VALUE AT RISK w ujęciu semiparametrycznej metody EKT

(1)

Grzegorz Mentel

VALUE AT RISK w ujęciu

semiparametrycznej metody EKT

Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 76-85

2008

(2)

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 10

GRZEGORZ MENTEL

VALUE AT RISK W UJĘCIU SEMIPARAMETRYCZNEJ METODY EKT

Biorąc pod uwagę mnogość metod pomiaru ryzyka na giełdach papierów wartościowych całego świata warto przyjrzeć się jednej z nich, a mianowicie

Value at Risk. Jest to obecnie najbardziej powszechna metoda pomiaru niepew

ności, co do przyszłych stanów danego waloru. Istotne w jej wyznaczaniu jest to, iż można ją oszacować na kilka sposobów. Podstawowym podziałem, w tym zakresie, jest rozgraniczenie na metody parametryczne i nieparametryczne.

Pierwsza grupa oparta jest na różnego rodzaju modelach opisujących „za chowanie się” instrumentów finansowych w portfelu inwestycyjnym. Opraco waniem takich modeli zajmują się wielkie organizacje świata finansowego jak choćby grupa RiskMetrics™, uznawana za największego eksperta w tej dziedzi nie. Ta grupa metod obliczania VaR wykorzystuje założenie, że zwroty brane do analizy posiadają pewien rozkład prawdopodobieństwa.

Ponieważ założenie tego typu może okazać się czasem zgubne, gdyż często bardzo trudno jest dopasować jakiś rozkład, sięga się czasem po drugą grupę metod estymacji wartości zagrożonej, a mianowicie metody nieparametryczne.

Wypadkowym elementem w tym zakresie może okazać się kolejna, nie wyróżniana zasadniczo w literaturze przedmiotu, klasa metod a mianowicie semiparametrycznych. Grupa ta przeważnie jest zaliczana w poczet metod nie parametrycznych, stąd brak wyraźnego wyodrębnienia jej jako osobnej klasy. Reprezentantką tej grupy jest metoda EKT (S. Emmer, C. Kluppelberg, M. Tru- stedt) i to ona właśnie stanowi podstawę niniejszego artykułu.

(3)

G R Z E G O R Z M E N T E L 77

Value atrisk wujęciu ...

Z a ł oże n i a

Praktyczne zastosowanie wyżej wspomnianej metody, a co ważniejsze zbadanie jej skuteczności, zostanie przeprowadzone na uśrednionym (teoretycz nym) portfelu pięciu spółek1 notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Wartość tak powstałego koszyka opisuje następująca formuła:

Y = Z w,- Y , (1)

i=1 gdzie:

Y - kurs i-tej spółki w koszyku,

a, - waga kapitałowa i-tej spółki w koszyku, N - liczba walorów w koszyku.

Wartości poszczególnych wag kapitałowych z kolei ustala następująca za leżność:

w = - Ł (2)

I Y_i=1

Ponieważ szacowanie wartości zagrożonej zostanie dokonane na logaryt micznych zwrotach tak powstałego portfela, warto przytoczyć formułę pozwala jącą na wyznaczenie całkowitego zwrotu z portfela (rP) wybranych spółek. W jednostkowym czasie rP wynosi:

rp = ZW - r , (3)

i=1

gdzie:

ri - logarytmiczny zwrot z i-tej spółki w portfelu w jednostkowym przedziale

czasowym.

Wyznaczaj ąc wagi kapitałowe dla poszczególnych walorów tworzących omawiany portfel w okresie od stycznia 2000 roku do marca 2008 (w takim okresie przeprowadzono badania) otrzymano wartości przedstawione na rys. 1. Szybka jego analiza pozwala zauważyć znaczne dysproporcje jeśli chodzi o udział poszczególnych spółek w budowie portfela.

Taki stan rzeczy wynika głównie z dość znacznych różnic kursowych. Przedstawienie ich wartości, w omawianym horyzoncie czasowym, obrazuje rys. 2.

