Niech b¦d¡ dane nast¦puj¡ce odwzorowania: a) f : R3× R3× R3 → R f ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3), (z1, z2, z3

(1)

dr J.Kluczenko, dr K. yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 14 listopada 2015

Tensory

1. Udowodni¢, »e a) dimQR = ∞;

b) przestrze« liniowa R nad ciaªem Q nie ma bazy przeliczalnej.

2. Udowodni¢, »e T^k(V ) ⊗ T^l(V ) = T^k+l(V ).

3. Niech b¦d¡ dane nast¦puj¡ce odwzorowania:

a) f : R³× R³× R³ → R f ((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃), (z₁, z₂, z₃)) = x₂z₁− x₁z₂; b) g : R³× R³× R³ → R g((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃), (z₁, z₂, z₃)) = x₁y₁z₁ − x₃y₃z₃;

c) h : R³ × R³× R³ → R h((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃), (z₁, z₂, z₃)) = det





x₁ x₂ x₃ y1 y2 y3

z₁ z₂ z₃



. Rozwa», ich 3-liniowo±¢ i antysymetryczno±¢.

4. Niech C oznacza przestrze« liczb zespolonych nad R z baz¡ {1, i}, gdzie i² = −1. Zdeniujmy funkcj¦ f : C × C × C → R dan¡ wzorem f(c1, c₂, c₃) = Re(c₁c₂c₃). Wykaza¢, »e f ∈ T³(C ) oraz znale¹¢ wspóªczynniki tego 3-tensora w podanej bazie.

5. Niech dane b¦d¡ nast¦puj¡ce tensory:

• f : R²× R² → R dany wzorem f (x1, y₁), (x₂, y₂) = x₁y₁+ x₂y₂

• g : R² → R dany wzorem g (x, y) = x − y.

Oblicz f ⊗ g oraz g ⊗ f.

6. Niech b¦dzie dany tensor f : R³× R³× R³ → R, f((x1, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃), (z₁, z₂, z₃)) = x₂y₃z₁. Wyznacz za pomoc¡ alternacji tensor antysymetryczny dla f.

7. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne 2-tensora f : R³× R³ → R zadanego wzorem f(v, w) = (v × w)1,gdzie (v × w)₁ = (v₁, v₂, v₃) × (w₁, w₂, w₃)

1 =

v₂ v₃ w₂ w₃

. 8. Udowodni¢, »e (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).

9. Niech V = {f(x); f ∈ W (R, 3)}, gdzie W (R, 3) oznacza przestrze« wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego lub równego 3. Jest to przestrze« liniowa nad R wymiaru 4, której baz¡ jest {1, x, x², x³}. Wykaza¢, »e odwzorowanie zadane wzorem φ(f) = f⁰(x) jest liniowe i znale¹¢ macierz φ w danej bazie i bazie {1, 1 + x, 1 + x + x², 1 + x + x²+ x³}.

10. Udowodni¢, »e dla ka»dego ω ∈ T^k(V ) mamy Alt ω ∈ Λ^k(V ).

11. Udowodni¢, »e Alt(ω ⊗ Alt η) = Alt(ω ⊗ η) = Alt(Alt ω ⊗ η).

12. Wykaza¢, »e (ω ∧ η) ∧ ξ = ω ∧ (η ∧ ξ).

13. Wykaza¢, »e ω^k∧ η^l = (−1)^k·lη^l∧ w^k.

1

(2)

14. Udowodni¢, »e ω1∧ . . . ∧ ω_m = ^(k¹_k^+...+k^m⁾

1!...km! Alt(ω₁⊗ . . . ⊗ ω_m).

15. Udowodni¢, »e φ^∗◦ Alt = Alt ◦φ^∗.

16. Udowodni¢, »e ω ∈ Λ^k(V ) ⇔ ω ∈ T^k(V ) oraz Alt ω = ω.

17. Udowodni¢, »e φ^∗(ω ∧ η) = φ^∗(ω) ∧ φ^∗(η).

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R oraz V^k oznacza k-krotny produkt kartezja«ski przestrzeni V. Przeksztaªcenie f : V^k → W nazywamy k-liniowym (form¡ k-liniow¡), je»eli jest ono liniowe ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienna z osobna, tzn. dla dowolnych j = 1, 2, . . . , k dowolnych wektorów v1, . . . v_j, v_j⁰, . . . v_k∈ V oraz skalarów r, s ∈ R zachodzi:

f (v₁, . . . , rv_js + v⁰_j, . . . , v_k) = rf (v₁, . . . , v_j, . . . , v_k) + sf (v₁, . . . , v_j⁰, . . . , v_k)

Denicja 2. k-tensorem na przestrzeni liniowej V nazywamy ka»e przeksztaªcenie k-liniowe f : V^k→ R. Zbiór wszystkich k-tensorów na przestrzeni linowej V oznaczamy przez T^k(V ).

Denicja 3. Przestrze« V^∗ = T¹(V ) nazywamy przestrzeni¡ dualn¡ (sprz¦»on¡) do V.

