Wykład XIII:

Dynamika relatywistyczna

Fizyka I (Mechanika)

Wykład XIII:

• relatywistyczna definicja p ˛edu

• relatywistyczna definicja energii, zasady zachowania

• transformacja Lorentza dla energii i p ˛edu

• masa niezmiennicza i układ ´srodka masy

• zderzenia elastyczne

Wprowadzenie

Zagadnienia ruchu ciał w mechanice nierelatywistycznej (Newtona/Galileusza) rozwi ˛ azywali´smy w oparciu o

Równania ruchu

Ruch ciała jest zadany przez działaj ˛ ace na nie siły zewn ˛etrzne + warunki pocz ˛ atkowe d~ p(t)

dt = ~ F (~ r, ~v, t) + ~ F _R ~ r(t ₀ ) = ~ r ₀ ~v(t ₀ ) = ~v ₀ lub

Zasady zachowania

Dla układu izolowanego i ruchu pod wpływem sił zachowawczych P = ~ ^X

i

m _i ~v _i = const ~ p _i = m _i ~v _i E = E _p + E _k = E _p + ^X

i

m _i v _i ²

2 = const E ~ _k,i = m _i v _i ²

2

Czy podej´scia te mo˙zna te˙z wykorzysta´c w przypadku relatywistycznym?

P˛ed cz ˛ astki

Granice podej´scia klasycznego

Elektron w kondensatorze

(najprostszy ’akcelerator’ cz ˛ astek):

U

q<0

+

− Klasycznie:

m~a = ~ F = q ~ E

Potrafimy wytwarza´c pola elektryczne E ∼ 10 MV /m = 10 ⁷ V /m Dla elektronu:

m _e = 9.1 · 10 ⁻³¹ kg = 0.5 M eV /c ²

|q ^e | ≡ 1 e = 1.6 · 10 ⁻¹⁹ C

⇒ a ≈ 20 m ⁻¹ · c ² ≈ 2 · 10 ¹⁸ m/s ² W podej´sciu klasycznym elektron powinien osi ˛ agn ˛ a´c pr ˛edko´s´c ´swiatła ju˙z po przebyciu

∆x ≈ 2.5 cm !!!

⇒ konieczno´s´c modyfikacji praw ruchu

P˛ed cz ˛ astki

Uogólnienie praw ruchu

Załó˙zmy, ze chcemy zachowa´c klasyczn ˛ a definicj ˛e siły opart ˛ a na II prawie Newtona

F = ~ ^d~ _dt ^p

Oznacza to jednak, ˙ze musimy zmieni´c definicj ˛e p ˛edu, bo Newtonowska definicja

~

p = m~v

ogranicza warto´s´c p ˛edu od góry (v < c) a przecie˙z wcia˙z mog ˛ a działa´c siły...

Do´swiadczenie my´slowe

Zderzenie dwóch kul o jednakowej masie m:

V

X Y

−V

v

v

P˛edy obu kul s ˛ a równe co do warto´sci ale przeciwnie skierowane.

Całkowity p ˛ed układu jest zerowy!

P˛ed cz ˛ astki

Do´swiadczenie my´slowe

Przejd´zmy do układu poruszaj ˛ acego si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a V _x wzdłu˙z osi X - pierwsza z kul porusza si ˛e tylko wzdłu˙z osi Y:

X Y

V

V

−V

V

V

P˛edy wzdłu˙z osi Y powinny by´c równe.

Dwia kule ⇒ dwa układy odniesienia

Wybór jednej z kul łamie symetri ˛e zagadnienia !

Przesuni ˛ecia wzdłu˙z osi Y nie zmieniaj ˛ a si ˛e w transformacji Lorentza, ale zmienia si ˛e czas w jakim nast ˛epuj ˛ a.

Pr ˛edko´s´c wzdłu˙z osi Y pierwszej kuli:

V _1,y = V _y

γ ^ 1 − β ^V _c ^{x } = γ V _y Pr ˛edko´s´c wzdłu˙z osi Y drugiej kuli:

V _2,y = V _y

γ(1 + β ² ) β = V _x

c γ = 1

q 1 − v _x ² /c ² Czyli:

m V _1,y 6= m V 2,y

P˛ed cz ˛ astki

Do´swiadczenie my´slowe

Układ w którym jedna z kul porusza si ˛e tylko wzdłu˙z osi Y:

X Y

V

V

−V

V

V

Z dodawania pr ˛edko´sci:

V _2,x = −2V ^x 1 + β ²

Pr ˛edko´s´c wzdłu˙z osi Y drugiej kuli jest zmniejszona na skutek dylatacji czasu:

V _2,y = V _1,y

γ ² (1 + β ² ) = V _1,y

γ ^′ γ ^′ = 1

r

1 − ^V

2,x 2

c ²

Przyjmijmy, ˙ze V _y ≪ c , ale V _x ∼ c , wtedy:

γ ₁ V _1,y = γ ₂ V _2,y

γ ₁ = 1 γ ₂ = 1

q 1 − V ₂ ² /c ²

Zasad ˛e zachowania p ˛edu mo˙zemy w naszym przypadku “uratowa´c” modyfikuj ˛ ac definicj ˛e:

p = m · ~ γ · ~v

Czy tak zdefiniowany p ˛ed jest zachowany w

ogólnym przypadku?

