J. Pawłowska (Kraków)
O liniach węzłów rozwiązań pewnych równań eliptycznych rzędu 2p
1. W pracy zostaną podane pewne twierdzenia o istnieniu i liczbie linii węzłów w otoczeniu punktu osobliwego oraz twierdzenia o regular
ności linii węzłów w punkcie osobliwym rozwiązań niezerowych równań eliptycznych rzędu 4-tego oraz rzędu '2p, p dowolna liczba naturalna:
(1)
oraz
(2)
A2u (so, y) + E S Clij (ж, у) к—0 i+j=k
дки(х, у) дх1 ду’ = о
2Р-1
V I
Л р и (ас, у ) +
2
j } a U(00
> У)к=0 i+j=k
дки(х, у) дхгду) - 0 .
Problem ten jest związany z pewnymi zagadnieniami W. Orlicza.
W pracy będziemy się opierali na wynikach L. Bersa ([!]), na pewnych własnościach wielomianów dwu i ^-harmonicznych oraz na pewnych wynikach z pracy [2].
2. Podamy teraz definicje i lematy:
Definicja 1 . Punkt (x0, y0) nazywamy zerem rzędu skończonego naturalnego N rozwiązania niezerowego u(x, y) równania (1) lub (2), je
żeli spełnione są warunki
(3)
u(x, y)
~Zn^I
U (x, u)
yи»-4 ’ - -/-> 0N-' dla V(x — x0)2+ ( y — y0)2 -> 0.
Punkt (x0, у o) będziemy w dalszym ciągu nazywali punktem osobli
wym rozwiązania u ( x , y ) .
Definicja 2. Zbiorem węzłów funkcji u(x, y) nazywamy zbiór jej miejsc zerowych.
Definicja 3. Wielomianem p-harmonicznym jednorodnym stopnia m, zmiennych х, у nazywamy, wielomian jednorodny stopnia m spełniający warunek
AvP m(x, y) = 0 , . p liczba naturalna.
Lemat 1 . Każdy wielomian biharmoniezny jednorodny stopnia m jest kombinacją liniową czterech wielomianów biharmoniezny ch jednorod
nych stopnia m liniowo niezależnych.
D o w ó d . Mech
(4) P m ( x , y ) = ^ a j>m_jxiy m j
?=o
będzie dowolnym wielomianem biharmonicznym jednorodnym stopnia m.
Wówczas
(5) A2P m(x, y) d*Pm( x , y ) d*Pm( x , y ) d*Pm( x , y)
dxi dx2dy‘l dy4 = 0 .
Z równości (4) i (5) wynika m—4
(6) ^ x y m 4(а,-+4^т _^_4(г + 4)(г + 3)(г + 2) +
г= 0
+ 2tti-ł-2,m -i-2(i 2) (i-\~ 1 )(m — i —2) (m — i — 3)-f-
^i,m-i(m — i ) ( m ~ i — l)( m — i ~ 2 ) ( m — i — 3j) = 0, m > 4.
Z równania (6) otrzymujemy układ w —3 równań o w + 1 niewiadomych
®0,m) ®l,m— l? •••> ^wi,o postaci
(7) aitm_i(m — i)(m — i — l)( m — i — 2)(m — i — 3)-\1 + 2лг+2,ш-г-2(^_Ь 2) (i + 1) (m— i — 2) (m — i — 3) —j—
+ <Xi+4,w~i-4('^_r 4)($ + 3 )(г-|-2 )(Ó + 1) = 0, i = 0 ,1 , ..., m — 4.
Mech
M = [Ci*], i = l , . . . , m — 3, fc = 1, ..., m + 1 będzie macierzą układu (7).
Otóż elementy
Cj} = (m - j J r i )( m —j)(m —j — i ) ( m —j — l ) ( m ~ j — 2), j = 1 , 2 , — 3 są różne od zera. Ponadto
— 0 dla h < j , k — l , 2 , . . . , m — 4, j = 1 ,2 , ..., w —3.