Denicja 4. Iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych V1, V₂ nazywamy przestrze« wektorow¡

E wraz z dwuliniowym odwzorowaniem φ : V1× V2 → E takim, »e dla ka»dej przestrzeni wektorowej F i dla ka»dego odwzorowania dwuliniowego ψ : V1× V₂ → F istnieje jednoznaczne odwzorowanie f : E → F takie, »e:

f ◦ φ = ψ.

Denicja 5. Dla tensorów f ∈ T^k(V ), g ∈ T^l(V )deniujemy iloczyn tensorowy ⊗ : T^k(V )×T^l(V ) → T^k+l(V ) za pomoc¡ wzoru:

(f ⊗ g)(v₁, . . . , v_k, v_k+1, . . . , v_k+l) = f (v₁, . . . , v_k)g(v_k+1, . . . , v_k+l).

Niech ukªad wektorów {e1, . . . , en} b¦dzie baz¡ przestrzeni V, a {e^∗1, . . . e^∗₂ b¦dzie baz¡ do niej dualn¡ tzn.

e^∗_i(ej) = δij =

(1 dla i = j, 0 dla i 6= j.

Wówczas

a) e^∗_i₁ ⊗ . . . ⊗ e^∗_i

k(e_j₁, . . . , e_j_k) = δ_i₁_j₁ · . . . · δ_i_k_j_k b) dla dowolnego wektora x = Pⁿ

j=1

xⁱei, mamy e^∗i(x) = xⁱ

c) dla dowolnych wektorów x1 =

n

P

j=1

xⁱ₁e_i, . . . , x_k =

n

P

j=1

xⁱ_ke_i mamy e^∗i1 ⊗ . . . ⊗ e^∗_i

k(v₁, . . . , v_k) = xⁱ₁¹ · . . . · xⁱ_k^k

Twierdzenie 6. Niech {e1, . . . , e_n} jest baz¡ przestrzeni V. Wówczas ukªad {e^∗i1, . . . , e^∗_i

k} jest baz¡

przestrzeni T^k(V ), gdzie (i1, i₂, . . . , i_k = 1, 2, . . . , n). Ponadto dimT^k(V ) = n^k. 2

(3)

Denicja 7. Tensor ω ∈ T^k(V ) nazywamy antysymetrycznym (sko±nie symetrycznym) je»eli

∀_σ∈S_k∀_v₁_,...,v_k∈V ω(v₁, . . . , v_k) = sgn σ ω(v_σ(1), . . . , v_σ(k)), gdzie Sn oznacza zbór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.

Zbiór wszystkich k-liniowych tensorów antysymetrycznych okre±lonych na przestrzeni V oznaczamy poprzez Λ^k(V ).

Z dowolnego k-tensora mo»na otrzyma¢ k-tensor antysymetryczny poprzez operacj¦ alternacji.

Denicja 8. Niech ω ∈ T^k(V ). Operacj¦ alternacji (Alt) deniujemy wzorem Alt(ω)(v₁, . . . , v_k) := 1

k!

X

σ∈Sk

sgn σω(v_σ(1), . . . , v_σ(k))

Iloczyn tensorowy tensorów antysymetrycznych zazwyczaj nie jest tensorem antysymetrycznym.

Uzyskamy to poprzez operacj¦ iloczynu zewn¦trznego.

Denicja 9. Niech ω ∈ Λ^k(V ) oraz η ∈ Λ^l(V ). Iloczyn zewn¦trzny tensorów antysymetrycznych

∧ : Λ^k(V ) × Λ^l(V ) → Λ^k+l(V ) deniujemy wzorem:

ω^k∧ η^l = (k + l)!

k! · l! Alt(ω^k⊗ η^l).

Denicja 10. Niech φ : V1 → V₂, gdzie V1, V₂ s¡ przestrzeniami liniowymi sko«czonego wymiaru.

Okre±lamy operacj¦ cofania tensorów φ^∗ : T^k(V₂) → T^k(V₁) dan¡ wzorem:

φ^∗ ω)(v₁, . . . , v_k) := ω(φ(v₁), . . . , φ(v_k), gdzie ω ∈ T^k(V₂) oraz v1, . . . v_k∈ V₁.

Wªasno±ci cofania:

1) φ^∗ jest liniowe,

2) niech φ : V1 → V2 oraz ψ : V2 → V3, wówczas (ψ ◦ φ)^∗ = φ^∗◦ ψ^∗, 3) je»eli φ = idV, to φ^∗ = id_T^k_{(V )},

4) φ^∗(ω ⊗ η) = φ^∗(ω) ⊗ φ^∗(η), 5) φ^∗◦ Alt = Alt ◦φ^∗,

6) niech φ : V1 → V₂ oraz ω ∈ Λ^k(V₂), to φ^∗(ω) ∈ Λ^k(V₁), 7) φ(ω ∧ η) = φ^∗(ω) ∧ φ^∗(η).

Fakt 11. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad R wymiaru sko«czonego z baz¡ {e1, . . . , e_n}. Wów- czas zbiór wszystkich iloczynów zewn¦trznych postaci:

e^∗_i₁ ∧ . . . ∧ e^∗_i₁, gdzie 1 ≤ i1 < i₂ < . . . < i_k ≤ n stanowi baz¦ przestrzeni Λ^k(V ), a jej wymiar wynosi ⁿ_k .

3