P˛ed cz ˛ astki

Wyra˙zenie na p ˛ed dla cz ˛ astek relatywistycznych mo˙zemy te˙z wyprowadzi´c z zasady wzgl ˛edno´sci (+ relatywistyczne składanie pr ˛edko´sci)

Wyobra´zmy sobie dwie identyczne kule lec ˛ ace (w układzie O) z pr ˛edko´sciami V ₁ i V ₂ wzdłu˙z osi X:

x

0 1 2

t

3

O _{V 1 V 2}

Przyjmijmy, ˙ze w którym´s momencie ciało 1 dogania ciało 2 i zlepia si ˛e z nim.

Jaka b ˛edzie pr ˛edko´s´c ciał po zlepieniu?

x

0 1 2

t

3

O _V ^c

Klasycznie byłoby to V _c = ^{V 1 +V} ₂ ² , co wynikało wła´snie z zasady zachowania p ˛edu...

P˛ed cz ˛ astki

Przejd´zmy do układu odniesienia O’ zwi ˛ azanego z powstaj ˛ acym “zlepkiem”.

0 1 2 3

O’ t’

x’

V V

Poniewa˙z kule s ˛ a identyczne z symetrii zagadnienia oczekujemy, ˙ze w układzie tym b ˛ed ˛ a miały pr ˛edko´sci pocz ˛ atkowe równe co do warto´sci, lecz przeciwnie skierowane.

Wiemy ju˙z jednak jak składaj ˛ a si ˛e pr ˛edko´sci!

Pr ˛edko´sci w układzie O’ wyra˙zaj ˛ a si ˛e przez V ₁ i V ₂ , oraz pr ˛edko´s´c O wzgl ˛edem O’ ( −V ^c ) Ze wzoru na składanie pr ˛edko´sci:

V = V ₁ − V c

1 − V 1 V _c /c ²

−V = V ₂ − V c

1 − V 2 V _c /c ² (warto´s´c ujemna pr ˛edko´sci odpowiada zwrotowi przeciwnemu do osi X)

Rozwi ˛ azujemy ten układ równa ´n, dla uproszczenia wprowadzaj ˛ ac pr ˛edko´sci wzgl ˛edne:

β ₁ = ^V _c ¹ , β ₂ = ^V _c ² , β _c = ^V _c ^c

P˛ed cz ˛ astki

Ostatecznie otrzymujemy: (pomijaj ˛ ac do´s´c ˙zmudne przekształcenia) β _c = β ₁ γ ₁ + β ₂ γ ₂

γ ₁ + γ ₂

Pr ˛edko´s´c zlepionych kul poruszaj ˛ acych si ˛e pocz ˛ atkowo z pr ˛edko´sciami β ₁ i β ₂ . Dla symetrii pomnó˙zmy licznik i mianownik po lewej stronie przez γ _c :

β _c γ _c

γ _c = β ₁ γ ₁ + β ₂ γ ₂ γ ₁ + γ ₂

Warto´s´c ułamka nie zmienia si ˛e je´sli licznik i mianownik pomno˙zymy przez t ˛ a sam ˛ a liczb ˛e (M dla lewej i m dla prawej strony):

β _c γ _c M

γ _c M = β ₁ γ ₁ m + β ₂ γ ₂ m

γ ₁ m + γ ₂ m

P˛ed relatywistyczny

Ale M i m s ˛ a dowolne! Mo˙zemy zawsze tak dobra´c stosunek ich warto´sci,

˙zeby tak˙ze liczniki i mianowniki po obu stronach równania były sobie równe:

β _c γ _c M = β ₁ γ ₁ m + β ₂ γ ₂ m γ _c M = γ ₁ m + γ ₂ m

Wychodz ˛ ac z bardzo ogólnych zało˙ze ´n otrzymalismy dwa prawa zachowania!

