Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych Wykład 6 - Sterowanie w przestrzeni zadań, sterowanie ślizgowe dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

(1)

Wykład 6 - Sterowanie w przestrzeni zadań, sterowanie ślizgowe

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2018

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

(2)

Zadanie sterowania

Sterowanie manipulatorów polega na wyznaczaniu przebiegów czasowych wejściowych sygnałów sterujących poszczególnych złącz mechanizmu wie- loczłonowego (MW), pod wpływem których koncówka układu będzie wy- konywać zadany ruch. W zależności od struktury układu sterowania, sygna- łami wejściowymi mogą być siły uogólnione (tzn. siły lub momenty sił) wywierane przez napędy na poszczególne złącza lub sygnały napędów, np. napięcia wejściowe silników. Zadany ruch jest zazwyczaj określany jako sekwencja położeń i orientacji końcówki MW lub też jako ciągła ścieżka ruchu.

(3)

sterowanie pozycyjne

W przypadku sterowania pozycyjnego, celem MW jest uzyskanie określo- nego położenia i oreintacji docelowej, bez względu na to po jakiej trajektori się porusza.

śledzenie trajektorii

W przypadku śledzenia trajekorii, celem MW jest odtwarzanie zadanej tra- jetorii. Trajektoria jest określona w przestrzeni złączy lub w przestrzeni kartezjańskiej, najczęściej w postaci krzywej zadanej parametrycznie, lub explicite jako funkcja czasu. Ponadto znane są przebiegi prędkości i przy- spieszenia wzdłuż krzywej.

(4)

Sterowanie w przestrzeni zadania i w przestrzeni złączy

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni zadań

Gdzie: xd - wektor wejściowy opisujący zadane położenie i orientację koncówki MW w przestrzeni zadań, qd - wektor zadanych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy MW, x - wektor rzeczywistego położenia i orientacji końcówki w przestrzeni zadań, q - wektor rzeczywistych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy.

(5)

W przypadku sterowania w przesztrzeni zadań, wymagany jest więk- szy nakład mocy obliczeniowej, gdyż obliczanie kinematyki odwrotnej jest wykonywane on-line przez regulator, objęty pętlą sprzężenia zwrotnego.

Zaletą tego układu jest oddziaływanie bezpośrednio na zmienne w przestrzeni zadań. Jednak ponieważ sensory mierzą zwykle dokładnie położe- nia w przestrzeni złączy, wymagane jest wyznaczenie aktualnych wartości zmiennych w przestrzeni zadań.

(6)

Model dynamiki mechanizmów wieloczłonowych

Korzystając z równań Lagrange’a-Eulera, zależności opisujące dynamikę MW można przedstawić w następujący sposób.

τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) ˙Q + G (Q) + F (Q, ˙Q) (1) gdzie: τ ∈ Rⁿ - wektor momentów napędowych w przegubach MW, n - liczba stopni swobody MW, M(Q) ∈ R^n×n - macierz bezwładności MW, V (Q, ˙Q) - wektor wyrazów zawierających składowe momentu zależne od sił odśrodkowych i Coriolisa, G (Q) ∈ Rⁿ - wektor wyrazów zawierających składowe momentu zależne od sił grawitacji, F (Q, ˙Q) ∈ Rⁿ- wektor wyra- zów zawierających składowe momentu zależne od sił tarcia, Q = [q_i] ∈ Rⁿ - wektor położeń kątowych w poszczególnych przegubach.

(7)

W celu wyznaczenia sterowania w przestrzeni zadań należy przyjąć nastę- pujące założenia

Zadana jest trajektoria w przestrzeni zadaniowej MW: yd(t) ∈ Z ⊂ R^m co oznacza, że końcówka manipulatora ma sie poruszać wzdłuż zadanej krzywej w przestrzeni, zachowujac okresloną orientację.

