POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ MASZYN ROBOCZYCH I TRANSPORTU KATEDRA TECHNIKI CIEPLNEJ

1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

WYDZIAŁ MASZYN ROBOCZYCH I TRANSPORTU KATEDRA TECHNIKI CIEPLNEJ

PRACA DOKTORSKA

Analiza procesu nagrzewania w oparciu o rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla równania przewodnictwa ciepła

Magda Joachimiak

Promotor:

prof. dr hab. inż. Michał Ciałkowski

Poznań, listopad 2014

2 Pragnę podziękować wszystkim, bez których niniejsza praca nie mogłaby powstać.

Przede wszystkim mojemu promotorowi prof. dr hab. inż. Michałowi Ciałkowskiemu za wszelką pomoc, jakiej mi udzielił w czasie dotychczasowej współpracy, a zwłaszcza za cenne uwagi merytoryczne.

Składam serdeczne podziękowania prof. dr hab. inż. Leszkowi Małdzińskiemu i Jego zespołowi za umożliwienie przeprowadzenia badań eksperymentalnych

oraz liczne wskazówki i dyskusje naukowe.

Dziękuję również prof. PP dr hab. inż. Leonowi Bogusławskiemu za nieocenione uwagi i wskazówki w zakresie badań eksperymentalnych

w wymianie ciepła.

Dziękuje Rodzicom za wsparcie i zachętę.

Szczególne podziękowania składam mojemu Mężowi Damianowi za wsparcie w trudnych chwilach.

3

SPIS TREŚCI

SPIS WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ ... 5

1. WSTĘP ... 7

1.1. Opis zagadnienia ... 7

1.2. Zakres badań ... 8

2. PRZEGLĄD LITERATURY ... 10

3. CEL PRACY ... 13

4. LINIOWE ZAGADNIENIE ODWROTNE ... 14

4.1. Zagadnienie proste ... 14

4.2. Zagadnienie odwrotne ... 17

4.3. Wrażliwość rozwiązania zagadnienia odwrotnego na błędy pomiarowe ... 20

4.4. Badanie wrażliwości procesu obliczeniowego przez zastosowanie rozkładu SVD 21 4.5. Zagadnienie odwrotne dla pomiaru wykonywanego przy użyciu M termoelementów ... 22

4.6. Wrażliwość rozwiązania zagadnienia odwrotnego na błędy pomiarowe dla pomiaru wykonywanego przy użyciu M termoelementów ... 25

4.7. Przykład numeryczny dla jednego termoelementu ... 26

4.8. Przykład numeryczny dla M = 2 termoelementów ... 33

5. NIELINIOWE ZAGADNIENIE ODWROTNE ... 40

5.1. Uzasadnienie użycia modelu obliczeniowego ... 40

5.2. Model obliczeniowy ... 41

5.2.1. Nieliniowe zagadnienie proste ... 41

5.2.2. Nieliniowe zagadnienie odwrotne ... 46

5.2.3. Wrażliwość rozwiązania zagadnienia odwrotnego na błędy pomiarowe .... 49

5.2.4. Uzupełnienie modelu obliczeniowego ... 50

5.3. Przykład numeryczny ... 52

6. OPIS STANOWISKA BADAWCZEGO I BADAŃ WSTĘPNYCH ... 57

7. ANALIZA ROZKŁADU TEMPERATURY W PRZEKROJU WALCA ZA POMOCĄ PROGRAMU freeFEM++ ... 66

8. DOBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH I WYNIKI BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH ... 71

9. WYNIKI OBLICZEŃ NA PODSTAWIE DANYCH POMIAROWYCH ... 80

4

10. PODSUMOWANIE ... 91

LITERATURA ... 94

Dodatek A ... 98

A.1. Aproksymacja krzywej za pomocą wielomianów Czebyszewa ... 98

A.2. Dobór stopnia wielomianu służącego do testów nieliniowego modelu obliczeniowego ... 104

Dodatek B ... 109

B.1. Wyniki pomiarów dla procesu 1 ... 109

B.2. Wyniki pomiarów dla procesu 3 ... 111

Dodatek C ... 114

5

SPIS WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

a współczynnik wyrównania temperatury [m²/s]

c ciepło właściwe, [J/kgK]

