Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

(1)

Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

Zadanie sterowania

Sterowanie manipulatorów polega na wyznaczaniu przebiegów czasowych wejściowych sygnałów sterujących poszczególnych złącz układu wieloczło- nowego, pod wpływem których koncówka układu będzie wykonywać zadany ruch. W zależności od struktury układu sterowania, sygnałami wejściowymi mogą być siły uogólnione (tzn. siły lub momenty sił) wywierane przez na- pędy na poszczególne złącza lub sygnały napędów, np. napięcia wejściowe silników.

Zadany ruch jest zazwyczaj określany jako sekwencja położeń i orientacji końcówki manipulatora lub też jako ciągła ścieżka ruchu.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

(3)

Cele sterowania

Sterowanie pozycyjne

W przypadku sterowania pozycyjnego, celem układu wieloczłonowego jest uzyskanie określonego położenia i oreintacji docelowej, bez względu na to po jakiej trajektori manipuator się porusza.

Śledzenie trajektorii

W przypadku śledzenia trajekorii, celem układu wieloczłonowego jest od- twarzanie zadanej trajetorii. Trajektoria jest określona w przestrzeni złączy lub w przestrzeni kartezjańskiej, najczęściej w postaci krzywej zadanej pa- rametrycznie, lub explicite jako funkcja czasu. Ponadto znane są przebiegi prędkości i przyspieszenia wzdłuż krzywej.

(4)

Zadanie mechanizmu wieoczłonowego

Zadanie, które ma wykonać mechanizm wieloczłonowy jest zwykle definio- wane w przestrzeni kartezjańskiej (przestrzeni zadań), natomiast sygnały sterujące oddziałują w przesztrzeni konfiguracyjnej (przestrzeni złączy).

Prowadzi to do rozważania dwóch podstawowych kategorii układów sterowania układów wieloczłonowych

uklad sterowania w przestrzeni złączy, układ sterowania w przestrzeni zadań.

W obydwu przypadkach wykorzystywane jest sprzężenie zwrotne ze względu na jego właściwości, takie jak odporność na niedokładność parametrów układu i redukowanie wpływu zakłóceń.

(5)

Sterowanie w przestrzeni zadania i w przestrzeni złączy

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni złączy

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni zadań

Gdzie: xd - wektor wejściowy opisujący zadane położenie i orientację koncówki w przestrzeni zadań, qd - wektor zadanych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy, x - wektor rzeczywistego położenia i orientacji końcówki w przestrzeni zadań, q - wektor rzeczywistych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy.

(6)

Sterowanie w przestrzeni złączy i w przestrzeni zadań

Sterowanie w przestrzeni złączy bazuje na obliczeniu kinematyki od- wrotnej off-line. Wadą sterowania w przestrzeni złączy jest to, że wielkości wejściowe określone w przestrzeni zadań nie są objęte pętlą sprzężenia zwrotnego i są właściwie regulowane w układzie otwartym. Zatem jakakol- wiek niedokładność struktury mechanicznej (np. luzy w przegubach, nie- precyzyjność w określeniu położenienia końcowki manipulatora) prowadzi do pogorszenia dokładności działania uładu sterowania.

Sterowania w przesztrzeni zadań, wymaga większegoy nakładu mocy obliczeniowej, gdyż obliczanie kinematyki odwrotnej jest wykonywane on- line przez regulator, objęty pętlą sprzężenia zwrotnego. Zaletą tego układu jest oddziaływanie bezpośrednio na zmienne w przestrzeni zadań. Ponieważ sensory mierzą zwykle dokładnie położenia w przestrzeni złączy, wymagane jest wyznaczenie (estymacja) aktualnych wartości zmiennych w przestrzeni zadań.

(7)

Sterowanie w przestrzeni złączy

Jedną z najbardziej popularnych metod sterowania pozycyjnego w robotyce jest metoda modelu odwrotnego. Jest to metoda linearyzacji i dekompo- zycji modelu matematycznego manipulatora, dzięki której można sterować niezależnie wszystkimi ramionami robota z wykorzystaniem technik ste- rowania obiektami liniowymi.

