Stochastyczna dynamika belki na podłożu Pasternaka

ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: BUD O W N IC TW O z. 102

2004 N r kol. 1644

Artur RYSTW EJ’

Politechnika W rocławska

STOCHASTYCZNA DYNAMIKA BELKI NA PODŁOŻU PASTERNAKA

Streszczen ie. W pracy rozpatruje się drgania belki nieskończenie długiej spoczywającej na podłożu Pastem aka obciążonej ciągiem sił skupionych poruszających się w jednym kierunku ze stałą prędkością. Przyjęto, że w artości sił, jak rów nież ich rozm ieszczenie na długości belki są zm iennym i losow ym i. Podano rozw iązanie na kumulantę dla ogólnego i maksymalnego ugięcia belki.

STOCHASTIC DYNAMICS OF A BEAM ON THE PASTERNAK FOUNDATION

Sum m ary. The paper presents an infinite beam resting on a Pasternak foundation is subject to vibration under a series o f concentrated forces m oving at a constant velocity. The force values and their spacing along the beam are assum ed to be random variables. The solution for the n-th order cumulant o f the general and m axim um beam deflection is given.

1. Wstęp

W konstrukcjach inżynierskich zw iązanych z budow nictw em komunikacyjnym istotnym zjawiskiem , ze w zględ ów zarów no w ytrzym ałościow ych, jak i eksploatacyjnych, s ą drgania w yw ołane poruszającym się obciążeniem . B ogaty przegląd literatury obejmującej tę problematykę stanowi m onografia Fryby [1], Z w czesnych prac podejm ujących w kategoriach probabilistycznych problem drgań konstrukcji w yw ołanych ruchomym obciążeniem można w ym ienić [2], w której rozpatrywano drgania belki nieskończenie długiej obciążonej siłą skupioną opisaną procesem stochastycznym , a także [3], gdzie analizowano drgania m ostów poddanych działaniu ruchu drogow ego.

W niniejszej pracy rozpatruje się drgania belki nieskończenie długiej spoczywającej na dwuparametrowym p odłożu i obciążonej nieskończonym ciągiem sił skupionych poruszających się w jednym kierunku ze stałą prędkością. U w zględniając losow ość wartości,

* Opiekun naukowy: Prof. dr hab. inż. Paweł Śniady

jak i rozm ieszczenia sił na długości belki, przedstawiono rozw iązania dla n-tej kumulanty ugięcia belki, przy czym rozpatrzono przypadek drgań m aksymalnych i ogólnych. Otrzymane rozwiązania m o g ą być w ykorzystane m .in. w analizie drgań nawierzchni drogowej.

2. Przyjęcie założeń i wyprowadzenie wzorów

Równanie opisujące drgania nieskończenie długiej belki na podłożu dwuparametrowym typu Pastem aka jest postaci [7]:

( 1 )

d x o x d t

gdzie E l oznacza sztyw ność belki na zginanie, k0 stałą sprężystości podłoża, k\ stałą sztywności na ścinanie podłoża, m m asę jednostkow ą belki, w(x,t) przem ieszczenie pionowe belki oraz F(x,t) obciążenie.

N iech obciążenie będzie stacjonarnym procesem stochastycznym . R ozw ażam y ciąg sił poruszających się ze stałą prędkością w losow o określonych odległościach. Poszczególne siły Aj (i = -oo, O, 1, ..., oo) są niezależnym i zm iennym i losow ym i o jednakow ych charakte­

rystykach probabilistycznych E [ A ? ] = E [ A " ] = const.