C stała całkowania

cond(A) liczba uwarunkowania macierzy A e liczba Eulera

f temperatura na brzegu walca

g odległość termoelementu od brzegu walca, [m]

I kwadratowa macierz jednostkowa o wymiarze N I0, I1, I-n zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rodzaju, - J0, J1, Jn funkcje Bessela pierwszego rodzaju, -

L, L^-1 transformata Laplace’a, odwrotna transformata Laplace’a -

m wartości obliczone przy błędzie zabudowy termoelementu o r^w kierunku osi walca p wartości obliczone przy błędzie zabudowy termoelementu o r^w kierunku brzegu

walca

r promień, [m]

ran wartości obliczone przy stochastycznym zaburzeniu pomiaru temperatury rank(A) rząd macierzy A

s zmienna zespolona, - t czas, [s]

T temperatura, [^oC]

U, V^* macierze unitarne w rozkładzie SVD Wi wielomian Czebyszewa stopnia i - tego

zp wartości obliczone za pomocą zagadnienia prostego zo wartości obliczone za pomocą zagadnienia odwrotnego Greckie symbole:

β współczynnik w założonej funkcji temperatury na brzegu walca, - δ błąd bezwzględny, -

Δ różnica, -

 temperatura we współrzędnych bezwymiarowych, -

Θ współczynnik wykorzystywany podczas całkowania ^ ^{0 1, , -} λ współczynnik przewodzenia ciepła dla walca, W/mK

6 ξ promień we współrzędnych bezwymiarowych, -

ρ gęstość, kg/m³

σ wartości szczególne macierzy A, - Σ macierz diagonalna w rozkładzie SVD, - τ czas we współrzędnych bezwymiarowych, - Indeks dolny:

0 czas początkowy, dla t = 0

max maksymalna podczas nagrzewania

w przy założonej stałej temperaturze na brzegu walca z powierzchnia zewnętrzna walca

+ δξ^* przy nieprecyzyjnym umieszczeniu termoelementu o δξ^* bliżej brzegu – δξ^* przy nieprecyzyjnym umieszczeniu termoelementu o δξ^* dalej brzegu

 przy błędzie pomiaru temperatury wynoszącym 

Indeks górny:

* pomiarowe, sprzężenie hermitowskie T macierz transponowana

7

1. WSTĘP

1.1. Opis zagadnienia

W procesach obróbki cieplnej i cieplno – chemicznej bardzo ważna jest wiedza na temat rozkładów temperatury w obrabianych elementach. Podczas nagrzewania lub chłodzenia w objętości obrabianego materiału występują gradienty temperatury, które powodują powstawanie naprężeń termicznych. Wiedza o naprężeniach termicznych stanowi podstawę do bezpiecznego nagrzewania elementów oraz skrócenia czasu nagrzewania lub chłodzenia.

Na podstawie obliczonej temperatury na brzegu, w trakcie trwania procesu, można regulować tak skład chemiczny mieszanki gazów, aby uzyskać np. odpowiedni potencjał wnikania określonego pierwiastka do obrabianego materiału. Umożliwia to precyzyjniejsze sterowanie procesem obróbki cieplno - chemicznej oraz pozwala na uzyskanie odpowiedniej grubości i struktury warstw wierzchnich obrabianych elementów metalowych. Zatem w procesach nagrzewania, będących częścią procesów nawęglania, azotowania czy też obróbki w próżni, rozkłady temperatury stanowią podstawę do analizy wytwarzanej warstwy nawęglanej lub azotowanej oraz naprężeń cieplnych. Pomiar temperatury na brzegu elementu obarczony jest dużym błędem, gdy wymiana ciepła zachodzi głównie poprzez radiację. Sytuacja taka jest dla procesów azotowania, w których temperatury w piecu sięgają do 550 ^oC, czy też nawęglania gdzie temperatury sięgają do 950 ^oC. Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego na podstawie pomiaru temperatury wewnątrz obszaru pozwala na wyznaczenie rozkładu temperatury na brzegu, a następnie w całym obszarze poprzez rozwiązanie zagadnienia prostego. Może mieć to szerokie zastosowania do analizy i optymalizacji procesów obróbki cieplnej i cieplno - chemicznej. Jak już wspomniano w procesach tych nagrzewanie odbywa się do bardzo wysokich temperatur, a wymiana ciepła zachodzi głównie poprzez promieniowanie. Wówczas pomiar temperatury na brzegu elementu, poddawanego obróbce cieplnej lub cieplno - chemicznej, obarczony jest błędem. Analiza rozkładu temperatury na brzegu jest trudna do wykonania ze względu na złożoność modeli obliczeniowych uwzględniających jednocześnie promieniowanie i konwekcję wymuszoną. Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla równania przewodnictwa ciepła daje możliwość dokładniejszego wyznaczenia temperatury na brzegu elementu. Przekłada się to na bardziej precyzyjne sterowanie procesami np. dla azotowania dokładniej może zostać wyznaczony czas, gdy do retorty pieca ma zostać dostarczony amoniak, gdy element osiągnął żądaną temperaturę na brzegu. Stwarza to możliwości analizy procesów nagrzewania pod kątem czasu ich trwania, ponieważ wyznaczenie rozkładu temperatury stanowi podstawę do obliczenia naprężeń termicznych. Rozwiązanie zagadnienia