Dany jest model dynamiki i kinematyki MW postaci

M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) ˙Q + G (Q) = τ

y = k(Q) (2)

(8)

Linearyzacja i odsprzeganie wejściowo-wyjściowe

Przyjmując współrzędne

x = Q

ξ = ˙Q (3)

Można wyrazić równania układu w nowych współrzędnych w postaci afi- nicznego układu sterowania z funkcję wyjścia







˙ x = ξ

ξ = F (x , ξ) + L(x )u˙ y = k(x )

(4)

gdzie F (x , ξ) = −M⁻¹(x )(V (x , ξ)ξ + G (x )), L(x ) = M⁻¹(x )

Dodatkowe założenie: MW jest nieredundantny, a zatem liczba stopni swobody MW (i liczba wejść sterujących) jest równa wymiarowi wektora położenia i orientacji jego końcówki, czyli liczbie wyjść (tzn. n = m).

Przestrzeń afiniczna

Przestrzeń afiniczna – abstrakcyjna struktura uogólniająca te własności przestrzeni euklidesowych, które są niezależne od pojęć odległości i kąta. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty by wyznaczyć wektory, oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek.

(9)

Idea algorytmu sterowania w przestrzeni zadań opiera się na dwóch ele- mentach:

odsprzężenie i linearyzacja modelu MW, czyli uzyskanie takiego nieliniowego sprzężenia zwrotnego, które po zastosowaniu do modelu manipulatora spowoduje, że i -te sterowanie będzie oddziaływało wyłącznie na i -tą składową wektora wyjściowego, natomiast odwzorowanie wejście-wyjście stanie sie liniowe.

Drugi element algorytmu sterowania jest standardowy i sprowadza sie do zastosowania w odsprzężonym modelu MW liniowego regulatora PD z korekcją.

(10)

Linearyzacja i odsprzęganie wejściowo-wyjściowe

Konstrukcję odsprzęgającego i linearyzującego sprzężenia zwrotnego dla modelu MW rozpoczyna się od wyliczenia kolejnych pochodnych czasowych wyjść y_i wzdłuż trajektorii układu.

Dla wyjścia y_i otrzymuje się

yi(t) = ki(x (t)) (5)

Pochodna pierwszego rzędu ma postać

˙

y_i(t) =∂ki( x )

∂x x =˙ ∂ki(x )

∂x ξ (6)

jak widać ˙yi(t) nie zależy bezpośrednio od sterowania, a od funkcji opisu- jącej kinematykę.

Pochodna drugiego rzędu ma postać

¨

yi(t) = ∂

∂x

_∂k

i(x )

∂x ξ

ξ + ∂ki(x )

∂x ξ =˙

= ξ^T∂²k_i(x )

∂x² ξ +∂k_i(x )

∂x (F (x , ξ) + L(x )u) =

= ξ^T∂²ki(x )

∂x² ξ +∂ki(x )

∂x F (x , ξ) +∂ki(x )

∂x L(x )u

(7)

(11)

Przeprowadzając obliczenia pochodnych wyjścia y_i dla i = 1, . . . , n otrzy- muje się następujący uład równań

¨

y = P(x , ξ) + H(x )u (8)

gdzie

Pi(x , ξ) = ξ^T∂²ki(x )

∂x² ξ +∂ki(x )

∂x F (x , ξ) (9)

H(x ) = ∂ki(x )

∂x L(x ) (10)

Wyprowadzając prawo sterowania, należy przyjąć założenie, że macierz H(x ) jest nieosobliwa dla każdego x - czyli wtedy, gdy jakobian analityczny

J^a(x ) = ∂k

∂x(x ) (11)

jest pełnego rzędu, co występuje wtedy gdy MW nie przyjmuje konfiguracji osobliwych (przy realizacji zadanej trajektorii y_d(t)).

(12)

Linearyzacja i odsprzęganie wejściowo-wyjściowe

Ponieważ macierz G (x ) jest zawsze odwracalna, to przyjęte założenie do- tyczące macierzy H(x ) pozwala zastosować sygnał sterujący w pętli sprzę- żenia zwrotnego postaci

u = −H⁻¹(x )P(x , ξ) + H⁻¹(x )v (12) a co za tym idzie, w przypadku pełnej znajomości modelu zastosowanie powyższego sterowania przekształca go do postaci

¨

yi = vi, i = 1, . . . , n (13) Oznacza to pełne odsprzężenie wejść i wyjść oraz liniowość odwzorowania wejście-wyjście.

