Denicja 1. Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

Funkcje wielu zmiennych cz. 2

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

, y

).

Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej x w punkcie (x

, y

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂x (x

, y

) := lim

t→0

f (x

+ t, y

) − f (x

, y

)

t .

Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej y w punkcie (x

, y

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂y (x

, y

) := lim

t→0

f (x

, y

+ t) − f (x

, y

)

t .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje

∂f

∂x

(x, y) ,

(x, y) nazywamy pochodnymi cz¡stkowymi pierwszego rz¦du funkcji f w zbiorze D.

Uwaga 2. Pochodna cz¡stkowa

(x, y) jest pochodn¡ funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa. Analogicznie mo»na interpretowa¢ pochodn¡ cz¡stkow¡

(x, y) :

∂f

∂x (x, y) = d

d x [f (x, y)|

)];

∂f

∂y (x, y) = d

d y [f (x, y)|

)].

Zatem obliczanie pochodnych cz¡stkowych mo»na wykonywa¢ z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania. Pami¦taj¡c, »e przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem x (symbol

(x, y) lub f

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem y (symbol

∂f

∂y

(x, y) lub f

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ x za staªa.

Denicja 3. (ró»niczkowalno±¢ funkcji wielu zmiennych w punkcie)

Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R

okre±lon¡ na otoczeniu punktu x

∈ D nazywamy ró»niczkowaln¡ w punkcie x

, je»eli istnieje taki wektor a ∈ R

, »e

h→0

lim

|f (x

+ h) − f (x

) − a · h|

||h|| = 0.

W powy»szej denicji h = (h

, h

, . . . , h

) ∈ R

, ||h|| = ph

+ h

+ . . . + h

oraz a · h oznacza iloczyn skalarny wektorów a i h.

Denicja 4. (inna denicja ró»niczkowalno±¢ funkcji w punkcie: dla dwóch zmiennych)

Niech f : D → R, D ⊆ R

b¦dzie okre±lon¡ na otoczeniu punktu (x

, y

) ∈ D oraz istniej¡ pochodne cz¡stkowe

(x

, y

),

(x

, y

). Wówczas mówimy, »e funkcja f(x, y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x

, y

), gdy:

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) − f (x

, y

) −

(x

, y

)(x − x

) −

(x

, y

)(y − y

)

p(x − x

)

+ (y − y

)

= 0.

Denicja 5. (ró»niczka funkcji trzech zmiennych)

Niech funkcja f ma pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

, y

, z

). Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie (x

, y

, z

) nazywamy wyra»enie:

df (x

, y

, z

)

= ∂f

∂x (x

, y

, z

)(x − x

) + ∂f

∂y (x

, y

, z

)(y − y

) + ∂f

∂z (x

, y

, z

)(z − z

). (1) Fakt 6. (równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni)

Niech funkcja f(x, y) b¦dzie ró»niczkowalna w punkcie (x

, y

). Wówczas dowolny wektor normalny pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, y

, f (x

, y

)), jest postaci

~ n = h

∂f

∂x

(x

, y

),

(x

, y

), −1 i, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, y

) wyra»a si¦ wzorem:

∂f

∂x (x

, y

)(x − x

) + ∂f

∂y (x

, y

)(y − y

) − z − f (x

, y

)
= 0. (2) Fakt 7. (równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni)

Niech funkcja f(x, y) b¦dzie ró»niczkowalna w punkcie (x

, y

). Prost¡ przechodz¡c¡ przez punkt (x

, y

) i prostopadª¡ do pªaszczyzny stycznej nazywamy normaln¡ do powierzchni w punkcie (x

, y

, f (x

, y

)). Prosta normalna ma nast¦puj¡ce przedstawienie parametryczne:



 

 

x = x

+

(x

, y

) · t y = y

+

(x

, y

) · t z = f (x

, y

) − t,

t ∈ R.

Denicja 8. Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) oznaczamy symbolami

,

,

,

nazywamy pochodne cz¡stkowe jej pochodnych cz¡stkowych

,

tzn.

∂

f

∂x

= ∂

∂x

 ∂f

∂x



, ∂

f

∂x∂y = ∂

∂x

 ∂f

∂y

 ,

∂

f

∂y∂x = ∂

∂y

 ∂f

∂x



, ∂

f

∂y

= ∂

∂y

 ∂f

∂y

 .

U»ywamy nast¦puj¡cych oznacze«:

= f

,

= f

,

= f

,

= f

. Twierdzenie 9. (Schwarza o równo±ci pochodnych mieszanych)

Je»eli pochodne cz¡stkowe (MIESZANE)

,

s¡ ci¡gªe w punkcie (x

, y

), to s¡ równe:

∂

f

∂x∂y (x

, y

) = ∂

f

∂y∂x (x

, y

).