8 odwrotnego i prostego może pozwolić na wyznaczenie największego tempa nagrzewania, w którym nie zostaną przekroczone maksymalne naprężenia termiczne dla analizowanego elementu w określonym procesie.

1.2. Zakres badań

Praca doktorska obejmuje badania numeryczne oraz eksperymentalne. Badania eksperymentalne wykonano w komorowym piecu do azotowania o poziomym załadunku wsadu. Powierzchnia ścianki komory roboczej pieca ma kształt cylindryczny. Piec posiada przegrodę cylindryczną, która wraz ze ścianką komory roboczej tworzy kanał pierścieniowy.

W kanale tym przepływający gaz nagrzewa się od ścianki komory roboczej pieca (rys. 1.1).

Rys. 1.1. Schemat pieca z zaznaczonym przepływem gazu

Przepływ gazu w piecu jest wymuszony przez wentylator. Geometria wewnętrzna pieca umożliwia przepływ gazu jak w komorze nawrotnej (rys. 1.1). Uzyskuje się w nim duży stopień turbulencji przepływu. Umieszczenie cylindrycznego elementu, będącego przedmiotem badań, w środku komory pieca pozwoliło uzyskać równomierne nagrzewanie od opływającego gazu i ścianek pieca przez radiację. Dlatego elementem, który wybrano do badań był walec. Badania obejmowały również dobór punktów pomiarowych w walcu podczas nagrzewania. Przedmiotem badań były procesy nagrzewania w piecu do azotowania dla różnych szybkości nagrzewania oraz ustawień wentylatora. Analizę procesów nagrzewania oparto na rozwiązaniu zagadnienia odwrotnego niestacjonarnego równania

9 przewodnictwa ciepła dla walca. Zagadnienie odwrotne rozwiązano dla dwóch modeli obliczeniowych: liniowego i nieliniowego. Model nieliniowy uwzględniał zależność współczynnika przewodzenia ciepła λ i ciepła właściwego c od temperatury. Analizowano również wrażliwość rozwiązania zagadnienia odwrotnego na błędy pomiaru temperatury i zabudowy termoelementów.

10

2. PRZEGLĄD LITERATURY

Procesy nagrzewania elementów maszyn, czy procesy obróbki cieplnej wymagają realizacji pola temperatury spełniającego zadane kryteria. W celu sterowania nagrzewaniem ciała bardzo ważna jest znajomość temperatury brzegu obszaru. Pomiar temperatury brzegu nie zawsze jest możliwy do przeprowadzenia na przykład w komorze spalania czy na powierzchni wewnętrznej korpusu turbiny gazowej. W szczególności jest to trudne, jeśli duży udział w procesie nagrzewania ma promieniowanie (procesy obróbki cieplnej) [30,43]. W takich przypadkach temperaturę brzegu można określić z rozwiązania zagadnienia odwrotnego w oparciu o pomiar temperatury w punktach wewnętrznych ciała umieszczonych blisko brzegu, na którym nie jest znany przebieg temperatury [5,39]. Niektóre metody rozwiązywania jednowymiarowego zagadnienia odwrotnego rozkładu pól temperatury dla walca przedstawiono w pracy [7], natomiast dla warstwy cylindrycznej w pracy [6]. Rozkłady temperatury w walcu z użyciem zagadnienia prostego i odwrotnego badano również za pomocą funkcji cieplnych [34]. Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w oparciu o transformatę Laplace’a przedstawiono w pracach [6,7,14,18,19]. Zagadnienie odwrotne dla równania przewodnictwa ciepła rozwiązano przy użyciu metody sekwencyjnej, co opisano w pracach [4,40]. Zaś analiza pól temperatury podczas nieustalonej wymiany ciepła dla nieregularnej geometrii została opisana w pracy [8]. Dla stabilizacji rozwiązania zagadnienia odwrotnego stosuje się różne metody regularyzacji [12,22,23]. Rozwiązanie równania przewodnictwa ciepła można uzyskać metodami analitycznymi min. rozdzielania zmiennych, przekształceń całkowych dla współrzędnych przestrzennych, transformaty Laplace'a oraz funkcji Greena [11]. Równanie to rozwiązywano również metodami numerycznymi min.