Symetria + zasada wzgl ˛edno´sci + wła´sciwy dobór współczynników M i m

Uogólniaj ˛ ac na dowoln ˛ a liczb ˛e cz ˛ astek w stanie pocz ˛ atkowym (ini) i ko ´ncowym (f in):

X i∈ini

β _i γ _i m _i = ^X

j∈fin

β _j γ _j m _j

X i∈ini

γ _i m _i = ^X

j∈fin

γ _j m _j

Czy mo˙zemy zidentyfikowa´c poszczególne człony?

P˛ed relatywistyczny

W granicy małych pr ˛edko´sci ( β ≪ 1 , γ = 1) równania te sprowadzaj ˛ a sie do c ^X

i

β _i m _i = ^X

i

m _i V _i = const

X i

m _i = const

Jak poprzednio dochodzimy do wniosku, ˙ze relatywistyczne wyra˙zenie na p ˛ed cz ˛ astki to

p = m c γ β = m γ V

Wprowadzone współczynniki m s ˛ a miar ˛ a bezwładno´sci ciał i nazywamy je mas ˛ a.

Jedn ˛ a z mas mogli´smy ustali´c dowolnie - wybór wzorca masy.

Masy pozostałych cz ˛ astek mo˙zna nast ˛epnie wyznaczy´c w oddziaływaniu ze wzorcem

(z wyprowadzonych praw zachowania).

Ruch pod wpływem stałej siły

Równanie ruchu

Chcemy zachowa´c klasyczn ˛ a definicj ˛e siły opart ˛ a na II prawie Newtona:

F = ~ d~ p dt

gdzie:

~ p = m γ ~v = mc γ ~ β

γ = 1

q

1 − β ²

W przypadku ruchu prostoliniowego F = d

dt (mc γ β)

= mc γ ³ dβ dt

⇒ przyspieszenie maleje jak γ ⁻³ !

Rozwi ˛ azanie ruchu pod wpływem stałej siły elektrycznej F = qE :

dβ

dt = qE

mc (1 − β ² ) ^3/2

⇒ dβ

(1 − β ² ) ^3/2 = qE mc dt

Całkujemy podstawiaj ˛ ac β = sin u:

Z du

cos ² u = qE mc

Z

dt

⇒ tan u = qE mc · t

przyjmuj ˛ ac, ˙ze cz ˛ astka spoczywała w t = 0

To˙zsamo´s´c trygonometryczna:

sin u = tan u

p 1 + tan

u

Ruch pod wpływem stałej siły

Otrzymujemy rozwi ˛ azanie w postaci:

β(t) = αt

q

1 + (αt) ²

gdzie:

α = qE mc

W naszym przykładzie (e ⁻ w polu 10 ^{M V} _m ) α ∼ 6 · 10 ⁹ s ⁻¹ , α ⁻¹ ∼ 0.17 ns

W granicy α t ≫ 1 :

1 − β(t) ≈ 1 2α ² t ²

nigdy nie osi ˛ agniemy β = 1 Ale: p(t) = mc α · t – ro´snie ∼ t !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

t [ns]

β

t [ns]

1-β

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

10^-1 1

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

Ruch pod wpływem stałej siły

Rozwi ˛ azuj ˛ ac dalej otrzymujemy:

dx

dt = c αt

q

1 + (αt) ²

⇒ x(t) =

Z

dx = c α

Z αt d(αt)

q

1 + (αt) ²

= c α

q

1 + (αt) ² − 1



W granicy α t ≫ 1 :

x(t) ≈ c t − c α W naszym przykładzie:

´swiatło wyprzedzi elektron tylko o 5 cm !!!

10

-6

10^-5 10^-4 10^-3 10

-2

10^-1 1 10 10²

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

t [ns]

x(t) [m]

t [ns]

x(t) - ct [m]

-0.1 0

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

Energia relatywistyczna

Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymali´smy:

x(t) = c α

q

1 + (αt) ² − 1



β(t) = αt

q

1 + (αt) ²

gdzie:

α = F mc Mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze: γ(t) = 1

q

1 − β ² (t)

=

q

1 + (αt) ²

⇒ x(t) = mc ²

F (γ − 1)

Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez sił ˛e:

E _k (t) = F · x(t) = m c ² ( γ(t) − 1)

Energia relatywistyczna

Uzyskan ˛ a zasad ˛e zachowania:

X i

γ _i m _i c ² = const mo˙zemy wi ˛ec przepisa´c w postaci:

X i

h m _i c ² (γ _i − 1) + m i c ^{2 i} = const

X i

h E _k,i + E _0,i ⁱ = const Gdzie: E _k = m c ² ( γ − 1) - energia kinetyczna

E ₀ = m c ² - energia spoczynkowa ciała

Konieczno´s´c wprowadzenia energii spoczynkowej wynika z otrzymanej postaci zasady zachowania energii!

