Funkcje wielu zmiennych
Informacje pomocnicze
De nicja 1. Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x
0, y
0).
Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej x w punkcie (x
0, y
0) okre±lamy wzorem:
∂f
∂x (x
0, y
0) := lim
t→0
f (x
0+ t, y
0) − f (x
0, y
0)
t .
Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej y w punkcie (x
0, y
0) okre±lamy wzorem:
∂f
∂y (x
0, y
0) := lim
t→0
f (x
0, y
0+ t) − f (x
0, y
0)
t .
Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje
∂f
∂x
(x, y) ,
∂f∂y(x, y) nazywamy pochodnymi cz¡stkowymi pierwszego rz¦du funkcji f w zbiorze D.
Uwaga 2. Pochodna cz¡stkowa
∂f∂x(x, y) jest pochodn¡ funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa. Analogicznie mo»na interpretowa¢ pochodn¡ cz¡stkow¡
∂f∂x(x, y) :
∂f
∂x (x, y) = d
d x [f (x, y)|
y=const.)];
∂f
∂y (x, y) = d
d y [f (x, y)|
x=const.)].
Zatem obliczanie pochodnych cz¡stkowych mo»na wykonywa¢ z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania. Pami¦taj¡c, »e przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem x (symbol
∂f∂x(x, y) lub f
x(x, y) ) nale»y uwa»a¢ y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem y (symbol
∂f
∂y
(x, y) lub f
y(x, y) ) nale»y uwa»a¢ x za staªa.
De nicja 3. Pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) które oznaczamy symbolami
∂∂x2f2,
∂x∂y∂2f,
∂y∂x∂2f,
∂∂y2f2nazywamy pochodne cz¡stkowe jej pochodnych cz¡stkowych
∂f∂x,
∂f∂ytzn.
∂
2f
∂x
2= ∂
∂x
∂f
∂x
, ∂
2f
∂x∂y = ∂
∂x
∂f
∂y
,
∂
2f
∂y∂x = ∂
∂y
∂f
∂x
, ∂
2f
∂y
2= ∂
∂y
∂f
∂y
.
U»ywamy nast¦puj¡cych oznacze«:
∂∂x2f2= f
xx,
∂x∂y∂2f= f
xy,
∂y∂x∂2f= f
yx,
∂∂y2f2= f
yy. Twierdzenie 4. (Schwarza o równo±ci pochodnych mieszanych)
Je»eli w otoczeniu punktu (x, y) pochodne cz¡stkowe (MIESZANE)
∂x∂y∂2f,
∂y∂x∂2fistniej¡ i s¡ ci¡gªe w tym punkcie, to s¡ równe:
∂
2f
∂x∂y (x, y) = ∂
2f
∂y∂x (x, y).
De nicja 5. (ró»niczkowalno±¢ funkcji dwóch zmiennych w punkcie)
Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R
2okre±lon¡ na otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D nazywamy ró»niczkowaln¡
w punkcie (x
0, y
0), je»eli istnieje taki wektor (a
1, a
2) ∈ R
2, »e lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) − f (x
0, y
0) − a
1(x − x
0) − a
2(y − y
0) p(x − x
0)
2+ (y − y
0)
2= 0.
Twierdzenie 6. Je»eli funkcja f : D ⊆ R
2→ R jest ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0), to istniej¡
pochodne cz¡stkowe f
x0(x
0, y
0), f
y0(x
0, y
0) oraz
a
1= f
x0(x
0, y
0) a
2= f
y0(x
0, y
0).
Zatem na mocy de nicji 5 i twierdzenia 6 mamy
Fakt 7. Niech funkcja f : D → R, D ⊆ R
2b¦dzie okre±lona na otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D oraz istniej¡ pochodne cz¡stkowe
∂f∂x(x
0, y
0),
∂f∂y(x
0, y
0). Wówczas funkcja f(x, y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0), gdy:
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) − f (x
0, y
0) −
∂f∂x(x
0, y
0)(x − x
0) −
∂f∂y(x
0, y
0)(y − y
0) p(x − x
0)
2+ (y − y
0)
2= 0.
Twierdzenie 8. Funkcja ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0) jest w tym punkcie ci¡gªa.
De nicja 9. (ró»niczka zupeªna funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f : D ⊆ R
2→ R b¦dzie okre±lona i ró»niczkowalna na otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D.