metodą różnic skończonych [11], metodą bilansów elementarnych [11] czy też metodą elementu skończonego z zastosowaniem rachunku wariacyjnego [11,15,16,46].

Metoda zagadnienia odwrotnego ma szerokie zastosowanie w zagadnieniach technicznych. W pracy [45] opisano zastępczy model obliczeniowy dla zagadnienia odwrotnego przewodzenia ciepła. Za pomocą tego modelu oraz metody elementu skończonego szukano warunku brzegowego dla nagrzewanej belki. W pracy [9]

przedstawiono algorytm rozwiązania problemów odwrotnych przepływu ciepła z wykorzystaniem metody elementu skończonego. Idea algorytmu polega na rozwiązaniu Problemu Neumanna, gdzie poszukiwany jest strumień ciepła na brzegu wewnętrznym.

Algorytm daje gładkie, nieoscylujące i stabilne rozwiązanie. Zastosowano go do analizy wymiany ciepła w obszarze z otworami. W [10] opisano metodę rozwiązania zagadnienia

11 odwrotnego przewodnictwa ciepła zawierającą rozwiązanie równania Poissona dla prostszych, połączonych ze sobą obszarów zamiast równania Laplace'a dla obszaru wielospójnego jak np. dla łopatki turbiny gazowej z kanałami chłodzącymi. W pracy [17]

analizie poddano wymianę ciepła w geometrii walcowej z wykorzystaniem metody objętości kontrolnych, równania bilansu cieplnego, równania energii oraz metody odwrotnej. W badaniach wyznaczono współczynnik przejmowania ciepła. Badania te stanowiły podstawę do analizy wymiany ciepła w obudowie termometrów stosowanych do pomiaru temperatury w kotłach energetycznych. W pracy [20] przedstawiono wyniki obliczeń dotyczących określenia rozkładów temperatury w stalowej rurze wymiennika ciepła z uwzględnieniem osadów mineralnych. Osady o najmniejszych wartościach współczynnika przewodzenia ciepła stanowią szczególne zagrożenie wytrzymałościowe dla elementów obciążonych cieplnie. W analizie uwzględniono miejsce usytuowania termoelementu oraz niedokładność jego zabudowy. W pracy przedstawiono wpływ dokładności wyznaczenia gęstości strumienia ciepła na ściance zewnętrznej rury na rozkład temperatury. Przeanalizowano wpływ wielkości zaburzenia wartości gęstości strumienia ciepła na wartość grubości osadu. W pracy [28]

poprzez rozwiązanie równania przewodnictwa ciepła dla modelu 2D w stanie stacjonarnym z zastosowaniem zagadnienia odwrotnego poszukiwano przewodności cieplnej materiału, jako wielomianu zależnego od temperatury. W pracy [26] opisano przepływ ciepła w wysokotemperaturowych piecach przemysłowych. Analizowano rozwiązanie zagadnienia prostego i odwrotnego z wykorzystaniem metody sprzężonych gradientów dla zmian fazy krzepnącego metalu. Prace [36,41,42] opisują sposób nagrzewania w piecach przemysłowych takich jak piece pokroczne. Analizowano w nich nierównomierność nagrzewania wsadu min.

rur. Dotychczas wykonano badania na temat przemian fazowych podczas hartowania z użyciem metody zagadnienia odwrotnego [3]. Wpływ błędu pomiaru temperatury i błędu zabudowy termoelementów na wyznaczenie rozkładu temperatury na brzegu obszaru oraz współczynnika przejmowania ciepła analizowano w pracach [5,18,19,38]. Analizę pomiaru temperatury w ciałach stałych i gazach, w tym sposoby zamocowania termoelementów, przedstawiono w pracy [38].

