n→∞ D 2 (X n ) = 0 (zwanym warunkiem Markowa), to ciąg {X n − E(X n ) : n ∈ N } jest zbieżny według prawdopodobieństwa (stochastycznie) do zera.

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa matematyka, III rok

lista 12 (zmienne losowe - zbieżności)

1. Udowodnić, że jeśli {X n : n ∈ N } jest ciągiem zmiennych losowych, dla którego spełniony jest warunek: istnieje skończona wariancja D ² (X n ) dla n ∈ N oraz lim

n→∞ D ² (X n ) = 0 (zwanym warunkiem Markowa), to ciąg {X n − E(X _n ) : n ∈ N } jest zbieżny według prawdopodobieństwa (stochastycznie) do zera.

2. Pokazać, że granica według prawdopodobieństwa jest wyznaczona jednoznacznie.

3. Udowodnić, że jeżeli ciąg zmiennych losowych √

X n jest zbieżny w L ² , to ciąg X n jest zbieżny w L ¹ . 4. Jeśli X n

p.n → X, to X n

→ X. P

5. X n ciąg jednakowych zmiennych losowych. Zdefiniujmy Y n =

n

Q

j=1

X j . Udowodnić, że jeżeli Y n jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do stałej a, to a = 0 lub a = 1.

6. Dany jest ciąg zmiennych losowych przyjmujących wartości a > 0 na odcinku < 0, ₂ ¹

>, 0 na odcinku ( ₂ ¹

, 1 > z prawdopodobieństwami równymi długości odcinków. Wykazać, że tak określony ciąg X _n zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

7. Niech {X n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych dla których z prawdopodobieństwem 1 mamy |X n | ≤ c <

∞. Dowieść, że X n → 0 według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞ E(|X n |) = 0.

8. Niech {X n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X n (ω) = ± _n ¹ }) = ¹ ₂ . Wykazać, że ciąg ten jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 i według prawdopodobieństwa.

9. Niech {X _n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X _n (ω) = −n − 4}) = _n+4 ¹ , P ({ω : X n (ω) = n + 4} = _n+4 ³ i P ({ω : X n (ω) = −1}) = 1 − _n+4 ⁴ . Wykazać, że

• Wykazać, że X n jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

• E(lim n→∞ X n ) 6= lim n→∞ E(X n ).