna Dch bestärnningen härav.

0.2-oj-

--0.1

-0.2

k

'TlM

- su

För fullskalemoäellen

tycks restmotstndskofficenten

er-h&llen med vrt C

asymptotiskt närma sig O,2 x

lOs.

Lä-saren lämnas fria händer att spekulera i de redovisade

re-sultatens innersta rnening.

7.3.

Jämförelse av k-faktorer

k-faktorn användes enbart sam jämförande

storhet och ür

baserad p

Hughes korrelationsline.

Tabellens värden är plottade i figuren. Anslende är, att

kGI och k11 har samma utseende. Beräkningarna är

utförda

p. samma gränsskikt (se

6.3.5.

ach

6J4.i.)

men p.

princi-piellt olika vis: genom extrapolering av

impulsförlust-arean till oändligheten resp genom irftegration av Cf.

Lägg märke till det ökande avstndet mellan kGI och kGTI

efter omslagsomr.det kring logRn

= 6,3.

k-väräen enligt

Prohaska-plot (diagram 4l) är ocks

inlagda.

Prohaska-plot NSRDC

HSMB

av kölen. Ref /10/. HSNB stimulerar tur'oulensen m.h.a. "cylindrical studs". Ref

/6/.

Problemet med turbulensstimulering kan enkelt sägas vara, att erhlla ett gränsskikt, som i motst&ndshänseende är

ekvivalent med ett gränsskikt med naturligt omsiag för

fullskalan. 0m omsiaget pâ modellen genom stimulering erhlles i samma punkt som hade erhllits för fullskalan

vid naturligt omsiag, medför detta, att gränsskiktets

vir-tu1la origo hamnar för ingt fram. Gränsskiktet pâ model-len blir d för tjockt och motstndet för stort.

CORRECTLYSTrMth.ATEr)

TURSULENT BOUNDARY LAYER OVER STMU1ATE-_.. Row

/__-

JTURULENCE 1RT'JAL STIMULATOR ORGIN,1 STEM

Schematic representation of turbulence stimulator effect on boundary-layer shape

£ig frn rf /'5/

Ett stimulerat oinslag i modeliskala borde därför läggas nâ-got efter den punkt, där naturligt omsiag sker i fullskala. Att p. detta sätt bestämma turbulensstimulatorernas läge

exakt torde kräva s&. mycket kunckap om grönsskiktet, att redan denna kunskar i sig skulle onödiggöra turbulensstimu-lering Tar man dessutom i beaktande, att samma stimulerings-arrangemang används vid samtliga Rn, inses problemets

komp-lexitet.

Man försöker ailts, att erhälla rätt omslagspunkt varefter

man söker kvantií'iera det extra motstnd, soin stimulatorerna

52

-medför i egenskaD av frmmande kroppar p. skrovytan. Med känned.om orn gränsskiktet, är det fysikaliskt felaktìgt att

försöka separera dessa tvâ effekter. Ned kicklighet och erfarenhet kan samma rnotst±dsökning erhâllas, men

sanno-likt aidrig likforrniga strimningsfält.

För de-t lâga roudetalsomrdet framgr av diagram 43, att de tvâ modellerna i skala 1:3 och 1:6 är överstimulerade -linjerna för konstant Fn = 0,16 och 0,20 konvergerar

mar-kant mot lägre Rn. Att avgöra vad som skall hönföras till

över- eher understimulering eher 'raraitic drag" är

vansk-ugt.

Här skall endast konstateras vilket problem detta ut-gör sâväl kvantitativt soin kvahitativt.

Felet i uppritnin' och uppmtning av spantruta bar bestämts

med hjälp av utskrivna koordinater (frn mätningarna p.

ko-ordinatbordet). Härvid. var felet i djupgâende max

3 mm i

fuliskalan. För bred.den bar inte nâgot fel kunna

konstate-ras.

Vâr vâta yca överensstäinmer icke med övriga referensers

vir-den (dessa varierar ocksâ) men dâ vir-den konsekvent anv.nds,

mâste fel pâ grund härav exkluderas.

7.5.2

Fol i förutsättningarna

7.5

Pelana1

7.5.1

Fel i indata

Small cross flow antagandet medför, att strömlinjerna 'be-handlats individuelit, varvid omslagspunlztcrna icho ansetts

pâverka varandra. Det integrerade värdet är dock troligen rätt.

Samspelet mellan vâgbiidning och viskösa krafter är här belt

försummat, se kapitel

5.5.1.

En urpskattning av tryckmotstândet, ilket försummats, bar gjorts pâ följande vis: Vid beräkningarna med de tvâ modi-fierade metoderna enligt Granville erhlles i ena fallet (i)

ett visköst motstând vari tryckmctstândet ingâr och i dot andra fallet (II) ett visköst motstnd utan tryckmotstând. Skillnaden är i genomsnitt ca tre procent, vilket kan läg-gas till den erhâllna korreiaticnslinjen nc calculated1'

i

diagram

_27.

Gränsskiktsprogrammen arbetar med Nichel' s empiriska frik-tionsantagande, vilkc-t visat mycket god överensstämmelse med experiment. Det är emellertid möjligt, att vâra konse-kvent lägre värderi kan hänföras till frik-tionsantagandet. Vindtunnelförsök, där Nichols friktionsantagande används, har givit avvikeiser mom .

-

54

-7.5.3

Fel i mtningar

Dâ det inte framgr att nâgon korrektion för blockering

gjorts, har denna bernats f ör siäpförsöken raed fuliskale-modellen vid NSRDC. Motstândet överskattas därvid med. ca

1,5 %.

För skaimodellerna syns en viss överstimulering föreligga vid lâga Rn - se

_7.4.

Diskontinuiteter i roder-köl-regionen kan ocksâ ge upphov

till parasitmotstând i form av virviar, vars eventuella

inverkan vi ej kan kvantifiera.

7.5.4

Räkneexempel

Utgâr man frân ett k-värde pa 0,20 enlig Prohaska-plot för fuliskalan - se diagram 41 - kan följande avdrag göras:

Blockering:

1,5%

Tryckmotstânci:

3,0 %

Dâ vi beräknat ett k-värde P 0,12 âterstâr .

Huvu.ddelen av de felkällor, son ovan diskuterats men ej kvantifierats - specielit omslagspunkternas läge - torde

saramantaget reducera dessa 3,5 % ytterligare. At specia-lister pa omrâdena överlâtes att bestämina dessa effekter numeriskt.