Ró»niczk¡ zupeªn¡ funkcji f w punkcie (x
0, y
0) nazywamy wyra»enie:
df (x
0, y
0)(dx, dy)
def= ∂f
∂x (x
0, y
0)dx + ∂f
∂y (x
0, y
0)dy, (1)
gdzie dx, dy to dowolne przyrosty odpowiednio zmiennych x i y.
Fakt 10. (równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni)
Niech funkcja f(x, y) b¦dzie ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0). Wówczas dowolny wektor normalny pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0, y
0, f (x
0, y
0)), jest postaci
~ n =
h
∂f∂x
(x
0, y
0),
∂f∂y(x
0, y
0), −1 i, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0, y
0) wyra»a si¦ wzorem:
∂f
∂x (x
0, y
0)(x − x
0) + ∂f
∂y (x
0, y
0)(y − y
0) − z − f (x
0, y
0) = 0. (2) Fakt 11. (równanie prostej normalnej do powierzchni)
Niech funkcja f(x, y) b¦dzie ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0). Prost¡ przechodz¡c¡ przez punkt (x
0, y
0) i prostopadª¡ do pªaszczyzny stycznej nazywamy normaln¡ do powierzchni w punkcie (x
0, y
0, f (x
0, y
0)). Prosta normalna ma nast¦puj¡ce przedstawienie parametryczne:
x = x
0+
∂f∂x(x
0, y
0) · t y = y
0+
∂f∂y(x
0, y
0) · t z = f (x
0, y
0) − t,
t ∈ R.
De nicja 12. (pochodna kierunkowa)
Niech funkcja f : D ⊆ R
2b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D. Wówczas pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) [~h] = [h
1, h
2] okre±lamy wzorem:
∂f
∂~h (x
0, y
0)
def= lim
t→0+
f (x
0+ th
1, y
0+ th
2) − f (x
0, y
0)
t .
Stosowa¢ b¦dziemy równie» oznaczenie f
h0(x
0, y
0)
De nicja 13. Niech funkcja f : D ⊆ R
2posiada w punkcie (x
0, y
0) ∈ D pochodne cz¡stkowe
∂f∂x,
∂f∂yGradientem (oznaczenie ∇f)funkcji f(x, y) w punkcie (x
0, y
0) nazywamy wektor :
∇f (x
0, y
0)
def= ∂f
∂x (x
0, y
0), ∂f
∂y (x
0, y
0)
.
Twierdzenie 14. Je»eli funkcja f : D ⊆ R
2ma w otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:
∂f
∂~h (x
0, y
0) = ∇f (x
0, y
0) ◦ ~h = ∂f
∂x (x
0, y
0)h
1+ ∂f
∂y (x
0, y
0)h
2.
Twierdzenie 15. Je»eli funkcja f : D ⊆ R
2ma w punkcie (x
0, y
0) ∈ D ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:
∂f
∂~h (x
0, y
0) = ∇f (x
0, y
0) ◦ [cos α, cos β] = ∂f
∂x (x
0, y
0) cos α + ∂f
∂y (x
0, y
0) cos β,
gdzie α, β to k¡ty jakie tworzy wektor ~h kolejno z osiami Ox i Oy. Ponadto cos
2α + cos
2β = 1, wi¦c cos β = sin α.
W podobny sposób de niujemy gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji trzech zmiennych.
Uwagi dotycz¡ce ró»niczkowalno±ci funkcji f : D ⊆ R
2w punkcie (x
0, y
0) ∈ D. Funkcja f nie jest ró»niczkowalna w punkcie (x
0, y
0) ∈ D je»eli:
1. nie jest okre±lona na otoczeniu punktu (x
0, y
0);
2. nie jest ci¡gªa w punkcie (x
0, y
0) ∈ D;
3. nie istnieje przynajmniej jedna z pochodnych cz¡stkowych
∂f∂x(x
0, y
0),
∂f∂y(x
0, y
0) (chocia» jest okre±lona w punkcie (x
0, y
0) i ci¡gªa w tym punkcie);
4. nie istnieje pochodna kierunkowa dla pewnego wektora ~h = [h
1, h
2] (chocia» funkcja jest ci¡gªa i wszystkie pochodne cz¡stkowe mog¡ istnie¢);
5. dla ka»dego ~h = [h
1, h
2] istnieje pochodna kierunkowa f
h0(x
0) ale nie jest funkcj¡ liniow¡;
6. dla ka»dego ~h = [h
1, h
2] istnieje pochodna kierunkowa f
h0(x
0) oraz jest funkcj¡ liniow¡, ale nie jest speªniony warunek lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x,y)−f (x0,y0)−∂f∂x(x0,y0)(x−x0)−∂f∂y(x0,y0)(y−y0)
√
(x−x0)2+(y−y0)2
= 0.