(4)

78

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE

Rys. 1. Wartości wag kapitałowych dla poszczególnych walorów wchodzących w skład rozpatrywanego portfela w okresie od stycznia 2000 roku do marca 2008 . Ź ró d ło : O p ra co w a n ie własne.

Rys. 2. Kursy spółek wchodzących w skład badanego portfela i ich średni kurs w okresie od stycznia 2000 roku do marca 2008.

Ź ró d ło : O p ra co w a n ie własne. W y r a ź n i e w i d o c z n a j e s t z m i a n a t e n d e n c j i r y n k o w e j d l a w s z y s t k i c h o m a w i a n y c h e l e m e n t ó w w o k r e s i e o d k w i e t n i a 2 0 0 7 r o k u . Z w i ą z a n e j e s t t o b e z p o ś r e d n i o z p r z e ł o ż e n i e m k i e p s k i e j s y t u a c j i r y n k o w e j , g ł ó w n i e n a r y n k u a m e r y k a ń s k i m , n a k o n i u n k t u r ę p a n u j ą c ą n a G P W w W a r s z a w i e . J a k w i d a ć p a r k i e t y g i e ł d o w e m i m o z n a c z n e j o d r ę b n o ś c i o d z w i e r c i e d l a j ą z m i a n y w o g ó l n y c h t e n

(5)

-G R Z E -G O R Z M E N T E L 7 9

Va l u e a t r i s k w u j ę c i u ...

dencjach światowych. Tym samym „globalne” trendy na rynkach papierów wartościowych znalazły odbicie również na naszym rodzimym rynku.

M etoda semiparametryczna EKT

Metoda EKT jest modyfikacją metody historycznej. Jest to metoda bazują ca na teorii wartości ekstremalnych zajmującej się rozkładami prawdopodo bieństwa mającymi grube ogony2. Jest to dość istotne założenie, gdyż mimo powszechnie stosowanego podejścia, iż rozkłady stóp zwrotu instrumentów finansowych mają tzw. warunkowy rozkład normalny, w rzeczywistości obser wacje ekstremalne wykluczają tego typu założenia. W praktyce większe zasto sowanie mają rozkłady bardziej wyłapujące obserwacje odstające niż czyni to wyżej wspomniany rozkład. Dużo lepsze bowiem w tym zakresie jest modelo wanie stóp zwrotu chociażby rozkładem GARCH (1,1) czy też t-Student3.

W omawianej metodzie, zgodnie z definicj ą wartości zagrożonej, badamy lewy ogon rozkładu zwrotów z portfela, czyli wszystkie ujemne wartości zwro tów. Następnie wartości tych zwrotów mnożymy przez -1 otrzymują tym sa mym wartości dodatnie. Sortujemy wartości tych zwrotów: ri> r2> ... > rM>

... > rL, gdzie L jest ilością obserwacji z lewego ogona rozkładu zwrotów, na

tomiast M jest wskaźnikiem progowym, dla którego wszystkie wartości j j = M + i , . , L są o wiele mniejsze od pozostałych wartości j j = i , . , M 4.

Wyznaczenia wartości progowej rM dokonuje się za pomocą wykresu

QQ-plot, który bardzo dobrze obrazuje, które obserwacje są powyżej, a które poniżej wartości progowej. W dniu 07.08.2000 r. QQ-plot dla koszyka bada nych spółek przedstawia rys. 3. Na podstawie rys. 3. otrzymujemy wartość L=77, natomiast M=10.

Wzór na estymator dla ogona rozkładu jest następujący: 1

M f r Лa

1 - p = г [ т J -x > rM+i

(4 )

gdzie:

2 E m m e r S . , K l u p p e l b e r g C . , T r u s t e d t M . , VaR - a measure fo r the extreme risk, M u n i c h U n i v e r  s i t y o f T e c h n o l o g y , 1 9 9 9 .

33 M e n t e l G . , Ocena skuteczności szacowania ryzyka za pomocą metod VaR na polskim rynku kapitałowym, P r a c a d o k t o r s k a , U n i w e r s y t e t S z c z e c i ń s k i , 2 0 0 6 .