Istnieją zależności między stężeniem azotu w fazach α, γ' oraz ε, a temperaturą i potencjałem atmosfery azotującej [25]. Wiedza na temat wartości termodynamicznych w procesach azotowania gazowego żelaza i stali stanowi podstawę do prognozowania składu fazowego metalu oraz skrócenia czasu procesów obróbki cieplno - chemicznej [25]. Analizę wymiany ciepła w piecach przemysłowych bazującą na modelach matematycznych z

12 uwzględnieniem radiacji opisano w pracach [32,33,37]. Modele radiacyjne obarczone są dużym błędem, zatem w niniejszej pracy zawarto analizę wymiany ciepła z wykorzystaniem metody zagadnienia odwrotnego. Równania przewodnictwa ciepła rozwiązano z zastosowaniem transformaty Laplace'a dla modelu liniowego oraz metody kolokacji z użyciem wielomianów Czebyszewa dla modelu nieliniowego. Modele te zastosowano do analizy procesów nagrzewania w piecu komorowym do obróbki cieplno - chemicznej.

Badania eksperymentalne na potrzeby niniejszej rozprawy doktorskiej przeprowadzono w piecu do azotowania o przepływie gazu jak w komorze nawrotnej [1].

13

3. CEL PRACY

Celem pracy jest rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla równania przewodnictwa ciepła, będącego podstawą do analizy procesów nagrzewania.

CELE SZCZEGÓŁOWE:

1) Stworzenie modeli obliczeniowych, bazujących na metodzie zagadnienia odwrotnego, pozwalających na wyznaczenie rozkładów temperatury w nagrzewanym walcu.

2) Opracowanie metody pomiaru temperatury w analizowanym elemencie. Określenie punktów pomiaru temperatury. Dobór charakterystyki nagrzewania.

3) Wyznaczenie temperatury w przekroju walca dla nagrzewania przy różnych nastawach wentylatora oraz szybkościach nagrzewania w retorcie pieca.

4) Analiza numeryczna propagacji błędów pomiarowych i wrażliwości dla otrzymanych wyników.

5) Eksperymentalna weryfikacja metody wyznaczania rozkładu temperatury bazującej na rozwiązaniu zagadnienia odwrotnego równania przewodnictwa ciepła.

6) Analiza procesów nagrzewania na podstawie otrzymanych wyników.

TEZY:

1) Możliwe jest wyznaczenie rozkładu temperatury w walcu poprzez rozwiązanie równania przewodnictwa ciepła przy użyciu metody zagadnienia odwrotnego.

2) Wyniki te mogą być podstawą do dalszej analizy procesów nagrzewania.

14

4. LINIOWE ZAGADNIENIE ODWROTNE

4.1. Zagadnienie proste

Podstawą do rozwiązania zagadnienia odwrotnego jest uzyskanie rozwiązania zagadnienia prostego z nieznanym warunkiem brzegowym w postaci parametrycznej.

Równanie liniowe niestacjonarnego przewodnictwa ciepła dla symetrycznego pola temperatury w walcu można zapisać w następującej postaci [13]:

2 2

1

T T T

c t r r r

 ^ ^^  ^ ^ r



^0,rz



, t0 (4.1) z następującymi warunkami

- warunek początkowy



, 0



0

T r t T const (4.2)

- warunek brzegowy



z^,



z

 

T rr t T t (4.3)

- warunek ograniczoności rozwiązania w punkcie r0



^0,



T r t   (4.4)

Zależności (4.1) – (4.4) sprowadzono do postaci bezwymiarowej dokonując następujących podstawień [7]

z

r

  r , ⁰

max

T T

  T^ , ₂

z

t c r

 

  (4.5)

Zatem postać zależności (4.1) – (4.4) jest następująca - równanie różniczkowe (4.1)

2 2

  1 

   

  

 

   ^

 

^{0,1 ,}  ⁰ (4.6)