Energia całkowita: E = E _k + E ₀ = γ · m c ²

Energia relatywistyczna

Wyra˙zenie na energi ˛e kinetyczn ˛ a

E _k = m c ² (γ − 1) = m c ²







1

q

1 − β ² − 1







W granicy małych pr ˛edko´sci ( β ≪ 1 ) korzystamy ze wzorów na rozwini ˛ecie w szereg:

p 1 + ε ≈ 1 + 1

2 ε − 1

8 ε ² + . . . 1

1 + ε ≈ 1 − ε +ε ² + . . .

⇒ γ = 1

q

1 − β ² ≈ 1 + 1 2 β ² E _k = m c ² (γ − 1) = (1 + 1

2 β ² − 1) = 1

2 m c ² β ² = 1

2 m V ²

Odtwarzamy klasyczne wyra˙zenie na energi ˛e kinetyczn ˛ a

Zasady zachowania energii i p ˛edu

Energia całkowita ciała:

E = γ · m c ² p ˛ed ciała:

p = γ · m ~ ~ V c ~ p = ~ β γ · m c ²

β = ~ V ~ c

Wychodz ˛ ac z reguły składania pr ˛edko´sci

(zasada bezwładno´sci + zasada wzgl ˛edno´sci), wykorzystuj ˛ ac symetri ˛e rozwa˙zanego zagadnienia (zasada wzgl ˛edno´sci) oraz mo˙zliwo´s´c doboru

współczynników opisuj ˛ acych bezwładno´s´c ciała (mas ˛e) otrzymali´smy:

X i

E _i = ^X

i

γ _i m _i c ² = const

zasada za howania enegrii

X i

~

p _i = ^X

i

γ _i · m i V ~ _i = const

zasada za howania pdu

Zasady te wyprowadzili´smy dla procesu zderzenia, ale okazuje si ˛e, ˙ze s ˛ a one du˙zo

bardziej ogólne. Zasady te obowi ˛ azuj ˛ a we wszystkich znanych nam procesach!!!

Zasady zachowania energii i p ˛edu

Zasada zachowania energii ma jednak swoj ˛ a “cen ˛e”

V V

Z zasady zachowania energii:

E _c = E ₁ + E ₂

M c ² = γ m c ² + γ m c ² M = 2 γ m

Masa “zlepka” jest wi ˛eksza ni˙z suma mas cz ˛ astek! M > m + m

W ´swiecie relatywistycznym przestaje obowi ˛ azywa´c zasada zachowania masy!

Energia kinetyczna zderzaj ˛ acych si ˛e cz ˛ astek została zamieniona na energi ˛e wewn ˛etrzn ˛ a,

co jest równowa˙zne ze wzrostem masy (energii spoczynkowej) “zlepka”.

Energia relatywistyczna

Jednostki

U

E q>0

+ −

∆E = U · q

Naturaln ˛ a jednostk ˛ a w fizyce cz ˛ astek jest 1 elektronowolt 1 eV - energia jaka zyskuje cz ˛ astka o ładunku 1 e (ładunek elementarny) przy przej´sciu ró˙znicy potencjału 1 V.

1 e = 1.6 · 10 ⁻¹⁹ C ⇒ 1 eV = 1.6 · 10 ⁻¹⁹ J Jednostki pochodne:

1keV = 10 ³ eV , 1M eV = 10 ⁶ eV , 1GeV = 10 ⁹ eV .

Jednostk ˛e energii mo˙zemy te˙z przyj ˛ a´c za jednostk ˛e masy (E = mc ² ; c ≡ 1 ) 1 eV /c ² ≡ 1 eV = 1.8 · 10 ⁻³⁶ kg

elektron e 511 keV (9.1 ·10 ⁻³¹ kg) proton p 938 MeV (1.7 ·10 ⁻²⁷ kg) neutron n 940 MeV

kwark t 173 GeV

bozon W ^± 80.4 GeV

Z ^◦ 91.2 GeV

Energia relatywistyczna

Transformacja

Energia spoczynkowa cz ˛ astki:

E _◦ = m c ² Energia całkowita:

E = E _◦ + E _k = m c ² · γ Wyra˙zenie na p ˛ed:

p = m c · β γ W układzie własnym cz ˛ astki:

p _◦ = 0

Zgodnie z definicj ˛ a układu ´srodka masy.

Mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze:

E = γ E _◦ p c = β γ E _◦

Je´sli cz ˛ astka porusza si ˛e wzdłu˙z osi X : E = γ E _◦

c p _x = β γ E _◦ c p _y = 0

c p _z = 0

Energia relatywistyczna

Transformacja

Formalnie mo˙zemy zapisa´c:

(p _◦ = p _◦,x = p _◦,y = p _◦,z = 0)















E c p _x c p _y c p _z















=















γ E _◦ + γ β c p _◦,x γ β E _◦ + γ c p _◦,x

c p _◦,y c p _◦,z















=















γ γ β 0 0 γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1















·















E _◦ c p _◦,x c p _◦,y c p _◦,z















Okazuje si ˛e, ˙ze energia i p ˛ed podlegaj ˛ a, przy zmianie układu odniesienia, transformacji Lorenza identycznej z transformacj ˛ a czasu i poło˙zenia.

Zamiast transformowa´c niezale˙znie energi ˛e i p ˛ed układu, nale˙zy rozwa˙za´c czterowektor energii-p ˛edu:

E = (E, c~p) = (E, cp ^x , cp _y , cp _z )

Masa niezmienicza

Niezmiennik transformacji

Z definicji czynnika Lorenza

γ = 1

q

1 − β ²

⇒ γ ² − β ² γ ² = γ ² (1 − β ² ) = 1 γ ² E _◦ ² − β ² γ ² E _◦ ² = E _◦ ²

E ² − c ² p ² = m ² c ⁴

niezale˙znie od pr ˛edko´sci cz ˛ astki,

czyli niezale˙znie od układu odniesienia

Wyra˙zenie:

s = M ² c ⁴ = E ² − c ² p ²

jest niezmiennikiem transformacji Lorenza dla dowolnego układu fizycznego

(nie zale˙zy od wyboru układu odniesienia) M ≡ √

s - masa niezmienicza układu (masa inwariantna)

Kluczowa wielko´s´c w opisie zderze ´n

relatywistycznych...

Energia relatywistyczna

Transformacja Lorenza

Transformacja Lorenza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów:

• czterowektor poło˙zenia (w czasoprzestrzeni): (ct, x, y, z)

• czterowektor energii-p ˛edu (“czterop ˛ed”): (E, cp _x , cp _y , cp _z )

• czteropotencjał pola elektromagnetycznego: (Φ, A _x , A _y , A _z ) E = − ~

Φ − ¹ _c ^{∂ ~} _∂t ^A B = ~

A ~

• ró˙znica dwóch czterowektorów (np. odst ˛ep mi ˛edzy zdarzeniami, przekaz czterop ˛edu...)

Niezmiennikiem transformacji Lorenza jest “kwadrat” ka˙zdego czterowektora

 A ^{(4)    2} = A ² ₀ −    A ~    ² = A ² ₀ − A ² _x − A ² _y − A ² _z

• zmiana poło˙zenia ⇒ interwał: s _AB = (∆t) ² − (∆x) ² − (∆y) ² − (∆z) ²

• energia-p ˛ed ⇒ masa niezmiennicza: M ² = E ² − p ² _x − p ² _y − p ² _z

Transformacja energii-p ˛edu

Przykład

Rakieta lec ˛ aca w kierunku Ziemi z pr ˛edkosci ˛ a v = 0.6 c wystrzeliwuje w jej kierunku wi ˛ azk ˛e protonów o energii E = 100 GeV. Masa protonu m = 1GeV /c ² .

Jak ˛ a energi ˛e protonów zmierzy obserwator na Ziemi?

P˛ed protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej):

pc =

q

E ² − m ² c ⁴ = 99.9950GeV pc ≈ E = 100GeV Współczynniki transformacji:

β = 0.6 γ = 1

q

1 − β ²

= 1.25 βγ = 0.75 Energia w układzie Ziemi:

E ^′ = γE + βγpc ≈ (γ + βγ)E = 2E = 200GeV

Masa niezmiennicza

Przykład

Jaka jest masa cz ˛ astki, która poruszaj ˛ ac si ˛e z energi ˛ a kinetyczn ˛ a E _k = 1.6 GeV ma p ˛ed p = 2.4 GeV/c ?

Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej cz ˛ astki:

m ² c ⁴ = E ² − p ² c ² Energi ˛e całkowit ˛ a wyra˙zamy przez energi ˛e kinetyczn ˛ a:

m ² c ⁴ = (mc ² + E _k ) ² − p ² c ²

m ² c ⁴ = m ² c ⁴ + 2E _k mc ² + E _k ² − p ² c ² Otrzymujemy:

mc ² = p ² c ² − E _k ²

2E _k = (pc + E _k )(pc − E k )

2E _k = 4GeV · 0.8GeV

2 · 1.6GeV = 1GeV

Dynamika relatywistyczna

Układ ´srodka masy

Energia układu cz ˛ astek: E = ^P _i E _i P˛ed układu cz ˛ astek: P = ~ ^P _i p ~ _i

Masa niezmiennicza: M

Jak znale´z´c układ ´srodka masy P ~ ^⋆ = 0 ?