Denicja 10. (pochodna kierunkowa)

Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

, y

). Wówczas pochodn¡

kierunkow¡ funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) ~[h] = [h

, h

] okre±lamy wzorem:

∂f

∂~h (x

, y

)

= lim

t→0

f (x

+ th

, y

+ th

) − f (x

, y

)

t .

Stosowa¢ b¦dziemy równie» oznaczenie f

(x

, y

)

Denicja 11. Gradientem (oznaczenie ∇f)funkcji f(x, y) w punkcie (x

, y

) nazywamy wektor :

∇f (x

, y

)

=  ∂f

∂x (x

, y

), ∂f

∂y (x

, y

)

 .

Twierdzenie 12. Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

, y

) ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:

∂f

∂~h (x

, y

) = ∇f (x

, y

) ◦ ~h = ∂f

∂x (x

, y

)h

+ ∂f

∂y (x

, y

)h

.

Twierdzenie 13. Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

, y

) ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:

∂f

∂~h (x

, y

) = ∇f (x

, y

) ◦ [cos α, cos β] = ∂f

∂x (x

, y

) cos α + ∂f

∂y (x

, y

) cos β,

gdzie α, β to k¡ty jakie tworzy wektor ~h kolejno z osiami Ox i Oy. Ponadto cos

α + cos

β = 1, wi¦c cos β = sin α.

W podobny sposób deniujemy gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji trzech zmiennych.

Uwagi dotycz¡ce ró»niczkowalno±ci funkcji f : D → R, D ⊆ R

w punkcie x

∈ D. Funkcja f nie jest ró»niczkowalna w punkcie x

∈ D je»eli:

1. nie jest okre±lona na otoczeniu punktu x

; 2. nie jest ci¡gªa w punkcie x

∈ D;

3. nie istnieje przynajmniej jedna z pochodnych cz¡stkowych

, gdzie i ∈ {1, 2, . . . , k} (chocia»

jest okre±lona w punkcie x

i ci¡gªa w tym punkcie);

4. nie istnieje pochodna kierunkowa dla pewnego h ∈ R

(chocia» funkcja jest ci¡gªa i wszystkie pochodne cz¡stkowe mog¡ istnie¢);

5. dla ka»dego h ∈ R

istnieje pochodna kierunkowa f

(x

) ale nie jest funkcj¡ liniow¡;

6. dla ka»dego h ∈ R

istnieje pochodna kierunkowa f

(x

) oraz jest funkcj¡ liniow¡, ale nie jest speªniony warunek lim

h→0

|f (x₀+h)−f (x0)−a·h|

||h||

= 0.

Denicja 14. Funkcj¦ f : D → R okre±lon¡ na zbiorze otwartym D ∈ R

nazywamy klasy C

w zbiorze D (piszemy f ∈ C

(D) ) je»eli posiada w zbiorze D wszystkie pochodne cz¡stkowe do rz¦du p wª¡cznie.

Twierdzenie 15. (wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a)

Niech funkcja f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem R

oraz x

, x

+ h s¡ takimi punktami zbioru D, »e odcinek je ª¡cz¡cy zawiera si¦ w D. Je±li funkcja f ∈ C

(D), to istnieje θ ∈ (0, 1) taka,

»e

f (x

+ h) = f (x

) + df (x

)h + 1

2! d

f (x

)(h) + . . . + 1

(p − 1)! d

f (x

)(h) + 1

p! d

f (x

+ θh)(h),

gdzie d

f (x

)(h) jest m−t¡ ró»niczka funkcji f w punkcie x wyra»aj¡c¡ si¦ wzorem:

d

f (x)(h) = X

α1,...,αk≥0 α1+...+αk=m

m!

α

! · . . . · α

! · ∂

f

∂(x

)

. . . ∂(x

)

(x)h

. . . h

(3) Uwaga 16. W przypadku funkcji dwóch zmiennych f(x, y) m−ta ró»niczka funkcji wyra»a si¦ wzo- rem:

d

f (x, y)(h

, h

) =

m

X

j=0

 m j

 ∂

f

∂x

∂y

(x, y)h

h

. (4) Ekstrema lokalne

Denicja 17. Mówimy, »e funkcja f(x

, ..., x

) posiada w punkcie x

= (x

, ..., x

) maksimum (mi- nimum) lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu x

takie, »e dla ka»dego punktu x = (x

, ..., x

) ∈ O(x

) speªniona jest nierówno±¢ :

f (x) ≤ f (x

) 

f (x) ≥ f (x

) 

. (5)

Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi.