- warunek początkowy (4.2)



^{, 0}



⁰

     (4.7)

- warunek brzegowy (4.3)



^1,



z

 

       0 (4.8)

- warunek ograniczoności rozwiązania (4.4) w punkcie  0



^0,



      (4.9)

15 Do rozwiązania zagadnienia (4.6) – (4.9) zastosowano przekształcenie Laplace’a wyrażone zależnością [13,21]:

     

0

, , , ^s

L      ^



   e^d ^(4.10) gdzie s jest liczbą zespoloną. Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a do równania (4.6) i wykorzystaniu warunku (4.8) otrzymano

 

2 2

1 , 0

d d

d d s

    

 ^  ^{   (4.11)}

a całka ogólna przy założeniu, że  



,0_



0 const i uwzględnieniu warunku ograniczoności rozwiązania (4.9) [13,21,27]

 

1

   

⁰

 

1 ⁰

1 1

,s s _z s C I s

s s

 

    

     (4.12)

Zatem

   

⁰

0

1s _z s

C s I s

 

 (4.13)

Po podstawieniu zależności (4.13) do równania ^{ }

 

^{, s CI0}

 

^{s 1}_s^{0 mamy}

   

  ^{   }

0

0

, _z

I s

s s s

sI s

     (4.14)

Zatem stosując odwrotną transformatę Laplace’a oraz twierdzenie Borela o splocie [21]

otrzymano

   

  ^{   }  

  ^{ }

0 0

1 1 1

0 0

, I s 1, I s 1,

L s s L L s s

sI s sI s

 

    ^{ }    ^ ^{ } ^ ^     

(4.15)

   

1 1

, 1,

L^ w s L^ s  s 

    

gdzie L^1sz

 

s     

   

z ⁰_  z^'

 

 z^'

 

. Na mocy twierdzenia o residuach [13]

wyznaczono rozwiązanie ^{  }_w

 

^, będące rozwiązaniem zagadnienia (4.6) - (4.9) ze stałą temperaturą na brzegu

   

   

0 0

 

1

0 0 0

,

n

s

w s s

n

I s I s

L res e

sI s sI s

  

   ^{ }

 

   

   

 

   

 



  ^(4.16)

16 gdzie s są biegunami funkcji _n

 

0

 

0

I s s

e sI s

 

czyli liczbami, dla których mianownik

 

sI0 s jest równy zero. Są to: s₀ 0 oraz pierwiastki równania ^I0

 

^{s 0}. Dla bieguna

0 0

s  mamy

     

   

 

0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

lim lim 1

s s s

s s

s

I s I s I s

res e s e s e

sI s sI s sI s

  

  

 



     

     

     

     

(4.17)

zaś dla pozostałych biegunów:

   

  ^{ }  

0 0

 

1 0 1 0

, 1 1 lim

n n

s s

w n

s s

n s s n

I s I s

res e s s e

sI s sI s

 

 

   ^{ }



  

   

   

    

   

   

 

^(4.18)

Po zastosowaniu reguły de L’Hospitala oraz własności dla zmodyfikowanych funkcji Bessela zależność (4.18) przyjmuje postać [27]

    ^{ }   ^{   }

   

1 0

1

0 1

1

, 1 lim 2

1 2

n

s s s

n n

w s s

n

I s s s e I s e e s s

s

I s sI s

s

  

  

   ^ 

 

     

 

   

  

 

 



^(4.19)

Ponieważ

  ^{ }

1

lim 1 0

2

n

s

s s I s s s en

s

 



   (4.20)

oraz

  ^{ }

lim 0 0

n

s

s s I s s s en ^

   (4.21)

zatem

   

 

⁰

 

1 0 1

2

, 1 lim

2

n

s

w s s

n

I s e

I s sI s

 

   ^

 

 

 

 



   ^(4.22)

Liczby s są biegunami funkcji _n

 

0

 

0

I s s

e sI s

 

stąd ^{lim 0}

 

⁰

s snI s

  oraz

   

   

0 0

 

1 1 1 1

, 1 lim 2 1 2

n

n

s s

n

w s s

n n n n

I s e I s e

sI s s I s



  

   ^{ }

  

 

 

   

 

 

 

^(4.23)

