Lista 11. Równania w liczbach naturalnych Na tej liście obowiązuje a, b, c, . . . , x, y, z, . . . ∈ N.
1. Iloczyn trzech liczb pierwszych jest równy ich potrojonej sumie. Jakie to liczby?
2. Zamieniając na iloczyn rozwiąż równania:
(a) xy = 5 − y, (b) xy + 2y = 17 + 5x, (c) xy + 2y = 20 + 5x, (d) xy − 2x + 3y = 16, (e) x2= y2+ 2y + 13, (f) x2+ x + 41 = y2,
(g) 2x2+ xy − 10x − 5y = 15, (h) 2xy + y2− 6x − y = 17.
3. Dla liczby pierwszej p rozwiąż równanie:
1 x+1
y =1 p.
4. Metodą: "a może jedna z nich jest 1, 2, 3, ..." rozwiąż równanie:
1 x+1
y +1 z = 1.
5. Wyznacz wszystkie pary (x, y) dla których x|y + 1 i y|x + 1.
(Wsk. xy|(x + 1)(y + 1) i powyższe zadania) 6. Rozwiąż równania:
(a) x2+ 2y2= 0, (b) x3− 2y3− 4z3= 0, (c) a4+ 4b4= 2(c4+ 4d4).
7. Wykaż, że równania:
(a) 2x2− 215y2= 1 (b) 3x2− 4y2= 13.
nie mają rozwiązań całkowitych. (Wsk. rozważ podzielność.) 8. Udowodnij, że równanie 14x+ 19y= 29z nie ma rozwiązań.
9. (Metody nierównościowe) Rozwiąż równania:
(a) (x2+ 1)(y2+ 5) = 20xy,
(b) (x21+ 1)(x22+ 2) . . . (x2n+ n) = 2n˙n! ˙x1x2. . . xn, (c) 4x64x2+y2y22 = (x + 1)(y + 2)(2x + y).
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
1