Twierdzenie 18. (warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych)

Niech f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R

. Je»eli funkcja f(x) ma w punk- cie x

∈ D ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej¡ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du

∂f

∂xi

(x

), 1 ≤ i ≤ k to:

∂f

∂x

(x

) = 0, dla i = 1, 2, ...k. (6)

Denicja 19. Niech f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R

. Je»eli funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du w punkcie x ∈ D, to funkcj¦:

d

f (x)(h) =

k

X

i,j=1

∂

f

∂x

∂x

(x)h

h

, gdzie h ∈ R

(7)

nazywamy form¡ kwadratow¡ funkcji f.

Denicja 20. Form¦ kwadratow¡ d

f (x)(h) nazywamy:

• dodatnio okre±lon¡ je»eli d

f (x)(h) > 0 dla ka»dego niezerowego h ∈ R

;

• ujemnie okre±lon¡ je»eli d

f (x)(h) < 0 dla ka»dego niezerowego h ∈ R

;

• nieokre±lon¡ je»eli przyjmuje warto±ci zarówno dodatnie jak i ujemne.

Twierdzenie 21. Niech f : D → R, gdzie D jest otwartym podzbiorem w R

. Je»eli funkcja f ∈ C

(D) x

∈ D ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du w punkcie x ∈ D,

(x

) = 0, dla i = 1, 2, ...k, wówczas:

• je»eli d

f (x

)(h) jest form¡ dodatnio okre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x

wªa±ciwe mini-

mum lokalne;

• je»eli d

f (x

)(h) jest form¡ ujemnie okre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x

wªa±ciwe maksi- mum lokalne;

• je»eli d

f (x

)(h) jest form¡ nieokre±lon¡, to funkcja f ma w punkcie x

nie posiada ekstremum lokalnego.

Twierdzenie 22. (kryterium Sylwestera) Niech d

f (x)(h) =

k

P

i,j=1

∂²f

∂xi∂xj

(x)h

h

, b¦dzie forma kwadratow¡. Rozwa»my macierz:

A =







∂²f

∂x1∂x1

(x

, y

) ...

1∂xk

(x

, y

)

... ... ...

∂²f

∂xk∂x1

(x

, y

) ...

k∂xk

(x

, y

)





 . Wówczas forma d

f (x

)(h) jest:

• dodatnio okre±lona je»eli wszystkie minory gªówne A

, i = 1, 2, ..., k macierzy A s¡ dodatnie.

• ujemnie okre±lona je»eli minory gªówne speªniaj¡ warunki A

< 0, A

> 0, A

< 0, A

> 0, ...

• nieokre±lona w pozostaªych przypadkach.

W przypadku funkcji dwóch zmiennych mo»emy stosowa¢ równie» nast¦puj¡ce twierdzenie.

Twierdzenie 23. Niech wyznacznik pochodnych cz¡stkowych drugiego rz¦du funkcji f, w punkcie (x

, y

) tzw. wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez = ∆

:

∆

=     

∂²f

∂x²

(x

, y

)

(x

, y

)

∂²f

∂y∂x

(x

, y

)

(x

, y

)      .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x

, y

) oraz obie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w tym punkcie s¡ równe zeru

∂f

∂x (x

, y

) = 0, ∂f

∂y (x

, y

) = 0.

Wówczas:

a) je±li ∆

> 0 oraz ∆

=

(x

, y

) > 0, to w punkcie (x

, y

) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;

b) je±li ∆

> 0 oraz ∆

< 0, to w punkcie (x

, y

) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;

c) je»eli ∆

< 0, to w punkcie(x

, y

) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

d) je»eli ∆

= 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x

, y

) przeprowadzamy innymi me- todami.

Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze do-

mkni¦tym:

1. Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn¡trz obszaru otwartego;

2. Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstrema warunkowe. W tym celu skªadamy funkcj¦ dwóch zmiennych z funkcj¡ okre±laj¡c¡ brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli¢ na sum¦ cz¦±ci, które mo»na opisa¢ równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)).

3. Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto±¢ najmniejsz¡ i naj- wi¦ksz¡ w tym obszarze domkni¦tym.

Twierdzenie 24. (metoda mno»ników Lagrange'a)

Niech zbiór U ∈ R

b¦dzie otwarty, funkcje g

, ..., g

∈ C

(U ), rz¡d macierzy







∂g1

∂x1

(x

, y

) ...

k+n

(x

, y

)

... ... ...

∂gn

∂x1

(x

, y

) ...

k+n

(x

, y

)







b¦dzie równy n dla ka»dego x ∈ U. Ponadto D ∈ R

b¦dzie zbiorem tych wszystkich punktów x ∈ U,

»e: 

 

 

g

(x) = 0, ...,

g

(x) = 0

(8)

oraz funkcja f : U → R b¦dzie ró»niczkowalna w punkcie x

∈ D. Wówczas je»eli funkcja f przy warunkach (8) posiada w punkcie x

ekstremum lokalne, to istniej¡ takie mno»niki λ

, ..., λ

∈ R, »e

f

(x

) = λ

g

(x

) + . . . + λ

g

(x

), gdzie f

(x

) = h

∂f

∂x1

(x

, y

), . . . ,

k+n

(x

, y

) i

, analogicznie g

(x

), . . . g

(x

).

