Z.1. (1pkt) Dysponujemy dwiema 10 elementowymi tablicami wypełnionymi w porządku rosnącym wylosowanymi liczbami naturalnymi. Użytkownik podaje liczbę naturalną. Zwracana jest informacja, czy podaną liczbę można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb, po jednej z każdej z tablic. Jeśli tak, zwracane są też indeksy miejsc na których stoją te liczby. Zadanie należy wykonać przy możliwie najmniejszej liczbie sprawdzeń.
(Punkt otrzymujemy za rozwiązanie o złożoności liniowej.)
Z.2. (1pkt) Proszę znaleźć wszystkie liczby automorficzne dla systemu dziesiętnego i dwójkowego z zakresu od 1 do 10000 posługując się opisanym algorytmem.
Liczbami automorficznymi nazywamy takie liczby, które podniesione do kwadratu zawierają w końcówce samą siebie. Np. 52 = 25, 62 = 36. Ciekawostką jest to, że liczby automorficzne w zapisie dziesiętnym zawsze kończą się na 5 lub 6.
Automorficzność liczby naturalna n dla podstawy systemu m można sprawdzić za pomocą następującego równania:
gdzie n to badana liczba, m to podstawa zapisu liczby, k oznacza ilość cyfr w liczbie n.
Jeśli powyższe równanie jest prawdziwe dla zadanej liczby naturalnej n oznacza to, że liczba jest automorficzna.
Przykład: 25 w systemie dziesiętnym
n = 25, m = 10 (ponieważ liczba jest zapisana w systemie dziesiętnym), k = 2. Sprawdzamy więc 25 jest automorficzne.
Prostą metodą możemy znaleźć wartość mk, wystarczy że podstawę m będziemy podnosić do kolejnej potęgi, aż wynik będzie większy lub równy zadanej liczbie n.
Przykład:
n = 25
101 = 10, wynik mniejszy niż 25 – iterujemy dalej;
102 = 100, wynik większy niż 25.
Dostosowując powyższą metodę uzyskujemy pełny algorytm przy pomocy którego, możemy sprawdzić czy zadana liczba naturalna n o dowolnej podstawie m jest automorficzna. Taki algorytm możemy przedstawić za pomocą następującej listy kroków:
pobierz n, m
utwórz zmienne pomocnicze a, b
b = m
dopóki b < n
o b = b*m
a = n2 mod b
jeśli a = n liczba jest automorficzna.
Działanie algorytmu można zilustrować za pomocą poniższego schematu.