Metoda modelu odwrotnego ma tę zaletę w porównaniu z innymi metodami linearyzacji (np. rozwinięcie w szereg Taylora) modelu, że kompensuje nie- liniowości w całym zakresie zmian współrzędnych złączowych, a nie tylko w pobliżu punktu, wokół którego linearyzujemy model.

(8)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania z modelem odwrotnym

(9)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

W strukturze sterowania możemy wyróżnić dwie pętle sprzężenia zwrotnego:

Pętlę wewnętrzną linearyzującą i rozdzielająca prawo sterowania na cześć modelową oraz sprzężeniową

Pętlę zewnętrzną sprzężenia zwrotnego pozwalającą na sterowanie manipulatora w żądany sposób

Głównym wymaganiem przy stosowaniu metody odwrotnego modelu do sterowania jest konieczność zapewnienia dokładnych oraz szybkich pomia- rów współrzędnych złączowych. Ponieważ pomiar współrzędnych złączo- wych zawsze obarczony jest pewnym błędem więc nie wszystkie parametry modelu są dokładnie określone.

(10)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Gdy dynamika manipulatora jest znana, prawo sterowania może zostać zapisane jako:

τ = ˆM(q) · u + ˆh(q, ˙q) (1) gdzie: ˆM(q) oraz ˆh(q, ˙q), stanowią oszacowania ˆM(q) ' M(q),

h(q, ˙q) ' V (q, ˙q) + G (q) + F (q, ˙q).

u = ¨q_d+ K_V · ( ˙q_d− q) + K_P· (q_d− q) (2) Ostatecznie tzw. równanie błędu przyjmuje postać:

E + K¨ V · ˙E + KP· E = ˆM⁻¹·

∆M(Q) · ¨Q + ∆h(Q, ˙Q)) (3)

∆M(Q) = M(Q) − ˆM(Q) (4)

∆h(Q, Q) = h(Q, ˙Q) − ˆh(Q, ˙Q) (5)

E = (Qd− Q) (6)

KV = diag[kvi] ∈ R^n×n, KP = diag[kpi] ∈ R^n×n - macierze wzmocnień regulatorów w przegubach

(11)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

W przypadku gdy model jest całkowicie znany, zachodzą zależności:

M(Q) = ˆM(Q) ⇒ ∆M(Q) = 0 (7)

h(Q, ˙Q) = ˆh(Q, ˙Q) ⇒ ∆h(Q, ˙Q) = 0 (8) otrzymuje się liniowe równanie błedu:

v = ¨E + K_V · ˙E + K_P· E = 0 (9) W idealnym przypadku, po odsprzęgnieciu, porzez odpowiedni dobór stałych K_V oraz K_P, uzyskać można żądaną odpowiedź układu regulacji.

(12)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie

(13)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Osiąnięcie idealnej sytuacji w praktyce jest niemożliwe. Głównie z powodu zmienności wartości parametrów modelu. Niemożliwe jest stworzenie idealnego modelu obiektu.

Występuje wiele zjawisk trudnych do modelowania (m.in. tarcie, luzy przekładni).

W celu minimalizacji wpływu tych czynników na jakość sterowania wprowadza się do układu sterowania moduły oparte na układach dynamicznych, modelujących on-line zachowanie układu wieloczłonowego (np. sieci neuronowe, obserwatory stanu).

Możliwe są różne podejścia:

Kompensacja on-line: element dynamiczny może być użyty w celu generacji dodatkowego momentu kompensującego efekty związane z niepewnościami w układzie wieoczłoowym.

Uczenie off-line i kompensacja on-line element dynamiczny może także modelować składowe sprzężenia linearyzującego związane z modelem manipulatora, zmieniając parametry modelu podczas pracy układu jeśli zajdzie taka potrzeba.

(14)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie i kompensacja on-line

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie i kompensacja on-line

(15)

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie, uczenie off-line oraz modyfikacja on-line

Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - uczenie off-line oraz modyfikacja on-line

(16)

Wybór napędów złączy

Wybór napędów złączy (silniki z przekładniami mechanicznymi) ma wpływ na wybór odpowiedniej strategii sterowania.