Zadania

1. Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie:

(a) f (x, y) = 5x

y − 3xy

+ y

, (x

, y

) = (1, 2);

(b) f (x, y) = sin 

πpx

+ y



(x

, y

) = (3, 4);

(c) f (x, y, z) =

(x

, y

, z

) = (−2, 1, 3).

2. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x

, y

) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = y

+ ln(xy), (x

, y

) = (2, 1), ~h = [1, 1]

(b) f (x, y) = x

+ xy + 3y − 1, (x

, y

) = (1, 1), w kierunku punktu (x

, y

) = (2, 1);

(c) f (x, y) = pxy

, (x

, y

) = (0, 0), ~h = [

,

√2 2

];

(d) f (x, y) = 3x

+ xy + y

, (x

, y

) = (1, 2), α = 135

;

(e) f (x, y) = xy, (x

, y

) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu.

3. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x, y) w punkcie (0, 0) : (a) f (x, y) =

(

x²+2y²

dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f (x, y) = √

xy;

(c) f (x, y) = |xy|; (d) f (x, y) =

( √

x²+y²

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0).

(e) f (x, y) = x

· √

y w punkcie (1, 0); (f ) f (x, y) = p|x − y| · xy.

4. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji f(x, y), istnienie i ci¡gªo±¢ pochodnych cz¡stkowych oraz ró»niczkowal- no±¢ funkcji danej wzorem:

(a) f (x, y) =

(

x²+y²

dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f (x, y) = px

+ y

; 5. Napisz ró»niczk¦ zupeªn¡ podanych funkcji:

(a) f (x, y) = √

x²+y²

; (b) f (x, y) = ln tg(x + y);

(c) f (x, y) = ln px

+ y

; w (x

, y

) = (−4, 3) (d) f (x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y);

6. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

(a) f (x, y) = x

+ xy + y

, P

= (0, 1, z

); (b) f (x, y) = sin x + cos(x + y), P

= (

,

, z

);

(c) f (x, y) =

− y

, P

= (2, −1, z

); (d) f (x, y) = y ln(2 + x

y − y

), P

= (2, 1, z

).

7. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:

(a) 1, 07

; (b) p0, 97

+ 2, 01

;

(c) arctg

; (d) ln(0, 09

+ 0, 99

);

(e) sin 29

· sin 46

, zakªadaj¡c, »e π = 3.142; (f ) p

(sin

1, 55 + 8e

)

; (g) cos 2, 36 · arctan 0, 97 · 3

; (h)

q3

098·

√

1,05³

.

8. Rozwa»my cztery funkcje f

(x, y) = x

, f

(x, y) = x

+ y, f

(x, y) = x

+ y

, f

(x, y) = x

+ y

o nieujemnie okre±lonych i ró»nych formach kwadratowych w punkcie (0, 0). Która z funkcji w punkcie (0, 0) :

a) posiada wªa±ciwe ekstremum lokalne;

b) posiada niewªa±ciwe ekstremum lokalne;

c) nie posiada ekstremum lokalnego, chocia» punkt (0, 0) jest punktem krytycznym;

d) punkt (0, 0) nie jest punktem krytycznym.

9. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:

(a) f (x, y) = x

− xy + y

+ 9x − 6y + 20; (b) f (x, y) = x

+ y

− x

− 2xy − y

; (c) f (x, y, z) = 2(x

+ xy + yz − x

+ y

) + z

; (d) f (x, y) = (x − 2)

+ 2y

;

(e) f (x, y) = 2|x − 1| + 3|y + 5|; (f ) f (x, y) = e

(x + y

) (g) f (x, y) = 2|x + y| − x

− 4y

; (h) f (x, y) = x

y − 2xy

+ y

.

10. Wyznacz najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x, y) = x

y(2 − x − y) w trójk¡cie do-

mkni¦tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 0, x + y = 6.

11. Wyznacz najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x, y) = x

y w obszarze domkni¦tym ogra- niczonym krzywymi y = e

, y = e

, y = e

.

12. Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) = y

− x

przy warunku

x

+ y

= 1.

13. Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) = xyz przy warunkach x

+y

+z

= 1, x+y +z = 0.

14. Wyznacz odlegªo±¢ punktu (−1, 5, 0) od krzywej opisanej ukªadem

( x = y

x + z = 1.