4 T a l a r P . , W e r o n A . , Metody nieparametryczne obliczania VaR, R y n e k T e r m i n o w y , n r 1 4 / 4 / 0 1 , s . 6 0 i d a l s z e .

(6)

80

RYNEK KAPITAŁOWY - SKUTECZNE INWESTOWANIE p - kwantyl rozkładu,

a - estymator Hilla określony następującym wzorem:

1 M- 1 (5)

« = — Z lnri - lnrM M i= 1

Z powyższego otrzymuje się wzór na wartość narażoną na ryzyko:

( M X r - (6)

VaR = -rM+i • -T---r V T l Li1 - P)) gdzie:

T - czas w jakim decydujemy się trzymać nasz portfel5.

R ys. 3. W ykres Q Q -p lo t d la z w r o tó w b r a n y c h d o w y lic z e n ia VaR w d n iu 0 7 .0 8 .2 0 0 0 r.

Źródło: Opracowanie własne.

D E T E R M IN A N T Y M O D E L I VALUE AT RISK

Istotnym faktem jaki należy rozpatrzyć przy wyznaczaniu V aR jest liczba obserwacji historycznych jakie powinno się wziąć pod uwagę. Jest to wielkość w znacznym stopniu, poza poziomem istotności, odpowiedzialna za szacunki VaR. Występuje bowiem potrzeba wyznaczenia minimalnej liczby obserwacji jaka jest konieczna do estymacji estymatora odchylenia standardowego dla dziennych logarytmicznych zwrotów cen badanego instrumentu. Korzysta jąc w tym zakresie z zależności opracowanej przez R isk M e tric s™

(7)

Value a trisk wujęciu ...

s 2= (1 - 1 ) Zj rt2_H 6 (7)

j=0

można pokusić się o wyznaczenie efektywnej liczby obserwacji historycznych. Generuje się ją tak, aby suma wag dla średniej ruchomej skończonej (rów na 1 - A") stanowiła odpowiednio duży procent: 1 - ytol z sumy wag dla teore tycznej średniej ruchomej nieskończonej (która wynosi 1), gdzie: 0 < ytoi < 1 - jest dostatecznie małym poziomem tolerancji. Otrzymujemy wówczas zależ ność wiążącą stałą wygładzania, poziom tolerancji oraz wymaganą liczbę histo rycznych obserwacji:

1 - l ” = (1 - g J (8)

Z zależności (8) wynika następujący wzór, pozwalający określić wymaga ną ilość historycznych obserwacji w zależności od ustalonego poziomu toleran cji oraz przyjętej stałej wygładzania6, 7:

n = ^ . (9)

ln(l)

Wychodząc zatem z założenia, iż standardowa stała wygładzania A przyj mowana przez RiskMetrics™ to 0,97 a ytol ustalono na poziomie 0,01 do dal szych analiz przyjęto n = 151 obserwacji historycznych, jako liczbę pozwalają cą efektywnie generować wartość zagrożoną.

Ponadto istotnym czynnikiem determinującym stopień oszacowań VaR, jest poziom istotności a, jaki należy przyjąć przy jego estymacji. Zmia na poziomu istotności istotnie wpływa na wartość Value at Risk. Zwiększe nie wartości a powoduje zmniejszenie poziomu wartości zagrożonej, co jest poniekąd intuicyjne. W niniejszych rozważaniach przyjęto wartość poziomu istotności równą 0,05.

EKT w relacji z innymi metodami

W niniejszych analizach ograniczono się do przedstawienia semiparametrycznej metody EKT w odniesieniu do trzech powszechnie stosowanych metod w analizie VaR. Tym samym wyznaczono wartość narażoną na ryzyko, dla omawianego portfela, metodami symulacji Monte Carlo, symulacji historycznej

6 Jongwoo K ., M in a J., R is k G r a d e s ™ T e c h n ic a l D o c u m e n t, Second edition, N ew Y o rk 2001, s. 14-15.