Ogniwa układu wieloczłonowego są napędzane z wykorzystaniem silników elektrycznych z przekładniami (gearboxes). Stosowanie dużych przełożeń prowadzi do linearyzacji dynamiki układu wieloczłonowego, wskutek czego następuje odsprzęganie poszczególnych złączy. Negatywnym efektem jest zwiększenie wpływu tarcia w złączach, występowanie elastyczności i luzu. Może to bardziej ograniczyć efektywność działania układu weloczłonowego niż siły inercji odśrodkowe i Coriolisa.

Wykorzystywane są napędy bezpośrednie (ang. direct drives). Są to zwykle silniki prądu stałego z magnesami trwałymi,

charakteryzujące się dużym momentem obrotowym, połączone mechanicznie z osią złącza. Pominięcie przekładni eliminuje lub zmniejsza występowanie tarcia, elastyczności i luzu, ale wpływ nieliniowości dynamiki i sprzężeń między złączami staje się istotny.

Wymaga też znacznie bardziej złożonych algorytmów sterowania

(17)

Modelowanie napędu złączy - silniki DC

Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji.

Zalety:

duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary.

Wady:

iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora.

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silni- ków prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.

(18)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziały- wania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.

(19)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

‘

Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wy- twarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nierucho- mej obudowie silnika zwanej stojanem.

(20)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.

Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagne- tycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływa- jącego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.

(21)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie pro- stopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu.

(22)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem ste- rowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego ob- wód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.

(23)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

parametry elektryczne

Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ω_s– prędkość kątowa wirnika.

(24)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

parametry mechaniczne

Ms– moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współ- czynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bez- władności zredukowany do wału wirnika, M_obc – stały moment obciążenia silnika.

(25)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności po- między napięciem zasilającym silnik (Uz) a prędkością kątową silnika (ωs).

Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie.

Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika

Uz= UR_w + UL_w + E (10)

Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania

momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako Ms = Ma+ Mv+ Mobc (11)

(26)

Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne

Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego

U_R_w = R_wi_w (12)

Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez niego płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)

U_L_w = L_wdi_w

dt (13)

Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjo- nalna do prędkości kątowej wirnika

E = k_eω_s (14)

gdzie: ke– stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Podstawiając kolejne składowe napięcia U_z do równania, otrzymamy Uz = Rwiw+ Lw

diw

dt + keωs (15)

(27)

Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne

Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać

M_s = k_mi_w (16)

gdzie km– stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać

Ma= Jd ωs

dt (17)

Moment związany z oporami ruchu wirnika

M_v = Bω_s (18)

Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania kmiw= Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc (19)

(28)

Równanie dynamiki silnika DC

Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC







U_z = R_wi_w+ L_wdiw

dt + k_eω_s kmiw = Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc

(20)

stosując przekształcenie Laplace’a

Uz(s) = Rwiw(s) + Lwsiw(s) + keωs(s) kmiw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc

(21) a następnie określając zmienną wiążącą jako i_w(s)







iw(s) = Uz(s) − keωs(s) R_w+ L_ws

iw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc

km

(22)

czyli

Uz(s) − keωs(s)

R_w+ L_ws =Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc

k_m (23)

(29)

Równanie dynamiki silnika DC

Przyjmując

Uz(s) − keωs(s)

Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

km

(24) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość ką- tową wirnika

kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc) (25)

Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

(30)

Równanie dynamiki silnika DC

Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

M_obc= 0 (26)

co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

U_s(s)= km

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB) (27) Tak więc otrzymujemy uproszczony opis silnika w postaci układu liniowego, stacjonarnego, o charakterze układu oscylacyjnego.

(31)

Opis w postaci transmitancji

Transmitancja operatorowa silnka DC (przy założeniu Mobc= 0) G (s) = ω_s

Us(s)= k_m

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (28) stosując następujące podstawienia

kω²₀= km

L_wJ, 2ξω0= RwJ + LwB

L_wJ , ω²₀=kmke+ RwB

L_wJ (29)

można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω0s + ω₀² (30) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω₀- pulsacja drgań nietłumio- nych.