Wobec tego
det 3
jest różny od zera i rząd macierzy M jest równy m — 3. Istnieją więc do
kładnie cztery rozwiązania liniowo niezależne układu (7), a więc cztery wielomiany biharmoniczne jednorodne stopnia m, liniowo niezależne.
Lemat 2. Wielomiany
(8)
(9)
(10)
( U )
Q m ( ® , У) = Re(x-\-iy)m, y) = Im ( x + i y ) m, (X2+ y 2)Qm-2(X, У),
(x2 + y2)Rm_ 2( x , y)
są wielomianami biharmonicznymi jednorodnymi stopnia m liniowo nie
zależnymi.
D ow ód . Wielomiany Qm(®, y) i Pm(x, у) są harmoniczne a więc i biharmoniczne. Łatwo sprawdzić, że wielomiany (10) i (11) są biharmo- niczne. Dla stwierdzenia liniowej niezależności tych wielomianów zasto
sujemy współrzędne biegunowe x — rcosу, у — r sin<p. We współrzęd
nych biegunowych
Qm(%, y) = rw cośmy, E m(Xj y) = rw sin my,
(oc2 + y 2)Qm-2(x,y) = rmcos(rn—2)y, (x2 + y2)Rm_ 2(x,y) = rmsin(m — 2)y.
Liniowa niezależność wielomianów (8), (9), (10), (11) wynika z liniowej niezależności układu funkcji
Z lematów 1 i 2 wynika, że każdy wielomian biharmoniczny jedno
rodny stopnia m jest postaci (12) P m(x, y) =
= (x2 + y2)Qm-i(%, y)-hC2(x2+ y 2)Rm_ 2{x, y) + C3Qm(x, y) + C4Rm{ x , y), gdzie Сг, G2, C3, C4 są liczbami stałymi, G\ + C\ -f G\4-C\ Ф 0. We współ
rzędnych biegunowych (13) P m(x, y) =
= (Gi cos (m — 2) у -j- C2 sin (m — 2) у + (73 cos mcp + C4 sin my).
Udowodnimy z kolei następujący
Lemat 3. Każdy wielomian p-harmoniczny jednorodny stopnia m , m > 2 p , jest Tcombinacją liniową 2p wielomianów p-harmonicznych jednorodnych stopnia m liniowo niezależnych.
D o w ó d . Mech
cośmy, sinmy, eos(m—2)y, sin(m —2)y.
m
P ) y) — ajm_jX~у
będzie dowolnym wielomianem ^-harmonicznym jednorodnym stopnia w i niech
r d№ i м * * + h —
д х № ^ w a * ® -2a?/2 i ‘ ^ W d y № ' Otóż
q2p m—2p
w ^р1>>Лх 1 У) = V — i) ... (w i — 2p + 1 )ж'Ул_г“'27\
d2p
' 0a“ % a'- “ -Л ” (Ж’ 20 =
m—
~ 2 ^1+2к,т-г-2к(^ 2 & ) • • • (2 + 1 ) ( w — £ — 2k ) . . . (m г — 2 p + l ) + y ?i 1 2 / . г=О
Wobec tego
/«— 2/>
+ + + ( ^ у ) = £ ań//m_l_2p((w — i ) ( w — г — 1) ... (w — г — 2j? + l)a.ifm_* + i = 0
+ 2 (?) ... (w — i — 2^ + l) ( ^ + 2fe) ... (i + l)a i+2fc,m..i_2fc)-
a-=i ' *'
Dla m + 1 niewiadomych a0iW) ..., a7Hj0 otrzymujemy układ m -- 2p f 1 równań liniowych
(14) (w —г) ... (m—i — 2p + 1) а г> г_ г+ 7>
+ n ) ( w — i — 2fc) ... {m — i — 2p + l){i-\-2k) ... ( i + l ) a i+2Ml_i_2* = О,
A:=l ' '
i = 0, 1 , ..., m — 2p.
