x2y x2+y2−25, (iv) f(x, y

1. Wyznaczyć i narysować dziedziny funkcji dwóch (lub trzech) zmiennych:

(i)f(x, y) =√

xsiny, (ii) f(x, y) = arc sin
y −√x, (iii) f(x, y) = √ ^x2y

x²+y²−25, (iv) f(x, y) = ln_9−x^x2+y2²−y⁻⁴², (v) f(x, y, z) =√

x +√

y − 1 +√

z − 2, (vi) f(x, y, z) = arc sin(x²+y²+z² − 2).

2. Znaleźć poziomice wykresów funkcji dwóch zmiennych i na tej podstawie naszkicować te wykresy:

(i)f(x, y) = 2 − x²− y², (ii) f(x, y) = _1+x¹2+y², (iii) f(x, y) = −√

9− y², (iv) f(x, y) = 3(x²+y²), (v) f(x, y) = 6 − 3x − 2y, (vi) f(x, y) = 1 −√

2x − x² + 4y − y², (vii) f(x, y) =√

x²+y², (viii) f(x, y) = siny, (ix)f(x, y) = e^x−y. 3. Niech f :R² →R. Zbadać istnienie granicy lim(x,y)→(0,0)f(x, y) dla:

(i)f(x, y) = x − 2y + 1, (ii) f(x, y) = ^x_y2²+3⁺¹, (iii) f(x, y) = (x² + 6y⁴+ 3)cos(x + y).

4. Niech f :R²\ {Θ} →R. Czy istnieje granica lim_(x,y)→Θf(x, y), jeśli:

(i)f(x, y) = ^x3_x^+(x2+y²²⁾³, (ii) f(x, y) = _x2^x+y^{2 2}, (iii) f(x, y) = _x^x4²+y^y24, (iv) f(x, y) = _x^x2²+y^y24, (v) f(x, y) = _x^xy2+y²⁴, (vi) f(x, y) = ^sin(x³+y³)

x²+y² , (vii) f(x, y) = _x2+y^{1 2}, (viii) f(x, y) = ^exp



−_x2+y2¹ 

x⁴+y⁴ , (ix) f(x, y) = ^exp

−_x2+y2¹ 

x⁸+y⁸ , (x) f(x, y) = √ ^x2+y2

x²+y²+1−1, (xi) f(x, y) = (1 + x²· y²)^−x2+y21 , (xii) f(x, y) = _x^x·y2+y²², (xiii) f(x, y) = ^1−cos(x²+y²)

[x²+y²]x²y² , (xiv) f(x, y) = ^sin(x⁴+y⁴)

x²+y² , (xv) f(x, y) = √

x²y²+1−1 x²+y² , (xvi) f(x, y) =











xsiny+ysinx

xy , gdy xy = 0,

sinxx , gdyx = 0, y = 0,

sinyy , gdyx = 0, y = 0.

Arkusz 4