(13)

Mając odsprzężony, linowy model MW należy szukać sterowania v (t) = [v₁(t), . . . , v_n(t)] generującego trajektorię y (t) w taki sposób, aby błąd śledzenia trajektorii zadanej

e(t) = y (t) − y_d(t) (14)

dążył asymptotycznie do zera.

Przykładowo, można do każdego wejścia v_i(t) dołączyć lokalny regulator typu PD z korekcją, postaci

v = ¨y_d− K_d( ˙y − ˙y_d) − K_p(y − y_d) (15) gdzie: K_d = diag {k_d_i} > 0, K_p = diag {k_p_i} > 0 , i = 1, . . . , n, są macierzami wzmocnień lokanych regulatorów PD.

Taki wybór macierzy wzmocnień gwarantuje, że dynamika błędu regulacji będzie dana zależnością

¨

e + Kde + K˙ pe = 0 (16)

W takim wypadku błąd regulacji zanika ekspotencjalnie do zera, gdy czas dąży do nieskończoności.

(14)

Niepewność modelu

W praktyce model dynamiki MW jest zawsze obarczony niepewnością.

Nieznajomośćc modelu można podzielić na dwa rodzaje:

Niepewność parametryczna: znane sa wszystkie składniki równań modelu, (znana jest ich postać funkcyjna), natomiast nie sa znane pewne parametry , tych równań. Model MW zawiera wiele parametrów, które zależą od jego własności fizycznych, takich jak długości ramion oraz masy i momenty bezwładności ramion, a także od własności przenoszonego ładunku, itp. Zauważmy, że zmienna masa i moment bezwładności przenoszonego ladunku powoduje zmiany parametrów modelu dynamiki w trakcie pracy MW.

Niepewność strukturalna: jest znana zależność funkcyjna między, pewnymi zmiennymi modelu. Nieznajomość strukturalna modelu jest często skutkiem niedokładności modelowania dynamiki MW.

(15)

Projektując układ sterowania MW uwzględniającego niepewność modelu przyjmuje się model postaci

τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) ˙Q + G (Q) + ζ(Q, ˙Q, t) (17) Model ten różni sie od podstawowego modelu dynamiki MW obecnością wektora ζ(Q, ˙Q, t), który oznacza różnego rodzaju siły niepotencjalne, wła- czając efekty wynikające, z niedokładności modelowania.

W modelu uwzględniającego niepewności wszystkie nieznane oddziaływa- nia, którym podlega MW, mieszczą się w sładniku, ζ(Q, ˙Q, t). Oddziały- wania te są zwykle traktowane, jako zaburzenia modelu podstawowego.

(16)

Algorytmy sterowania uwzględniające niepewność modelu

Projektując układ sterowania MW uwzględniającego niepewność modelu przyjmuje się model postaci

τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) ˙Q + G (Q) + ζ(Q, ˙Q, t) (18) Model ten różni sie od podstawowego modelu dynamiki MW obecnością wektora ζ(Q, ˙Q, t), który oznacza różnego rodzaju siły niepotencjalne, wła- czając efekty wynikające, z niedokładności modelowania.

W modelu uwzględniającego niepewności wszystkie nieznane oddziaływa- nia, którym podlega MW, mieszczą się w sładniku, ζ(Q, ˙Q, t). Oddziały- wania te są zwykle traktowane, jako zaburzenia modelu podstawowego.

(17)

Gdy znany jest pełen model dynamiki MW, stosuje sie dwa podejścia:

Algorytmy typu obliczanego momentu: polegają na wykorzystaniu odwracalności macierzy bezwładności MW. Metoda ta stanowi przykład linearyzacji dynamiki układu przez statyczne sprzężenie zwrotne.

Algorytmy sterowania typu dysypatywnego: ich działanie polega na rozpraszaniu energii układu w taki sposób, aby dla układu sterowania z zamknietą pętlą sprzężenia zwrotnego bład śledzenia położenia i prędkości przegubów MW zmierzał asymptotycznie do zera.

Gdy nie jest znany pełen model dynamiki MW,stosuje sie następujace podejścia:

Algorytmy sterowania adaptacyjnego: wykorzystują układ estymujacy nieznane parametry modelu i generuje sygnał sterujący w oparciu o otrzymane estymaty parametrów. Takie algorytmy są najczęściej wykorzystywane w sytuacji, gdy model jest obarczony nieznajomościa parametryczną. Są one skuteczne lecz kosztowne i trudne do realizacji.