De nicja 16. Funkcj¦ f : D ⊆ R
2→ R, gdzie D jest obszarem nazywamy klasy C
pw zbiorze D (piszemy f ∈ C
p(D) ) je»eli posiada w zbiorze D wszystkie pochodne cz¡stkowe do rz¦du p wª¡cznie.
De nicja 17. Niech funkcja f : D ⊆ R
2→ R b¦dzie klasy C
p(D). Drug¡,..., n-t¡ ró»niczk¦ funkcji f w punkcie (x, y) b¦dziemy oznacza¢ poprzez d
2f (x, y)(dx, dy), ..., d
nf (x, y)(dx, dy) i de niowa¢
wzorami:
d
2f (x, y)(dx, dy) = d
df (x, y)(dx, dy)
, ..., d
nf (x, y)(dx, dy) = d
d
n−1f (x, y)(dx, dy) . Zatem :
d
2f (x, y)(dx, dy) = ∂
2f
∂x
2(x, y)(dx)
2+ 2 ∂
2f
∂x∂y (x, y)dx dy + ∂
2f
∂y
2(x, y)(dy)
2oraz
d
nf (x, y)(dx, dy) =
n
X
k=0
n k
∂
nf
∂x
k∂y
n−k(x, y)(dx)
k(dy)
n−k. (3) Twierdzenie 18. (wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a)
Niech f : D ⊆ R
2→ R, gdzie D jest obszarem zawieraj¡cym odcinek o ko«cach P
0= (x
0, y
0), P
1= (x
0+ h
1, y
0+ h
2). Je±li funkcja f ∈ C
n(D), to istnieje θ ∈ (0, 1) taka, »e
f (x
0+ h
1, y
0+ h
2) = f (x
0, y
0) + df (x
0, y
0)(h
1, h
2) + 1
2! d
2f (x
0, y
0)(h
1, h
2) + . . . + 1
(n − 1)! d
n−1f (x
0, y
0)(h
1, h
2) + 1
n! d
nf (x
0+ θh
1, y
0+ θh
2)(h
1, h
2), Ekstrema lokalne
De nicja 19. Mówimy, »e funkcja f(x, y) posiada w punkcie (x
0, y
0) maksimum (minimum) lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu (x
0, y
0) takie, »e dla ka»dego punktu (x, y) ∈ O((x
0, y
0), δ) speªniona jest nierówno±¢ :
f (x, y) ≤ f (x
0, y
0)
f (x, y) ≥ f (x
0, y
0)
. (4)
Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie 20. (warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych)
Niech f : D ⊆ R
2→ R, gdzie D jest obszarem. Je»eli funkcja f(x, y) jest ci¡gªa wraz ze swoimi pochodnymi cz¡stkowymi w otoczeniu punktu (x
0, y
0) ∈ D oraz osi¡ga w tym punkcie ekstremum lokalne to:
∂f
∂x (x
0, y
0) = 0, oraz ∂f
∂y (x
0, y
0) = 0. (5)
Twierdzenie 21. Niech wyznacznik pochodnych cz¡stkowych drugiego rz¦du funkcji f, w punkcie (x
0, y
0) tzw. wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez ∆
2:
∆
2=
∂2f
∂x2
(x
0, y
0)
∂x∂y∂2f(x
0, y
0)
∂2f
∂y∂x
(x
0, y
0)
∂∂y2f2(x
0, y
0)
.
Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x
0, y
0) oraz obie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w tym punkcie s¡ równe zeru
∂f
∂x (x
0, y
0) = 0, ∂f
∂y (x
0, y
0) = 0.
Wówczas:
a) je±li ∆
2> 0 oraz ∆
1=
∂∂x2f2(x
0, y
0) > 0, to w punkcie (x
0, y
0) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;
b) je±li ∆
2> 0 oraz ∆
1< 0, to w punkcie (x
0, y
0) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;
c) je»eli ∆
2< 0, to w punkcie(x
0, y
0) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
d) je»eli ∆
2= 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x
0, y
0) przeprowadzamy innymi me- todami.