(32)

Człon oscylacyjny - właściwości

Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω0s + ω₀² (31) Odpowiedź na wymuszenie skokowe

y (t) = L⁻¹

u_st1

s

kω²₀ s²+ 2ξω0s + ω0

= kust

"

1 − 1

p1 − ξ²e^−ξω⁰^tsin ω0

p1 − ξ²t + φ

# (32)

φ = arctg

p1 − ξ²

ξ (33)

(33)

Człon oscylacyjny - właściwości

Rysunek:Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego - wpływ współczynnika tłumienia ξ

(34)

Człon oscylacyjny - właściwości

Transmitancja widmowa

G (j ω) = kω²₀[(ω²₀− ω²) − j 2ξω0ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (34)

Rysunek:Charakterystyka amplitudowo-fazowa - zależność od współczynnika tłumienia ξ

(35)

Człon oscylacyjny

Transmitancja widmowa

G (j ω) =kω²₀[(ω²₀− ω²) − j 2ξω0ω]

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω0ω)² (35)

P(j ω) = kω²₀[(ω₀²− ω²)]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (36) Q(j ω) = − k[2ξω³₀ω]

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω0ω)² (37) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań nietłumionych.

Rysunek:Logarytmiczne

charakterystyki amplitudowa i fazowa

(36)

Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefi- niować jego parametry (współczynniki i stałe).

Przykładowo:

Rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika: Rw= 2 Ω, Indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika: Lw= 0.1 H, Stała elektryczna: ke= 0.1 V · s

rad ,

Moment bezwładności zredukowany do wału wirnika:

J = 0.1 kg · m² s² ,

Współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika:

B = 0.5 Nm · s rad ,

Stała mechaniczna: km= 0.1 Nm A .

(37)

Realizacje układów sterowania zwykłego silnika DC

Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe,

układy kaskadowe,

układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu:

fizykalnych lub fazowych.

(38)

Układy jednoobwodowe

Układy jednoobwodowe

Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjo- nalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfiko- wanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji

pozycyjną, przyrostową.

(39)

Układy jednoobwodowe

Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID

u(k) = αPkPes(k) + αI

1 TI

k−1

X

i =1

[es(i )Tp] + αDTD

es(k) − es(k − 1) Tp

(38) Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce es(k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.

(40)

Układy jednoobwodowe

Wersja przyrostowa

u(k)−u(k−1) = k_P

es(k) − es(k − 1) +Tp

T_Ies(k − 1) + T_Des(k) − 2es(k − 1) + es(k − 2) Tp

(39)

w wersji rekursywnej

u(k) = u(k − 1) + q0es(k) + q1es(k − 1) + q2es(k − 2) (40) gdzie:

q₀= k_p

1 + T_D

Tp

, q₁= −k_p

1 − T_p

TI

+2T_D Tp

, q₂= k_pT_D Tp

(41) Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność

GPID(z) = u(z)

es(z) = q₀+ q₁z⁻¹+ q₂z⁻²

1 − z⁻¹ (42)

(41)

Układy jednoobwodowe

UWAGI

w wersji dyskretnej – inaczej niż w ciągłej – można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s₀(k)

dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np.

wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego k_P drgań niegasnących układu napędowego o okresie T_kr (k_P = k_kr) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.

(42)

Dobór okresu próbkowania

Przy projektowaniu cyfrowych układów regulacji, bardzo ważnym zagadnieniem jest wła- ściwy dobór okresu próbkowania wartości sygnałów analogowych. Zgodnie z twierdze- niem o próbkowaniu Shannon’a, znanym również jako twierdzenie Whittaker-Nyquist- Kotelnikov-Shannon, częstotliwość próbkowania musi być większa od dwukrotności naj- wyższej składowej częstotliwości, charakteryzującej mierzony sygnał:

fP> 2 · fs (43)

Okres próbkowania, stanowiący odwrotność częstotliwości próbkowania, określony jest zatem zależnością:

Tp< 1 2 · fS

(44) gdzie: f_P – częstotliwość próbkowania wartości sygnału analogowego, fs – najwyższa składowa częstotliwości sygnału analogowego, Tp– okres próbkowania wartości sygnału analogowego.