Algorytmy sterowania odpornego (robust): wykorzystuja aprioryczne oszacowania parametrów modelu i w oparciu o taką informację zapewniają poprawne sterowanie dla wszystkich dopuszczalnych zaburzeń modelu. Ze wzgledu na brak układu estymacji odporne układy sterowania sa znacznie prostsze w implementacji niż adaptacyjne. Cechują, się strukturalną

nadczynnością (np. nadmiernym wzmocnieniem) dla wartości parametrów innych niż ekstremalne.

(18)

Algorytmy sterowania MW - rodzaje

Pełen model dynamiki MW:

Algorytmy typu obliczanego momentu:

Dokładna linearyzacja Algorytm Bayarda-Wena Algorytmy typu dysypatywnego:

Algorytm Slotine’a-Li Algorytm Sadegha-Horowitza

Uniwersalny adaptacyjny algorytm sterowania

(19)

Niepełny model dynamiki MW:

Algorytmy sterowania adaptacyjnego:

Adaptacyjny algorytm linearyzacji Adaptacyjny algorytm Bayarda-Wena Adaptacyjny algorytm Middeltona-Goodwina Adaptacyjny algorytm Sponga-Ortegi Adaptacyjny algorytm Slotine’a-Li Adaptacyjny algorytm Sadegha-Horowitza Algorytmy sterowania odpornego (robust):

Algorytm sterowania ślizgowego

Algorytm Qu-Dorseya – regulatro PD o stałym wzmocnieniu Algorytm λ-śledzenia – regulatro PD o dynamicznym wzmocnieniu

(20)

Sterowanie ślizgowe - MW

Sterowanie ślizgowe jest rodzajem sterowania wykorzystującym teorię ukła- dów o zmiennej strukturze (ang. Variable Structure Systems - VSS). Pierw- sze prace w tych dziedzinach rozpoczęły się w latach 50-tych w Związku Radzieckim i były rozwijane w latach 60-tych i 70-tych (Emelyanow,1967, Itkis, 1976, Utkin,1977). Na początku lat 80-tych metodę sterowania śli- zgowego zaczęto coraz częściej stosować w rzeczywistych układach, gdyż wyróżnia się ona odpornością (ang. robustness) na zakłócenia działające na układ i pozwala na zadowalające sterowanie nawet przy niedokładnie wyznaczonych parametrach fizycznych obiektu sterowania.

(21)

Model MW wykorzystywany do wyznaczania sygnałów sterujących można opisać równaniem w przestrzeni zmiennych stanu zgodnie z zależnością:

˙

x = A(x ) + B(x )τ

y = Cx (19)

gdzie:

A(x ) =

x2

−M⁻¹(θ)[V (θ, ˙θ) + G (θ)]

=

x2

Fˆ₂[x ]

(20)

B(x ) =

0

M⁻¹(θ)

=

0

E [x ]ˆ

(21)

C (x ) = [I 0] (22)

(22)

Sterowanie ślizgowe - Podstawy

Niech s(x ) będzie funkcją, nazywaną funkcją przełączającą, opisaną zależ- nością:

s(x ) = Hx (t) (23)

gdzie: H ∈ R^m×ni jest pełnego rzędu, n - liczba zmiennych stanu układu, m - liczba sygnałów steruących.

Niech zbiór punktów w przestrzeni zmiennych stanu Ψ będzie opisany jako:

Ψ = {x ∈ Rⁿ: s(x ) = 0} (24)

Zbiór Ψ nazywany jest powierzchnią ślizgową (hiperpowierzchnią, lub qu- asipowierzchnią ślizgową), gdyż jego wymiar zależy od liczby zmiennych stanu n liczby wejść sterujących m zgodnie z zależnością:

n_Ψ= n − m (25)

Przykładowo dla dwóch zmiennych stanu i jednego wejścia sterującego zbiór Ψ jest krzywą o wymiarze 1, dla układu o trzech zmiennych stanu i jednym wejściu sterującym jest płaszczyzną, dla układu o sześciu zmiennych stanu i dwóch wejściach sterujących ma wymiar nΨ= 4.