W przypadku funkcji wi¦cej ni» dwóch zmiennych w celu znalezienia ekstremów lokalnych mo»emy stosowa¢ równie» nast¦puj¡ce twierdzenia 24 i 25.
De nicja 22. Niech f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R
k, gdzie k ≥ 2. Je»eli funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du w punkcie x ∈ D, to funkcj¦:
d
2f (x)(h) =
k
X
i,j=1
∂
2f
∂x
i∂x
j(x)h
ih
j, gdzie h ∈ R
k(6) nazywamy form¡ kwadratow¡ funkcji f.
De nicja 23. Form¦ kwadratow¡ d
2f (x)(h) nazywamy:
• dodatnio okre±lon¡ je»eli d
2f (x)(h) > 0 dla ka»dego niezerowego h ∈ R
k;
• ujemnie okre±lon¡ je»eli d
2f (x)(h) < 0 dla ka»dego niezerowego h ∈ R
k;
• nieokre±lon¡ je»eli przyjmuje warto±ci zarówno dodatnie jak i ujemne.
Twierdzenie 24. Niech f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R
k, gdzie k ≥ 2. Je-
»eli funkcja f ∈ C
2(D), x
0∈ D ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du w punkcie x
0∈ D,
∂x∂fi
(x
0) = 0, dla i = 1, 2, ...k, wówczas:
• je»eli d
2f (x
0)(h) jest form¡ dodatnio okre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x
0wªa±ciwe mini- mum lokalne;
• je»eli d
2f (x
0)(h) jest form¡ ujemnie okre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x
0wªa±ciwe maksi- mum lokalne;
• je»eli d
2f (x
0)(h) jest form¡ nieokre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x
0nie posiada ekstremum
lokalnego.
Twierdzenie 25. (kryterium Sylwestera) Niech d
2f (x)(h) =
k
P
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(x)h
ih
j, b¦dzie forma kwadratow¡. Rozwa»my macierz:
A =
∂2f
∂x1∂x1
(x
0) ...
∂x∂2f1∂xk
(x
0) ... ... ...
∂2f
∂xk∂x1
(x
0) ...
∂x∂2fk∂xk
(x
0)
.
Wówczas forma d
2f (x
0)(h) jest:
• dodatnio okre±lona je»eli wszystkie minory gªówne A
i, i = 1, 2, ..., k macierzy A s¡ dodatnie.
• ujemnie okre±lona je»eli minory gªówne speªniaj¡ warunki A
1< 0, A
2> 0, A
3< 0, A
4> 0, ...
• nieokre±lona w pozostaªych przypadkach.
Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych (absolutnych) funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkni¦tym:
1. Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn¡trz obszaru otwartego;
2. Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstrema warunkowe. W tym celu skªadamy funkcj¦ dwóch zmiennych z funkcj¡ okre±laj¡c¡ brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli¢ na sum¦ cz¦±ci, które mo»na opisa¢ równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)).
3. Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto±¢ najmniejsz¡ i naj- wi¦ksz¡ w tym obszarze domkni¦tym.
Twierdzenie 26. (metoda mno»ników Lagrange'a )
Niech f : D ⊆ R
n→ R. Je»eli funkcja f(x
1, x
2, ..., x
n) przy k (gdzie k < n) warunkach postaci:
g
1(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, g
2(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, ... g
k(x
1, x
2, ..., x
n) = 0 (7) posiada w punkcie (x
1, x
2, ..., x
n) ekstremum lokalne, to istniej¡ takie mno»niki λ
1, ..., λ
k∈ R, »e
∂f
∂x1
(x
1, x
2, ..., x
n) + λ
1∂g1∂x1
(x
1, x
2, ..., x
n) + ... + λ
k∂gk∂x1
(x
1, x
2, ..., x
n) = 0,
∂f
∂x2
(x
1, x
2, ..., x
n) + λ
1∂x∂g12
(x
1, x
2, ..., x
n) + ... + λ
k∂g∂xk2
(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, ...
∂f
∂xn
(x
1, x
2, ..., x
n) + λ
1∂x∂g1n
(x
1, x
2, ..., x
n) + ... + λ
k∂x∂gkn
(x
1, x
2, ..., x
n) = 0.