Wiemy, ˙ze w CMS E ^⋆ = M, P ^⋆ ≡ 0

Energia i p ˛ed wi ˛ a˙z ˛ a si ˛e z E ^⋆ i P ^⋆ przez transformacje Lorentza:

⇒ E = γ M c P = β γ M

Otrzymujemy zwi ˛ azki na wspólczynniki transformacji do układu ´srodka masy:

β = c P E γ = E

M c ² β γ = P

M c

obowi ˛ azuj ˛ a zarówno dla pojedy ´nczej

cz ˛ astki jak i dowolnego układu cz ˛ astek

Dynamika relatywistyczna

Przykład

Z jak ˛ a pr ˛edko´sci ˛ a porusza si ˛e elektron o energii E = 1GeV (m _e ≈ 0.5MeV )?

γ = 1

q

1 − β ²

= E

m = 2000 c ≡ 1 1 − β ² = 1

γ ² = m ²

E ² ≪ 1 Wida´c, ˙ze β ≈ 1 , policzmy wi ˛ec ró˙znic ˛e:

1 + β ≈ 2 ⇒ 1 − β = 1 − β ²

1 + β ≈ 1

2 γ ² = m ²

2 E ² = 1.25 · 10 ⁻⁷ P˛ed elektronu:

p = βγm = βE ≈ E E − p = (1 − β)E ≈ 10 ⁻⁷ E Energia kinetyczna:

E _k = (γ − 1)m = E − m ≈ E E − E _k = m = 1

γ E = 5 · 10 ⁻⁴ E

Przybli˙zenie ultrarelatywistyczne: γ ≫ 1 , E ≫ m ⇒ E ≈ pc ≈ E k

Zderzenia relatywistyczne

W przypadku nierelatywistycznym zderzenia dzielili´smy na:

• zderzenia elastyczne

Zachowany p ˛ed i energia kinetyczna.

• zderzenia nieelastyczne Zachowany p ˛ed.

Energia kinetyczna zamieniana (cz ˛e´sciowo) na inne formy energii (zazwyczaj ciepło).

W przypadku relatywistycznym energia całkowita i p ˛ed s ˛ a zawsze zachowane ! Musimy zmodyfikowa´c klasyfikacj ˛e zderze ´n:

• Zderzenia elastyczne 2 → 2

Cz ˛ astki po zderzeniu takie same jak cz ˛ astki zderzaj ˛ ace si ˛e.

W szczególno´sci: m ^′ ₁ = m ₁ i m ^′ ₂ = m ₂ np. e ⁺ e ⁻ → e ⁺ e ⁻

• Zderzenia nieelastyczne

Gdy cz ˛ astki w stanie ko ´ncowym s ˛ a inne ni˙z przed zderzeniem.

np. e ⁺ e ⁻ → µ ⁺ µ ⁻

Zderzenia relatywistyczne

Rozpraszanie elastyczne

Rozwa˙zmy zderzenie “pocisku” o masie m ₁ i energii E ₁ z “tarcz ˛ a” o masie m ₂ .

V

V =0

1 2

E

m m

Dla układu dwóch ciał mamy: ( c ≡ 1 ) E = E ₁ + E ₂ = E ₁ + m ₂

P = P ₁ =

q

E ₁ ² − m ² ₁

M ² = E ² − P ² = (E ₁ + m ₂ ) ² − P 1 ²

= m ² ₁ + m ² ₂ + 2 E ₁ m ₂

Transformacja do układu ´srodka masy:

β = P

E =

q E ₁ ² − m ² ₁ E ₁ + m ₂

γ = E

M = E ₁ + m ₂

q 2 E ₁ m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂

βγ = P

M =

v u u t

E ₁ ² − m ² ₁

2 E ₁ m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂

Zderzenia relatywistyczne

Rozpraszanie elastyczne

P˛ed obu ciał w układzie ´srodka masy:

p ^⋆ ₁ = p ^⋆ ₂ = βγ m ₂ = P

M m ₂ (p ^⋆ ) ² = (E ₁ ² − m ² ₁ ) m ² ₂

m ² ₁ + m ² ₂ + 2 E ₁ m ₂

Energie w układzie ´srodka masy:

E ₂ ^⋆ = γ m ₂ = E

M m ₂

= (E ₁ + m ₂ )m ₂

q 2 E ₁ m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂

E ₁ ^⋆ = M − E 2 ^⋆

= E ₁ m ₂ + m ² ₁

q 2 E ₁ m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂

Je´sli spełniona ma by´c zasada zachowania p ˛edu i zasada zachowania energii to tak jak w przypadku klasycznym:

p ^⋆ ₁ = p ^⋆ ₂ = p ^′⋆ ₁ = p ^′⋆ ₂

W układzie ´srodka masy warto´sci p ˛edów nie ulegaj ˛ a zmianie.