Jest to warunek wystarczający dla wiernego odtworzenia sygnału ciągłego na podstawie znanego sygnału dyskretnego. Przykładowo, sygnał analogowy charakteryzujący się przebiegiem sinusoidalnym powinien być co najmniej 3-krotnie próbkowany w ciągu okresu, aby można go było jednoznacznie odtworzyć na podstawie próbek.

(43)

Dobór okresu próbkowania - uwagi praktyczne

im krótszy jest okres próbkowania, tym więcej algorytmów regulacji jest przetwarzanych w pojedynczym cyklu,

przy zastosowaniu ograniczenia liczby algorytmów regulacji obsługiwanych w jednym cyklu, przyjęcie zbyt krótkich okresów próbkowania może doprowadzić do sytuacji, w której niektóre obwody regulacji nigdy nie zostaną obsłużone, zbyt krótki okres próbkowania wywołuje przeregulowanie, prowadzi do pogorszenia jakości regulacji a nawet do utraty stabilności,

zbyt długi okres próbkowania sprawia, że reakcja regulatora na zakłócenia jest zbyt spowolniona, co prowadzi do pogorszenia jakości regulacji,

okres próbkowania powinien być tak duży jak to tylko praktycznie możliwe.

okres próbkowania zależy również od rodzaju użytego aktuatora; np. czasy przestawienia serwomotoru są rzędu ms, zaworu pneumatycznego - rzędu setek ms, natomiast zaworu z siłownikiem elektrycznym - rzędu s.

(44)

Równanie dynamiki silnika DC

mając

U_z(s) − k_eω_s(s)

Rw+ Lws = Jω_s(s)s + Bω_s(s) + M_obc km

(45) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika

kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (46)

Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

(45)

Równanie dynamiki silnika DC

Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

M_obc= 0 (47)

co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

U_s(s)= km

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB) (48) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

(46)

Transmitancje układu regulacji

Transmitancja - wejściem jest napięcie zasilania Uz(s) ωs

U_s(s)= km

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB) (49) Transmitancja zakłóceniowa - wejściem jest moment obciążający

ωs

Mobc(s)= − sLw+ Rw

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (50)

(47)

Sterowanie feedforward silnika DC

Rysunek:Schemat blokowy sterowania feedforward Równanie regulatora

GR(s) = LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) km

(51) UWAGA: Równanie regulatora zawiera parametry silnika, które mogą być wyznaczone niedokładnie. Ponieważ w układzie nie ma sprzężenia zwrotnego, sygnał wyjściowy może się znacznie różnić od sygnału referencyjnego.

(48)

Układ jednoobwodowy - sterowanie prędkością silnika DC

Rysunek:Schemat blokowy jednoobwodowego układu regulacji prędkości silnika DC

Regulator P

G_R(s) = k_ωp (52)

Regulator PI

G_R(s) = k_ωp

1 + 1

Tωis

(53)

(49)

Jakość układu regulacji

Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.

e(t) = e_z(t) + e_w(t), (54) gdzie

e_z(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,

ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji, przy założeniu że układ jest liniowy i spełnia zasadę superpozycji.

(50)

Odchyłka zakłóceniowa

Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆y_m(s)

z(s) =e_z(s)

z(s) = ±Gz(s)G_ob(s)

1 + Gob(s)Gr(s) (55) e_z(s) = ∆y_m(s) = ±G_z(s)G_ob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (56) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:

ezst.= lim

t→∞ez(t) = lim

s→0s · ez(s) (57) ezst.= lim

s→0s · ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (58)

(51)

Odchyłka nadążania

Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)

∆w (s) = −1

1 + Gob(s)Gr(s) (59) ew(s) = −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (60) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej

ewst.= lim

t→∞ew(t) = lim

s→0s · ew(s) (61) ewst.= lim

s→0s · −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (62)

(52)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC

Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator P, wymuszenie skokowe

ewst.= lim

s→0

1

1 + kmkωp

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)

