Oddziaływanie atomu z

Oddziaływanie atomu z

kwantowym polem E-M: C.D.

1 atom jako źródło 1 fotonu.

Emisja spontaniczna wg. złotej reguły Fermiego.

Absorpcja i emisja kolektywna

Powtórzenie

ˆ

E(
x, t) = i

λ



d

k


ω

2ǫ(2π)

e

exp(i
k ·
x)

  

u_λ,k(x)

ˆ

a

+ H.c.

zwykła funkcja

opisuje charakterystykę modową operator

zawiera statystyke pola

ˆ

ak = e^−iωt˜ak

Uwaga na x, p

ˆ

a _{ k} = e ^−iωt ˜ a _{ k}

+˜ x

· 

ω

e

sin(
k ·
x − ωt)

ˆ

E(
x, t) ∝


˜

p

· 

ω

e

cos(
k ·
x − ωt)

kwadratury pola E-M

x

p

Emisja spontaniczna

c

Eksperyment…

Quantum interference between two single photons emitted by two single trapped atoms

http://www.acqao.org/workshops/Kioloa_2006/Messin.pdf

Hamiltonian oddziaływania z polem wielomodowym

HA =
ω₀σz/2 HR =

k,λ

ωˆa^†_k,λˆak,λ

Hint = ˆE · ˆd ≃
^k,λ(κ^∗_ωˆa_^†

k,λσ− + κωˆak,λσ₊)

κ_k,λ = E
1ω ·
d

=
d ·
e^k,λ

ω

2
ǫ₀(2π)³

H˜int =

λ



d³
k κ_^∗_k,λˆa_^†

k,λσ˜−e^i(ω−ω0)t + H.c.

=

λ



d³
k|κ^_k,λ|²4 sin²[(ω − ω⁰)∆T /2]

(ω − ω⁰)² p₀ =

λ



d³
k  ∆T

0 dt|0, 1^_k,λ| ˜Hint/
|1, 0|²

Złota reguła Fermiego

k²dk d cos θ dφ

d² 3

κω = E
_1ω ·
d

=
d ·
e^k,λ

ω

2
ǫ₀(2π)³

ω²dω/c³

dω

4π

A = _πǫ ¹

0

ω ³ d ² 3
c ³

p₀ =

λ



d³
k|κ^_k,λ|²4 sin²[(ω − ω⁰)∆T /2]

(ω − ω⁰)²

2π∆T

Emisja kolektywna 1: N atomów blisko

HA =
ω₀

a

σa,z/2

Sprzężenie jedynie poprzez operatory sumaryczne “pseudospinu”

H˜int =

λ



d³
k κ_^∗_k,λˆa_^†

k,λe^i(ω−ω0)t

a

˜

σ_a,− + H.c.

Σ _z , Σ _±

Emisja kolektywna 1: N atomów blisko

niech

N² razy większa moc emisji

|Ψ = 

a

|0^a + |1^a

√2

Ψ|



a

eˆ r

|Ψ ≃ N

|d

|

moc emisji

P  ∝ e
r ² 

Emisja przypadkowa: N atomów blisko

niech |Ψ = 

a

|0^a + e^iφa|1^a

√2

Ψ|

a

eˆ r

|Ψ =

a

e

≃ 0





a

eˆra

2

 ≃ N|d⁰¹|²

N razy większa moc emisji

Fale spinowe

L³

|0^N

H˜int =

λ



d³
k κk,λaˆ_k,λe^i(ω−ω0)t

a

e^ik·raσ˜a,+ + H.c.

|1^k0

|Ψ^f =



a σa,+e^ik0·ra

√N |0^N

=



a e^ik0·ra|0 . . . 1^a . . . 0

√N

Emisja z fali spinowej

L³

|1^k

|0^N

|Ψⁱ =



a σ_a,+e^{i K·ra}

√N |0^N

H˜int =

λ



d³
k κk,λˆa_^†

k,λe^i(ω−ω0)t

a

e^−ik·raσ˜_a,− + H.c.

chcemy znaleźć

 T 0

dtH˜int

i
|Ψⁱ, 0

przygotowana fala o

wektorze falowym K

Emisja z fali spinowej

H˜int =

λ



d³
k κk,λˆa_^†

k,λe^i(ω−ω0)t

a

e^−ik·raσ˜_a,− + H.c.

|Ψⁱ =

′

a σa^′,+e^{i K·ra}

√N |0^N

≃



d

r n(r)e

≃ Ne

2 2

2 sin(ck − ω⁰)^T₂ (ck − ω⁰)

 T 0

dtH˜int

i
|Ψⁱ, 0

= −iκ

√N



d³k



dte^i(ck−ω0)t

a

e^{i( K−k)ra}aˆ_^†

k|0, 0

δa,a^′

Emisja z fali spinowej

ω₀/c

K

∼ 1/L

∼ 1/cT

e^{−(k−K)2 L}

2

2 e^−k2⊥L

2 2

 T 0

dtH˜int

i
|Ψⁱ, 0 = −iκ√ N



d³ke^{−(k− K)2 L}

2

2 2 sin(ck − ω⁰)^T₂ (ck − ω⁰) ˆa_^†

k|0, 0

Emisja z fali spinowej

2πT c π

L²

dopasowanie fazowe

p₀ = e^{−(k0−K)2L2} 3 · 2⁴

N πL²

2d²ω

ǫ₀c = e^{−(k0−K)2L2} 3 · 2⁴

N σ A

T T₁

grubość optyczna

emisja

spontaniczna

|f = −iκ√ N



d³ke^{−(k−K)2 L}

2

2 e^{−k⊥2 L}

2

2 2 sin(ck − ω⁰)^T₂ (ck − ω⁰) ˆa_^†

k|0, 0

p₀ = f|f = Nκ²e^{−(k−K)2L2}



d³ke^−k2⊥L2 2 sin(ck − ω⁰)^T₂ (ck − ω⁰)

Atom ze spinem i jądrem

1s

Proste atomy

• Zamknięte powłoki wewnętrzne, o ustalonym stanie kwantowym

• Elektron(y) walencyjne poruszają się w potencjale ekranowanego jądra

2s 2p E

l 3s 3p 3d

H Ginter, Wstęp do f. atomu,

cząsteczki i c.s.

Struktura subtelna: spin elektronu

• Elektron ma wewnętrzny moment magnetyczny µ

- spin

• Ruch orbitalny elektronu (l) oddziałuje ze spinem

• W lekkich atomach energia tego

oddziaływania jest mała w porównaniu z odległościami miedzy poziomami

H _int ∝ ˆl · ˆs

W przybliżeniu Russela-Saundersa

• L – moment orbitalny

• S – spin

• Wzajemne ustawienie charakteryzuje J – całkowity moment pędu

H

∝ ˆl · ˆs =

[J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)]

Landau, Lifszyc, M.kw.nrel., §72

Przykład

[Xe] 4f¹⁴ 6s²

C. W. Hoyt et al. PRL 95, 083003 (2005).

Atomy wieloelektronowe

| ↑↓ − | ↓↑

| ↑↑

| ↓↓

| ↑↓ + | ↓↑

Singlet

Tryplety

He

Struktura nadsubtelna: spin jądra

• Jądro (też) ma spin i

• Ruch elektronów (J) oddziałuje ze spinem

• Energia tego odziaływania jest bardzo mała. Przeważa oddziaływanie dipoli magnetycznych

Landau, Lifszyc, M.kw.nrel., §121

H _int ∝ I ·
ˆ J
ˆ

Wynik

• J – całkowity moment pędu elektronów

• I – jądra

• Wzajemne ustawienie charakteryzuje F – całkowity moment pędu

H

∝ J ·
ˆ I =
ˆ

[F (F + 1) − J(J + 1) − I(I + 1)]

Przykład

Rb-85 Steck, Rb D-Line data Rb-87

Przykład

Rb-87

Reguły wyboru

Rb-87

∆f = 0, ±1, ∆j = 0, ±1,

∆l = ±1, ∆m_f= 0, ±1.

σ_- σ₊ π

W domu

1. Rozpisać rachunek prowadzący do ostatniej linii na slajdzie “Hamiltonian oddziaływania z polem wielomodowym”

2. Zapisać stan 5

P

F=0 (Rb-87) w bazie

funkcji o określonym L=1, L

, S=1/2, S

,

I=3/2, I