Zadanie 1. Dowieść, że jeśli {x n } n∈N jest ci¸ agiem określonym rekurencyjnie: x 1 = 1, x n+1 = 2+x1+xn

ANALIZA I 24 listopada 2014

Semestr zimowy Kolokwium próbne

Javier de Lucas

Zadanie 1. Dowieść, że jeśli {x n } _n∈N jest ci¸ agiem określonym rekurencyjnie: x 1 = 1, x _n+1 = ^2+x _1+x

n

dla n ∈ N, to

x 2n = 2 + x ² _n 2x _n dla każdego n ∈ N = {1, 2, 3, . . .}.

Zadanie 2. Zbadać ograniczoność i ewentualnie wyznaczyc kresy zbiorów

X =

 m

(n + m)n | m, n ∈ N



, A =

∞

[

n=1

 2n + 1

2n + 2 , 3n ² + 2n + 4 3n ² + 2n + 3

 .

Czy A jest otwarty lub domkni¸ety?

Zadanie 3. Oblicz granice:

• lim _n→+∞ ^p

^a _p

^+...+p

^a

1

a

+...+p

a

, p ₁ , . . . , p _r , a ₁ , . . . , a _r > 0,

• lim _n→+∞ ¹

⁺²

_n ^+...+n

,

• lim _n→+∞ cos 

n

π n+2

 ,

• Udowodnij, że istnieje lim n→+∞ (1 + 1/2 + . . . + 1/n − log(n)).

Zadanie 4. Sprawdź, czy

d(x, y) =    ln  y

x

  

jest metryk¸ a na R + = {x ∈ R|x > 0}. Ustal d-odczynek [1, 2] i kul¸e K(2, 3).

Zadanie 5. Oblicz (jeżeli istnieje) za pomoc¸ a definicji Heiniego lim x→0 |x| ^sin (

) .

1