(1) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania całkowite równania 2520x + 6600y = 240

Sprawdzian 1 – grupa 1.

(1) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania całkowite równania 2520x + 6600y = 240.

Rozwiązanie: Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa otrzymujemy kolejno:

6600 = 2 · 2520 + 1560, 2520 = 1 · 1560 + 960, 1560 = 1 · 960 + 600,

960 = 1 · 600 + 360, 600 = 1 · 360 + 240, 360 = 1 · 240 + 120, 240 = 2 · 120.

Wobec tego

120 = 360 − 1 · 240 =

= 360 − 1 · (600 − 1 · 360) = 2 · 360 − 1 · 600 =

= 2 · (960 − 1 · 600) − 1 · 600 = 2 · 960 − 3 · 600 =

= 2 · 960 − 3 · (1560 − 1 · 960) = 5 · 960 − 3 · 1560 =

= 5 · (2520 − 1 · 960) − 3 · 1560 = 5 · 2520 − 8 · 1560 =

= 5 · 2520 − 8 · (6600 − 2 · 2520) = 21 · 2520 − 8 · 6600.

Tym samym 120 = 21 · 2520 − 8 · 6600 i mnożąc obydwie strony równania przez 2 otrzymujemy, że 240 = 42 · 2520 − 16 · 6600 i możemy przyjąć x₀ = 42, y₀ = −16 za rozwiązanie bazowe. Wszystkie rozwiązania otrzymamy według wzoru x = 42 + 6600t, y = −16 − 2520t, t ∈ Z.

(2) Rozwiązać układ równań

 3x + 5y = 2 4x + 9y = 4 w ciele Z¹⁷

Rozwiązanie: Stosujemy metodę przeciwnych współczynników:

 3x + 5y = 2 4x + 9y = 4

I·10+II

−−−−→  3x + 5y = 2 8y = 7

II·15

−−−→ 3x + 5y = 2

y = 3 → 3x = 2 + 12 · 3 = 4 y = 3

−→I·6  x = 7 y = 3 (3) Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć ⁽¹⁺ⁱ

√3)⁷⁶

(1−i)³⁷ . Wynik zapisać jako a + bi, a, b ∈ R.

Rozwiązanie: Z pomocą poniższych ilustracji bez trudu przekształacamy liczby 1 + i

√3 oraz 1 − i do postaci trygonometrycznej:

1

√3i

@

@

@

@

@

@

1

−i

otrzymując 1 + i√

3 = 2(cos^π₃ + i sin^π₃) oraz 1 − i =√

2(cos^7π₄ + i sin^7π₄ ). Wobec tego (1 + i√

3)⁷⁶ = 2⁷⁶(cos76π

3 + i sin76π

3 ) = 2⁷⁶(cos 4π

3 + i sin4π 3 ), (1 − i)³⁷ = √

2³⁷(cos37 · 7π

4 + i sin37 · 7π

4 ) = 2¹⁸√

2(cos3π

4 + i sin3π 4 ).

Ostatecznie:

(1 + i√ 3)⁷⁶

(1 − i)³⁷ = 2⁷⁶(cos^4π₃ + i sin^4π₃ ) 2¹⁸√

2(cos^3π₄ + i sin^3π₄ ) =

= 2⁵⁷√

2 −¹₂ − i

√ 3 2

−

√2 2 + i

√2 2

= 2⁵⁷√

2(−1 − i√

3)(−√

2 − i√ 2)

4 =

= 2⁵⁵√ 2(√

2 −√

6 + i(√ 2 +√

6)) = 2⁵⁶− 2⁵⁶√

3 + i(2⁵⁶+ 2⁵⁶√ 3).

W pozostałych grupach zadania rozwiązujemy stosując takie same metody. Dla uproszczenia podajemy tu tylko wyniki końcowe.

Sprawdzian 1 – grupa 2.

(1) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania całkowite równania 2520x + 6600y = 20.

Rozwiązanie: Sprawdzamy, że N W D(2520, 6600) = 120. Ponieważ 120 - 20, równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

(2) Rozwiązać układ równań

 3x + 5y = 2 4x + 9y = 4 w ciele Z19

Rozwiązanie: x = 16, y = 6.

(3) Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć ₍^(1−i)√_3−i)²⁴₂₂. Wynik zapisać jako a + bi, a, b ∈ R.

Rozwiązanie:

√ 3

2¹¹ − ₂11ⁱ .

Sprawdzian 1 – grupa 3.

(1) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania całkowite równania 17160x + 2280y = 240.

Rozwiązanie: x = 4 + 2280t, y = −15 − 17160t.

(2) Rozwiązać układ równań

 2x + 3y = 2 14x + 9y = 4 w ciele Z17

Rozwiązanie: x = 4, y = 15.

(3) Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć ⁽¹⁺ⁱ

√3)⁷⁶

(1−i)³⁷ . Wynik zapisać jako a + bi, a, b ∈ R.

Rozwiązanie: patrz Grupa 1.

Sprawdzian 1 – grupa 4.

(1) Wyznaczyć wszystkie rozwiązania całkowite równania 1430x + 4370y = 20.

Rozwiązanie: x = −110 + 4370t, y = 36 − 1430t.

(2) Rozwiązać układ równań

 2x + 3y = 2 14x + 9y = 4 w ciele Z19

Rozwiązanie: x = 14, y = 4.

(3) Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć ^(1−i)24

(√

3−i)²². Wynik zapisać jako a + bi, a, b ∈ R.

Rozwiązanie: patrz Grupa 2.