W prowadźmy funkcję Mx,ł) oznaczającą intensyw ność rozkładu sił, a w ięc wartość oczekiw aną liczby sił na jednostkę długości w punkcie x i chw ili t. R ównanie ciągłości przedstawione poniżej określa, że zmiana liczby pojazdów na odcinku dx w przedziale czasu d t musi być równa różnicy pojazdów w jeżdżających do przedziału dx w punkcie x i wyjeżdżających w punkcie x + d x [5]:

d Z ( x , t ) d A ( x , t )

— + v \ - L - L -q (2\

d t d x 1 ’

Równanie (2) będzie spełnione w ów czas, gdy funkcja Mx,f) posiada następującą właściwość:

l ( x , t ) = l { x - v t ) (3)

Przyjmijmy w obec pow yższego ruchomy układ współrzędnych określony now ą zmienną:

# = x - v i (4)

Przyjęty rozkład sił na odcinku o długości dĘ jest rozkładem P oissona [4]. Jeśli za dN (^ ) przyjąć liczbę sił w przedziale ( £ , + d ^ ) , to prawdziwe dla przyjętego rozkładu są zależności podane niżej:

Stochastyczna dynamika belki na podłożu . 427

(5)

E \ l N k ( ¿ ) \ = X ( £ ) d ę dla k = 1 ,2 ...

E [ d N ^ ) - d N ^ 2) \ = ^ ) - ^ 2) d ^ d ^ 2 dla p, * p 2

Niech //( p ,p 0) oznacza dynam iczną funkcję w pływ u, tzn. przem ieszczenie ustalone belki w punkcie p od poruszającej się z e stałą prędkością siły jednostkowej znajdującej się w punkcie p,. Rozważm y dw ie m o żliw e sytuacje, jakie m ogą m ieć m iejsce w analizowanym zagadnieniu. W pierw szym przypadku przekrój, w którym liczym y u gięcie belki, określony jest w dow olnie wybranym m iejscu o współrzędnej p (rys. !)■

A j .

i

--->

1r E L m \ f ' i ' ’ , :

k0, ki

Rys. 1. Schemat dla pierwszej sytuacji zdarzeń Fig. 1. The plan o f the first case

Ponieważ nie znam y p ołożenia żadnej z sił A„ , stąd u gięcie belki w pow yższej sytuacji w miejscu pokreślone będzie za p om ocą wzoru:

W/(P) =

\A(4o)-H{4,40)dN(4o) (

)

Faktem jest natomiast, że nastąpi taka chw ila, w której w interesującym nas przekroju pojawi się jedna z sił A„. M im o że nie jesteśm y w stanie określić, kiedy dokładnie taka sytuacja będzie m iała m iejsce, to jednak m ożna stwierdzić, że z punktu w idzenia probabilistycznego jest to zdarzenie pew ne. Co w ięcej, dla drgań ustalonych, z którymi m am y tutaj do czynienia, pojawienie się jednej z sił w analizowanym przekroju jest rów noznaczne z osiągnięciem przez funkcję ugięcia wartości ekstremalnej. Przyjmijmy w ob ec tego, ż e w drugim przypadku przekrój p , w którym liczym y ugięcie, znajduje się pod jed n ą z sił (rys.2).

A j . 2 A i . i A j A i + i A j + 2

--- >

1 r E L m _{i r} i i

rj y r y■

j

T W

Rys. 2. Schemat dla drugiej sytuacji zdarzeń Fig. 2. The plan o f the second case

Ponieważ w tej sytuacji położenie jednej z sił jest dokładnie i ściśle określone, w ięc dla całego ich zbioru An w zór (6), określający ugięcie belki w przekroju £ , ulegnie modyfikacji i przyjmie następującą formę:

" if (<f) = A {g ) ■ H ( t , 4 ) + JA ( f . ) ■ H ( g , Ę 0) d N ( g 0)

(7)

N ależy podkreślić, że poniew aż obciążenie belki jest w ielk o ścią losow ą, stąd wyrażenie dane wzorami (6) oraz (7) jest rów nież zm ienną losow ą, której wartość oczekiw ana po wykorzystaniu zależności (5 ) w ynosi odpowiednio:

e[w, ^ ) ] =e[a\ \ m g , ę 0y u g 0) d ę 0

-OO

E k , ( £ ) ] = E [A ] ■ , f ) + E [A ] • °]h ( £ , ę o) • X(S0) d ą o

—oo

natomiast wariancja:

rr2[W/(i)]=

-00

^ 2K ( # ) ] = ^

(8)

