Funkcje 1 Obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcję

Funkcje

1 Obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcję

Rozważmy dowolną funkcję f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X określamy obraz zbioru A:

f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃_x∈Af (x) = y}.

Dla dowolnego zbioru B ⊂ Y określamy przeciwobraz zbioru B:

f⁻¹(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}.

Zadanie 1 Rozważmy kilka przykładów funkcji f : R → R.

(a) f (x) = x²+ x + 1. Znajdź f ([−1, 2]) i f⁻¹((³₄, 1)).

(b) f (x) = sin 3x. Znajdź f ((0,^π₃)) i f⁻¹([−1, 0)).

(c) f (x) = [x]. Znajdź f ((−√ 2,√

2)) i f⁻¹((−√ 2,√

2)).

Zadanie 2 Niech f : Z × Z → Z, f (x, y) = xy.

(a) Znajdź obrazy zbiorów: {1, 10, 100, 1000}×{1, 10, 100, 1000}, 2Z×2Z, {2ⁿ: n ∈ N}×(2Z+1).

(b) Znajdź przeciwobrazy zbiorów: {1, 2, 3}, 2Z, 2Z + 1.

Zadanie 3 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją.

(a) Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X, jeśli A ⊂ B, to f (A) ⊂ f (B).

(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że A $ B i f (A) = f (B).

Zadanie 4 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X zachodzą następujące zależności:

(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), (b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B), (c) f (A) \ f (B) ⊂ f (A \ B).

Zadanie 5 (a) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że f (A ∩ B) $ f (A) ∩ f (B).

(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że f (A) \ f (B) $ f (A \ B).

Zadanie 6 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją.

(a) Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ Y , jeśli A ⊂ B, to f⁻¹(A) ⊂ f⁻¹(B).

(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ Y , że A $ B i f⁻¹(A) = f⁻¹(B).

Zadanie 7 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ Y zachodzą równości:

(a) f⁻¹(A ∪ B) = f⁻¹(A) ∪ f⁻¹(B), (b) f⁻¹(A ∩ B) = f⁻¹(A) ∩ f⁻¹(B), (c) f⁻¹(A \ B) = f⁻¹(A) \ f⁻¹(B).

Zadanie 8 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Jakie własności (zwrotność, symetria, ...) ma relacja binarna ρ w zbiorze 2^X, określona w ten sposób, że dla dowolnych A, B ∈ 2^X: (a) AρB ⇔ f (A) ⊂ f (B),

(b) AρB ⇔ f (A) = f (B), (c) AρB ⇔ f (A) ∩ f (B) = ∅?

1

2 Składanie funkcji

Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z określoną wzorem (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.

Zadanie 9 W jakiej kolejności można złożyć poniższe funkcje? Dla każdej z tych funkcji określ jej przeciwdziedzinę.

(a) f : [0, +∞) → . . ., f (x) =√

x, g: R → . . ., f (x) = x²− x +¹₄, (b) f : [1, +∞) → . . ., f (x) =√

x − 1, g: R → . . ., f (x) = x²+ x + 1, (c) f : R \ {1, −1} → . . ., f (x) = ^1+x_1−x²², g: (−∞, 1] → . . ., f (x) =√

1 − x.

Zadanie 10 Niech X będzie dowolnym alfabetem. Rozważmy funkcje rev: X^∗→ X^∗, head: X^∗\ {} → X, tail: X^∗\ {} → X. Znajdź złożenia funkcji: rev ◦ rev, head ◦ rev, tail ◦ rev.

3 Funkcje różnowartościowe i „na”

Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa, jeśli dla dowolnych dwóch różnych elementów dzie- dziny, wartości funkcji odpowiadające tym elementom są różne. Oznacza to, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x₁, x2 ∈ X zachodzi implikacja f (x1) = f (x₂) ⇒ x₁= x₂.

Zadanie 11 Dla jakich a, b, c, d ∈ R (c 6= 0) funkcja f : R \ {−^d_c} → R określona wzorem f (x) = ^ax+b_cx+d jest różnowartościowa?

Zadanie 12 Uzasadnij, że dla dowolnego alfabetu X funkcje rev i double są różnowartościowe.

Zadanie 13 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa dokładnie wtedy, gdy dla dowolnych podzbiorów A, B ⊂ X zachodzi implikacja

A $ B ⇒ f (A) $ f (B).

Zadanie 14 Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g: Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcja g ◦ f jest różnowartościowa, to funkcja f jest różnowartościowa.