Macierz M układu (14) ma w — 2^ + 1 wierszy oraz w + 1 kolumn.
Niech
II [—1 Zr II M + ..., w — 2p + 1 , Tc ~ 1 , 2 , . . . , m + 1 Otóż
Cji = (m — l —j) ... (w — 1 — j — 2p + 1 ) + 0, +/C ^ ó dla j = 1 , 2 , ..., w — 2p |~ 1 ,, & < j -
Wobec tego
detfo*], j , к = 1 , 2 , ..., w - 2p + l
jest różny od zera i rząd macierzy M jest równy m — 2p-\-l. Istnieje więc 2p liniowo niezależnych rozwiązań układu (14) a więc 2p liniowo niezależnych wielomianów p -harmonicznych jednorodnych stopnia m > 2p .
Lemat 4. Wielomiany
QitiW^y)i R-mi® j У) ? (ж2 -j- y2)Qm_2 j У ) j (® 2 - f |/2) й т -2( ® ) ? / ) ; (1 5 )
. .. ,( %2+ У 2)Р Qm-2p+2{X,y), (002 + y 2f B m_ 2p+2{X,1J) są wielomianami p-harmonicznymi jednorodnymi stopnia m liniowo nie
zależnymi.
D ow ód . Łatwo sprawdzić, że wielomiany (15) są p -harmoniczne.
Celem sprawdzenia ich liniowej niezależności stosujemy współrzędne biegunowe x — r cos 9?, у = r sin99. We współrzędnych biegunowych
Qm{x, у) = тто,о%тср, B m(x, y) = rm&in.m<p, (16) ..., {x2-\-y2f - lQm_ 2p+2{x, У) = rwcos(w — 2p-\-2)(p,
(х2р у 2)р~1Лт_2р+2( х , у) = rmmn(m—2p + 2)cp.
Liniowa niezależność wielomianów" (15) wynika z liniowej niezależności układu funkcji
eosmę?, sinwnp, ..., cos (m — 2p ~ł— 2) 99 ? sin(m —2p + 2)ę>.
Z lematów 3 i 4 wynika, że każdy wielomian ^-harmoniczny jedno
rodny stopnia m > 2p jest postaci
(17) P m(x, у) = С1(ж2 + 2/2)7,” 1^ т ..2р,.2(ж, y) +
“ЬС2(.'Г -(- у ) Km— 2p + 2 (^ j ?/) “Ь ••• ~~b @zp— iQm{X, ^/) d~ ^ 2-p Rm{.X 1 У) j gdzie C1? ..., 02p są stałymi, z których co najmniej jedna jest różna od zera.
We współrzędnych biegunowych
(18) P m( x , y ) = rm([C1c,os(m — 2p Jr 2)(p-\-C2&iR(m — 2p-\-2)(p-\- ... + + C2v_ ! cos m<p + C2p sin пир) = гт Жт>„ (9?).
Lemat 5. Jeżeli cp jest miejscem zerowym wielomianu trygonometrycz
nego Wm>v{(p), to (pĄ-т: jest też jego miejscem zerowym.
Dowód przez sprawdzenie wzoru W m>p{(p-{-rc) = ± Wm,v (<p).
Lemat 5a. Jeżeli cp jest miejscem zerowym pojedynczym wielomianu Wmjj((p) , to 99+тг jest także miejscem zerowym pojedynczym W m,p(cp).
Dowód na podstawie wzoru ±.W'm,p(<p + Tc) = W'm,p(<p)- 3. Podamy teraz za Hurwitzem ([3]) następujące Twierdzenie 1. Każdy wielomian trygonometryczny
(19) W (cp) = 0 $ cos mcp -f С§f sin mcp + •.. + C$ cos ncp + C$ sin ncp, gdzie , . .., C$ to stałe, z których co najmniej jedna jest różna od zera, ma w przedziale <0,27t) co najmniej 2(m — 2) różnych miejsc zerowych.