17 Funkcja I₀ argumentu rzeczywistego jest dodatnia zaś dla argumentu urojonego jest funkcją Bessela I rodzaju oscylującą względem osi odciętych. Ponieważ s_n  p i_n , gdzie i jest liczbą urojoną, wówczas s_n  p_n². Stąd wyrażenie (4.19) przybiera postać

   

 

2

0

1 1

, 1 2

pn

n w

n n n

I p i e p iI p i

 

   ^{ }



 



^(4.24)

Ponieważ [13] I_n

 

z i J^n n

 

zi to I0



p in



J0



pn



oraz I1

 

p in iJ1

 

pn więc

   

   

   

 

2 2 2

0 0 0

1 1 1 1 1 1

, 1 2 1 2 1 2

n n n

p p p

n n n

w

n n n n n n n n n

J p e J p e J p e

p iiJ p p J p p J p

  

  

   ^{     }

  

     

 





^(4.25)

Liczby s to pierwiastki równania _n ^I0

 

^{s  0 I0}

^{ }

^{pi J0}

^{ }

^{p 0}. Stąd liczby p są _n pierwiastkami równania J0

 

p 0. Zatem symetryczne pole temperatury w walcu wyraża się wzorem

     

     

2

0

1 1

1, 1,

, 1 2 ,

pn

n

w

n n n

J p e

p J p

       

     

 

 



 

   

     

 



 

   

 

²

   

0

1 1

1, 2 1, ,

pn

n n w

n n

J p p e J p

    

     



 



  

     

  





 ^(4.26)

Funkcja   _w

 

^, jest rozwiązaniem równania (4.6) z warunkiem początkowym (4.7) i stałą temperaturą na brzegu  w



^1,



¹ (warunek (4.8), _z 1) .

4.2. Zagadnienie odwrotne

Ponieważ nie zawsze jest możliwe określenie temperatury na brzegu obszaru, określenia temperatury brzegu można dokonać rozwiązując zagadnienie odwrotne (brzegowe zagadnienie odwrotne). W tym celu należy dokonać pomiaru temperatury w punktach wewnętrznych obszaru (rys. 4.1). W następnym kroku poszukuje się wartości funkcji



^1,



    z minimalizacji odległości pomiędzy temperaturą wyrażoną wzorem (4.26), a wartością pomierzoną dla kolejnych chwil czasu (dla przypadku jednego punktu pomiarowego odległość pomiędzy temperaturą (4.26) a temperaturą pomierzoną staje się równością). Termoelement umieszczony jest w odległości g r_z r^ od brzegu walca, stąd

z

r

^  r^.

18 Rys. 4.1. Rysunek przekroju poprzecznego walca z zaznaczonym promieniem zewnętrznym (rz), punktem zabudowy termoelementu (r*, g) oraz dokładnością umiejscowienia termoelementu (r*+δr*,

r* – δr*)

Rozwiązanie splotowe dla miejsca pomiaru temperatury r r ^ (  ^) jest równe wartości zmierzonej, zatem dla dwóch kolejnych chwil czasu _i, _i1mamy:

  ^{ }  

 

¹

^{ }  

0

1 1

0

, ' 1, ,

, ' 1, ,

i

i

i w i

i w i

u u du

u u du





       

   ^    

 

 

 

   



   







(4.27)

Po odjęciu stronami otrzymano:

   

2 , _i 1 , _i

I   ^ _   ^ 

    ^{ }  

1

1

0 0

' 1, , ' 1, ,

i i

w i w i

u u du u u du

 

         

  





   



  ^(4.28)

Stąd zamieniając całkę na przedziale 0,_i1 na sumę całek po kolejnych przedziałach , 1

n n

  _ , n0,1, ,i

    ^{ }  

1 1 1

2 1

0 0

' 1, , ' 1, ,

n n

n n

i i

w i w i

n n

I u u du u u du

 

 

         

  

 



 



 

  

 

  ^(4.29)

Ponieważ funkcja ^{  w}



^{, iu}



^0 przeto dla uproszczenia całkowania splotu przybliżamy ją funkcją schodkową [2] ^{   w}



^{, i} ⁿ



 ^{   w}



^{, i} ⁿ¹

 ^

¹ 

^

, 

 

^0,1 , rys. 4.2.

Rys. 4.2. Aproksymacja funkcji ϑw funkcją schodkową