Algorytm wyznaczania ekstremów warunkowych
Niech f : D ⊆ R
n→ R. Chc¡c wyznaczy¢ ekstrema warunkowe funkcji f(x
1, x
2, ..., x
n) przy k warunkach postaci (7) nale»y szuka¢ punktów x
1, x
2, ..., x
n, w których mog¡ istnie¢ ekstrema lokalne funkcji:
Φ(x
1, x
2, ..., x
n) := f (x
1, x
2, ..., x
n) + λ
1g
1(x
1, x
2, ..., x
n) + ... + λ
kg
k(x
1, x
2, ..., x
n),
gdzie λ
1, ..., λ
k∈ R s¡ czynnikami (mno»nikami) staªymi. W tym celu z ukªadu n + k równa«:
∂Φ
∂x1
(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, ...
∂Φ
∂xn
(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, g
1(x
1, x
2, ..., x
n) = 0, ...
g
k(x
1, x
2, ..., x
n) = 0
z n + k niewiadomymi x
1, x
2, ..., x
n, λ
1, ..., λ
kwyznaczamy x
1, x
2, ..., x
n. Twierdzenie 27. (twierdzenie o funkcji uwikªanej)
Niech funkcja F (x, y) b¦dzie okre±lona na otoczeniu punktu (x
0, y
0). Ponadto niech na otoczeniu tego punktu posiada ci¡gªe pochodne cz¡stkowe
∂F∂x,
∂F∂yoraz
F (x
0, y
0) = 0 i ∂F
∂y (x
0, y
0) 6= 0.
Wówczas:
a) w pewnym otoczeniu punktu x
0istnieje dokªadnie jedna funkcja y = y(x) speªniaj¡ca warunki y
0= y(x
0) i F (x, y) = 0 dla ka»dego x z tego otoczenia;
b) funkcja y = y(x) jest ci¡gªa w pewnym otoczeniu punktu x
0i ma w nim ci¡gª¡ pochodn¡ dan¡
wzorem:
dy dx = −
∂F
∂x
∂F
∂y
.
Uwaga 28. Dla funkcji uwikªanej trzech zmiennych F (x, y, z) o ile funkcja F jest ci¡gªa, posiada ci¡gªe pochodne cz¡stkowe
∂F∂x,
∂F∂y,
∂F∂zoraz
F (x
0, y
0, z
0) = 0 i ∂F
∂z (x
0, y
0, z
0) 6= 0,
to w pewnym otoczeniu punktu (x
0, y
0) funkcja z = z(x, y) ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, które wyra»aj¡ si¦ wzorami
dz dx = −
∂F
∂x
∂F
∂z
, dz
dy = −
∂F
∂y
∂F
∂z
.
Zadania
1. Wyznacz dziedziny naturalne funkcji:
(a) f (x, y, z) = x
2y
3− z sin y; (b) f (x, y) = √
1 − x
2+ py
2− 1;
(c) f (x, y) =
x√
2sin x+y3−1x2+y2−9
; (d) f (x, y) = ln(4x + yx);
(e) f (x, y) = arcsin
x+yx; (f ) f (x, y, z) = ln(−1 − x
2− y
2+ z
2).
2. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) =
x−yx+ygranice iterowane lim
x→0
lim
y→0
f (x, y) = 1, lim
y→0
lim
x→0f (x, y)
=
−1 oraz nie istnieje granica lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y).
3. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) =
x2y2x+(x−y)2y2 2granice iterowane lim
x→0
y→0
lim f (x, y)
, lim
y→0
x→0
lim f (x, y) istniej¡ i s¡ równe, a nie istnieje granica lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y).
4. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) = (x+y) sin
x1sin
1ygranice iterowane lim
x→0
y→0
lim f (x, y)
, lim
y→0
x→0
lim f (x, y) nie istniej¡, a istnieje granica lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y).