Udowodnimy teraz następujący
Lemat 6. Każdy wielomian biharmoniczny jednorodny P m (x , y) stop
nia m > 4 zeruje się na co najmniej m— 2 różnych prostych.
D o w ó d . Ze wzoru (13) oraz z twierdzenia 1 wynika, że P m(%,y) zeruje się na 2 (m —2) różnych półprostych, których równaniami we współ
rzędnych biegunowych są równania
(2 0 ) <p = 9?1, cp = 9?2(m-2)-
Dla każdej półprostej z ciągu (20), na mocy lematu 5, istnieje półprosta z tego ciągu taka, że obie te półproste leżą na tej samej prostej. Wobec tego P m{x, y) zeruje się na co najmniej m— 2 różnych prostych.
Z lematów 5 a oraz 6 wynika
Wniosek 1 . Istnieje co najmniej m — 4 różnych prostych, na któ
rych P m{ x , y ) zeruje się jednokrotnie.
Lemat 7. Każdy wielomian p-harmoniczny jednorodny P m{x, y) stop
nia m > 2p zeruje się na co najmniej m — 2p różnych prostych.
D o w ó d . Dowód jest analogiczny do dowodu lematu 6, w oparciu o wzór (18) oraz twierdzenie 1 .
Z- lematu- 7 wynikar
Wniosek 2. Jeżeli m > 4 p , to istnieje co najmniej m — 4p różnych prostych, na których P m(x, y) zeruje się jednokrotnie.
Za Bersem podamy z kolei następujące
Twierdzenie 2. Jeżeli 1° w równaniu (2) współczynniki ац(х, у) są funkcjami ciągłymi w otoczeniu początku układu, 2° niezeroive rozwią
zanie u(x, y) ma w początku układu zero rzędu skończonego naturalnego N, to istnieje jeden wielomian p-harmoniczny jednorodny Р ^ {х , у) stopnia N oraz otoczenie K ( 0 , 0) początku układu takie, że dla każdej ustalonej liczby dodatniej ее(0, 1 )
u(x, y) = P N(x, y)-fO{rN+e), (21) u'x(x, y) = (PN(x, 2/))х+0 (г^ +£_1),
*4 (я, У) = {Pn(x, y))yJrO(rN+e- 1), r — Vxz-{-y2.
4. Udowodnimy teraz, w sposób analogiczny jak w pracy [2], twier
dzenie o istnieniu linii węzłów rozwiązania niezerowego u ( x , y ) równa
nia (1 ) w otoczeniu punktu osobliwego, tzn. punktu, który jest zerem rzędu naturalnego skończonego N funkcji u(x, y ) . Początek układu przesu
wamy do punktu osobhwego.
Twierdzenie 3. Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 2, to istnie
je otoczenie początku układu К г(0 ,0 ) , w którym u ( x , y ) ma co najmniej 2N — 8 różnych linii węzłów•
D o w ó d . Mech P N( x , y ) oznacza wielomian biharmoniczny okreś- ony w twierdzeniu 2. We współrzędnych biegunowych
P N(rcosy, rsiny) =
— ^(CiCOsiN — 2)y-\-C2sm{N — 2)(p-\-C3c/osN<pJr C4ńnN(p) = rNg(<p).
Na podstawie (21)
u (r cos y, r siny) = rN (g{y) + O (r6)),
^ uv = rNg'{<p) + rN0( rs) = rN(g'((p) + 0(re)).
Niech
(23) Pi, . • • > Pzn-b
oznaczają różne półproste, na których Pn(x, у ) zeruje się jednokrotnie i niech
<P = <Pl, •••» <p = <PiN-S
będą równaniami półprostych (23) we współrzędnych biegunowych.
Otóż
(24) g{<Pi) = 0, i = 1, . .. , 2 J V -8 .