(9)

(10)

OD

Wartość oczekiw ana oraz wariancja są kumulantami odpow iednio I i II rzędu. W ogólnym przypadku kumulantę zm iennej losow ej w /( £ ) oraz w //( £ ) rzędu n zapisujem y odpowiednio:

* „ ( * „ # ) = e [a" \ ] / / " ( # , £ , ) • * ( £ , ) d 4 0

- o o

Kn(yV„ , ą ) = K An ■ H \ ę , 4 ) + E [ A n\ ] # " ( £ # . ) • * ( # . )

(12)

(13)

gdzie w ielk ość k„a oznacza kumulantę rzędu n zmiennej losow ej A , .

Pojawiająca się w e wzorach dynamiczna funkcja w pływ u / / ( £ , £ , ) dla belki opisanej równaniem (1) m a postać [6]:

1 r aiS-fo) rcos S ( £ - 4 o ) s i n ^ - i . ) ]

d l a ź < ź 0

4 j E I - k 0 a 5

T c o s S ( g - ś 0) | s in 8 ( £ - t 0)

dlaĘ > £,o

4 - j E I - k 0 a 5

(14)

gdzie

Stochastyczna dynamika belki na podłożu . 429

i — Y . s,°-LW ’ , « . J I E a ,

UJ 2 'i UJ I I El El * 1| m

M iędzy m om entam i zw ykłym i i centralnymi a kumulantami zmiennej losow ej istnieją jednoznaczne zw iązki [4]. Znajom ość tych w ielkości pozw ala na aproksymację rozkładu

prawdopodobieństwa zm iennej losow ej w (£ ).

3. Wyniki numeryczne i wnioski

Dysponując w zoram i (1 2 ) i (13) i wykorzystując dynam iczną funkcję w pływ u (14), wykonano obliczenia num eryczne w zakresie czterech pierw szych kumulant, skośności i ekscesu [4]. Przyjęto, ż e średnia wartość odstępów m iędzy siłam i w ynosi 5 m , co daje wartość intensyw ności rozkładu sił rów ną 1 = 0.2 siły/m , natom iast zm ienna losow a A ma rozkład lognorm alny o następujących charakterystykach: mA=13 kN i <ta= 2.6 kN. Parametry belki i podłoża wynoszą: m=22S0 kg/m , EI= 9-107 N m 2, fci=5-105 N m /m . Zbadano zm ienność kumulant zm iennych losow ych w j ( £ ) oraz w //( £ ) w zależności od parametrów V oraz ko w przedziałach odpow iednio 0 - 96m /s oraz 5-107 - 5'10®N/m2. W ykresy przedstawiono na rys.

3-10. W ynika z nich, że uw zględnienie siły w przekroju pow oduje w zrost wartości kumulanty w stosunku do sytuacji, kiedy się takowej siły nie uw zględnia. W idać to wyraźnie w przypadku pierwszej kumulanty. Im w yższy rząd, tym różnice w w artościach kumulant tego sam ego rzędu dla zm iennych losow ych w/ ( £ ) oraz w// ( £ ) sukcesyw nie maleją. Ponadto, zauważa się o w ie le w ięk szy w p ływ sztyw ności podłoża ko n iż prędkości V na zm ienność kumulant. Co w ięcej, dla analizowanych zakresów zm ienności parametrów V oraz ko stwierdzić m ożna, ż e wraz ze w zrostem ko różnice m iędzy kumulantami zm iennych losow ych w /( £ ) oraz w //( £ ) ulegają zm niejszeniu, podczas gdy ze w zrostem V różnice te utrzymują się raczej na stałym poziom ie. W ykresy porów naw cze w spółczynników skośności i ekscesu przedstawiono na rys. 11-14. Okazuje się, że rozkład badanych zm iennych nie jest rozkładem normalnym, poniew aż skośność i eksces są różne od zera. W spółczynniki te są w rażliw e na zmianę sztyw ności p odłoża ko, podczas gdy przy zm ianie prędkości V ich wartość nie ulega znaczącej 2m ian ie. Ponadto dla zmiennej losow ej w //( £ ) przyjmują one w artości b liższe zeru, a w ięc rozkład jest bardziej zb liżon y do normalnego niż w przypadku w /( £ ) .

