Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl grudniowy
Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Zadanie 1.
Rozwiąż równanie: x x x x 0 Rozwiązanie.
0 :
0 0
) 0
0 0
(
3 3
3
0 2
2
0 2
0 0
0 0
x Odp
x x
x x
ć sprzecznoś x
x
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
dla
sprzeczne równanie
x dla
x x x x
x x x x x
x x x
Zadanie 2.
Dany jest układ równań
4 2 2 2
2
2 2
m m y x
m y
x . Wyznacz wszystkie liczby całkowite m,
dla których wyrażenie
2 2 10 1
y
y x
jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie.
Rozwiązaniem danego układu równań jest
8 2
6
2 2 m y
m m
x dla każdego mR.
Więc wyrażenie
3 3 9
2 1 6 2 3 18 2
1
6 2
18 6 2 3 2 1 6 2
6 2
1 6
2
6 6 2 2
1 6 2
3 2
2 10 1
2
m m m m
m m m
m m m m
m m
m m
m m y
y x
Liczba
3 3 9
2 1
m
m będzie liczbą całkowitą, gdy liczba a =
3 9 2
1
m m jest liczbą całkowitą. Skoro
a =
3
18 2
1 3 9 2
1
m m
m m , to liczba a może być liczbą całkowitą, gdy m + 3= 18 lub m+3 = –18 lub m + 3 = 9 lub m + 3 = –9 lub m + 3 = 6 lub m + 3 = –6 lub m + 3 = 3 lub m + 3 = –3 lub m + 3 = 2 lub m + 3 = –2 lub m + 3 = 1 lub m + 3 = –1
Po rozwiązaniu poszczególnych równań i sprawdzeniu czy liczba a jest liczbą całkowitą dla wyznaczonej wartości m , otrzymujemy odpowiedź:
21,-12,-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3,6,15 m
Zadanie 3.
Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a ,,b cspełniona jest nierówność
c b a c b
a 11 9
1 .
Rozwiązanie.
Podana nierówność jest równoważna nierówności 1 1 1
9
a b c
c b
a . Wykonując
działania otrzymujemy
b
c c b c a a c b a a b c
b c a b c b
a a c a
L 1 b 1 1 3 .
Ponieważ dla liczb dodatnich xiy mamy: 2
2
2
xy
y x x y y
x ,
więc L3239. Zatem LP, co kończy dowód.
Zadanie 4.
Oblicz odległość między środkami krawędzi skośnych w czworościanie foremnym o krawędzi długości 6.
Rozwiązanie.
A
B C
D
F
E
Krawędzie skośne to np. AD oraz CB. Punkty F i E są odpowiednio ich środkami.
Mamy obliczyć FE. Trójkąt AED jest równoramienny: ramiona AE = DE = 3 3 2
3
6 oraz
AD = 6. FE jest wysokością w tym trójkącie . Z Pitagorasa
2 3
9 27
3 3 3
2 2 2 2
2 2
2
FE FE
FE
DE FE
DF
Odp. Szukana odległość równa jest 3 2.
Zadanie 5.
Oblicz pole trapezu prostokątnego, w który można wpisać okrąg, mając dane długości jego podstaw a oraz b.
Rozwiązanie.
Niech to będzie trapez ABCD, w którym |AB|=a, |CD|=b, ∡BAD=90º. Przyjmując oznaczenia
|AD| = x, |BC| = y, |CC1 |= x, |C1B| = a-b, gdzie C1 jest obrazem punktu C w rzucie prostokątnym na prostą AB, mamy y2 = (a-b)2+x2,
Stąd y2-x2 = (a-b)2, czyli (y-x)(y+x) = (a-b)2. Ale:
(1) y+x = a+b, (ponieważ w dany trapez można wpisać okrąg) więc:
(2) .
Z układu równań (1) i (2) otrzymujemy . Odp. P=ab.