Z warunków (22) i (24) wynika istnienie liczb B i M takich, że dla każdego re(0, B) w każdym z przedziałów
(25) ((рг — M, <px + M), ..., {(p2N-s — -Ж, <Ргн-ъ + Щ funkcja
(26) g(<p) + 0( rE)
jest ściśle monotoniczna względem <p, zaś w każdym z przedziałów (ę^ + Ж , 9?2 — Ж ), ..., (9>2#-8 + Ж , 271: + 9?i— Ж)
przyjmuje wartości na przemian dodatnie i ujemne. Wynika stąd, że dla każdej liczby r e ( 0 , B ) istnieje układ 2 N —8 różnych liczb <^(r), nale
żących odpowiednio do jednego z przedziałów (25), dla których funkcja (26) jest równa zero. Ponadto funkcje щ(г) są ciągłe oraz
lim<pi{r) = w , i = 1, 2, ..., 2 N — 8.
r-> 0
Zbiór punktów (х, у) o współrzędnych biegunowych (<Pi(r),r) re(0,.R ), i — 1 ,2 , ..., 2N — 8 tworzy układ 2N — 8 liniii węzłów roz
wiązania niezerowego u ( x , y ) równania (1). Oznaczmy je przez
(27) w^Wt,
Należą one do otoczenia początku układu o promieniu B.
Udowodnimy teraz twierdzenie o regularności linii węzłów w punk
cie osobliwym.
Twierdzenie 4. Jeżeli spełnione są, założenia twierdzenia 2, to Unie węzłów (27) są w początku układu styczne do półprostych (23).
D o w ó d . Mech p,L będzie jedną z półprostych (23), dla której
<Pi{r) -> Щ przy r -> 0. Obróćmy układ współrzędnych (x0y) dokoła po
czątku układu tak, by oś 0x pokryła się z półprostą pi i niech (ZOZ) oznacza układ obrócony. Przy tej transformacji niech
u(x, y) = U( X, Y).
Ponieważ laplasjan jest niezmiennikiem obrotu układu współrzędnych przeto funkcja U( X, Y) spełnia równanie
(28) A 4 J ( X , Y)
У
V h , ( X , Y ) fc= 0dk U( X, Y)
~ d X idYi
-■ 0 ,
Wielomian biharmoniczny jednorodny stopnia N, P x (x, y), po obrocie przechodzi w wielomian biharmoniczny PN( X , Y), zmiennych X , Y, jednorodny stopnia X. Niech przy tej transformacji obrazem łuku wL będzie łuk wi . Otóż
(29) (Pjv(X , Y ))i -> 0 gdy ( X, Y ) - v ( 0 , 0 ) , ( X , Y )6« v Na podstawie (24)
[PN{X , Y)}y Ф 0 wzdłuż OZ dla X Ф 0.
Ponieważ po obrocie regularność współczynników Ъц(Х, Y) jest w oto
czeniu początku układu taka sama jak regularność współczynników ац(х, у), przeto z twierdzenia 2 wynika, że
U( X, Y) = PN{ X, Y) + 0 ( R x -‘ ), (.30) V'x ( X , Y) = \PN( X , Y))'x + 0 ( R N' - 1),
V'y(X, Y) = (РД,(Х , YJ^ + O ^ - 1),
gdzie s jest dowolną ustaloną liczbą z przedziału (0 ,1 ), a R = I W i- Y2.
Wprowadzając współrzędne biegunowe (Ф, R) z osią biegunową OZ, mamy
U( X, Y) = RNG(0) + O(RN+e), U'x { X, Y) = Rn~1H(0)-YO(Rn+s- 1), U'y( X , Y) = Rx - 1F ( 0 ) ^ O ( R y" s- ' ) , . (3 1)
gdzie G(0), Н ( Ф ) , Р(Ф) są wielomianami trygonometrycznymi, dla których
Я (0) = 0, Я ( 0 ) ^ 0 . Z wzorów (31) wynika, że
U'x ( X, Y) _ B N- 1H ( 0 ) + O ( B N+S~1) H { 0 ) + O { B e) U'T( X , Y) ~~ W ^ F ( 0 ) + O ( B ŃTeZ1Y ~ F { 0 ) + O ( B e) ’ gdy ( X = ЯсовФ, Y = Я втФ ) -* (0, 0), ( X, Y)ewif X > 0 .