5. Oblicz (o ile istniej¡) granice:
(a) lim
(x,y)→(∞,∞) x+y
x2−xy+y2
(b) lim
(x,y)→(∞,∞) x2+y2 x4+y4
(c) lim
(x,y)→(∞,a)
1 +
1xx+yx2(d) lim
(x,y)→(0,0) x3 2x2+y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
4 sin(xy)
2xy
(f) lim
(x,y)→(0,0)
1−cos(x2+y2) (x2+y2)2
(g) lim
(x,y)→(0,0) x2−y2
x2+y2
(h) lim
(x,y)→(0,0) xy2 x2+y4
(i) lim
(x,y)→(0,0)
(1 + x
2+ y
2)
1
x2+y2
(j) lim
(x,y)→(∞,∞) x2+y4 x4+y2
. 6. Znale¹¢ punkty nieci¡gªo±ci (o ile istniej¡) podanych funkcji:
(a) f(x, y) = (
xyx2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0) (b) f(x, y) =
(p 1 − x
2− y
2dla x
2+ y
2< 1
0 dla x
2+ y
2≥ 1
(c) f(x, y) =
(
x3y3x2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0) (d) f(x, y) =
(p x
2+ y
2dla x ≥ 0 2 dla x < 0
(e) f(x, y, z) =
(
sin x+sin |y|+sin |z||x|+|y|+|z|
dla (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 1 dla (x, y, z) = (0, 0, 0)
7. Na podstawie de nicji oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji w punkcie (0, 0) :
(a) f (x, y) =
( x
2+ y
2dla xy = 0
0 dla xy 6= 0; ; (b) f (x, y) = p2x
3 3− y
3;
(c) f (x, y) =
(
x2x2+y2−1
dla (x, y) = (0, 0) 0 dla (x, y) 6= (0, 0) . 8. Poka», »e funkcja f(x, y) =
(
xyx2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0) posiada pochodne cz¡stkowe pierw-
szego rz¦du w ka»dym punkcie (x, y) ∈ R
2, ale nie jest ci¡gªa w punkcie (0, 0).
9. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania):
(a) f (x, y) = x
2y
3− x sin y; (b) f (x, y, z) = x
5y
10− x
3sin z + y
2e
z; (c) f (x, y) = x
y; (d) f (x, y) = (ln x)
sin y;
(e) f (x, y, z) = (2x + 3z)
yz; (f ) f (x, y, z) = xy
z; (g) f (x, y) = ln sin(x − 2y); (h) f (x, y) = (1 + xy)
y;
(i) f (x, y) = ye
x+xy; (j) f (x, y) = ln(x + px
2+ y
2);
(k) f (x, y) = (x + y) ln
2(1 − x − y); (l) f (x, y) =
5+2xy ln xx ln y; (m) f (x, y) = e
3xarctg(xy); (n) f (x, y) = arcsin q
x2−y2 x2+y2
;
(o) f (u, v) = ln(u
2+ v
2), gdzie u = xy, v =
xy; (p) f (u, v) = u
2v − uv
2, gdzie u = x sin y, v = xy;
10. Oblicz pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du podanych funkcji:
(a) f (x, y) =
12ln(x
2+ y
2); (b) f (x, y) = arctg
1−xyx+y;
(c) f (x, y) = sin xy; (d) f (x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y);
(e) f (x, y, z) = e
xyz; (f ) f (x, y, z) = px
2+ y
2+ z
2. 11. Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie:
(a) f (x, y) = 5x
2y − 3xy
3+ y
4, (x
0, y
0) = (1, 2);
(b) f (x, y) = sin
πpx
2+ y
2(x
0, y
0) = (3, 4);
(c) f (x, y, z) =
xyz23(x
0, y
0, z
0) = (−2, 1, 3).
12. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x
0, y
0) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):
(a) f (x, y) = y
2+ ln(xy), (x
0, y
0) = (2, 1), ~h = [1, 1]
(b) f (x, y) = x
2+ xy + 3y − 1, (x
0, y
0) = (1, 1), w kierunku punktu (x
1, y
1) = (2, 1);
(c) f (x, y) = pxy
3 2, (x
0, y
0) = (0, 0), ~h = [
√22,
√ 2 2
];
(d) f (x, y) = 3x
4+ xy + y
3, (x
0, y
0) = (1, 2), α = 135
o;
(e) f (x, y) = xy, (x
0, y
0) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu.
13. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x, y) w punkcie (0, 0) : (a) f (x, y) =
(
y3−x3x2+2y2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f (x, y) = √
3xy;
(c) f (x, y) = |xy|; (d) f (x, y) =
( √
xyx2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0).
(e) f (x, y) = x
2· √
3y w punkcie (1, 0); (f ) f (x, y) = p|x − y| · xy.
314. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji f(x, y), istnienie i ci¡gªo±¢ pochodnych cz¡stkowych oraz ró»niczkowal- no±¢ funkcji danej wzorem:
(a) f (x, y) =
(
x3+y4x2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f (x, y) = px
4+ y
4; 15. Napisz ró»niczk¦ zupeªn¡ podanych funkcji:
(a) f (x, y) = √
xx2+y2