Warunek: m ^′ ₁ = m ₁ i m ^′ ₂ = m ₂ !!!

Rozpraszanie elastyczne

Zderzenia relatywistyczne

m ₁ = m ₂

Dla zderze ´n cz ˛ astek o równej masie:

E = E ₁ + m P = P ₁ =

q

E ₁ ² − m ²

M ² = E ² − P ² = 2 E ₁ m + 2 m ²

⇒ współczynniki transformacji:

γ =

s E ₁ + m 2m β =

s E ₁ − m E ₁ + m β γ =

s E ₁ − m 2m

Energia i p ˛ed obu ciał w układzie ´srodka masy:

(z transformacji Lorenza dla spoczywaj ˛ acego ciała)

p ^⋆ = γ β m E ^⋆ = γ m (p ^⋆ ) ² = 1

2 m (E ₁ − m) (E ^⋆ ) ² = 1

2 m (E ₁ + m)

p*

Θ∗

p*

x

y

Zderzenia relatywistyczne

m ₁ = m ₂

W układzie ´srodka masy rozproszenie opisuje k ˛ at θ ^⋆ :

Θ∗

p*

p

Θ

p

Θ

x

y

p ^⋆ _1,x = γ β m cos θ ^⋆ p ^⋆ _1,y = γ β m sin θ ^⋆

E ₁ ^⋆ = γ m

Transformacja do układu laboratoryjnego:

p _1,x = γ p ^⋆ _1,x + γ β E ₁ ^⋆

= γ ² β m (1 + cos θ ^⋆ ) p _1,y = γ β m sin θ ^⋆

γ ² β m = 1 2 P

Mo˙zliwe warto´sci p _1,x i p _1,y spełniaj ˛ a:

γ ² p ² _1,y +



p _1,x − P 2

 2

=

 P 2

 2

⇒ elipsa

transformacja Lorenza “spłaszcza” rozkład

p ˛edów wzdłu˙z kierunku ruchu pocisku.

Zderzenia relatywistyczne

m ₁ = m ₂

K ˛ aty rozproszenia mierzone w LAB:

tan θ ₁ = sin θ ^⋆

γ(1 + cos θ ^⋆ ) tan θ ₂ = sin θ ^⋆

γ(1 − cos θ ^⋆ )

K ˛ at pomi ˛edzy cz ˛ astkami:

tan(θ ₁ + θ ₂ ) = 2γ

sin θ ^⋆ (γ ² − 1)

→ 2

γ sin θ ^⋆ → 0

γ → ∞

Dla rozproszenia z θ ^⋆ = ^π ₂ tan θ = 1

γ < 1

Θ∗ Θ Θ

p* p

p

1

2 1

θ ₁ + θ ₂ < π 2

W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi k ˛ atami

Zderzenia relatywistyczne

Przykład

Elektron o energii E = 10 GeV rozprasza si ˛e elastycznie na spoczywaj ˛ acym elektronie (m _e = 0.5 MeV). Jaki k ˛ at rozproszenia zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym je´sli w CMS rozproszenie nastapiło pod k ˛ atem prostym?

Masa niezmiennicza układu M =

q

2 E m + 2 m ² ≈ √

2 E m = 100M eV Współczynnik transformacji:

γ = E + m

M ≈ E

M = 100 β ≈ 1 1 − β ≈ 5 · 10 ⁻⁵ Energia i p ˛ed w CMS:

E ^⋆ = γm = 50M eV p ^⋆ ≈ E ^⋆ Transformacja do LAB: (p ^⋆ _x = 0, p ^⋆ _y = p ^⋆ )

p _x = βγE ^⋆ + γp ^⋆ _x ≈ γE ^⋆ p _y = p ^⋆ _y ≈ E ^⋆ tan θ = p _y

p _x = 1

γ = 0.01 θ ≈ 0.6 ^◦

Zderzenia relatywistyczne

m ₁ ≪ E 1 ∼ m 2

Rozwa˙zmy zderzenie elastyczne z ci ˛e˙zk ˛ a

“tarcz ˛ a” lekkiego “pocisku” (m ₁ ≪ m 2 ) o wysokiej energii (E ₁ ∼ m 2 )

V

V =0

1 2

E

m m

Sytuacja z jak ˛ a cz ˛esto mamy do czynienia w zderzeniach fizyki cz ˛ astek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach j ˛ adrowych).