Zatem funkcja uwikłana
Y (Z ),
której obrazem geometrycznym jest luk щ, spełniająca równanie ' U ( X , Y ) = 0,
ma w punkcie (0, 0) pochodną jednostronną
Y ' ( 0 ) = 0 .
Łącząc parami linie węzłów Wi i wi+N, i = 1 ,2 , N — 4, o tym samym kierunku stycznej w początku układu, otrzymujemy N — 4 linii węzłów
^1 ? ^2 J • • * ) ^N— 4
przechodzących przez początek układu i klasy O1 w tym punkcie.
5. Dla rozwiązań niezerowych u(x, y) równania (2) zachodzą twier
dzenia analogiczne do twierdzeń 3 i 4, a mianowicie:
Twierdzenie 6. Jeżeli 1° spełnione są założenia twierdzenia 2, 2° N > 2p, to istnieje otoczenie początku układu, w którym funkcja u ( x , y ) ma co najmniej 2N — 4p Unii węzłów.
D o w ó d . Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia 3 w opar
ciu o wniosek 2.
Twierdzenie 6. Jeżeli 1° spełnione są założenia twierdzenia 2, 2° N > 2 p , 30 р г, - ..f pm -m oznaczają półproste, na których Р лj{x, y) ze
ruje się jednokrotnie, to linie węzłów rozwiązania niezerowego u(x, y) rów
nania (2) są styczne do półprostych p t , ..., p 2iv_4p-
D o w ó d . Dowód jest analogiczny do dowodu twierdzenia 4 w opar
ciu o niezmienniczość p-laplasjanu względem obrotu układu współrzęd
nych.
Prace Matematyczne IX . 1 2
Prace cytowane
[1] L. B e r s, Local behaviour of solutions of general elliptic equations, Comm.
Pure Appl. Math. 8 (1955), str. 473-495.
[2] F. B a r a ń s k i, O własnościachr oscylacyjnych i Uniach węzłów rozwiązań pewnych równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego, Prace Mat. 7 (1962), str. 7 1-96.
[3] A . H u r w it z , Ueber d ie Fourierschen Konstanten integrierbaren Funktio- nen, Math. Annalen 57 (1903), str. 425-446.
J. Pa w ł o w s k a (Kraków)
ON T H E N O D A L L IN E S OF T H E SO LU TIO N S OF CER TA IN E L L IP T IC E Q U A T IO N S OF O R D E R 2p
S U M M A R Y
The point (x0, yQ) is called a zero of a finite (natural) order N of the func
tion и (x, y) if
rJV-i
u( x, y)
r N -/* 0 for Г = V ( x - x 0)2+ { y - y 0)2 -*> 0.
The point (x0, y 0) is called a singular point of a non-trivial solution и (x , y) of the elliptic equation
(1) Av u { x , y) +
2p~l
k= 02 i+j=kI aij(x, y)
dku( x, y) dxi dyi = 0,
лгЬеге p > 2 , if it is a zero of a finite order N of the function u ( x , y ) . The author proves the following theorem:
I f the point (xQ, y Q) is a zero of finite order N of a non-trivial solution u ( x, y) of the equation (1) and p = 2 , then there exists a neighbourhood of (x0, y 0) in which u ( x , y ) has at least A — 2 nodal lines passing through (cc0, y 0) and tangent to N — 4 different straight lines.
If p > 2 , u ( x , y ) has at least N — p nodal lines pas'sing through {x0, y 0) and tangent to N — 2 p different straight lines.