ωst (63)

ewst.= 1

1 + kmkωp

(kmke+ RwB)

ωst (64)

(53)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC

Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator PI, wymuszenie skokowe

e_wst.= lim

s→0

1

1 +

k_mk_ωp

1 + 1

T_ωis

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB)

ω_st (65)

ewst.= 0 (66)

(54)

Układ kaskadowy - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC

Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości i położenia silnika DC

(55)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC

Odchyłka statyczna położenia względem wartości zadanej - regulator P położenia, regulator P prędkości, wymuszenie skokowe

ewst.= lim

s→0

1 1 +k_θP

s G_ω(s)

θst (67)

gdzie

G_ω(s) = k_mk_ωp

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB + kmkωp) (68) tak więc odchyłka statyczna położenia w stanie ustalonym ma wartość:

ewst.= 0 (69)

(56)

Układ kaskadowy - sterowanie prędkością, położeniem i prądem

Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości, położenia i prądu silnika DC

UWAGA: W wiekszości komercyjnie dostępnych silników DC pętla sprzężenia od prądu wykorzystywana jest do kompensacji wpływu momentu obciążenia silnika i regulacji przepływu prądu przez silnik.

(57)

Układy kaskadowe

Przyczyny powszechności zastosowań układów kaskadowych dobór nastaw regulatorów i optymalizacja są bardzo proste - od wewnątrz na zewnątrz kaskady,

ograniczona liczba nastaw – podstawowym parametrem jest współczynnik wzmocnienia prędkościowego kv, obliczany z warunku żądanego stosunku prędkości (rzeczywistej) do odchyłki położenia w ruchu ustalonym (odchyłki nadążania, śledzenia)

dla ruchu postępowego

kv = v

∆s|ruch ustalony (70)

dla ruchu obrotowego

kv = ω

∆$|ruch ustalony (71)

prosta i tania realizacja sprzętowa i/lub programowa.

(58)

Jakość układu regulacji

Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.

Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.

Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.

(59)

Wpływ akcji regulatora na odchyłki statyczne

W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.

Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej.

(60)

Jakość dynamiczna

W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:

wskaźniki przebiegu przejściowego - wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych,

wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,

całkowe wskaźniki jakości.

(61)

Wskaźniki przebiegu przejściowego

Do oceny przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:

statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.

statyczna odchyłka nadążania: ewst.

maksymalna odchyłka dynamiczna: e_m- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.

czas regulacji: t_r - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .

przeregulowanie: κ = e2

e₁· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e2od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e₁.

(62)

Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji

minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu regulacji (esu):

Iesu= αes|s(ku) − so| , min (72) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) espo kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:

Iesp= αespmax

0, max

0<k<ku

[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]

, min (73)

minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania lub doregulowania) procesu – wyrażony przez czas dyskretny kkonc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = k_koncTp:

It= αtkkoncTp, min (74)

gdzie: αes, αespi αt są wagami oceny, s0- sygnał zadany ocenianego procesu, spocz – sygnałem początkowy ocenianego procesu.

(63)

Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji

Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycz- nej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy:

wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie esdop) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (tu).

obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych:

w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników,

w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej,

przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie

uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw.

(64)

Standardowe kryteria oceny jakości sterowania

Zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki

żądania o charakterze ogólnym, na przykład:

określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd.

likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu

zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej – minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu

żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych,

przyspieszeniowych itp.

(65)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.

Wskaźniki sumowe (całkowe)

W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )

I_ITAE=

k_oc

X

k=0

[k|es(k)|] , min (75)

ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )

IITSE=

koc

X

k=0

[ke_s²(k)] , min (76)

(66)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE

pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki

bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej

Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.

W zakresie pracy liniowej układu regulacji znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej układu regulacji związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.

(67)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth

IITAE mod1=

k_{oc mod}

X

k=0

k|s(k)| +

k_oc

X

k=koc mod

k|es(k)| , min (77)

Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: koc mod= 1/(ksCm) (k_s= k_{x 1}w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)

Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.