(23)

Przyjmując, że:

s(x ) = [s₁(x ), . . . , s_m(x )]^T, H = [H₁, . . . , H_m] (26) gdzie: H_i = [h_{i 1} h_{i 2}. . . h_in], i = 1, . . . , m równanie (23) można przedsta- wić w postaci i równań:

si(x ) = Hix gdziei = 1, . . . , m (27) Zbiór punktów Ψi = {x ∈ Rⁿ: si(x ) = 0} opisuje powierzchni?ę Ψizwaną i -tą składową powierzchni ślizgowej.

(24)

Sterowanie ślizgowe - Podstawy

Metoda sterowania ślizgowego polega na odpowiednim generowaniu sy- gnału sterującego zależnego od położenia układu w przestrzeni zmiennych stanu względem powierzchni ślizgowej Ψ. Układ ze sterowaniem ślizgowym jest tak zaprojektowany, aby jego trajektoria kierowała się zawsze w stronę powierzchni ślizgowej Ψ. W momencie gdy stan układu ją osiągnie, zaczyna

”ślizgać” się wzdłuż tej powierzchni, tzn. cały czas przechodzi z jednej jej strony na drugą.

Wyróżnia się 2 tryby pracy takiego układu:

tryb ślizgowy: (ang. sliding mode) ruch wzdłuż powierzchni ślizgowej. Zaletą tego trybu jest odporność na zakłócenia i niedokładności w wyznaczaniu modelu obiektu sterowania.

tryb osiągania: (ang. reaching mode) ruch do momentu osiągnięcia powierzchni ślizgowej Ψ. W tym trybie układ nie posiada właściwości charakterystycznych dla układu w trybie ślizgowym.

(25)

Dla układu o wielu wejściach, stan układu ślizga się po powierzchni ślizgo- wej Ψ dopiero wtedy, gdy ślizga się po wszystkich składowych powierzch- niach ślizgowych Ψ_i (i = 1, . . . , m). W sterowaniu ślizgowym wykorzysty- wany jest sygnał sterujący o zmiennej strukturze, który kieruje trajek- torię układu zawsze w stronę każdej z tych powierzchni. Pozwala on na realizację obydwu trybów pracy układu. Sterowanie jest przyjmowane w postaci:

u_i=

u_i⁺(x ) gdy si(x ) > 0

u_i⁻(x ) gdy s_i(x ) < 0 , i = 1, . . . , m (28) Projektowanie układu sterowania ślizgowego powinno składać się z nastę- pujących etapów:

ETAP 1: Należy odpowiednio zaprojektować płaszczyznę ślizgową Ψ. Jej postać określa się poprzez dobór wartości własnych układu w trybie ślizgu.

ETAP 2: Należy zaprojektować takie prawo sterowania, które pozwoli na zrealizowanie przez układ trybu osiągania i trybu ślizgowego.

(26)

Sterowanie ślizgowe - Wstęp

Rysunek:Przykładowe trajektorie w przestrzeni zmiennych stanu układu ze sterowaniem ślizgowym o jednym wejściu sterującym i dwóch zmiennych stanu x1, x2(funkcja przełączająca: s(x ) = hx1+ x2, h > 0), z wyróżnieniem trybu osiągania i trybu ślizgowego.

(27)

W przypadku MW, równanie funkcji przełączającej proponowane jest w postaci:

s(˜s) = H ˜x = [ΛI ][e_q e_q_˙]^T = Λe_q+ e_q_˙ (29) gdzie: ˜x = [eq eq˙]^T, Λ = diag[h1. . . hn] Powierzchnia ślizgowa dla MW:

Ψrob opisywana jest przez zbiór punktów w przestrzeni zmiennych stanu takich, że:

Ψrob= x ∈ R²ⁿ: s(˜x ) = 0 (30) Aby MW znajdował się w trybie osiągania muszą zostać spełnione odpo- wiednie warunki osiągania powierzchni ślizgowej:

˙six s˜ i(˜x ) < 0, , i = 1 . . . n (31) gdzie: si(˜x ) = hieqi + eqi˙, , i = 1 . . . n

Warunek (31) mówi, że każda składowa powierzchnia slizgowa Ψ_i , taka że:

Ψ_i = ˜x ∈ R²ⁿ: s_i(˜x ) = 0 (32) musi być przynajmniej lokalnie przyciągająca i w pewnym obszarze wokół tej powierzchni trajektoria układu ze sterowaniem ślizgowym musi kierować się zawsze w jej stronę.

