Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f : U ⊂R2 →R lub f : U ⊂R3 →R określonych: (i)f(x, y

1. Sprawdzić, że druga różniczka funkcji f : R^k → R, f(x) = exp (x²₁+· · · + x²_k) = e
^x
2 w punkcie Θ jest dodatnia.

2. Wykazać, że 2m−ta różniczka funkcji f(x) = exp (x^2m₁ +· · · + x^2m_k ), x ∈R^k jest w punkcie Θ dodatnia.

3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji (i)f(x1, x2) = 2x1x2− 3x²₁− 2x²₂+ 10, (ii) f(x1, x2) =e^2x1(x1 +x²₂+ 2x2).

4. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f : U ⊂R² →R lub f : U ⊂R³ →R określonych:

(i)f(x, y) = (8x²− 6xy + 3y²)exp(2x + 3y), (ii) f(x, y) = xy
1− ^x_a²2 − ^y_b²2, gdzie a, b > 0, (iii) f(x, y) = x⁴+y⁴,

(iv) f(x, y) = y√

1 +x + x√ 1 +y, (v) f(x, y) = sin(x)cos(y),

(vi) f(x, y) = x⁴ +y⁴− 2x²− 4xy − 2y², (vii) f(x, y, z) = 2x²+y²+ 2z − xy − xz,

(viii) f(x, y, z) = 3lnx + 2lny + 5lnz + ln(22 − x − y − z), (ix) f(x, y) = x³ +y²,

(x) f(x, y) = x − 2y + ln√

x²+y²+ 3arctg^y_x, (xi) f(x, y) = e^2x+3y(8x² − 6xy + 3y²), (xii) f(x, y) = (x − 1)²− 2y².

5. Udowodnić nierówność:

xe^x(1+y2)2  −e⁻¹ dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y.

6. Znaleźć najmniejsza i najwi
eksz
a wartość funkcji f :
R² →R (o ile istnieja ) oraz narysować
jej wykres, jeśli:

(i)f(x, y) = (x²+y²)exp(−(x²+y²)), (ii) f(x, y) = (x²+y²+ 1)exp(−(x² +y²)), (iii) f(x, y) = (x²+y²)exp(4− exp(x²+y²)), (iv) f(x, y) = xy.

Arkusz 10