(68)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (78)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(69)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (79)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(70)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje

wskaźnik jednokryterialny I_IAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) e_s(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu k_{oc otw} określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia s_o ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu

koc otw : |sotw− so| = 0 (80) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik

IIAED=

k_{oc otw}

X

k=0

k|e_s(o−z)(k)| +

k_oc

X

k=koc otw

k|es(k)| , min (81)

(71)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Rysunek:Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.

(72)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Do zaprojektowania zaawansowanego układu regulacji pozycji silnika DC, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym

X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)

y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (82) gdzie: X (t) ∈ Rⁿ - wektor stanu, U(t) ∈ R^m - wektor sygnałów sterują- cych, y (t) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjścio- wych, Amc ∈ R^n×n - macierz stanu Bmc ∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmc ∈ R^p×m - macierz wyjścia.

Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.

Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,

ciągłego układu dynamicznego.

(73)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC







Uz(t) = Rwiw(t) + Lw

diw(t)

dt + keωs(t) k_mi_w(t) = Jd ωs(t)

dt + Bω_s(t) + M_obc(t)

(83)

po przekształceniu





 diw(t)

dt = −ke

L_wωs(t) −Rw

L_wiw(t) + 1 L_wUz(t) d ωs(t)

dt = −B

Jωs(t) +km

J iw(t) −1

JMobc(t)

(84)

można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz(t) =

iw(t) ωs(t)

, Ufiz=

Uz(t) Mobc(t)

(85)

(74)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Model fizykalnych zmiennych stanu jest następujący











X˙fiz(t) =







−Rw

L_w −ke

L_w km

J −B

J





Xfiz(t) +





 1 L_w 0

0 −1 J





Ufiz(t) Y (t) =

0 1 Xfiz(t) +

0 0 Ufiz(t)

(86)

X˙fiz(t) = AfizXfiz(t) + BfizUfiz(t)

Y (t) = CfizXfiz(t) + DfizUfiz(t) (87)

(75)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω₀s + ω²₀ (88) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x₁(t) = x₂(t)

˙

x2(t) = −ω²₀x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (89) równanie wyjścia

y (t) = kω₀x₁(t) (90)

(76)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz(t) =

x₁(t) x₂(t)

, Ufaz = Uz(t) (91) jest następujący







X˙_faz(t) =

0 1

−ω₀² −2ξω²₀

X_faz(t) +

0 1

U_faz(t) Y =

kω²₀ 0 Xfaz(t) + [0] U_faz(t)

(92)

X˙faz(t) = AfazXfaz(t) + BfazUfaz(t)

Y (t) = CfazXfaz(t) + DfazUfaz(t) (93)

(77)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Model z czasem ciągłym stanu procesu ruchu jako człon oscylacyjny zachowań prędkościowych

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω₀² −2ξω0



X (t) +



 0 0 1



U(t) (94)

y (t) = [1 0 0] X (t) (95)

Fazowe zmienne stanu są następujące







x1(t) = s(t) x2(t) = v (t) x3(t) = a(t)

(96)

(78)

Równania stanu silnika DC- zmienne fazowe

Podany model obliczeniowy z czasem ciągłym procesu ruchu w układzie napędowym ma następujące 4 zalety:

1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, a wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne,

2 jakościowo poprawnie modeluje zależność dynamiki napędu od położenia elementu ruchomego, obciążenia masowego i warunków pracy,

3 spełnia warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej,

4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

(79)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym

X (k + 1) = A_mdX (k) + B_mdU(k)

y (k) = CmdX (k) (97)

gdzie: X (k) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(k) ∈ R^m - wektor sygnałów sterujących, y (k) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amd ∈ R^n×n - macierz stanu Bmd∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmd∈ R^p×m - macierz wyjścia.

(80)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.

Uwzględniając : czas dyskretny k,

okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp

sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:

U(t) = U(kT_p) dla t ∈ hkT_p, (k + 1)T_pi (98) oraz dla modelu fazowych zmiennych stanu oznaczając:

A_mc = A_faz, B_mc = B_faz, C_mc= C_faz (99)