7 Pisula T., Pisula J., J a k e fe k ty w n ie p r z e w i d y w ać r y z y k o z m ia n k u r s ó w a k c ji s p ó łe k n o to w a n y c h n a W a r s z a w s k ie j G ie łd z ie P a p ie r ó w W a r tośc io w y c h, O ficyna W ydawnicza Politechniki Rze szowskiej, Rzeszów 2001, s. 155 i dalsze.

(8)

82

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE

oraz metodą R i s k M e t r i c N o r m a l D r i f t z zakłóceniami losowymi modelowanymi

w tym wypadku rozkładem Normalnym. Otrzymane wyniki prezentuje rys. 4. Mimo, iż metoda EKT, jak już wspomniano na wstępie, jest modyfikacją metody historycznej nie przypomina kształtem wykresu klasycznej metody symulacyjnej. Posiada wygląd bardziej skomplikowany. Tym samym upodabnia się do graficznych prezentacji metod symulacji Monte Carlo jak i modelu R i -

s k M e t r i c s N o r m a l D r i f t . Widać wyraźnie, iż V a R wyznaczone metodą EKT po

dąża za zmianami stóp zwrotu, tym samym czyniąc metodę elastyczną. Reaguje bowiem na zmiany rynkowe bez większych opóźnień, co w przypadku metody symulacji historycznej nie ma jednak miejsca.

Rys. 4. Wartości Value at Risk dla zwrotów rozpatrywanego portfela w przekroju kilku metod.

Ź ró d ło : O p ra co w a n ie własne.

Zmiany wartości zagrożonej w przypadku metody historycznej nie są zbyt częste, a wynika to z faktu, że w dłuższych okresach czasu następowały nie wielkie zmiany w rozkładzie zwrotów branych do obliczeń V a R. Chodzi tutaj

oczywiście o zmiany w wartościach odpowiedniego kwantyla. Skoki natomiast wynikają ze zjawiska grubych ogonów oraz z powodu pojawienia się (skok w dół) bądź zniknięcia (skok w górę) dużego zwrotu (straty) o wartości wyraźnie odstającej od średniej zwrotów portfela (nastąpiła duża zmiana w portfelu).

Istotnym elementem powyższej prezentacji graficznej jest znaczna różnica we wskazaniach VaR. Jak widać oszacowania metodą EKT owszem wskazują na znaczną skuteczność metody, lecz poprzez zawyżanie wartości V a l u e a t R i s k

(9)

Value atrisk wujęciu ...

przyczyniają się do znacznej awersji. Szacunki otrzymane pozostałymi meto dami są bardziej wiarygodne, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę symulację hi storyczną.

W granicach przyjętego poziomu istotności najlepiej spisują się metody symulacji Monte Carlo oraz R isk M e tric s N o rm a lD rift, które szybko reagują na rzeczywiste zmiany portfela a poza tym nie zawyżają nadmiernie rzeczywistych jego zmian, mieszcząc się w granicach przyjętego błędu.

Tabela 1. Procent poza granicę VaR dla poszczególnych metod.

Metoda EKT _historycznaSymulacja Symulacja Monte _Carlo _NormalDriftRiskMetrics

Procent poza

granicę VaR 0,31% 4,59% 4,85% 4,43%

Źródło: Opracowanie własne.

Przechodząc stricte do analizy skuteczności metody EKT oraz pozostałych omówionych zaproponowano klasyczne podejście w tym zakresie, a mianowi cie tzw. b a c k te s tin g. Wskazania jakie otrzymano przedstawia tabela 1. Można

by posłużyć się w tym zakresie testowaniem liczby przekroczeń chociażby za pomocą statystyki L RPOf (P ro p o rtio n o f F a ilu re s T e st - P O F) , jednak przy tego

typu analizach nie jest to do końca celowe. PODSUMOWANIE

Reasumując wszystkie dotychczasowe spostrzeżenia należy podkreślić kil ka zasadniczych wniosków, a mianowicie:

- metoda EKT, jako podstawa rozważań, daje bardzo dobre rezultaty z punktu widzenia oceny skuteczności, analizowanej w oparciu o b a c k te 

stin g czyli powszechnie znane testowanie wsteczne,

- podkreślić również należy, iż mimo rewelacyjnych osiągów jeśli chodzi o dopuszczalny odsetek przekroczeń poza granicę VaR, metoda ta prze szacowuje wartości V alue a t R is k, przez co niektóre wskazania znacznie

przekraczaj ą rzeczywiście zaobserwowane wartości,

- korzystnym elementem metody semiparametrycznej jest także to, iż szybko reaguje na rzeczywiste zmiany zachodzące w portfelu, tym sa mym szacunki otrzymane tą metodą mimo znacznego przeszacowania, wskazuj ą na ogólne tendencje jakie maj ą miejsce w przypadku przed miotu badania,

(10)

________ R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE _________________ 84

- kształt wykresu dla metody EKT, wynika z faktu, iż wartość progowa, jaka w tym przypadku jest wyznaczana, zmienia się w przyjętych okre

sach czasowych,

- ponadto jest to metoda bardziej wrażliwa na historyczne zmiany w port felu, nawet te bardzo małe, niż metoda symulacji historycznej, tym sa mym można więc przypuszczać, że wyniki otrzymane tą metodą są bar dziej adekwatne do sytuacji panującej na danym rynku finansowym, - metoda EKT nie potrafi przewidzieć poważnych wahań na rynku mają

cych pokaźny wpływ na trzymany przez nas portfel inwestycyjny.

LITERATURA

1. Emmer S., Kluppelberg C., Trustedt M., V a R - a m e a s u r e f o r t h e e x t r e m e r i s k,

Munich University of Technology, 1999.

2. Jongwoo K., Mina J., R i s k G r a d e s ™ T e c h n i c a l D o c u m e n t, Second edition, New

York 2001;

3. Mentel G., O c e n a s k u t e c z n o ś c i s z a c o w a n i a r y z y k a z a p o m o c ą m e t o d V a R n a p o l  s k i m r y n k u k a p i t a ł o w y m, Praca doktorska, Uniwersytet Szczeciński, 2006.

4. Pisula T., Pisula J., J a k e f e k t y w n i e p r z e w i d y w a ć r y z y k o z m i a n k u r s ó w a k c j i s p ó ł e k n o t o w a n y c h n a W a r s z a w s k i e j G i e ł d z i e P a p i e r ó w W a r t o ś c i o w y c h, Oficyna Wydaw

nicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2001;

5. Talar P., Weron A., M e t o d y n i e p a r a m e t r y c z n e o b l i c z a n i a V a R, Rynek Terminowy

nr 14/4/01.

STRESZCZENIE

W artykule przedstawiono jedną z koncepcji (semiparametrycznej) wyznaczania

V a lu e a t R i s k w relacji z innymi powszechnie stosowanymi metodami jej estymacji

(symulacja historyczna, Monte Carlo, metoda R i s k M e t r i c s N o r m a l D r i f t). Obliczenia

przedstawiono na przykładzie portfela instrumentów notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Poza metodologią metody EKT, bo o niej mowa, przed stawiono wyniki badań otrzymanych przy jej zastosowaniu, jak również wskazano w pewnym zakresie na stopień jej skuteczności. Ponadto poruszono aspekty przemawiaj ą- ce na jej korzyść jak i wykazano elementy budzące negatywne odczucia.

(11)

Value a trisk wujęciu ...

VALUE AT RISK OF THE CONCEPTCS SEMIAPARAMETRIC METHOD EKT

SUMMARY

In the paper it has been featured one of the concepts (semiparametric) of determin ing Value at Risk in relation to other common methods of its estimation (historical simulation, Monte Carlo, RiskMetrics NormalDrift method). The calculations have been presented on the basis of the portfolio of instruments quoted on the Warsaw Stock Ex change. Apart from the EKT methodology there have been presented its research results and the level of its efficiency. Besides, the advantages of this method have been dis cussed as well as its negative elements.

Translated by G. Mentel

D r G rze g o rz M e n te l

Politechnika Rzeszowska gmentel@prz.rzeszow.pl