f l [ m m ] r i [m m ]

0.12

0.08

0.04

-*- ti(wx) ri(wn]

20 40 60 80 ^{V [» / •]}

Rys. 3. Zależność fi od k0 (F=20m/s) Fig. 3. Relation between f i and k0

Rys. 4. Zależność f i od V (&o=5-107 N/m2) Fig. 4. Relation between fi and V

f2[mm ] ^{«5 [mm ]}

kb [ - ^ ] mJ _{20 40 60 80} ^{V [m/s]}

Rys. 5. Zależność f 2 od k0 (F=20m/s) Fig. 5. Relation between f 2 and k0

Rys. 6. Zależność f 2 od V (&o=5-10 N/m ) Fig. 6. Relation between f 2 and V

<3 [mm3 ] f 3 [mm ]

^ r N i 0.00024

0.00016

0.00008

Rys. 7. Zależność f 3 od k0 (F=20m/s) Fig. 7. Relation between f 3 and k0

Rys. 8. Zależność f 3 od F(&o=5-107N/m2) Fig. 8. Relation between f 3 and F

Stochastyczna dynamika belki na podłożu . 431

«4 [mmł ] *4 [mmł ]

0.00002

0.000015

0.00001 0.000005

Rys. 9. Zależność Ki od ko (F=20m/s) Fig. 9. Relation between Ki and'fc^

Rys. 10. Zależność Kt od V (£0=5-107N/m2) Fig. 10. Relation between Ki and V

Rys. 11. Wsp. skośności yi od ka (F=20m/s) Fig. 11. Relation between skewness yi and k0

n H 1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 02

-*■ « u li)

20 ^{40 60 _ 80 V [ —]s} Rys. 12. Wsp. skośności yi od V (Ao=5-107 N/m2) Fig. 12. Relation between skewness yi and V

Rys. 13. Wsp. ekscesu y2 od k0 (F=20m/s) Fig. 13. Relation between excess Yi and K

71

2.5

2

16 1 0 6

— wi CCl

wn(fl

20

Rys. 14. Wsp. ekscesu y2 od V (fco=5-107 N/m2) Fig. 14. Relation between excess # and V

LITERATURA

1. Fryba L.: Vibration o f solids and structures under m oving loads. Academ ia, Prague 1972.

2. K now les J.K.: On the dynamic response o f a beam to randomly m oving load. Trans, o f A SM E, J. Appl. M ech., 35, series E, 1 ,1 9 6 8 .

3. Tung C.C.: Random response o f highw ay, bridges to vehicles loads. Proc. o f ASCE, J.

Engng. M ech. D ivision , 93, EM 5, 1967.

4. Śniady P.: Podstaw y stochastycznej dynamiki konstrukcji. W yd. 1, Polit. W rocł., 2000.

5. Śniady P.: A nalityczne m etody oceny ruchu drogow ego. Raport, 61, Polit. W rocł., 1977.

6. Śniady P.: Drgania belki nieskończenie długiej w yw ołane lo so w ą serią sił ruchomych.

Rozprawy Inżynierskie, 31, 2, 193-201, 1983.

7. D e R osa M .A ., M aurizi M.J.: The influence o f concentrated m asses and Pasternak soil on the free vibrats o f Euler beam s - exact solution. J. o f Sound and Vibration, 212(4), 1998, 573-581.

Recenzent: Dr hab. inż. Z bigniew Zembaty, prof. Pol. Opolskiej