(28)

Sterowanie ślizgowe - Projektowanie funkcji przełączającej

Hiperpowierzchnia ślizgowa Ψ_rob może być opisana jako zbiór punktów pochodzący z wzajemnego przecinania się wszystkich powierzchni Ψ_i co można wyrazić zależnością

Ψ_rob= Ψ₁∩ Ψ₂∩ . . . Ψ_n (33) Jeśli układ porusza się w przestrzeni zmiennych stanu wzdłuż wszystkich składowych powierzchni ślizgowych Ψi, to porusza się też wzdłuż hiperpowierzchni ślizgowej Ψrob i znajduje się w trybie ślizgowym.

(29)

równoważnego

Sterowanie równoważne wykorzystywane jest przy analizie układu ze sterowaniem ślizgowym io jest sterowaniem ciągłym odpowiadającym sterowaniu o zmiennej strukturze, które wymusza ruch stanu układu po powierzchni ślizgowej Ψrob, w momencie gdy stan układu ją osiągnie.

Gdy stan układu znajduje się na powierzchniΨrob i zachodzi idealny ruch ślizgowy, spełnione są następujące zależności

s(˜x ) = H ˜x = 0 (34)

˙s(˜x ) = H ˙˜x = 0, t t_s (35) gdzie ts to czas, po którym układ znajduje się w trybie ślizgu.

(30)

Sterowanie ślizgowe - Projektowanie sterowania równoważnego

Przyjmując że w trybie ślizgu spełniona jest zależność (35), można napisać że:

˙s(˜x ) = H ˙˜x = Λ ˙eq+ ˙eq˙ = Λ( ˙q − ˙qk) + ˆF2(x ) + ˆE (x1)τ − ¨(q)k = 0 (36) Z powyższego równania uzyskuje się sterowanie równoważne w postaci:

τeq= − ˆE (x1)−1

ˆF2(x ) + Λ(x2− ˙qk) − ¨qk

(37) Równania opisujące dynamikę MW w przestrzeni zmiennych stanu, w którym zastosowano sterowanie równoważne są następujące:

˙

x =

h _x

2

F2(x )

i

+

h ₀

E (x1)

i

τeq

=

h _x

2

F2(x )

i

+

"

x2

E (x1)

h E (xˆ 1)⁻¹

− ˆF2(x ) − Λ(x2− ˙qk) + ¨qk

i

# ₍₃₈₎

(31)

równoważnego

W przypadku pełnej znajomości modelu MW równanie (38) upraszcza się do postaci:

˙ x =

x₂

−Λ(x₂− ˙q_k) + ¨q_k

(39) Przyjmujac w położeniu zadanym ˙q_k = 0, ¨q_k = 0 otrzymuje się układ opisany zależnością:

˙ x =

0 I 0 −Λ

y = [I 0]x

(40)

Równanie (40) układu w trybie ślizgu, w którym działa sterowanie rów- noważne opisuje n odsprzęgniętych układów, które są związane z poszcze- gólnymi przegubami MW, zktórych każdy opisany jest zależnością:

˙ xi= Aixi

y = [1 0]xi

(41)

gdzie: xi = [x1i x2i]^T,Ai =

0 1

0 −hi

(32)

Sterowanie ślizgowe - Projektowanie sterowania równoważnego

Równanie charakterystyczne każdego z układów w trybie ślizgu ma postać:

det[Iz − Ai ] = z(z + hi) (42) i posiada dwa pierwiastki:

zi 1= 0, zi 2= −hi (43) Tak więc wybierając wartości h_i > 0 układy opisane zależnoscią (42) są stabilne.

(33)

równoważnego

Rysunek:Postać funkcji przełączającej si(˜x = 0 , w i -tym układzie współrzędnych stanu, jako funkcji (a) błędów i (b) współrzędnych stanu (położenie kątowe, prędkość kątowa), przy założeniu, że ˙qki > 0, qki> 0

(34)