Pomijaj ˛ ac wyrazy z m ₁ mamy:

E = E ₁ + m ₂ P =

q

E ₁ ² − m ² ₁ ≈ E 1

M ² = m ² ₁ + m ² ₂ + 2 E ₁ m ₂

≈ 2 E 1 m ₂ + m ² ₂

Zderzenia relatywistyczne

m ₁ ≪ E 1 ∼ m 2

Współczynniki transformacji do układu

´srodka masy: (m ₁ → 0 )

γ = E ₁ + m ₂

q 2E ₁ m ₂ + m ² ₂

β = E ₁ E ₁ + m ₂ β γ = E ₁

q 2E ₁ m ₂ + m ² ₂

⇒ p ^⋆ = β γ m ₂

= E ₁ m ₂

q 2E ₁ m ₂ + m ² ₂

Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego:

p _1,x = γ p ^⋆ _1,x + γ β E ₁ ^⋆

= γ p ^⋆ (β + cos θ ^⋆ ) p _1,y = p ^⋆ sin θ ^⋆

Mo˙zliwe warto´sci p _1,x i p _1,y spełniaj ˛ a:

 γ p _1,y ^{ 2} + ^ p _1,x − γ β p ^{⋆  2} = γp ^⋆
2

⇒ elipsa

W granicy β → 1 (E ₁ ≫ m 2 ) pocisk rozprasza si ˛e zawsze ‘‘do przodu” !

(p _1,x ≥ 0 )

Zderzenia elastyczne

Nierelatywistyczne

W granicy m ₁ ≪ m 2 tarcza prze- jmuje bardzo niewielk ˛ a cz ˛e´s´c en- ergii pocisku.

Rozproszony pocisk ma prak- tycznie niezmienion ˛ a energi ˛e i warto´s´c p ˛edu.

V =02

V1

V’1

VCM

Rysunek dla m ₂ = 10 m ₁

Relatywistyczne

Nawet dla m ₁ ≪ m 2 , je´sli E ₁ ∼ m 2 pocisk mo˙ze przekaza´c tarczy znaczn ˛ a cz ˛e´s´c swojej energii.

Θ∗ Θ

Θ

p

p

p*

x y

Rysunek dla E ₁ = 3 m ₂ , m ₁ = 0.

Dla E ₁ ≫ m 2 nawet bardzo lekka sonda mo˙ze

“wybi´c” cz ˛ astk ˛e tarczy...

Zderzenia relatywistyczne

Przykład

Elektron o energii E _e = 50 GeV rozprasza si ˛e na spoczywaj ˛ acym protonie (m _p = 1 GeV). Jaka jest maksymalna energia jak ˛ a mo˙ze uzyska´c proton?

Masa niezmiennicza układu

M = ^q 2 E _e m _p + m ² _p ≈ ^q 2 E _e m _p = 10GeV 10.05GeV Współczynnik transformacji:

γ = E _e + m _p

M = 5.1 5.075 βγ = p _e

M = 5 4.975 Energia i p ˛ed protonu w CMS:

E _p ^⋆ = γm _p = 5.1 GeV p ^⋆ = βγm = 5 GeV Transformacja do LAB: (maksymalna energia gdy p ^⋆ _x = p ^⋆ )

E ^′ = γE ^⋆ + βγp ^⋆ _x = γ ² m _p + β ² γ ² m _p ≈ 51 GeV 50.50 GeV

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. W ruchu pod wpływem stałej siły, w przypadku relatywistycznym

A energia jest stała B pochodna p ˛edu jest stała C przyspieszenie jest stałe D pr ˛edko´s´c jest stała

2. Relatywistyczny zwi ˛ azek mi ˛edzy mas ˛ a i energi ˛ a kinetyczn ˛ a to

A E

= mc

γ(1 − β) B E

= mc

(γ − 1) C E

= mc

βγ D E

= mc

γ

3. Cz ˛ astka o masie m = 3 GeV /c

ma energi ˛e kinetyczn ˛ a E

= 2 GeV . Pr ˛edko´s´c tej cz ˛ astki wynosi

A 0.9c B 0.8c C 0.2c D 0.6c

4. W przypadku relatywistycznym pr ˛edko´s´c układu ´srodka masy β mo˙zemy wyrazi´c jako (c = 1)

A

B

C

D

5. W zderzeniu elastycznym cz ˛ astki poruszaj ˛ acej si ˛e z v ≈ c ze spoczywaj ˛ ac ˛ a tarcz ˛ a o takiej samej masie suma k ˛ atów rozproszenia jest

A wi ˛eksza ni˙z

B dowolna C mniejsza ni˙z

D mniejsza ni˙z

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego