Zagadnienia na egzamin

(1)

Podczas egzaminu student losuje kartę z pięcioma pytaniami. Wybiera z nich trzy i na te trzy pytania odpowiada (tylko one będą oceniane).

• Co to jest algebra i co to jest σ-algebra (plus przynajmniej jeden przykład każdej)?

• Co to jest miara, jakie ma wlasności (plus przynajmniej jeden przykład miary)?

• Co to jest miara zwnętrzna? Czy każda miara jest miarą zewnętrzną? Czy każda miara zewnętrzna jest miarą?

• Jaki warunek nazywamy warunkiem Caratheodory´ego i do czego służy i jak brzmi twierdzenie Cara- theodory’ego?

• Co nazywamy przedziałem w R^k i jakie własności mają przedziały?

• Co nazywamy miarą zewnętrzną Lebesque’a i jakie ma ona własności?

• Jak deﬁniujemy miarę Lebesque’ana R^k? (Czy jest ona miarą, czy jest miarą zewnętrzną? Z jakiego twierdzenia korzystamy?).

• Czy przedzial w R^k jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesque’a? Odpowiedź uzasadnij (odpowiednim twierdzeniem i szkicem dowodu).

• Jaką funkcję nazwiemy mierzalną? Jaką funkcję nazwiemy prostą (co rozumiemy przez przedstawienie kanoniczne)?

• Jakie własności mają funkcje mierzalne?

• Jak deﬁniujemy całkę z funkcji prostej (wraz z krótkim przykładem)?

• Jakie własności ma całka z funkcji prostej?

• Jak deﬁniujemy całkę z funkcji mierzalnej nieujemnej (dlaczego istnieje i jest jednoznacznie określona)?

• Jak deﬁniujemy całkę z dowolnej funkcji mierzalnej (dlaczego istnieje i jest jednoznacznie określona)?

• Czy istnienia całki z funkcji mierzalnej jest równoważne całkowalności funkcji mierzalnej (poprzeć odpowiednimi deﬁnicjami i twierdzeniami)?

• Jakie własności ma całka Lebesque’a?

• Jakie własności ma całka Lebesque’a w R^k? 1

(2)

• Omów pokrótce konstrukcję całki Riemanna.

• Porównaj całkowalnośc w sensie Riemanna z całkowalnością w sensie Lebesque’a.

• Co to jest całka iterowana (w R^k) (podać krótkie przykłady wR² i R³)?

• Jaki jest związek pomiędzy całką iterowaną a całką podwójną (a całką potrójną)?

• Co to jest miara produktowa układu miar? Dlaczego istnieje? Czy jest jednoznaczna?

• Sformułuj jedną (wybraną) wersję twierdzenia Fubiniego.

• Jak wygląda zbiór normalny względem osi rzędnych (odciętych) w 2R? (Analogicznie w przypadku przestrzeni _R³).

• Omów pokrótce kroki dowodu twierdzenia Fubiniego w przypadku dwuwymiarowym.

• Omów wnioski wynikające z twierdzenia Fubiniego w R² (Analogicznie w R³).

• Co nazywamy jacobianem odwzorowania (jakie to musi być odwzorowanie)?

• Sformułuj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie?

• Sformułuj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie w R² i omów je na podstawie zamiany zmien- nych na współrzędne biegunowe?

• Sformułuj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie w R³ i omów je na podstawie zamiany zmien- nych na współrzędne walcowe?

• Sformułuj twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie w R³ i omów je na podstawie zamiany zmien- nych na współrzędne sferyczne?

• Omów matematyczne zastosowania całek podwójnych.

• Omów matematyczne zastosowania całek potrójnych.

• Omów przynajmniej dwa ﬁzyczne zastosowania całek podwójnych.

• Omów przynajmniej dwa ﬁzyczne zastosowania całek potrójnych.

• Na czym polega reguła Guldina (omów obie)?

• Na czym polega reguła Cavalieriego?

2