Zadanie 15 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru Z i dowolnych funkcji g₁, g₂: Z → X, jeśli f ◦ g₁= f ◦ g₂, to g₁ = g₂.

Mówimy, że funkcja f : X → Y jest „na”, jeśli każdy element przeciwdziedziny jest wartością funkcji odpowiadającą pewnemu elementowi dziedziny, czyli dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że f (x) = y. Ten warunek możemy zapisać krócej f (X) = Y . Zbiór f (X) (obraz dziedziny) nazywamy zbiorem wartości funkcji f .

Zadanie 16 Czy funkcja f : R \ {−^d_c} → R określona wzorem f(x) = ^ax+b_cx+d, gdzie a, b, c, d ∈ R (c 6= 0), może być „na”?

Zadanie 17 Udowodnij, że dla dowolnego alfabetu X funkcja rev jest „na”.

Zadanie 18 Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g: Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcja g ◦ f jest „na”, to funkcja g jest „na”.

Zadanie 19 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru Z i dowolnych funkcji g₁, g₂: Y → Z, jeśli g₁◦ f = g₂◦ f , to g₁ = g₂.

Zadanie 20 Wykaż, że dowolną funkcję f : X → Y można przedstawić w postaci złożenia dwóch funkcji g: X → Z i h: Z → Y (gdzie Z jest pewnym zbiorem) takich, że g jest „na”, a h jest różnowartościowa.

2

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi

3 (a) Połowa rozwiązania. Załóżmy, że A ⊂ B. Udowodnimy inkluzję f (A) ⊂ f (B).

Weźmy dowolny element y ∈ f (A)...

(b) Tu można podać dużo różnych przykładów. Dopasuj zbiory A i B do funkcji f : R → R określonej wzorem f (x) = x². Inny przykład: dopasuj funkcję f do zbiorów A = {a}, B = X = Y = {a, b}.

4 Wskazówka. (a) Zastosuj zadanie 3 (a) do inkluzji A ⊂ A ∪ B i B ⊂ A ∪ B.

Pozostanie do udowodnienia inkluzja f (A ∪ B) ⊂ f (A) ∪ f (B). Weźmy dowolny element y ∈ f (A ∪ B). Istnieje x ∈ A ∪ B takie, że y = f (x). Co trzeba otrzymać, żeby stwierdzić, że y ∈ f (A) ∪ f (B)?

(b) Zastosuj zadanie 3 (a) do inkluzji A ∩ B ⊂ A i A ∩ B ⊂ B.

6 (a) Analogicznie do 3 (a).

7 (c) Połowa rozwiązania. Weźmy dowolny element x ∈ X. Wówczas

x ∈ f⁻¹(A \ B) ⇔ f (x) ∈ A \ B ⇔ f (x) ∈ A ∧ f (x)6∈B ⇔ . . .

14 Wskazówka. Jeśli f (x₁) = f (x₂), to g(f (x₁)) = g(f (x₂)).

19 Rozwiązanie. (⇒) Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest „na” i rozważmy dowolne funkcje g1, g2: Y → Z, takie, że

(?) g₁◦ f = g₂◦ f.

Pokażemy, że g₁= g₂.

Dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, że y = f (x) (f jest „na”). Zatem, z równości (?), dla y ∈ Y otrzymujemy

g₁(y) = g₁(f (x)) = g₂(f (x)) = g₂(y), co oznacza, że g₁ = g₂.

(⇐) Pokażemy, że jeśli funkcja f : X → Y nie jest „na”, to istnieje zbiór Z i funkcje g₁, g₂: Y → Z, dla których nie jest prawdziwa implikacja

g₁◦ f = g₂◦ f ⇒ g₁= g₂,

czyli g₁◦ f = g₂◦ f i g₁ 6= g₂.

Zauważmy, że wystarczy rozważyć dwuelementowy zbiór Z = {a, b}, funkcję g₁: Y → Z określić wzorem g₁(y) = a dla każdego y ∈ Y , a funkcję g₂: Y → Z określić następująco:

g₂(y) =

( a, jeśli y ∈ f (X), b, jeśli y ∈ Y \ f (X).

Funkcje g₁ i g₂ są różne, gdyż zbiór Y \ f (X) jest niepusty (f nie jest „na”). Natomiast dla każdego x ∈ X oczywiście f (x) ∈ f (X), więc g₂(f (x)) = a = g₁(f (x)).

Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.

Funkcje, wersja trzecia, 12 II 2003.

3